Внеурочное занятие по теме:"Топологические опыты"
план-конспект занятия (6 класс) на тему

Внеклассное занятие по математике в 6 классе

Тема «Топологические опыты»

Цели : создать условия для знакомства с понятиями «топология» и «лист Мёбиуса», для формирования умения решать топологические задачи

Предметные результаты: понятия «топология» и  «лист Мёбиуса»,  умение решать  топологические задачи

Формирование УУД:

Регулятивные УУД: контроль в форме сличения способа действия и его результатов. Познавательные УУД : анализ объекта с выделением существенных и

несущественных признаков.

Коммуникативные УУД : учитывать разные мнения и стремиться к координации

различных позиций в сотрудничестве.

Оборудование: ПК, мультимедийный проектор, интерактивная доска, презентация

у каждого 5 бумажных полосок 30 см. х 3см, клей, ножницы.

Ход  занятия.

I.Организационный момент.

     II. Поисковая деятельность учащихся при изучении нового материала.

      Топология - самый молодой раздел геометрии. Появилась она лишь в19веке. Рассмотрим несколько топологических опытов.

Возьмите   2   полоски склейте 2 кольца: одно простое, другое перекрученное         (показать ребятам как это склеить).

Представьте муравья, находящегося на поверхности простого кольца. Удастся ли  муравью попасть на другую сторону кольца, не переползая через край полоски?

Дальше учитель предлагает ученикам провести непрерывную линию по перекрученному кольцу, с одной  стороны ( будем предполагать, что это путь муравья).

Обучающиеся делают вывод : линия прошла по обеим сторонам перекрученного кольца, хотя карандаш не отрывался от  бумаги.

      Этот опыт  провел в середине 20 века немецкий астроном и геометр  Август Мебиус. Оказывается у перекрученного кольца ( впоследствии его назвали  листом Мебиуса) имеется только одна  сторона.

                   Легенда о научном открытии

            Возможно, имя этого человека растворилось бы в истории, если бы ни одно ненастное утро… Нерасторопная горничная неправильно сшила ленту для шляпки жены Мёбиуса.

            Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!” Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика.                      

            Лента вдохновила на подвиги ни одного добряка-профессора. Взял ее на вооружение и цех парижских портных. Отныне в качестве экзамена для новичка, было пришивание к подолу юбки тесьмы в форме ленты Мебиуса. Неугомонным нерадивым ученикам учителя в школах предлагали покрасить стороны ленты Мебиуса в разные цвета. Пыхтя от усердия, школяры проводили за этим занятием немало времени.

            В 1858 году в возрасте шестидесяти восьми лет профессор представил Парижской академии мемуары об «односторонних» поверхностях. В своей работе «Об объёме многогранников» он описал геометрическую одностороннюю поверхность. Статья о знаменитой ленте Мёбиуса опубликована посмертно.

III. Практическая работа.

Проведем  опыты с листом Мебиуса и  подобными ему кольцами.

 Опыты. НЕСКОЛЬКО   ПЕРЕКРУЧИВАНИЙ

  Учитель: Разрежьте простое кольцо ножницами вдоль. Что получилось?

Разрежьте перекрученное на пол-оборота кольцо (лист Мебиуса) вдоль.

Продолжайте  перекручивание полоски бумаги перед склеиванием, каждый раз увеличивая число полуоборотов на один. Разрежьте вдоль. Результаты запишите в таблицу. (Ребята выполняют, заполняют таблицу,  озвучивая  выводы.) Закончить на 2,3 полуоборота дома.

Склейте лист Мебиуса и отправьте посередине листа  солдатика. В каком виде он вернется к месту старта ? (ученики проводят опыт и отвечают на вопрос).

IV. Решение топологических задач

1. Лист  Мебиуса - один из объектов топологии. Интересно, что сточки зрения топологии гайка, макаронина и кружка - одинаковые объекты.

Их роднит то, что каждый

Из них имеет одно и только одно отверстие. Если бы мы из пластилиновой гайки , не разрывая и не склеивая пластилин хотели вылепить макаронину или кружку, то нам бы это удалось. А вот кастрюльку с двумя ручками  не вылепить( в ней две дырки- ручки).

- Придумайте еще несколько предметов, одинаковых с гайкой  с точки зрения топологии.

-  Перечислите несколько топологических  « родственников « шара.

 - Среди букв русского алфавита  тоже есть топологически одинаковые буквы. Представьте, что они сделаны из проволоки. Какие  из букв можно преобразовывать друг в друга, если не разрывать проволоку в местах соединений и не склеивать концы?        

Проволоку можно только гнуть и растягивать!(Учащиеся отвечают на эти вопросы.)

2. К топологическим относятся  и задачи на вычерчивание фигур одним росчерком.

(На крыле  доски начерчены  фигуры.)

 Начертите одним росчерком фигуры изображенные на доске. (ребята пробуют в тетрадях начертить).

-  какие из фигур вам удалось вычертить почти сразу, решение других пришло через время, а третьи вообще не рисуются. Почему так происходит? Давайте разберемся вместе.

- Начертите  в тетрадке сеть кривых  (показываю начерченные на другом крыле доски  фигуры).

Сеть  таких кривых называют графом. Условимся  точки, в которых соединяются кривые, называть узлами. На первом графе, пять узлов, причем три из них четные (первый, второй и третий- в них соединяются четное число линий), а два из них нечетные. Эту фигуру можно начертить одним росчерком. Попробуйте.

А другая фигура- домик с дверью, содержит 9 узлов, пять из которых четные, а четыре- нечетные. Вывод: Если в фигуре( на графе) больше двух нечетных узлов, то ее нельзя нарисовать одним росчерком!

Покажем это на примере одной известной задачи-задачи о  кенигсбергских мостах, которая положила начало ЗАДАЧАМ НА ВЫЧЕРЧИВАНИЕ  ФИГУР ОДНИМ РОСЧЕРКОМ.

3. Город Кенигсберг  был расположен на берегах и двух островах реки Преголь. Различные части города были соединены семью мостами. Совершая прогулки в воскресные дни, горожане заспорили: можно ли выбрать такой маршрут, чтобы пройти один и только один раз по каждому мосту и затем вернуться в начальную точку? Долго бы спорили жители города, если бы через Кенигсберг не проезжал Леонард Эйлер. Он и разрешил спор. Возможно рассуждал так.(показываю на таблице)              

Рассмотрим рисунок. План города для решения задачи представим в виде графа.

На этом графе четыре узла, так как четыре части суши и семь кривых. Узлы являются нечетными, так как к трем подходят по три кривых, а к четвертому узлу – пять кривых. Поскольку все узлы нечетные, то этот граф нельзя начертить одним росчерком. Задача невыполнима.

V. Рефлексия

-Что вы сегодня узнали?

- Как вы оцениваете свою работу на занятии?