Доклад по самообразованию на тему "Схематическое моделирование как способ обучения младших школьников решению текстовых задач".
учебно-методический материал по математике на тему

Доклад по самообразованию «Схематическое моделирование как способ обучения младших школьников решению текстовых задач».

В окружающей нас жизни возникает множество таких жизненных ситуаций, которые связаны с числами и требуют выполнения арифметических действий над ними – это задачи.

Рассматривая процесс решения текстовой задачи, неоднократно используется термин «модель», «моделирование». Уровень овладения моделированием должен занимать особое и главное место в формировании умения решать задачи. Это не случайно. Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение  и исследование модели, отображающей лишь какую-то грань реальности и потому более простую, чем её реальность.

Текстовая задача – это словесная модель некоторого явления (ситуации процесса) чтобы решить такую задачу, надо перевести её на язык математических действий, т.е. построить её математическую модель.  

Вообще математическая модель – это описание какого-либо реального процесса на языке математических понятий, формул и отношений. Математической моделью текстовой задачи является выражение (либо запись по действиям), если задача решается арифметическим способом.  

В процессе решения задачи чётко выделяют три этапа математического моделирования.

1этап – это перевод условия задачи на математический язык; при этом выделяются необходимые для решения данные и искомые и математическими способами описываются связи между ними.

2этап – внутримодельное решение (т.е. выполнение действий, составление и нахождение значения выражений).

3этап – интерпретация, т.е перевод полученного решения на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача.

В процессе решения текстовой задачи наибольшую сложность представляет перевод текста с естественного языка на математический, т.е. первый этап математического моделирования.

Чтобы облегчить эту процедуру, строят вспомогательные модели-схемы, таблицы и др. Тогда процесс решения задачи можно рассматривать как переход от одной модели к другой: от словесной модели реальной ситуации, представленной в задаче, к вспомогательной (схемы, таблицы, рисунки), от неё – к математической, на которой и происходит решение задачи.

Практика показала, что существует несколько проблем в обучении решению задач младших школьников.

1. Проблема классификации задач начальной школы.

Существующие классификации задач не помогают выявлению их смысла, т. е. классификации типа: “в одно действие, в два действия, простые, сложные, с косвенным вопросом и др.” не помогают детям решать эти задачи.

2. Проблема записи условий задачи.

Краткая запись условия не показывает структурные связи данных задачи, а отображение условия с помощью отрезков требует развитого абстрактного мышления и не воспринимается слабыми детьми. Отсюда возникают трудности в определении путей решения задачи.

3. Проблема проверки правильности решения задачи.

Обычно проверяют не решение задачи, а правильность математических действий в этой задаче, что далеко не одно и то же.

Проверку необходимо производить до начала математических действий, путём проговаривания условия по записанной модели и сличения его с текстом задачи, решить другим способом, составлять и решать обратные задачи.

4. Проблема последовательности действий ученика при решении задач.

Таких правил, памяток, описаний, алгоритмов существует много, но они не работают без решения первых трех проблем.

Общеизвестно, что существует 2 подхода к решению задач: 

• частный подход – знакомство с алгоритмом и доведение его до автоматизма;
• общий подход – заключается в знании, что такое задача, знании этапов решения задачи и умении выполнять эти этапы.

Этапы решения задач.

Таблица № 1.

Анализируя содержание задачи, очень важно научить детей составлять модели задачи.

Модель – это в некотором смысле копия, она может быть упрощена и позволяет лучше, полнее изучать оригинал.

Модель строят на 1-м этапе решения задачи для того, чтобы понять задачу.

Модели бывают 3-х видов:

Вещественные (предметные): - из оригиналов (тетради, карандаши, конфеты…); - из копий, внешне похожих на оригиналы (утята, котята, огурцы…); - из фишек без сохранения сходства с оригиналами. При вещественном моделировании выполняются конкретные действия руками.

Графические модели:

Целый отрезок на схеме обозначает число всех марок, а части отрезка – число марок у Маши, Тани и Кати . По схеме видно, что для нахождения числа марок у Кати надо из всех марок вычесть число марок Маши и Тани.

В задачах, в которых рассматриваются отношения “больше на …”, “меньше на …” схемы имеют другой вид.

    Методы решения задач: арифметический, алгебраический, графический, практический, логический, смешанный, табличный.

Поиск плана решения задач

Существуют 2 вида разбора задач: синтетический (рассуждения надо вести от данных задач к ее вопросу), аналитический (от вопроса задачи - к данным).

При аналитическом способе решения задачи выясняется, что нужно предварительно узнать, чтобы ответить на вопрос задачи. Чтобы помочь детям вести рассуждения аналитическим способом, можно использовать прием, называемый “деревом рассуждений”. Суть его состоит в том, что по ходу рассуждений строится схема, которая помогает увидеть, какие простые задачи следует выделить и каким будет план решения данной составной задачи.

Синтетический способ характеризуется тем, что основным вопросом при поиске решения задачи является вопрос о том, что можно найти по двум или нескольким известным в тексте задачи числовым значениям. По вновь полученным числовым значениям и другим известным в задаче данным вновь ищется ответ на вопрос, что можно узнать по этим значениям. И так до ответа на вопрос составной задачи. Иными словами, суть этого способа состоит в вычленении простой задачи из предложенной составной и решении ее. Для формирования умения вычленять простую задачу из составной целесообразно предлагать детям решать серии (блоки) задач с нарастающей сложностью. Быстрое решение таких задач дает возможность быстрого узнавания простых задач в составе составных.

Таблица № 1

На уроках математики по традиционной программе при решении школьных задач учащиеся применяют для их решения определенные знания, умения и навыки. Их роль заключается в обработке и закреплении конкретных умений и навыков. При этом известная алгоритмизация способов их решения ограничивает творческий поиск учащихся. Учащиеся, постоянно следуя жестко предписанным операциям, привыкают к однотипным действиям, быстро теряют свои наклонности к оригинальным решениям, начинают мыслить и действовать по стандарту как все, что естественно, тормозит их творческую активность.

Творчество – это, прежде всего умение, отказаться от стереотипов мышления, только в этом случае можно создать что-то новое. В этом отношении большие возможности имеются на уроках математики, в частности при решении нестандартных задач.

Нестандартная задача в отличие от традиционной не может быть непосредственно (в той форме, в которой она предъявлена) решена по какому-либо алгоритму. Такие задачи не сковывают ученика жесткими рамками одного решения. Необходим поиск решения, что требует творческой работы мышления и способствующий его развитию. “Задача, которую вы решаете, может быть скромной, но если она бросает вызов вашей любознательности и заставляет вас быть изобретательными, то вы можете испытать ведущее к открытию напряжения ума и насладиться радостью победы”.

Решение нестандартных задач – процесс сложный. При решении таких задач дети встречают трудности. Это объясняется такими причинами: из-за неуверенности в своих возможностях и боязни их трудности, отсутствием необходимого для этого умения и навыков. Только при систематической работе можно достичь желаемого результата, поэтому обучением решению нестандартных задач занимаюсь с первого класса. Занятия проводятся в неделю один раз.

Обязательными при проведении занятий является соблюдение условий безоценочности, принятия, поддержки. Для реализации этих условий нужно восхищаться каждой идеей ребенка, исключается всякая критика личности и деятельность детей, принимаются и выслушиваются все ответы, создается климат взаимного доверия. Использую принципы развивающего обучения: проблемность, диалогичность, индивидуализация.

Занятия проводятся в форме игры, сказки, консультации, матбоя и др. Работают парами, в группах. Учащиеся читают задачу, обсуждают между собой, слушают мнения товарищей, спорят, отстаивают свои мнения, рассуждают, планируют работу. При такой форме работы все активно работают, все хотят выступать, объяснять свои решения.

Данные, полученные за последние годы в области психологии мышления, показывают, что групповые виды работы стимулируют развитие мышления и в частности помогают генерированию творческих идей.

В первом классе при решении простых и сложных математических задач, дети, недолго думая, начинают выполнять какие-либо действия над числами.

Решая нестандартные задачи, дети сами приходят к выводу, что есть задачи, которые не решаются сразу одним действием, что надо анализировать, сравнивать, рассуждать.

Начинаем с таких задач:

1. Решение задач с недостающими данными. “Мальчику купили игрушки: мишку и машину. Машина стоит 25 руб. Сколько стоят вместе?”.

Такие задания способствуют развитию у учащихся нешаблонного анализа.

2. Нерешаемые задачи. Сначала дается задача. “У Кати было 5 кукол, у Светы- 1 кукла. Сколько кукол у девочек?”

А потом предъявляется нерешаемая задача: “У Кати было 5 кукол, у Светы 1 кукла. Сколько кукол у Веры?”

Развивается умение осуществлять анализ новой ситуации.

3. Задания на определение закономерности. “Вставь пропущенное число” 2 5 8 11?

Решение таких задач требует умения самостоятельно осуществлять анализ ситуации и формировать гипотезы преобразования данной ситуации.

4. Задания для формирования умения проводить дедуктивные рассуждения: “Гитара – музыкальный инструмент. У Айсена дома музыкальный инструмент. Значит, у него дома гитара?”. Правильны ли рассуждения или нет. Если нет, то почему?

При решении подобных задач учащиеся должны проводить смекалку, догадаться, что задача вообще не решается или что в задаче есть лишние данные или данных не хватает. Проявлению сообразительности при выполнении подобных заданий способствует формированию такого качества, как гибкость мышления, которая играет важную роль в развитии творческого мышления.

С самого начала при решении нестандартных задач нужно приучить детей изображать отрезками любые объекты, о которых известно, делать таблицы, показать задачи инсценировкой.

5. Моделирование ситуации с помощью чертежа, рисунка.

а) “Вася выше Коли и ниже, чем Сеня. Кто из мальчиков самый длинный?”

При анализе решения таких задач желательно сопроводить сюжет рисунком на доске и в тетрадях.

б) “Петя родился на 3 года раньше Вовы. Сейчас Пете 6 лет. Сколько лет Вове?” Для полной наглядности полезно написать первые 10 чисел и расположить буквы П и В рядом соответствующими числами.

в) “5 мальчиков обменялись рукопожатием и подарили друг другу по одной своей фотографии. Сколько было рукопожатий? Сколько понадобилось фотографий?”

Такие задачи выясняются инсценировкой. Мальчики выходят к доске и пожмут друг другу руки, а ученики считают, сколько было рукопожатий. Потом обмениваются фотографиями. Ученики считают, сколько фотографий подарили.

г) “В клетке сидят цыплята и кролики. Всего у них 10 голов и 24 ноги. Сколько в клетке цыплят и сколько кроликов?”

Эта задача решается рисованием.

- Сколько всего было животных? Рисуйте отрезками без ног.

| | | | | | | | | |

- Прорисуйте по две ноги.

- Сколько ног все нарисовали? (20)

- Сколько осталось нарисовать? (4)

- Сколько кроликов? Сколько цыплят?

При решении нестандартных задач развиваются воображения и фантазия, память и внимание, гибкость мышления, ум ребенка становится острее, формируются умения наблюдать, анализировать явления, проводить сравнения, обобщать факты, делать выводы. Рассуждения учащихся становятся последовательными, доказательными, логичными, а речь - четкой, убедительной, аргументированной.

Решение таких задач расширяет математический кругозор, формирует неординарность мышления, умения применять знания в нестандартных ситуациях, развивает упорство в достижении поставленных целей, прививает интерес к изучению классической математики. Воспитывается любознательность, самостоятельность, активность, инициативность. Все это развивает творческое мышление младших школьников.

     Моделирование как один из методических приёмов обучения решению текстовых задач в начальной школе.

Моделирование как средство научного познания стало развиваться в ХХв., получив признание практически во всех отраслях современной науки: техническом конструировании, строительстве и архитектуре, астрономии и физике, химии и биологии и, наконец, в общественных науках. В настоящее время термин «модель» имеет множество смысловых значений.

Модель определяется нами как некий объект (система), исследование которого служит средством для получения знаний о другом объекте (оригинале). При использовании в школе современных, так называемых, проблемных методов обучения процесс обучения имитирует путь научного познания. Поэтому моделирование в школе может использоваться как прием обучения в разных методических системах. Когда учитель ставит цель наглядно показать учащимся движение тел в противоположном направлении, он использует модель – заместитель реальной ситуации, чертеж отрезка прямой линии, по которой движутся объекты, и направление их движения. В этом случае совершенно очевидно используется аналогия. Когда учитель говорит: «Представим себе (предположим) ...», тогда происходит абстрагирование. При моделировании как способе познания имеются: 1) субъект познания (учащиеся); 2) объект познания (ситуация, отраженная в тексте задачи); 3) модель, опосредствующая отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. Таким образом, поскольку моделирование служит способом, а модель средством познания, учащиеся под руководством учителя пользуются и тем и другим в процессе обучения решению задач. Таким образом, моделирование может успешно применяться как способ алгоритмизации учебной деятельности учащихся в процессе обучения младших школьников решению текстовых задач.

Мы будем рассматривать такие «модели», которые являются инструментами получения новых знаний. Разграничивая моделирование процесса познания и моделирование задачи как таковой, под моделированием процесса познания понимаем построение, изучение и применение моделей в процессе обучения решению текстовых задач. Под моделированием задачи мы понимаем замену действий с обычными предметами действиями с их моделями – уменьшенными образцами, муляжами, макетами, а также с их графическими изображениями: рисунками, схемами, чертежами. С этой целью необходимо производить моделирование содержания текстовой задачи.

Используя моделирование в целях научного познания, следует учитывать, что модели всегда строятся или выбираются человеком для определенной цели, а не даны изначально. Поэтому разные люди, воплощая одну и ту же цель, могут построить разные модели.

Для того чтобы модель была пригодной для указанных целей, она должна обладать соответствующими этим целям признаками. В большинстве случаев модель обладает не одним каким-либо признаком, соответствующим одной из указанных целей, а несколькими, и поэтому она пригодна, как правило, и для других целей. Это значит, что модель-заместитель может быть одновременно и моделью представлением, которая в свою очередь может быть и исследовательской моделью.

Процесс обучающего моделирования изучен Н.Г. Салминой. Она выделяет следующие действия, которые входят в процесс моделирования:

1. Анализ материала (текста), подлежащего моделированию: выделение смысловых частей – системы элементов и их отношений, которые подлежат изображению с помощью знаково-символических средств.

 2. «Перевод» на язык знаков и символов. Особое внимание обращается на принцип взаимно-однозначного соответствия между выделенными элементами материала и элементами модели. Без этого модель не будет давать правильного представления об изучаемом явлении.

 3. Учащиеся должны уметь одинаковые отношения и элементы обозначать одинаковыми символами и знаками, а разные элементы и отношения – разными. (Разумеется, это требование соблюдается в пределах построения какой-либо одной модели, то есть в условиях решения одной задачи).

 4. Действие преобразования модели. Это действие позволяет учащимся перегруппировать элементы и т.д.

5. Соотнесение полученной модели с реальностью (с тем, что моделировалось). Это действие позволяет получить новую информацию о моделируемом объекте, глубже проникнуть в его суть. Именно эти действия являются целью моделирования.

Результаты теоретических и экспериментальных исследований (Л.И. Айддарова, Л.А. Вангер, Г.А. Глотова, Н.Г. Салмина, Н.Ф. Талызина, Л.М. Фридман, Д.Ю. Эльконин и Н.Б. Истомина др.) позволяют утверждать, что назрела необходимость использования способа моделирования в изложении содержания учебных дисциплин и, следовательно, необходимость ознакомления учителей школ с современной научной трактовкой понятий моделирования как способа научного познания и как метода обучения.

Моделирование можно рассматривать как особую деятельность по построению (выбору или конструированию) моделей для указанных целей. И, как всякая деятельность, она имеет внешнее практическое содержание и внутреннюю психическую жизнь. Следовательно, моделирование как психическая деятельность может включаться в качестве компонента в такие психические процессы как восприятие, представление, память, воображение, и, конечно, мышление школьников в процессе обучения решению текстовых задач.

Рассмотрение моделей и процесса моделирования дает основание утверждать, что общим свойством всех моделей является их способность так или иначе, отображать действительность.

Возможности применения моделирования в обучении определяются уровнем и степенью подготовленности учащихся к восприятию материала.

Когда учитель начальной школы хочет наглядно показать учащимся способ решения задач на деление на равные части и на деление по содержанию, то под руководством учителя с помощью практических действий с совокупностью предметов (тетрадей, ручек, карандашей и т.д.) выполняются задания типа: а) разложите 6 квадратов в два ряда поровну. Сколько квадратов в каждом ряду? б) 6 квадратов разложите в ряды по 3 квадрата в каждом. Сколько рядов получилось? и др.

Моделирование используется для интерпретации действий с объектами, чтобы сделать представление об использовании этих объектов более доступным. Например, чтобы учащиеся могли пользоваться алгоритмом деления двузначного числа на однозначное, словесное правило заменяется их знаковой моделью:

76 : 4 = (40 + 36):4 = 40 : 4 + 36 : 4 = 10 + 9 = 19, а чтобы создать представление о правилах деления суммы на число, используется знаковая модель типа: (30 + 6) : 3 = 30 : 3 + 6 : 3 = 10 + 2 = 12.

Итак, моделирование в обучении математике служит методическим приемом, а именно приемом формирования у учащихся математических понятий и привития им навыков математических действий. В методике обучения математике изображение моделей используется как внешние опоры организации мыслительной деятельности.

Моделирование в современных условиях работы учителя начальных классов является наиболее эффективным и развивающим типом обучения. Моделирование в обучении математике формирует и развивает научно-теоретический тип мышления. Необходимость формирования именно такого типа мышления обусловлена сменой этапа научно-технической революции, информационным пространством, теми задачами, которые в настоящее время решает современная система образования.

В начальном курсе математики учащиеся изучают некоторые знаково-символические модели, оформленные математическим языком в виде: уравнений, геометрических фигур, записей решения текстовых задач, представления записи решения задачи в виде числового выражения и т.п. Нужно ли, чтобы учащиеся знали модельный характер изучаемых математических явлений? Что изменится от того, что они узнают, например, что запись уравнения, выражения или запись решения задачи есть математическая модель текстовых отношений? Изменится то, что учащиеся узнают, что слово «модель» отражает оформленные математическим языком связи и отношения между явлениями реального мира, а также их количественные характеристики. Учащиеся узнают, что текстовая задача – это описание на естественном языке ситуации, отраженной в задаче , что для решения задачи математическими средствами надо построить ее математическую модель. Например, в ходе решения задачи «Теплоход, двигаясь со скоростью 30 км в час, прошел путь от одной пристани к другой за 4 часа. На обратном пути он прошел то же расстояние за 5 часов. С какой скоростью шел теплоход обратно?», можно использовать графическую модель (см. рис. 1), которая приведет к следующему решению задачи:

1. 30 • 4 = 120 (км) – расстояние между двумя пристанями.

2. 120 : 5 = 24 (км/ч) – скорость теплохода на обратном пути.

                                                                                                    Рисунок 1.

Сравним иную графическую иллюстрацию (см. рис. 2) этой задачи:

                                                                                                      Рисунок 2.

Рассматривая графическое изображение модели, учащиеся убеждаются в равенстве длины отрезка АВ (см. рис. 1) и длины отрезка АВ? (см. рис. 2), лежащем в основе составления ими уравнения: х • 5 = 30 • 4. В этой ситуации графическое изображение модели служит знаком, направляющим внутреннюю мыслительную деятельность учащихся и оправдывающим ход их рассуждения.

Рассмотрим задачу на движение, решение которой в зависимости от варианта моделирования приводит к осознанию свойства умножения суммы на число: «Две лодки одновременно отошли от двух пристаней, двигаясь навстречу друг другу. Они встретились через 4 ч. Одна лодка проходила в час 15 км, другая – 10 км. Найдите расстояние между пристанями».

                                                                                                            Рисунок 3.

Выполненная иллюстрация (см. рис. 3) приводит к следующему способу решения задачи: 15 х 4 + 10 х 4 = 60 + 40 = 100 (км).

Представленное ниже графическое изображение модели той же задачи  (см. рис. 4) показывает преодоление длины пути между пристанями в течение каждого часа их совместного движения. Длина этого пути равна сумме            (15 + 10) км.

                                                                                                           Рисунок 4.

Такой вариант схематического изображения модели задачи приводит к другому способу решения: (15+10) • 4 = 100 (км).

Таким образом, различные способы моделирования одной и той же задачи, представленного в соответствующем графическом изображении, дают учащимся возможность найти все возможные способы ее решения и выбрать наиболее рациональный из них.

Итак, моделирование в обучении математике служит методическим приемом, а именно приемом формирования у учащихся математических понятий и привития им навыков математических действий, а также использования моделей как внешних опор для организации мыслительной деятельности.