Занимательные задачи по математике
занимательные факты по алгебре по теме

Что я выпил в итоге - кофе с молоком или молоко с кофе?

От полного стакана кофе я отпил половину и долил столько же молока. Затем я отпил третью часть получившегося кофе с молоком и долил столько же молока. Затем я отпил шестую часть получившегося кофе с молоком, долил стакан молоком доверху и выпил все до конца.

Чего в итоге я выпил больше: молока или черного кофе?

(Количество выпитого черного кофе равно первоначальному его количеству и составляет 1 стакан. Молока долили сперва полстакана, затем треть стакана, и, наконец шестую часть стакана, т.е. в общей сложности 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 стакан. Следовательно, кофе и молоко выпито поровну.)

Сколько существует натуральных чисел?

Сколько существует натуральных чисел, меньших 100, которые:

а) делятся одновременно на 2 и на 3?

б) делятся на 2, но не делятся на 3?

в) делятся на 3, но не делятся на 2?

г) делятся на 3, или на 2 ( по крайней мере на одно из этих двух чисел)?

д) не делятся ни на 2, ни на 3?

(а) Среди первых 99-ти натуральных чисел делятся на 2 и на 3, т.е. делятся на 6 [99 : 6] = 16 чисел.

б) Чисел, делящихся на 2 (четных), среди первых 99-ти [99 : 2] = 49 .

Среди этих чисел есть 16, которые делятся и на 3.

Поэтому чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3, в рассматриваемом интервале всего 49 - 16 = 33.

в) Чисел, делящихся на 3, в рассматриваемом интервале 99 : 3 = 33.

16 из них делятся также и на 2.

Поэтому, чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2, всего 33 - 16 = 17.

г) Количество чисел, которые делятся и на 2 или на 3, определим, добавив к 49 четным числам 17 чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2 : 49 + 17 = 66.

д) Всего в рассматриваемом интервале 99 чисел, из них 66 делятся либо на 2, либо на 3. Остается 99 - 66 = 33 числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3.)

Сумма и произведение одних и тех чисел - одинаковые

Представить число 203 в виде суммы нескольких чисел так, чтобы их произведение также было бы равно 203.

(Поскольку сумма двух, или нескольких чисел (отличных от 1), всегда меньше их произведения ( исключая случай 2 + 2 = 2 · 2), очевидно, что некоторое число множителей в разложении должно быть равно 1.

Используя такой прием, можно довести сумму сомножителей до нужной величины, не меняя при этом их произведения.

Итак, задача сводится к разложению на множители числа 203. Поскольку ни один из "табельных"признаков делимости (на 2, 3, 5, 11) данному числу не свойствинен, поищем множители, следуя правилу. Оно гласит: среди делителей составного числа обязательно есть числа, меньшие, чем корень квадратный из этого числа.

Корень квадратный из числа 203 близок к 15, поэтому ищем делители среди простых чисел, меньших 15. Таких чисел два - 7 и 13 (остальные были исключены после проверки).

203 : 7 = 29, поэтому 203 = 29 · 7 · 1 · 1 ·... · 1 (всего 167 единиц).

29 + 7 + 167 = 203.

Число 203 имеет два простых делителя, поэтому найденное решение - единственное.)

 Найти последние цифры.

Найти три последние цифры произведения: 1· 2 · 3 · 4 · ... · 17 · 18

(В приведенном выражении число 5 трижды встречается как сомножитель: в числах 5, 10, 15. Поэтому произведение первых 18-ти натуральных чисел оканчивается тремя нулями.)

Ищем числа

Известно, что сумма чисел A и B равна 90, а 40% числа A на 15 больше 30% числа B.

Найдите эти числа.

(Способ 1.

Умножив все члены заданного неравенства на 2,5, получим: 100% числа А на 37,5 больше 75% числа В.

Следовательно, сумма чисел А и В на 37,5 больше, чем: 175% числа В.

175% числа В равны 90 - 37,5 = 52,5.

В = 52,5 : 1,75 = 30. А = 90 – 30 = 60.

Проверка. 0,4А – 0,3В = 60 · 0,4 – 30 · 0,3 = 24 – 9 = 15.

Способ 2.

40% суммы чисел А и В составляют 90 · 0,4 = 36.

Отняв от этой суммы 15 и заменив 40% числа A на 30% числа B, получим:

70% числа В равны 21.

В = 21 : 0, 7 = 30; А = 90 – 30 = 60.)

Стираем числа с умом

На доске написаны натуральные числа от 1 до 1966.

Разрешается стереть любые два числа и вместо них записать их разность.

Сколько раз нужно выполнить эту операцию, чтобы на доске осталось одно число?

Какое это число – четное, или нечетное?

(После каждой операции количество чисел уменьшается на 1.

Для достижения цели потребуется выполнить 1965 операций.

Два числа одной четности дают четную разность, числа разной четности – нечетную.

В каждой из этих групп 983 числа. Выполнив 982 операции в группе четных чисел, получим в результате четное число.

Разобьем 982 нечетных числа на пары и найдем 491 четную разность.

Оставшееся без пары нечетное число, вступая в контакт с четным, всякий раз будет давать нечетную разность.

По завершении процесса мы получим нечетный результат. Таким образом, конечный результат зависит только от количества нечетных чисел.

Замечания. 1. Четность конечной разности не зависит от выбора пар чисел, образующих промежуточные разности.

Объясняется это тем, что нечетное число дает четную разность лишь в паре с таким же нечетным.

Поэтому при любом варианте у нас в итоге останется одно нечетное число.

2. Рассмотренная задача аналогична задаче, когда следует определить знак произведения сомножителей, имеющих разные знаки.

Решая такую задачу, мы принимаем во внимание лишь отрицательные сомножители.

При четном их числе результат будет положительным, при нечетном – отрицательным.)

Ремонт водителям не помеха

На участке дороги идет ремонт. Водителям приходится объезжать этот участок по запасному пути, отмеченному на плане пунктиром. На сколько километров увеличивает путь этот объезд?

(A)3 км;   (B) 5 км;  (C) 6 км;    (D) 10 км;   (E)Невозможно определить

(Как видно из плана участка дороги, запасный путь отличается от прямого на:

3(км) + 3(км)=6(км). Ответ - (С).)

Фигурка из двух одинаковых деталей

Какую из фигурок A - E нельзя составить из двух одинаковых деталей, изображенных справа?

Детали нельзя переворачивать тыльной стороной вверх.

Все фигуры (кроме (D)) складываются из двух заготовок путем поворота одной из них на 180 градусов. Фигуру (D) нельзя составить из заготовок. Верен ответ (D)