разновозрастная олимпиада "Решение занимательных задач по математике"
олимпиадные задания (5 класс) по теме

Участники: учащиеся 5-9 классов.

Время: после окончания уроков.

Место проведения:      кабинет гимназии.

Материалы: 3 пакета с заданиями (всего 9 задач),                                      3 инструкции, 3 жетона для жеребьёвки.

                                 Целевые ориентации.

            Дидактические: расширение кругозора, познавательная деятельность, закрепление  знаний, умений, навыков.

           Воспитывающие: воспитание сотрудничества, коллективизма, коммуникативности, ответственности.

           Развивающие: развитие внимания, речи, мышления, умения  сравнивать, сопоставлять, находить оптимальное решение, отстаивать свое мнение.

            Социолизирующие: адаптация к новым условиям среды,  ответственность за свой участок работы, обучение общению, взаимоконтролю и взаимовыручке.

            Концептуальные основы опираются на фундаментальные потребности личности в самовыражении, самоутверждении в атмосфере свободного творчества. Важнейшая роль принадлежит совместному обсуждению, обмену мнениями, в котором учащиеся анализируют решение задачи, готовятся к защите. Участие в совместной деятельности помогает решить учебную задачу и существенно развивает умения учащихся формулировать вопросы и ответы, искать аргументацию и источники решений, строить гипотезы и проверять их рассуждением, учит деловому общению.

                                   Организация игры.

  Из участников - учащихся 5-9 классов (по 6 человек от параллели) создают 3 команды. В составе каждой команды по 2 ученика от каждой параллели 5-8 классов. Итак, всего 8 игроков в команде и один капитан - девятиклассник. Трое оставшихся 9-классников являются членами жюри. Членами жюри являются также преподаватели математики. Каждая команда получает карточку с заданиями: по 3 задачи для каждого возрастного уровня (5-8 классов).  Карточки с заданиями для всех команд одинаковы. На защиту по жребию выпадает одна из задач каждого уровня. Цена правильного ответа своей задачи 5 баллов, 3 балла за правильный ответ на задачу для другой команды (если она не справится с решением или защитой своей задачи).  

                                    Ход олимпиады.                            

1. Сбор участников и формирование 3 команд в учебном кабинете. Объяснение условий игры и получение заданий и инструкций по организации работы в команде.
2. Работа команд в трёх различных кабинетах в течение 40 минут.
3. Защита выполненных заданий в одном из кабинетов:

                   1 кон- 5-6 классы: 1 задача от каждой команды,

                   2 кон- 7 классы: 1 задача от каждой команды,

                   3 кон- 8 классы: 1 задача от каждой команды.

          (Задачи между командами распределяются по жребию).

      4.    Подведение итогов, награждение победителей.

                       ИНСТРУКЦИЯ для участников.   

1. Возможные организационные позиции участников команд: организатор, инициатор, координатор, интегратор, критик, контролер, исполнитель, оформитель, оратор.
2. Распределите задания по интересам и по возможностям.
3. Распределите время /40 мин./ на предварительное решение задач, обсуждение, оформление и подготовку к защите. Оформленное решение сдается жюри.
4. Сбор учащихся для защиты. Выбор задач для защиты (определяется жребием).
5. Каждая задача оценивается по пяти бальной системе. Защитив задачу 1 кона, команда переходит во 2 кон. Если команда не дала правильного решения, то команда соперников имеет право на защиту их задания, и при этом получает дополнительные 3 балла. Побеждает команда, набравшая наибольшее число баллов.

                            Содержание задач.

5-6 классы.

        1. На окраску кубика ушло 6г краски. Когда она высохла, кубик распилили на 8 одинаковых кубиков. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить неокрашенную часть их поверхности?

Решение.

Так как куб имеет 6 граней, то на окраску одной грани требуется 1г краски. Чтобы куб распилить на 8 одинаковых кубиков, необходимо сделать3 разреза. Значит, появится 6 неокрашенных граней и потребуется 6г краски.

Ответ: 6г.

        2. Одновременно навстречу друг другу выползли две черепахи. Скорость первой – 4м/мин, скорость второй – 6 м/мин. Вместе с первой черепахой выбежала собака, скорость которой  20м/мин. Встретив вторую черепаху, она повернула назад и побежала к первой, добежав до нее, снова повернула назад и так бегала до тех пор, пока черепахи не встретились. Сколько м пробежала собака, если черепахи проползли 100м?

Решение.

4+6=10(м/мин) – скорость сближения.

100:10=10(мин) – время движения и черепах, и собаки.

20*10=200(м) – пробежала собака.

Ответ: 200м

          3.  Каждый день кот Леопольд прогуливался в городском парке. Однажды, 6 апреля кот Леопольд встретил на прогулке мышей – Серого и Белого. Леопольд забыл, когда у мышат Дни Рождения и решил спросить их об этом, чтобы вовремя подарить подарки. «Он был вчера» - ответил Серый мышонок. Белый же мышонок сказал: «Он будет завтра». На следующий день кот Леопольд опять спросил мышат об этом. «Он был вчера» - ответил Серый мышонок. «Он будет завтра» - сказал Белый. Кот Леопольд задумался над словами мышат. Он точно знал, что обманывать они могут только в день своего рождения, хоть и часто шутят над ним. Как же коту Леопольду узнать, когда дни рождения у мышат?

Решение.

Серый мышонок два дня подряд отвечал Леопольду одинаково, что день рождения был вчера. Предположим, что Серый мышонок в первый день сказал правду, следовательно, день рождения у него был 5 апреля, но учитывая, что обманывать он мог только в свой день рождения приходим к противоречию – 7 апреля мышонок не мог обмануть, а получается, что обманул. Наше предположение неверно, значит Серый мышонок обманул 6 апреля и в этот день у него день рождения.
Рассмотрим высказывания Белого мышонка. Предположим, что 6 апреля (в первый день) он сказал правду, тогда его день рождения 7 апреля и высказывание, которое Белый сказал во второй день – ложь. Следовательно, день рождения Белого мышонка 7 апреля.
Ответ: 6 апреля – у Серого мышонка, 7 апреля – у Белого мышонка.

7 класс.

4. Найти наименьшее натуральное число,  которое при делении на 7 дает в остатке 6, а при делении на 9 остаток равен 8.

Решение. 

 В обоих случаях - как при делении искомого числа на 7, так и при делении его на 9 остаток на единицу меньше делителя. Увеличив делимое на 1, получим число, которое делится без остатка и на 7, и на 9.  Наименьшее такое число - 63. Искомое число на 1 меньше и равно 62.

Ответ: 62.

 5. От полного стакана кофе я отпил половину и долил столько же молока. Затем я отпил третью часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока.  Затем я отпил шестую часть получившегося кофе с молоком, долил стакан молоком доверху и выпил все до конца. Чего в итоге я выпил больше: молока или черного кофе?
Решение.

 Количество выпитого черного кофе равно первоначальному его количеству и составляет 1 стакан.  Молока долили вначале полстакана, затем треть стакана, и, наконец,  шестую часть стакана, т.е. в общей сложности 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 стакан.   Следовательно, кофе и молоко выпито поровну.

Ответ: поровну выпито молока и кофе.

6.Объём воды при замерзании увеличивается на 10%? На сколько процентов уменьшается объём льда при таянии?

Решение.

 При замерзании объём воды увеличивается на 1/10, то есть становится равным 11/10. При таянии льда объём уменьшается на 1/11 от объёма полученного льда (100% льда), то есть на 100/11%.

Ответ: на 100/11%.

8 класс.

7. Было взято 10 листов бумаги.  Некоторые листы разрезали на 10 частей, затем некоторые из получившихся кусков вновь разрезали на 10 частей и т.д. На каком-то этапе подсчитали общее количество получившихся листов бумаги. Оказалось их всего 1386 листов бумаги. Правильно ли подсчитали количество листов?

Решение.

В результате разрезания одного листа общее количество листов увеличивается на 9.   Поэтому конечное число листов, за вычетом 10-ти исходных, должно быть кратным 9; следовательно,  подсчет выполнен неверно.

Ответ: неверно.

8. В одном резервуаре 380  м3 воды, а в другом - 1500 м3. В первый резервуар каждый час поступает 80 м3 воды, а из второго каждый час выкачивают 60 м3. Через сколько часов воды в резервуарах станет поровну?

Решение. 1 способ. Решим алгебраически.

Обозначим время выравнивания воды - за x часов, объем в первом сосуде - за y м3, а во втором - за z м3. Тогда имеем уравнения:
y = 380 + 80·x    (1);
z = 1500 - 60·x   (2).

Так как  y = z, приравняв правые части уравнения (1) и (2), найдем искомую величину

 х = 8.

2 способ.  Решим эту же задачу  арифметическим методом.

Почему возник вопрос задачи: когда воды будет поровну? Потому что изначально объемы воды в сосудах не равны между собой. Но это только вначале. В резервуар, в котором воды мало, подкачивают воду, а из резервуара, где воды много - ее откачивают. Значит неизбежно, наступит момент, когда воды будет поровну.
Определим разницу в объемах воды в начале процесса, она равна 1500 - 380 =1120 (м3).  За счет чего может исчезнуть эта разница? За счет поступления воды (80 м3 / час) в сосуд с малым ее количеством и отвода ее (60 м3 / час) из сосуда с большим количеством воды.

Следовательно, нам надо сложить оба потока (так как они оба "работают " на исчезновение разницы). Сумма потоков равна 80 + 60 = 140 (м3).
Искомое время определим делением первоначальной разности объемов на сумму двух потоков. Т.е. 1120/ 140 = 8часов.

Ответ: 8 часов.

9. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке. Площадь одной клетки равна 1.

Решение.

Из площади прямоугольника  8∙4=32 вычитаем площади прямоугольных треугольников, т.е. сумму  ½∙ ( 5∙3 + 3∙4 + 8∙1) =

17, 5 кв.ед. Имеем 32 – 17,5 =  14,5.             

  Ответ:  14,5 кв.ед.

                Карточки с заданиями для команд.

    5-6 классы.

        1. На окраску кубика ушло 6г краски. Когда она высохла, кубик распилили на 8 одинаковых кубиков. Сколько понадобится краски, чтобы покрасить неокрашенную часть их поверхности?

    5-6 классы.

    2. Одновременно навстречу друг другу выползли две черепахи. Скорость первой – 4м/мин, скорость второй – 6 м/мин. Вместе с первой черепахой выбежала собака, скорость которой  20м/мин. Встретив вторую черепаху, она повернула назад и побежала к первой, добежав до нее, снова повернула назад и так бегала до тех пор, пока черепахи не встретились. Сколько м пробежала собака, если черепахи проползли 100м?

     5-6 классы.

        3.  Каждый день кот Леопольд прогуливался в городском парке. Однажды, 6 апреля кот Леопольд встретил на прогулке мышей – Серого и Белого. Леопольд забыл, когда у мышат Дни Рождения и решил спросить их об этом, чтобы вовремя подарить подарки. «Он был вчера» - ответил Серый мышонок. Белый же мышонок сказал: «Он будет завтра». На следующий день кот Леопольд опять спросил мышат об этом. «Он был вчера» - ответил Серый мышонок. «Он будет завтра» - сказал Белый. Кот Леопольд задумался над словами мышат. Он точно знал, что обманывать они могут только в день своего рождения, хоть и часто шутят над ним. Как же коту Леопольду узнать, когда дни рождения у мышат?

7 класс.

4. Найти наименьшее натуральное число,  которое при делении на 7 дает в остатке 6, а при делении на 9 остаток равен 8.

7 класс.

 5. От полного стакана кофе я отпил половину и долил столько же молока. Затем я отпил третью часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока.  Затем я отпил шестую часть получившегося кофе с молоком, долил стакан молоком доверху и выпил все до конца.     Чего в итоге я выпил больше: молока или черного кофе?

7 класс.

6.Объём воды при замерзании увеличивается на 10%? На сколько процентов уменьшается объём льда при таянии?

8 класс.

7. Было взято 10 листов бумаги.  Некоторые листы разрезали на 10 частей, затем некоторые из получившихся кусков вновь разрезали на 10 частей и т.д. На каком-то этапе подсчитали общее количество получившихся листов бумаги. Оказалось их всего 1386 листов бумаги. Правильно ли подсчитали количество листов?

8 класс.

8. В одном резервуаре 380  м3 воды, а в другом - 1500 м3. В первый резервуар каждый час поступает 80 м3 воды, а из второго каждый час выкачивают 60 м3. Через сколько часов воды в резервуарах станет поровну?

8 класс.

9. Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке. Площадь одной клетки равна 1.

                    Карточки подведения итогов.

Литература.

1. Нагибин Ф. Ф. Математическая шкатулка - Учпедгиз, 1958 г.

2. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5 — 6 кл. общеобразоват. учреждений.— М.: Просвещение, 1995.

3. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий / авт.-сост. В.В. Трошин. - М.: Глобус, 2008.