Материал для внеклассной работы по теме "Магические квадраты"
статья (5 класс) по теме

  Свойствами квадратов люди интересовались на Востоке, а чуть позже и в Европе с незапамятных времен. С развитием наук, в частности математики, ими заинтересовались ученые. В чем же кроется древняя тайна "волшебных" квадратов?

     Любой квадрат можно разделить на равные клетки, при этом количество строк и столбцов будет одинаково. Если количество строк (столбцов) - четное число, то такой квадрат принято называть квадратом четного порядка.  Соответственно, если нечетное число строк (столбцов), то квадрат будет нечетного порядка. Клетки квадратов заполняют числами, либо разноцветными рисунками.

     Давайте  познакомимся со свойствами магических и латинских квадратов, методами их заполнения и выполним несколько заданий самостоятельно.

     Надеемся, что вам не будет скучно!

Разделим квадрат на равные клетки так, чтобы количество строк и столбцов было одинаково. Если по количеству клеток взять числа подряд, начиная с единицы, и вписать их по одному в каждую клетку так, чтобы сумма чисел в каждой строке, в каждом столбце и в каждой диагонали были равны, то такой квадрат называется МАГИЧЕСКИМ.

     На рисунке изображен один из магических квадратов 5х5. В нем 25 клеток, в которые вписаны числа от 1 до 25.  Проверьте, что этот квадрат действительно магический.

     Квадраты, которые получаются путем поворота изначального квадрата или перестановкой его строчек или столбцов, считаются одинаковыми.

Существует  много  различных методов построения магических квадратов. Включив ролик на экране сверху, вы увидите очень красивый способ построения магических квадратов НЕЧЕТНЫХ порядков. Для построения квадрата 5х5 необходимо:

1. Заполнить последовательными числами от 1 до 25 квадрат 11x11 так, как показано в ролике;

2. Окрасить клетки квадрата 5х5 как показано в ролике;

3. Окрасить числа квадрата 11х11 как показано в ролике;

4. Вписать красные цифры в красные клетки, зеленые - в зеленые, синие - в синие, а желтые - в желтые.

В итоге получим магический квадрат.

     Этот метод называется методом ТЕРРАС или ИНДИЙСКИМ методом, он был известен еще в XIII веке.

     На примере вы посмотрели построение одного из магического квадратов порядка 5X5. Магических квадратов такого порядка очень много, точное количество неизвестно. Разобравшись с этим методом, вы можете построить магический квадрат любого нечетного порядка.

Методы построения магических квадратов ЧЕТНЫХ порядков достаточно сложны. На примере построения магического квадрата порядка 4X4 разберемся с одним из таких методов:

1. Впишем в квадрат числа от 1 до 16 в их обычном порядке.

2. Вычислим, чему должна равняться сумма чисел в каждой строке, каждом столбце или диагонали готового магического квадрата. Для этого сложим все числа, вписанные в клетки квадрата и разделим их на 4. Итого, полученное число равно 34 (интересен способ нахождения суммы чисел от 1 до 16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=(1+16)+(2+15)+(3+14)+и т.д.=17х8=136).

3. Найдем в квадрате такие четыре пары чисел, что если внутри каждой пары поменять числа местами, то получится магический квадрат, сумма элементов каждой строки, каждого столбца и каждой диагонали которого равна 34.

     Таким образом можно построить один из магических квадратов порядка 4X4, всего разных магических квадратов такого порядка - 880.

Предполагают, что великий математик Леонард Эйлер придумал эту головоломку присутствуя на одном из петербургских парадов. Вот она: на площади находятся 36 офицеров, среди них 6 уланов, 6 драгунов, 6 гусаров, 6 кирасиров, 6 кавалергардов и 6 гренадеров, причем среди 6 офицеров каждого рода войск присутствуют офицеры  6 чинов, т. е. один генерал, один полковник, один майор, один капитан, один поручик и один подпоручик. Можно ли выстроить этих военных в виде  квадрата 6X6 так, чтобы в каждом ряду и в каждой колонне встречались офицеры всех шести родов войск и всех шести чинов? Оказалось, что эта головоломка не имеет решения.

     В последние годы жизни Леонард Эйлер написал большой труд о магических квадратах нового типа. Сейчас такие магические квадраты принято называть ЛАТИНСКИМИ, потому что Эйлер вписывал в их клетки не цифры, а латинские буквы. Пример латинского квадрата изображен на рисунке. Двадцать пять клеток в нем заполнены пятью латинскими буквами А, В, С, D, F, причем в каждой строчке и в каждом столбце буквы не повторяются.

  Рассмотрим один из методов заполнения латинского квадрата.

     Все строки квадрата заполняются одинаково. Затем вторая строка сдвигается на одну позицию влево, третья строка - на две позиции влево, четвертая - на три и т. д.

Выступающие за пределы квадрата элементы огибают квадрат по кругу и занимают свое место в конце строки.

Два или более латинских квадратов, которые можно скомбинировать, называются ОРТОГОНАЛЬНЫМИ квадратами.

     Допустим, взят латинский квадрат 5х5. Двадцать пять клеток в нем заполнены пятью латинскими буквами А, В, С, D, F, причем в каждой строчке и в каждом столбце буквы не повторяются. И берется другой латинский квадрат, клетки которого окрашены в пять цветов. Аналогично, в каждой строчке и в каждом столбце цвета не повторяются.

     Наложенные друг на друга эти два квадрата образуют ортогональный квадрат. В нем каждая латинская буква появляется ОДИН И ТОЛЬКО ОДИН РАЗ в паре с каждым цветом.

   Можно скомбинировать и более двух латинских квадратов.

Если  вы успешно справились с теорией латинских и магических квадратов,

то предлагаем вам решить несколько интересных задач.

Решать задачи можно в любой последовательности и для этого вам понадобиться  лист бумаги и карандаш.

Успешной вам работы!

Задача 1:

Шестиклассник Коля решил нарисовать латинский квадрат, но не закончил и пошел гулять. Помогите Коле заполнить пустующие клетки квадрата фигурками, стоящими за его пределами.

Сколько взаимно ортогональных латинских квадратов наложено здесь друг на друга?

Задача 2:

Вы пришли в зоопарк, но двое животных спрятались. Выберите тех животных, которые спрятались, и поставьте их в пустующие клетки-вольеры.

Задача 3:

В магазине игрушек продавалось 16 различных мячей. К вечеру три мяча было продано.  Посмотрите на оставшиеся мячи и поставьте недостающие.

Задача 4:

Имеются девять разных флажков. Заполните клетки квадрата на рисунке сверху так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце были бы нарисованы флажки всех форм.  А также в каждом столбце и в каждой строке было бы по одному красному, синему и желтому флажку. Некоторые флажки уже нарисованы на своих местах.

Задача 5:

На рисунке показаны девять фигурок, которые нужно поставить в клетки квадрата так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце стояли круг, квадрат и треугольник и в каждой строке и в каждом столбце не было бы фигур одного цвета. Желтый треугольник уже стоит на своем месте.

Задача 6:

Какие слова нужно вписать в пустые клетки квадрата? Впишите их.

Задача 7:

Какие слова нужно вписать в пустые клетки квадрата? Впишите их.

Задача 8:

Путешественник приехал в незнакомый город. Гуляя по нему, он набрел на квртал, где четыре улицы шли с севера на юг, параллельно друг другу. Причем получалось так, что каждый дом оказывался на перекрестке. Путешественник обошел весь квартал и заметил, что на любой улице нет домов одинаковых по виду и двух домов, одинаковых по цвету. И во всем квартале не было двух совершенно одинаковых домов. Любые два дома различались либо по цвету, либо по виду. Приехав домой, путешественник нарисовал все шестнадцать домов этого квартала и решил составить план улиц и нарисовать каждый дом там, где он находился. Но, оказалось, что путешественник  многое забыл.

ОТВЕТЫ НА ЗАДАЧИ