Мастер-класс " Комбинаторные задачи и способы их решения"
материал по математике по теме

Мастер-класс

«Комбинаторные задачи и способы их решения»

Проблема, над которой я работала в последние годы,  в составе творческой группы, это «Комбинаторные задачи и способы их решения». Слайд 2            

Учитывая возрастные особенности младших школьников, комбинаторные задачи решаются бесформульным методом на основе рассуждений учащихся, составлением графов, размещением, таблиц, дерева решений.

Сегодня я попытаюсь показать, как можно решать комбинаторные задачи, имея минимум знаний по комбинаторике. Слайд 3

Что же такое комбинаторика?

Комбинаторика - это раздел  математики,  в котором    исследуются и

решаются задачи выбора элементов из   исходного множества и расположения   их   в некоторой комбинации, составляемой    по    заданным правилам. Слайд 4  

Предлагаю вам следующую задачу, которая часто встречается в курсе математики начальной школы.

Из цифр 1,2,3,4,5,6 составить все возможные трехзначные числа.

Скажите, пожалуйста,  расположение цифр в записи числа будет играть  роль? Слайд 5

 При такой постановке вопроса мы должны рассмотреть случаи:

1) когда цифры в записи числа повторяются

2) когда цифры в записи числа не повторяются. Слайд  6

Рассмотрим первый случай, когда цифры повторяются.

Отметим место каждой цифры звездочкой. Сколько цифр претендует на первое место? На второе место? На третье?

6 х 6 х 6 =216         Слайд 7          

Рассмотрим второй случай, когда цифры не повторяются.    Слайд 8          

Отметим место каждой цифры звездочкой. Сколько цифр претендует на первое место? На второе место? На третье?

        6 х 5 х 4 =120      

Используя это условие задачи можно составить большое количество задач, изменяя формулировку вопроса: например составьте четное количество трехзначных чисел,  кратных 5, так чтобы цифры в записи числа не повторялись

        Таким образом, не меняя условия задачи, мы можем составлять большое количество задач с учетом того материала, который изучается на уроке.

 Такой вид комбинаторной задачи называется размещением.

        Следующим способом решение комбинаторных задач  бесформульным методом является таблица. Предлагаю решить следующую задачу.

   Для начинки пирогов бабушка решила смешать два продукта. Сколько различных пирогов может испечь бабушка, если для начинки у нее есть картофель, грибы,  яблоки, мясо.   Слайд 9        

Составим таблицу по строкам и столбцам распределим наши продукты. Теперь я прошу вас, не задумываясь о совместимости продуктов заполнить нашу таблицу. Слайд 10    

Рассмотрим получившуюся таблицу. Обратите внимание на диагональ. Слайд 11  

Здесь произошло объединение двух одинаковых продуктов. Что вы предлагаете? (Использовать можно, но конечный продукт не будет достигнут.)  Слайд 12  

Исключаем диагональ. Слайд 13  

Рассмотрим сочетание продуктов выше и ниже диагонали. Что вы можете сказать? (одинаковое сочетание)

Слайд 14  Исключим либо верхнюю, либо нижнюю часть.

Сколько вариантов решений осталось 6. С математической точки зрения 6 вариантов являются решением, а если опираться на жизненный опыт, то понятно не все начинки могут быть использованы для пирога. Говорят о вкусах не спорят!

Когда нам необходимо составить комбинацию, в которой более двух элементов удобно пользоваться древом решений.

         Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд (одного первого, одного второго, одного третьего) В меню имеется два первых блюда – щи, борщ, три вторых – рыба, гуляш, плов два третьих – компот, чай.   Слайд 15  

Сколько всего вариантов у вас получилось? (12)

Как вы посчитали?

Слайд 16,  17, 18.

Итак, предлагаю решить следующую задачу:

« 5 финалистов конкурса «Учитель года», решили обменяться впечатлениями о конкурсе и позвонили между собой. Сколько звонков будет сделано?»   Слайд 19  - 26

Убедимся в истинности ваших суждений.

 Сколько звонков сделает 1 финалист?

Сколько звонков сделает 2 финалист?

Сколько звонков сделает 3 финалист?

Сколько звонков сделает 4 финалист?

Сколько звонков сделает 5 финалист?

Сколько звонков будет сделано?

Таким образом, решение непростой задачи свелось к тому, что появилась картинка, называемая графом и для того, чтобы ее решать достаточно пересчитать ребра графов.

Эту задачу можно решать и аналитическим способом. Давайте рассуждать

1 сделает 4 звонка

2 – 3 звонка,

3 -2 звонка, 4 – 1 звонок

        4+3+2+1= 10

А теперь сделаем итог:  на сколько, вы,  имея минимум знаний по комбинаторике, научились их решать:        

        Решите следующую задачу. Сколько существует вариантов размещения 5 финалистов конкурса «Учитель года» на три призовых. Слайд  27      

 (цифры в записи числа не повторяются)

 5х4х3х2х1=120   Слайд  28      

В начальном курсе математики рассматриваются только четыре вида комбинаций:

Размещение с повторением

                  Размещение баз повторения

                  Сочетание

                  Перестановка                      Слайд  29        

Ни один из перечисленных видов не обременен формулой подсчета вариантов. Любую комбинаторную задачу можно решить путем рассуждений, что я вам  предложила.

Умение составлять комбинации по определенным признакам, классифицировать их лежит в основе разнообразнейших сфер человеческой деятельности. Поэтому вариативность – качество необходимое людям разных специальностей: учителю, составляющему расписание, конструктору программу, биологу ит.д. Вариативность играет важную роль в творчестве.

Я хочу закончить свое выступление словами Анри  Пуанкаре

знаменитого французского математика, философа:

 «Творчество, конечно, состоит не в том, чтобы составить бесконечные комбинации, а в том, чтобы создавать полезные, а таких не особенно много. Творить – это значит различать, выбирать» Слайд 30