1. Введение

      В начале  урока математики, после прохождения темы «Подобные треугольники», наша учительница Алсу Наилевна задала вопрос «Как измерить высоту предмета, до вершины которого нельзя добраться? В своей профессиональной деятельности строители, архитекторы, лесоводы, военные для определения высоты объекта используют специальные сложные и дорогостоящие приборы – высотомеры. А как определить высоту столба или дерева без высотомера? Ведь такое умение нужно многим людям, находящимся в лесу: туристам, охотникам, лесникам. Как для этого можно использовать свойства подобных треугольников?  Сегодня мы с вами научимся определять высоту без высотомера. Объектом измерений станет ель, которая растет на территории школы как раз перед окнами нашего класса». Мы вышли на улицу и  попытались определить высоту с помощью астролябии. Так же она заметила, что способов измерений очень много, их можно проводить и без таких приборов как астролябия, подручными средствами. Один из способов, с помощью специального шеста, предложен в нашем  учебнике «Геометрии 7-9». Мы заинтересовались, стали искать в книгах и в интернете различные способы измерений. С помощью каких подручных инструментов это можно сделать? Можно ли это сделать в лесу, без какого либо измерительного инструмента? Результат поисков и измерений мы изложили в нашей работе.

2. Основная часть

     Цель работы – определить высоту дерева, не срубая его и не влезая на него, разными способами, без специальных приборов.

Задачи:

1. Рассмотреть различные способы определения высоты выбранного дерева;

2. Провести соответствующие измерения и вычисления;

3. Произвести оценку метода, выявить положительные и отрицательные стороны, трудности в использовании этого метода, оценить точность

4. Оформить результаты в виде инструкций.

     Источниками наших методов явились литература и сайты Интернет научно-популярного характера, некоторые способы измерения мы придумали сами. Результатом наших поисков стали следующие способы 1)        статическая оценка;

2)        воздушный шарик;

3)      сравнение с предметом известной длины;

4)        фотография;

5)        тень;

6)        зеркало;

7)        лужа;

8)      треугольник с углом 45 градусов;

9)      самодельный  простейший прибор – “высотомер”

10)        карандаш;

11)    измерение высоты дерева при помощи шеста (1 вариант);

12)     высотомер из двух планок;

13)    способ использования углов;

14)     измерение высоты дерева с помощью углов  не приближаясь к нему;

15)      Высотомер лесоводов;

16)      Измерение высоты дерева при помощи шеста ( 2 вариант).

Для удобства метод исследования и наш результат, полученный этим способом, предлагаем вместе.

1. Статическая оценка

     Суть: предложить как можно большему числу людей оценить высоту дерева на глаз, установив рядом с деревом вертикально метровую линейку. Рассчитать Н как среднее арифметическое полученных данных.     В ходе эксперимента 13 человек из 8 класса определили высоту дерева на глаз.

Оборудование: метровая линейка.

Ход работы:

1. установить метровую линейку рядом с деревом вертикально;
2. предложить человеку определить высоту дерева на глаз;
3. записать полученное значение в таблицу;
4. для получения среднего значения сумму измерений, разделить на количество измерений.

Результат:

Высота - 9,56 м

Наша оценка метода:

По нашему мнению, этот метод самый ненадежный, но простой, нужна лишь метровая линейка, не требует никаких сложных вычислений.

2. Воздушный шарик

Суть: сравнить высоту дерева с длиной подходящей нити.

Оборудование: воздушный шарик, наполненный  гелием; длинная легкая веревочка (нить); рулетка.

Ход работы: 

1. привязать к шарику длинную нитку и вытравливать  ее постепенно до тех пор, пока шарик не поднимется до верхушки дерева;
2. сделать на нитке отметку (например, узелок);
3. вернуть шарик, измерить длину выпущенной части  нитки.

Результат: 10,8 м

Наша оценка метода:

Метод достаточно точный. Главная трудность этого метода - нужна безветренная погода, так как при малейшем ветре шар летит не прямо вверх, а в сторону. Нам пришлось повторять этот эксперимент в течении 3 дней.

3. Сравнение с предметом известной длины

     Суть: сравнить высоту дерева с длиной объекта известной длины

Оборудование: метод не требует никакого оборудования, но необходимо, чтобы рядом находился объекта известной длины

Ход работы: прикинули длину нашей ели путем сравнения со столбом линии электропередачи. Высоту столба выяснили у местных электриков, она равна 10 метрам от поверхности земли. Наша елка примерно на 1 м выше столба. (Высоту столбов можно найти в Интернете.  Высота столба зависит от шифра опоры и стойки).

Результат: 11 м

Наша оценка метода:

Метод достаточно точный. Главная трудность этого метода – найти предмет известной длины. Нам повезло, что рядом с елкой оказался столб.

4. Фотография

     Суть: высота дерева во столько раз больше высоты человека (линейки), во сколько раз длина изображения дерева на фотографии больше длины изображения человека (линейки). 

Оборудование: фотоаппарат, линейка

или товарищ для фотографирования.

Ход работы: 

1. рядом с деревом поставить товарища или

вертикально метровую линейку;

2. сфотографировать, убедившись предваритель-

но, что фотоаппарат установлен так, что пленка находится в вертикальной плоскости;

3. определить высоту дерева H по готовой фотографии по формуле:

Н = L/l, где L и l – размеры соответственно дерева и линейки на фотографии, h = 1.

4. То же самое, используя в качестве линейки человека известного роста (себя, например). Тогда формула будет иметь вид:

H = h*L/l, где h и l – размеры соответственно дерева и «линейки» на фотографии, L – истинные размеры «линейки» (рост товарища или твой).

Результат: h=0,014 м, l=0,085 м, L=1,57 м, H= 9,53м

Наша оценка метода:

Для этого метода нужен фотоаппарат, принтер для получения фотографии, товарищ для фотографирования или метровая линейка. Для получения точного результата все измерения должны быть выполнены очень  точно.

5. Тень

     Суть: это самый легкий и самый древний способ, с помощью которого греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался ее тенью. Мы поступили точно так же. Измерили свой рост, длину своей тени и длину тени дерева. Высота дерева во столько же раз больше роста человека, во сколько раз тень дерева больше тени человека. Т.к. дерево и человек расположены перпендикулярно Земле, т.е. под углом 90 градусов, а лучи солнца падают на землю под одинаковыми углами, то образуются подобные треугольники, стороны которых пропорциональны.

Рабочая формула: H = h* L / l

Здесь L – длина тени дерева, l – длина тени человека,

h – высота человека.

Оборудование и ход работы – ясны из рисунка.

Результат: h=1,57 м, l=4,2 м, L=26,8 м, H= 10 м

Наша оценка метода:

Метод достаточно надежный, но нужна солнечная погода,  измерения нужно проводить одновременно, т.к. солнце не стоит на месте, и длина тени изменяется.

6. Зеркало

Суть: способ основан на законе отражения света.

Угол ACB равен углу ECD. Следовательно, треугольник ACB подобен

треугольнику ECD, и их стороны пропорциональны. Следовательно, верна основная формула.

Рабочая формула: H = h* L/l

Оборудование: плоское зеркало, рулетка.

Ход работы:

1) положить зеркало на землю;

2) найти такое положение, чтобы видеть в зеркале отражение верхушки дерева;

3) измерить расстояния l, L и h;

Результат: h=1,47 м, l=1,30 м, L=8,4 м, H= 9,5 м

Наша оценка метода:

 Метод достаточно надежный, но нужны зеркало и рулетка.  

7. Лужа

        Измерение с помощью лужи  является альтернативным вариантом измерения с помощью зеркала. Этот способ, описанный на сайте «Питерский охотник», можно удачно применять после дождя, когда на земле появляется много лужиц. Измерение производят таким образом: находят невдалеке от измеряемого предмета лужицу и становятся около нее так, чтобы она помещалась между вами и предметом. После этого находят точку, из которой видна отраженная в воде вершинка предмета. Измеряемый предмет, например дерево, будет во столько раз выше вас, во сколько расстояние от него до лужицы больше, чем расстояние от лужицы до вас.

Наша оценка метода: Метод достаточно надежный, но его можно проводить только летом и только после дождя.

8. Треугольник с углом 45 градусов

     Суть: построение равнобедренного прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является дерево. h- рост человека до уровня глаз

Рабочая формула: АС=ВС, H = АС+ h

Здесь АС и ВС - стороны прямоугольного треугольника с углом 45 градусов. Т.к. они равны, то H = АС+ h

Оборудование: любой прямоугольный треугольник (бумажный, пластмассовый, деревянный) с углом 45 градусов, то есть равнобедренный.

Ход работы:

1) держа треугольник вертикально, отойти от дерева на такое расстояние, при

котором, глядя вдоль гипотенузы, увидеть верхушку дерева. Высота дерева от уровня глаз до верхушки равна расстоянию от дерева до человека;

2) измерить расстояние от места измерения до дерева;

3) прибавить к полученному числу свой рост (до уровня глаз).

Результат: АС = 8,2 м; h =1,47 м    H = 8,2 + 1,47 = 9,67 м

Наша оценка метода:

 Метод достаточно надежный. Оборудование простое, не требует вычислений.

9. Самодельный  простейший прибор – “высотомер”

      Измерение с помощью самодельного прибора – “высотомера” является вариантом измерения с помощью треугольника с углом 45 градусов. Нужны любая дощечка (можно использовать кору дерева, если у неё есть плоская сторона) и 3 булавки. На этой дощечке намечают три точки – вершины равнобедренного прямоугольного треугольника, и в них втыкают булавки. Если под рукой нет чертёжной линейки, для построения прямого угла, и нет циркуля, для отложения равных сторон, можно воспользоваться листом бумаги: перегните лист бумаги, затем поперёк первого сгиба ещё раз так, чтобы обе части первого сгиба совпали – получился прямой угол. С помощью этого же листа можно отмерить равные расстояния.

Результат: АС = 9,4  м; h =1,47 м    H = 9,4 + 1,47 = 10,87 м

Наша оценка метода:

Метод достаточно надежный. Не требует оборудования, не требует вычислений. Можно использовать в лесу. Если нет рулетки, то расстояние до основания дерева можно измерить шагами.

10. Карандаш

     Формула и объяснение то же, что и предыдущем способе.

Оборудование: карандаш (или ручка, или любая палочка), помощник, рулетка.

Ход работы:

1) встать от дерева на такое расстояние, чтобы видеть его целиком – от основания до верхушки. Рядом со стволом установить помощника.

2) вытянуть перед собой руку с карандашом, зажатым в кулаке. Прищурить один глаз и подвести кончик грифеля к вершине дерева. Теперь переместить ноготь большого пальца так, чтобы он оказался под основанием ствола.

3) повернуть кулак на 90 градусов, чтобы карандаш оказался расположен

параллельно земле. При этом твой ноготь должен все так же оставаться в точке основания ствола.

4) крикнуть своему помощнику, чтобы он отошел от дерева. Когда он достигнет точки, на которую указывает острие карандаша, подать сигнал, чтобы он остановился.

5) измерить расстояние от ствола до места, где застыл помощник. Оно будет

равняться высоте дерева. Это следует из нашего основного соотношения

Результат: H= 9,5  м

Наша оценка метода:

Метод достаточно надежный. Не нужно никакого оборудования и вычисления. Такой способ измерения дерева используют скауты.

11.  Измерение высоты дерева при помощи шеста ( 1 вариант)

      Суть: Это еще один вариант измерения с помощью треугольника с углом 45 градусов. По  другому  этот способ называют Жюльверновским,  так как он описан  у Жюля Верна в романе “Таинственный остров”.

Оборудование: шест, одежда, которую вы не боитесь испачкать

Ход работы: Необходимо воткнуть этот шест отвесно в землю так, чтобы выступающая часть была равна вашему росту. Затем необходимо лечь на землю так, чтобы, упираясь ногами в шест, вы видели верхушку дерева на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Т. к. получившийся треугольник будет  равнобедренным и прямоугольным, то L=H.

Результат: L= H = 10,7 м

Наша оценка метода:

 Метод достаточно надежный. Не требует  оборудования  и вычислений.

Но есть еще способы, которыми мы не пользовались, но нашли их описания

12. Высотомер из двух планок

13. Способ использования углов.

Этот способ можно использовать в старших классах, где ученики знают тригонометрические функции углов. Для измерения угла можно использовать прибор, изготовленный из транспортира и прикрепленного к нему особым способом отвеса (см. рисунок). Порядок измерения: Сначала отойдем на известное расстояние от дерева. Затем направим прибор на верхушку дерева по визирной линии сверху и измерим угол, который показывает отвес. При этом угол a нужно пересчитать (вычесть из 90° показываемый угол). Понятно, что высота дерева будет равна расстоянию от дерева до человека умножить на тангенс угла a, ну и плюс рост человека.

14. Измерение высоты дерева с помощью углов  не приближаясь к нему

15. Высотомер лесоводов.

Очень удобен, если по какой- либо причине подойти к дереву невозможно

16. Измерение высоты дерева при помощи шеста ( 2 вариант)

(случай из истории Великой Отечественной войны).

     Вот как однажды было на одном из фронтов Великой Отечественной войны. Подразделению лейтенанта Иванюк было приказано построить мост через горную реку. На противоположном берегу засели фашисты. Для разведки места постройки моста лейтенант выделил разведывательную группу во главе со старшим сержантом Поповым. В ближайшем лесном массиве они измерили диаметр и высоту наиболее типичных деревьев и подсчитали количество деревьев, которые можно было использовать для постройки. Высоту деревьев измерили при помощи вешки (шеста) так, как показано на рисунке.

  Этот способ состоит в следующем.

Запасшись шестом выше своего роста, воткните его в землю отвесно на некотором расстоянии от измеряемого дерева. Отойдите от шеста назад, по продолжению Dd до того места А, с которого, глядя на вершину дерева, вы увидите на одной линии с ней верхнюю точку b шеста. Затем, не меняя положения головы, смотрите по направлению горизонтальной прямой аС, замечая точки с и С, в которых луч зрения встречает шест и ствол. Попросите помощника сделать в этих местах пометки, и наблюдение окончено. Остается только на основании подобия треугольников аbс и аВС вычислить ВС из пропорции

ВС : bс = аС : ас, откуда

ВС = вс(аС/ас).

Расстояния bс. аС и ас легко измерить непосредственно. К полученной величине ВС нужно прибавить расстояние СD (которое тоже измеряется непосредственно), чтобы узнать искомую высоту дерева.

3. Заключение

      Мы рассмотрели несколько способов определения высоты дерева с

помощью подручных средств без специальных приборов и инструментов. Все эти способы основаны либо на определении понятия длины отрезка и измерения, либо на свойствах подобных фигур. Эксперименты проводились в неблагоприятных условиях: неровная, неудобная местность, много снега, мороз, отсутствие опыта и сноровки. Результаты различных экспериментов отличались.

     Если не учитывать результат определения высоты «на глаз» и сравнение с предметом известной величины, как самые ненадежные, то разница между наибольшим и наименьшим значениями высоты составляет около 0,84  метра. Поэтому мы можем предположить, что высота дерева около 10 метров. Более точное значение может дать измерение с помощью высотомера лесника.

     После изучения понятия относительной и абсолютной погрешности мы

предполагаем повторить эксперименты с измерением объекта с известной

высотой и оценить точность примененных методов. Желающие попробовать определить высоту недоступного объекта могут воспользоваться нашими инструкциями. Самым доступным способом мы считаем метод карандаша. Он требует минимум оборудования и всего одно измерение.

4. Список использованных источников и литературы

1. Я.И.Перельман. Занимательная геометрия. – М.: АСТ, 2005.

2. Л. С. Атанасян и др. Геометрия: учебник для 7-9 кл. общеобразовательных

учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

3. http://piterhunt.ru/pages/nk-os/5/15.htm сайт «Питерский охотник»

4. http://www.scouts.ru «Центральный сайт скаутов-разведчиков России»

5. Смирнова, Смирнов  Геометрия 7-9,