формирование у младших школьников умения решать комбинаторные задачи
методическая разработка по математике по теме

     Муниципальное образовательное учреждение

«Общеобразовательная Сельменьгская  средняя школа»

ФОРМИРОВАНИЕ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

УМЕНИЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ КОМБИНАТОРНОГО ХАРАКТЕРА

Из опыта работы учителя начальных классов

Коржавиной  Жанны Анатольевны

                                                  Сельменьга  2012

ФОРМИРОВАНИЕ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ УМЕНИЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ КОМБИНАТОРНОГО ХАРАКТЕРА

           Математику любят в основном те ученики, которые  умеют решать задачи. Научив детей владеть умением решать задачи, мы окажем существенное влияние на их интерес к предмету, на развитие мышления и речи.

     В последнее время всё настойчивее звучит требование усилить развивающие возможности начального курса математики. В традиционной  системе эту проблему пытались решить включением от случая к случаю заданий нестандартного характера. В качестве такого материала  выступает использование  элементов комбинаторики.       Задачи комбинаторного характера  по - прежнему классифицируются, как задачи повышенной трудности, они не связаны с усвоением основных вопросов курса и не согласованы с логикой построения его содержания. В связи с этим комбинаторные задачи включаются в учебный процесс эпизодически, бессистемно, что в значительной мере снижает их развивающие и дидактические возможности.  Надо  отметить,  что  раздел  «Комбинаторика. Статистика. Теория вероятности» включен в  содержание основного  и среднего (полного) общего образования.    С  2011 года задания из данной темы  включены  в    экзамен   по математике  ГИА (новая форма) в  9  классе, в 2012 году  в КИМ  ЕГЭ  по математике  в  11  классе  добавлено в часть 1  одно задание по вероятности, статистике  и анализу  данных. Комбинаторные  задачи    входят  в  задания математических  олимпиад и  оцениваются наибольшим количеством  баллов.

 Возникает необходимость  включение задач комбинаторного характера в процесс обучения в  определённой  системе и с постепенным  нарастанием  сложности, предоставление  учащимся  максимальной самостоятельности в поиске  способов  решения задачи.

  Таким образом,  комбинаторные задачи в развивающем курсе начальной математики возможно и целесообразно использовать как средство усвоения программного содержания, не перегружая учащихся дополнительной информацией, связанной с введением в содержание курса основных понятий.

  В начальной школе задания комбинаторного характера представлены в виде элементов комбинаторики, теории графов, элементов теории вероятностей и наглядной и описательной статистики. Те или иные материалы по этой тематике давно уже присутствуют в учебниках математики. Так,  в УМК «Школа России» автор учебника Математики М.И.Моро  встречаются задания комбинаторного характера:

1. Сколько раз среди чисел от 1 до 100 встречается цифра 0? Цифра 1?
2. Записали подряд все трёхзначные числа. Сколько всего цифр записано в этом ряду?
3. Чтобы открыть сейф, нужно отгадать код. Известно, что код – трёхзначное число, записанное тремя из цифр 1, 2, 3, 4, и это число больше, чем 400. Сколько чисел нужно проверить, чтобы определить код?
4. В соревнованиях участвуют 8 футбольных команд. По правилам после каждой игры проигравшая команда выбывает. На который по счёту день определиться чемпион?
5. Саша выше Коли, но ниже Пети, а  Петя ниже Толи. Кто выше всех?

    Учителя  их идентифицировали как нестандартные задачи, поэтому могли по своему усмотрению включать либо не включать их в урок.    Теперь ситуация изменилась. Так, в Федеральном государственном образовательном стандарте начального общего образования к предметным результатам освоения основной образовательной программы НОО по математике названо умение действовать в соответствии с  алгоритмами, строить простейшие алгоритмы, исследовать, работать с таблицами, схемами, графиками, диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать  данные, т.е. решать простейшие комбинаторные задачи. Новое содержание, требование к уровню подготовки учащихся предполагают более тщательное осмысление методики преподавания этих разделов математики. Это обусловлено требованиями времени, наличием большого числа вероятностных ситуаций в жизни, проблем выбора, оценки степени шансов на успех, интересами учащихся.

     Основная функция комбинаторных задач в начальных классах     - создать условия для формирования у учащихся приёмов умственной деятельности (анализ и синтез,   абстрагирование), для развития произвольного внимания и образного мышления и для усвоения тех вопросов, которые входят в содержание программы. Для  реализации  этих  условий  я  провожу  факультатив «Комбинаторные  задачи».

      На  факультативных занятиях  я знакомлю  учащихся с наиболее часто встречающимися методами перебора, показываю, что перебор должен быть логически упорядочен по какому – либо признаку (условию) ,  пусть даже по самому простому: по возрастанию, по алфавиту, слева направо или справа налево, сверху вниз или снизу вверх и т.д.

Рассмотрим  типы  задач каждого  раздела и  их решение.

         Вероятность. Формирование таких понятий, как «наверняка», «ни в коем случае», «возможно да, возможно нет». Качественная оценка шансов наступления того или иного события. В начальной школе в игровой ситуации целесообразно начинать учить детей различать такие понятия, как «возможно да» или « обязательно да» (наверняка), «не обязательно да» или «обязательно нет».

Шарики в мешочке

 Можно научить детей качественно оценивать шансы наступления случайного события. Фактически в примерах, используемых для формирования этих понятий, речь идёт о применении классической вероятности. Но прийти к сознательному применению формулы классической вероятности младшие школьники смогут после продолжительного экспериментирования с пуговицами, шарами, бусинками и т.п. Спустя некоторое время учащиеся начальной школы смогут решать подобные задачи, не прибегая к эксперименту.

Статистика. 

 Фактически с проведения экспериментов начинается изучение статистики.  Целью изучения элементов статистики в начальной школе является формирование умений проводить несложные опросы, наблюдения с целью сбора (получения) количественной информации и её оформления в виде таблиц.

В качестве примера второклассникам предлагаю задание:«Узнай у своих одноклассников (у учащихся начальной школы), какой вид спорта им нравится больше всего, и заполни таблицу (каждый может назвать только один вид спорта).

- Расскажи, какой вид спорта нравится твоим одноклассникам больше всего; меньше всего.

   Целесообразно задать вопрос: «Можно ли по этой таблице судить, какой вид спорта самый популярный в школе?» Выясняется, что об этом по данной выборке бесспорного ответа дать нельзя. Полученных сведений для ответа на этот вопрос недостаточно. Таким образом, в сознании учащихся внедряется идея о том, что вывод, сделанный на основе опыта должен соответствовать выборке.

Комбинаторика. 

В начальной школе комбинаторные задачи решаются перебором возможных вариантов, осуществляемых путём предметной деятельности с конкретными вещами. Первые комбинаторные задачи должны давать возможность выполнять практические действия, которые потом будут перенесены в план умственных действий. С этой целью я предлагала первоклассникам  задания в виде игр.       Игра «День и ночь». 

     Учитель вызывает трёх учеников Наташу, Серёжу, Борю. Они садятся у доски на стулья. По команде «День!» ребята встают и могут передвигаться. По команде « Ночь!» они садятся на стулья, но так, чтобы каждый раз порядок расположения был другой. Все остальные дети записывают в тетради расположение  вызванных учеников по первым буквам имён и следят за тем, чтобы играющие выполняли поставленное условие. Игра продолжается до тех пор, пока не обнаружатся все возможные варианты. Их шесть:

1. Н.С.Б.
2. С.Н.Б.
3. Б.Н.С.
4. Н.Б.С.
5. С.Б.Н.
6. Б.С.Н.

В процессе игры возникают ситуации, когда играющие повторяют расположение или не могут найти новое. Тогда им помогают ребята класса. Возникают вопросы: « Можно ли играть без ошибок? Как нужно действовать для этого?»

     В процессе осуществления игровой деятельности ученики осознают необходимость введения правила, которого надо придерживаться в игре. Анализируя полученные расположения, они замечают, что нужно каждому садиться на первое место дважды, а двум остальным при этом меняться местами.

       Игра «Башенки».  Я кладу в коробку три кубика: красного, синего и жёлтого цветов. Буду брать, не глядя, по одному кубику и составлять башенки следующим образом: первый кубик – нижний ряд, второй кубик – средний, третий – верхний. Задумайте вариант башенки, которая может получиться и нарисуйте его, изображая кубики квадратиками соответствующего цвета. Затем проводится опыт (кубики вынимаются из коробки). Тот, кто угадал результат опыта, становится победителем.

      Итак, одно из направлений – это задачи – игры, другое – задачи, показывающие некоторые доступные детям аспекты применения комбинаторики в повседневной деятельности человека.

      Предлагаю следующую задачу комбинаторного характера: «Малярам нужно покрасить 6 дачных домиков для малышей детского сада (красят крышу, стены и дверь). У них есть синяя, голубая и белая краски. Могут ли маляры покрасить все дома по – разному, чтобы малыши по цвету узнавали свой дом?» Учащимся предлагается нарисовать 6 домиков, взять цветные карандаши и показать, как нужно выполнить работу малярам.  

        Младшие школьники решают комбинаторные задачи методом, используя приём перебора (хаотичного или системного). Предлагаю учащимся такую задачу:

1. Задача на упорядочение предметов (по кругу), среди которых есть

одинаковые: «Нарисуй, какие различные колечки можно сделать из 5 одинаковых маленьких бусинок и 2 одинаковых больших бусинок».

 Ответ:

2.Задача на выбор по одному, по два из трёх элементов с повторениями:

« Сделай карточки для игры в геометрическое домино, используя 3 фигуры: круг, квадрат и треугольник».

Ответ:

         В процессе решения таких задач учащиеся приобретают опыт хаотичного перебора возможных вариантов. И на основе этого опыта в дальнейшем можно будет обучать детей организации систематического перебора.

     На следующем этапе формирования умения решать комбинаторные задачи происходит переход от предметных действий к использованию схематизации. Накопленный на предыдущем этапе практический опыт дети обобщают, переходя к  более рациональным средствам организации перебора: таблицам и графам. Это позволяет учащимся более чётко строить ход своих рассуждений, учитывать все возможные ситуации перебора.   Таблицы и графы позволяют расчленить ход рассуждений, чётко провести перебор, не упустив каких – либо имеющихся возможностей.          

        Учащимся была предложена такая задача: «Встретились пятеро друзей. Здороваясь, они пожали друг другу руки. Сколько всего рукопожатий было сделано?» Сначала выясняется, как можно обозначить каждого человека. Рассматривая разные предложения, дети приходят к выводу, что удобнее изображать людей точками. Учитель советует расположить точки по кругу. Дети придумывают, как показать, что два человека пожали друг другу руки.

       От двух точек навстречу друг другу проводятся чёрточки – «руки», которые, встречаясь, образуют одну линию. Так происходит переход к символическому изображению рукопожатия. Сначала составляются все рукопожатия одного человека (точка соединяется со всеми остальными) Потом переходят к другому человеку. И так действуют до тех пор, пока все не «поздороваются» друг с другом. По получившемуся графу подсчитывается число рукопожатий (их всего 10).

      Для решения комбинаторных задач  я познакомила детей с граф – деревом.  Граф – дерево можно использовать в процессе решения такой задачи:

« Сколько трёхзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 4? Запишите все такие числа».

     При выполнении этого задания учащиеся осуществляли хаотичный перебор возможных вариантов и, запутавшись, не смогли найти все возможные варианты решения задачи. Тогда детям был предложен следующий вид интерпретации – граф. Для данной задачи он  имел следующий вид:

   Запись любого трёхзначного числа состоит их трёх цифр: цифры сотен, цифры десятков и цифры единиц. Сначала  записали, т.е. выбрали цифру сотен – для этого есть три варианта: 2, 7 или 4. Поэтому из верхней точки провели три отрезка и на их концах поставили цифры 2, 7 и 4.

   Затем  записали (выбрали) цифру десятков, для этого есть те же три

варианта: 2, 7, 4, поскольку цифры в записи числа могут повторяться. Поэтому от каждой из цифр 2, 7 и 4 провели по три отрезка, на концах которых стоят цифры 2, 7, 4.  Осталось записать (выбрать) цифру единиц, а для этого также есть три варианта: 2, 7, 4. Провели от каждой из цифр 2, 7, 4 по три отрезка, на концах которых опять поставили цифры 2, 7, 4.  Чтобы прочитать полученные варианты,  прошли по всем рёбрам построенного графа сверху вниз: 222, 227, 224, 272, 277, 274, 242, 247 и т.д.

     Данная работа очень увлекла учащихся, и они составляли задачи самостоятельно и выполняли в группах аналогичные задания.

   С целью формирования умения изображать схематическую модель к задаче, было предложено  задание следующего содержания:

    «Распределите 24 человека так, чтобы получилось 6 рядов, по 5 человек в каждом».

    После анализа текста задачи дети пытались задачу решать. Сначала они  24 делили на 6 и получали 4, но никак не 5. Затем по 5 брали 6 раз и получали 30, но не 24. Тогда дети пришли к выводу, что эту задачу решить нельзя.  В процессе обсуждения было выявлено, что речь в задаче идёт вовсе не о числах, а о комбинации, определяющий признак которой в том, что состоит она из 24 элементов, из которых можно построить 6 рядов, по 5 элементов в каждом. В ходе обсуждения учащимися под руководством учителя была составлена следующая модель, которая и явилась решением задачи.

 Рассмотрим  задачу,  варианты  решений которой можно оформить в таблицу.  

 « Катя хочет надеть на куклу блузку и юбку. Сколько костюмов она

может составить?»

Детям было предложено решение задачи проиллюстрировать с помощью таблицы:

     После составления таблицы учащиеся смогли сосчитать получившиеся варианты решения: их 6.

      С целью формирования умения доказывать существование или отсутствие комбинаций элементов с заданными свойствами нами было предложено учащимся следующее задание:

«Можно ли построить магический квадрат, состоящий из девяти клеток с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,9, 10?»

    Задание было предложено для самостоятельной работы. Наблюдая за действиями учащихся, было обнаружено, что дети начали строить квадрат и стихийно подбирать числа. На вопрос учителя, как они заполняют клетки квадрата, дети затруднились обосновать свои действия.

При анализе текста задачи учитель обратил внимание детей на формулировку вопроса: «Можно ли ..?»

- О чём говорит такая формулировка? (о том, что заранее неизвестно, существует ли такой магический квадрат).

В ходе коллективного обсуждения дети последовательно отвечали на следующие вопросы:

- Чему равна сумма всех указанных чисел? (47).

- Чему должна быть равна сумма в каждом столбце ( а их 3), в каждой строке (их тоже 3), по каждой диагонали (их2)? (47 делится на 3 только с остатком:

47 : 3 = 15 (ост.2), т.е. нельзя получить в трёх столбцах одинаковые суммы, если общая сумма чисел в трёх столбцах равна 47).

     Таким образом, учащиеся пришли к выводу, что построить магический квадрат, состоящий из девяти клеток с числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, нельзя.

                 Методика обучения решению комбинаторных задач строится с учётом психологических особенностей детей младшего школьного возраста и направлена на развитие мышления. Способы действия не даются «в готовом виде», а дети сами приходят к их «открытию», накапливая опыт. Рассмотрение разнообразных комбинаторных задач и различных возможностей их решения (разный ход рассуждений, средства организации перебора, способы обозначения объектов) обеспечивает ученику выбор путей и средств решения в соответствии с его индивидуальными способностями