От Евклида до Лобачевского
творческая работа учащихся (9 класс) по теме

«Многие идеи как бы имеют свою эпоху, во время которой они открываются одновременно в различных местах подобно тому, как фиалки произрастают всюду, где светит солнце». •

Янош Больяи

 1. С разнообразными геометрическими фигурами, с измерением длин, площадей и объемов людям приходилось иметь дело с незапамятных времен. В практических наблюдениях они подмечали различные геометрические закономерности. Так, древние египтяне знали из опыта, что треугольник, у которого одна сторона равна трем единицам, вторая — четырем, а третья — пяти единицам, обязательно имеет один прямой угол. В дошедших до нас древнеегипетских письменных памятниках — в Московском папирусе и папирусе Ахмеса «Наставление, как достигать всех темных вещей, всех тайн, содержащихся в предметах» содержатся важные геометрические факты, например, формула для вычисления объема пирамиды.

Когда геометрических сведений накопилось много, то их стали приводить в определенную систему, стали пытаться вывести из них путем рассуждения, без непосредственного обращения к опыту, новые геометрические факты.

Особенно большие достижения в этом направлении были получены древнегреческими философами в VII—III веках до нашей эры. Так, греческий философ Фалес из Милета установил, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам. Однажды, во время путешествия в Египет, он поразил египетского фараона, когда нашел с помощью известных ему геометрических фактов высоту пирамиды, не поднимаясь на нее. Важные геометрические факты были установлены в шкодах знаменитых философов: Пифагора (VI век до нашей эры), Евдокса, Менехма, Платона и других.

Примерно в V веке до нашей эры возникла мысль о том, чтобы изложить геометрию как единую науку, попытаться все известные геометрические факты вывести с помощью логических рассуждений из небольшого числа простейших фактов, которые можно принять без доказательства. И несколько ученых в V—IV веках до нашей эры пытались это на самом деле сделать (Гиппократ, Леоннати Другие).

Эти попытки нашли свое завершение в одной из самых замечательных книг, когда-либо созданной людьми, в самом знаменитом математическом сочинении — в книге «Начала» Евклида Александрийского, завершенной им около 300 года до нашей эры.

2. Евклид начинает свою книгу с того, что дает определения тех понятий, которыми он собирается пользоваться в дальнейшем.

Например, определение 1: «Точка есть то, часть чего есть ничто». Затем он приводит несколько предложений, которые принимает без доказательства — постулаты (допущения) и аксиомы. Разница между постулатами и аксиомами не принципиальна, и сейчас между ними не делают различия. Вот, например, первый постулат: «Ог всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию».

Современников и людей, живших позднее Евклида, поражало то, что из этих немногих предложений и вводимых в книге определений Евклиду удается получить громадное количество важных геометрических сведений, всю геометрию, и притом только рассуждением, без всяких опытов и экспериментов. Это было блестящим проявлением мощи логического рассуждения. По этой причине книга Евклида в течение двух тысячелетий служила, в переработках различных авторов, учебником геометрии. Нередко люди, чтобы усовершенствоваться в умении логически рассуждать, обращались как к образцу к этой книге. Так, например, поступил (как он об этом сообщал в своей автобиографии) президент Соединенных Штатов Линкольн (возглавлявший 100 лет назад борьбу за освобождение негров).

Книга Евклида служила образцом научного сочинения для ученых самых разнообразных специальностей. По образцу Евклидовых «Начал» излагали свои учения крупнейшие философы, например Спиноза (Голландия, 1632—1677) и Гоббс (Англия, 1588—1679). Книга Евклида послужила образцом для Ньютона, когда тот создавал свои знаменитые «Математические начала натуральной философии» (то есть физики).

  Последний в списке постулатов Евклида, пятый, привлекал особое внимание в течение многих столетий. Вот как можно его сформулировать.

Если прямая на плоскости, пересекающая два данных прямолинейных отрезка, образует с ними внутренние односторонние углы, сумма которых меньше двух прямых, то при неограниченном продолжений этих отрезков они пересекутся (и притом по ту же сторону, где лежат эти углы).

Этот постулат вызвал много критических замечаний. Одни обращали внимание на то, что это предложение громоздко (сравните с первым постулатом). Другие считали, что в качестве постулата естественно принять такое предложение, которое, действительно, очевидно, между тем как пятый постулат им не представлялся достаточно очевидным. Третьи видели недостаток пятого постулата в том, что в нем говорится о неограниченном продолжении отрезков, так что возникает необходимость рассматривать всю бесконечную плоскость и нельзя ограничиться лишь конечной ее частью. Мнение всех сходилось на том, что Евклид, видимо, просто не сумел доказать пятый постулат и только по этой причине включил его без доказательства.

Евклид, как видно, сам недолюбливал свой пятый постулат, терпел его только потому, что вовсе обойтись без него ему не удавалось, хотя он и стремился, по мере возможности, им не пользоваться. В первой части («книге») своих «Начал» он использует пятый постулат только один раз, а именно при доказательстве своего двадцать девятого предложения: «Если две прямые параллельны, то они в пересечении с третьей прямой образуют равные внутренние накрест лежащие углы»,

Много лет спустя, через два тысячелетия после Евклида, один англичанин, Плейфер, заметил, что пятый постулат равносилен такому менее громоздкому предложению, которое называют сейчас «аксиомой о единственности параллельной» и которое теперь включают в школьные учебники:

Через точку вне данной прямой в плоскости, определяемой этой прямой 'и этой точкой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную.

Это, разумеется, не снимало тех возражений, которые приводились геометрами против пятого постулата.

В самом деле, принимаем предложение о единственности параллели без доказательства — и в то же время доказываем предложение о единственности перпендикуляра: «Через точку вне данной прямой в плоскости, определяемой этой прямой и этой точкой, проходит единственная прямая, перпендикулярная данной». В смысле очевидности они примерно равноправны. Но если удается доказать второе из этих предложений, то, может быть, и первое из них (аксиому о единственности параллельной) можно доказать? Может быть, зря мы это предложение принимаем в качестве аксиомы? Может быть, у Евклида и других геометров просто не хватило воображения, смекалки, чтобы доказать это предложение, но доказательство все же можно найти?

Отсутствие доказательства пятого постулата в «Началах» Евклида рассматривалось многими математиками как крупнейший и нетерпимый недостаток этого сочинения. Специальные научные трактаты посвящались исправлению этого «недостатка». Вот названия некоторых из них: «Трактат, исцеляющий сомнение по поводу параллельных» {Насир ад Дин ат Туей), «Усовершенствование книги «Начала» (аль Джаухари), «Евклид, очищенный от всяких пятен» (Саккери).

Сотни профессиональных геометров разных времен и народов, тысячи любителей математики в течение 20 веков находили остроумнейшие «доказательства» пятого постулата. Доказательства его искали, например, такие известные ученые, как Клавдий Птолемей (Египет, II век нашей эры), Посидоний (Рим, I век до нашей эры), Прокл (Греция, V век нашей эры), Насир ад Дин (Узбекистан, XIII век), Валлис (Англия, XVII век), Ламберт (Швейцария, XVIII век), Лежандр (Франция, XVIII век), Саккери (Италия, XVIII век), Ф. Бойяи (Венгрия, XIX век), Лобачевский (Россия, XIX век), Гаусс (Германия, XIX век) и многие другие. Странно было только то, что всегда в каждом «доказательстве» после тщательного анализа обнаруживалась какая-нибудь ошибка. Доказательство пятого постулата ускользало от искусных математиков в тот момент, когда они уже как будто достигали цели. Люди тратили на охоту за таким доказательством многие годы и в итоге получали только разочарование.

Один математик полтораста лет назад писал по этому поводу своему сыну, студенту-математику: «Не пытайся одолеть теорию параллельных ни тем способом, о котором ты писал мне, ни каким-либо другим. Я изучил все пути. Я прошел весь беспросветный мрак этой ночи, и всякий светоч, всякую радость жизни я в ней похоронил. Ради бога, молю тебя, оставь эту материю, потому что она может лишить тебя всего твоего времени, здоровья, покоя, всего счастья твоей жизни».

3. Решение проблемы пятого постулата оказалось неожиданным.

24 февраля 1826 года в Казани выступил с докладом профессор математики местного университета Николай Иванович Лобачевский (1792—1856). Он пришел к выводу, что пятый постулат вообще не может быть доказан на основании других аксиом и постулатов, обычно приводимых или подразумеваемых в школьных учебниках геометрии; Евклид был прав, приняв пятый постулат без доказательства—его действительно нельзя доказать, если не включить вместо него в список аксиом или постулатов другое предложение, равносильное пятому постулату. Иначе говоря, пятый постулат независим от остальных аксиом элементарной геометрии.

Идеи, положенные в основу неевклидовой геометрии Лобачевского, возникли почти одновременно в разных странах: в России у Лобачевского, в Венгрии у Бойай и в Германии у Гаусса. Различна степень участия каждого из этих учёных в создании новой геометрии; различна и степень  упорства, с которой каждый из них работал в этой новой области математики; наконец, различна и степень смелости, с которой они отстаивали правоту своих взглядов.

Карл Гаусс (1777—1855), придя к мысли о возможности существования наряду с геометрией Евклида, иной, неевклидовой геометрической системы, побоялся, что новые идеи не будут поняты, и поэтому, сделав первые шаги в этой области, отказался от дальнейшей разработки этих идей и не опубликовал их.

Янош Бойай (1802—1860), выдающийся венгерский математик, пошёл дальше Гаусса. Он изложил сущность своих взглядов в 1832 г. в приложении («Аппендикс») к первому тому сочинений своего отца. Несмотря на крайнюю сжатость изложения, «Аппендикс» Бойай принадлежит к числу наиболее совершенных произведений математической литературы. Но у него не хватило упорства, а может быть, и здоровья далее развить свои идеи. Возможно, что на Бойай удручающе подействовал отказ Гаусса поддержать его новые взгляды. Во всяком случае после 1832 г. Бойай не опубликовал ни одной работы по геометрии.

Николай Иванович Лобачевский, более сме лый, чем Гаусс, и более упорный, чем Бойай, до конца своей жизни находил силы для борьбы за правоту высказанных им идей. Его не испугали ни полное непонимание этих идей математиками — современниками Лобачевского, ни насмешки некоторых из них. Уже в первой работе Лобачевский сумел развернуть неевклидову геометрию несравненно шире и глубже, нежели это было сделано Гауссом и Бойай, не говоря уже о его последующих работах в этой области.

4. То, что через точку, лежащую вне прямой, можно в плоскости, определяемой ими, провести новую прямую, не пересекающую первую, является фактом, который легко доказывается и притом независимо от аксиомы о параллельных.

В самом деле, если через точку А, данную вне прямой KL, провести произвольную прямую АВ, пере-

секающую KL в точке С, то, построив новую прямую MN так, чтобы она проходила через ту же точку А и образовывала  угол МАС, равный  углу ACL, то прямая MN и будет той прямой, которая не пересечёт K.L. Предположив обратное, мы пришли бы к выводу, что внешний угол ( угол МАС) треугольника АСР равнялся бы внутреннему углу АСР, что невозможно.

Из этой теоремы, как частный случай, следует, что два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут иметь общей точки.

Итак, установлено, что через каждую точку А, вне прямой KL в плоскости, определяемой ими, можно провести такую прямую MN, которая не пересечёт прямую K.L.

Далее вполне естественно возникает вопрос; проходит ли через точку А одна такая прямая или таких прямых существует более одной? Этот вопрос можно поставить и по-иному. Существует ли уверенность в том, что та плоскость, на которой производится построение прямой непременно должна обладать свойством, позволяющим построить на ней только одну такую прямую? Даже при создании «Начал» Евклида (III в. до н. э.) такой уверенности не было, и она не появилась и в более поздние века. Об этом свидетельствует ряд попыток доказать справедливость утверждения о существовании только одной прямой, проходящей через точку Л и не пересекающей прямую KL. Попытки таких доказательств возникали, по-видимому, ещё до Евклида и, несмотря на неудачу, не прекращались на протяжении более. 2000 лет. Опубликование работ Н. И. Лобачевского сначала уменьшило число таких доказательств, а затем и совсем положило им конец.

Если у нас нет уверенности в этом вопросе, то мы стоим  перед двумя   возможностями,   одинаково  равноправными:  первая   возможность — принять, что- через точ ку   вне  прямой   на  данной  плоскости  можно  провести  только одну прямую, не пересекающую данную прямую;  вторая     возможность — принять,     что    таких  прямых  можно  провести  больше одной.  Евклид  при создании   своих «Начал» пошёл по первому пути, включив в  число своих аксиом аксиому о параллельных.

С двенадцатилетнего возраста нас приучали следовать в вопросе о параллельных за Евклидом. Поэтому нам так же трудно сойти с привычного пути, как было когда-то трудно людям, верившим в истинность системы мира, созданной Птолемеем, почувствовать себя в ином мире — мире Коперника. Правда, в последнем случае нужно было заменить привычный, ошибочный взгляд на окружающий нас мир истинным и совершенно противоположным. В вопросе же геометрии нам не говорят, что мы шли по неверному пути; нас только предупреждают, что есть и иной путь, чем путь Евклида, в рассуждениях о параллельных.

5. Однако ни это открытие Лобачевского, ни убедительное обоснование его выводов, полученное несколько позднее, ни признание этих выводов крупнейшими математиками второй половины XIX века не успокоили искателей доказательства пятого постулата. В разных странах люди по-прежнему занимались (и до сих пор кое-где занимаются) поисками, теперь уже явно безнадежными. По-прежнему появлялись брошюры, статьи, рукописи с такими «доказательствами». Например, в 1913 году появилась брошюра преподавателя математики О. Вржесневского «Доказательство «аксиомы» параллельных прямых». А когда профессор Московского университета Б. К. Млодзеевский высказал автору свои возражения, последний «опроверг» их во втором, дополненном издании своей брошюры, содержащей выразительное посвящение: «Посвящается тем, кто мыслит глубоко...»

А вот другая брошюра, в которой «доказывается» пятый постулат; ее издал в 1926 году некто М. М. Гаркуша под названием «Параллельные линии. Постулат Евклида. В чем ошибка Лобачевского?»

Вывод о независимости аксиомы о единственности параллельной от других общепринятых геометрических аксиом представляет собой, казалось бы, весьма частный вопрос геометрии. В действительности же он сыграл громадную роль в истории математики. Он привел к пересмотру и перестройке всей геометрии и заставил математиков глубже вникнуть в вопросы обоснования различных математических дисциплин.

Список литературы:

Математика  после уроков.  В.Б. Балк, Г.Д. Балк

Книга  для внеклассного чтения по математике в старших классах.  А.А. Колосов.