Разработка математического кружка для учащихся 5 – 6 классов.
методическая разработка (6 класс) по теме

Разработка математического кружка для учащихся 5 – 6 классов.

Занятие 1 по теме «Графы»

ПРИМЕР 1. Три друга – Владимир, Игорь и Сергей – окончили Якутский государственный университет и преподают математику, физику и литературу в школах Якутск, Вилюйск и Нерюнгри. Владимир работает не в Вилюйске, Игорь не в Якутске. Вилюйчанин преподает не физику, Игорь не математику, якутянин преподает литературу. Какой предмет и в каком городе преподает каждый из них?  

РЕШЕНИЕ. В этой задаче может помочь составление более сложного графа. Первые три точки (вершины) слева В, И, С обозначают друзей, три точки (вершины) предметы, три точки (вершины) справа Я, В, Н обозначают города. Если рассуждать как в предыдущих задачах, то мы получим следующий граф.

ЗАДАЧИ для самостоятельного решения.

1. Алеша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один ездит домой из школы на автобусе, другой – на трамвае, третий на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадь!» Кто на чем ездит домой!
2. В бутылке, стакане, кувшине и банке налиты молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко находятся не в бутылке, в банке – не лимонад и не вода, а сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Определите, где какая жидкость.
3. В одном дворе живут четыре друга. Вадим и водитель старше Сергея; Николай и врач занимаются боксом; программист – младший из друзей; по вечерам Антон и инженер играют в домино против Сергея и программиста. Определите профессию каждого из друзей.

Занятие 2 по теме «Графы»

ЗАДАЧА 1. 5 мальчиков обменялись рукопожатиями. Сколько рукопожатий было?

РЕШЕНИЕ. Здесь 5 мальчиков – 5 точек графа, рукопожатия – ребра графа. Каждый мальчик здоровается с каждым четырем мальчиков, а это и есть подсчет сторон и диагоналей пятиугольника.

Ответ: 5*4:2=10. Это правило также может примениться и в графе, где не все точки соединены между собой.

ЗАДАЧА 2. Сколько ребер у графа

                              А                                    С                      F

         В                                                            D  

                          E                                    

PЕШЕНИЕ.

Из А выходят 1 ребро, значит степень вершины А – 1.

Из В выходят 3 ребра, значит степень вершины В – 3.

Из С выходят 2 ребра, значит степень вершины С – 2.

Из D выходят 3 ребра, значит степень вершины D – 3.

Из Е выходят 2 ребра, значит степень вершины Е – 2.

Из F выходят 1 ребро, значит степень вершины F – 1.

По правилу Эйлера суммируем степени и делим на 2.

(1+3+2+3+2+1):2=6. Итак, в этом графе 6 ребер.

Покажем применение правила подсчета ребер графа на другом примере.

ЗАДАЧА 3. В государстве 24 города. Может ли быть так, что 8 из них соединены с тремя городами, 11 – с пятью городами, а 5 – с четырьмя городами?

РЕШЕНИЕ. Представим граф, в котором 24 вершины (это города).

8 городов соединены с тремя городами, значит из этих восьми городов выходят три дороги, т.е. степень каждого из восьми вершин равна 3.

Из 11 городов соединены с пятью городами, значит из этих одиннадцати городов выходят пять дорог, т.е. степень каждого из одиннадцати вершин равна 5.

Из 5 городов соединены с четырьмя городами, значит из этих пяти городов выходят четыре дороги, т.е. степень каждого из пяти вершин равна 4.

Тогда количество ребер графа будет равна:

(8*3+11*5+5*4):2=99:2 – видим, что на 2 не делится. Значит такой граф существовать не может.

ЗАДАЧИ для самостоятельного решения

1. Десять человек приветствовали друг друга рукопожатиями. Пять человек сделали по семь рукопожатий, трое – по пять и двое – по четыре. Сколько всего было сделано рукопожатий?
2. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3 друга в этом классе, 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей?
3. Сколько диагоналей у тринадцатиугольника?