ЕГЭ Математика. Профиль. Векторы (часть 2). Презентация.
презентация к уроку (11 класс)

Слайд 1

Составила учитель математики Гринюк Любовь Викторовна МАОУ Ильинская СОШ г. Домодедово Московской области

Слайд 2

Справочный материал Координаты вектора

Слайд 3

Справочный материал Сложение векторов Сумма векторов – вектор.

Слайд 4

Справочный материал Вычитание векторов Разность векторов – вектор.

Слайд 5

Справочный материал Скалярное произведение векторов Скалярное произведение векторов – число. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. a b = a b cos ( ) a b Для вычисления скалярного произведения векторов существуют разные формулы. Формула вычисления скалярного произведения векторов через координаты векторов не содержит косинуса угла.

Слайд 6

Справочный материал a b = a b cos 90 0 a b = 0 0 Если векторы и перпендикулярны, то скалярное произведение векторов равно нулю. a b Обратно: если , то векторы и перпендикулярны . a b = 0 a b a b = 0 a b   Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. a b = 90 0

Слайд 7

Справочный материал a b = a b cos a b Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда угол между векторами острый. a b > 0    > 0 > 0 a b < 90 0 a b < 90 0

Слайд 8

Справочный материал a b = a b cos a b Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой. a b < 0    < 0 < 0 a b > 90 0 a b > 90 0

Слайд 9

Справочный материал a b = a b = a b cos 0 0 a b 1 a b = 0 0 Если a b a b = a b cos 180 0 a b -1 a b = 180 0 Если a b = – a b

Слайд 10

Справочный материал a a = a a cos a 0 0  1 a a = 0 0 a a = = a 2 Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается a a a a 2 Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. a 2 = a 2

Слайд 11

№ 22 Вектор с концом в точке B (5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите абсциссу точки А. Решение: А( х ; у) ; В(5; 3) ; 5 – х = 3 ; x = 2. 3 х 1 0 х 2 2

Слайд 12

№ 23 Вектор с концом в точке B (5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату точки А. Решение: А(х; у ) ; В(5; 3) ; 3 – у = 1 ; у = 2. 3 х 1 0 х 2 2

Слайд 13

№ 24 Вектор с концом в точке B (5; 4) имеет координаты (3; 1). Найдите сумму координат точки А. Решение: А( х ; у ) ; В(5; 4) ; 5 – х = 3 ; х = 2; 4 – у = 1 ; у = 3; x + y = 3 х 1 0 х 2 5

Слайд 14

№ 25 Найдите сумму координат вектора . Решение: (2 – 0; 6 – 0) ; (2; 6) ; (8 – 0; 4 – 0) ; (8; 4) ; = (2 + 8; 6 + 4) = (10; 10) ; x + y = 3 х 1 0 х 2 2 0

Слайд 15

№ 26 Найдите квадрат длины вектора . Решение: (2 – 0; 6 – 0) ; (2; 6) ; (8 – 0; 4 – 0) ; (8; 4) ; = (2 + 8; 6 + 4) = (10; 10) ; 3 х 1 0 х 2 2 0 0

Слайд 16

№ 27 Найдите сумму координат вектора . Решение: (2 – 0; 6 – 0) ; (2; 6) ; (8 – 0; 4 – 0) ; (8; 4) ; = (2 – 8; 6 – 4) = (– 6; 2) ; x + y = 3 х 1 0 х 2 - 4

Слайд 17

№ 28 Найдите квадрат длины вектора . Решение: (2 – 0; 6 – 0) ; (2; 6) ; (8 – 0; 4 – 0) ; (8; 4) ; = (2 – 8; 6 – 4) = (– 6; 2) ; 3 х 1 0 х 2 4 0

Слайд 18

№ 29 Найдите скалярное произведение векторов и Решение: (2 – 0; 6 – 0) ; (2; 6) ; (8 – 0; 4 – 0) ; (8; 4) ; a b = 2 · 8 + 6 · 4 = 3 х 1 0 х 2 4 0

Слайд 19

№ 30 Найдите угол между векторами и . Ответ дайте в градусах. Решение: α a b = a b cos α 2 · 8 + 6 · 4 = 40 ; (2 – 0; 6 – 0) ; (2; 6) ; (8 – 0; 4 – 0) ; (8; 4) ; a b = cos α = α = 45º 3 х 1 0 х 2 4 5

Слайд 20

№ 3 1 Найдите сумму координат вектора Решение: ( 4 – 2 ; 10 – 4 ) ; (2; 6) ; ( 10 – 2 ; 6 – 2 ) ; (8; 4) ; = (2 + 8; 6 + 4) = (10; 10) ; x + y = 3 х 1 0 х 2 2 0

Слайд 21

№ 32 Найдите квадрат длины вектора Решение: ( 4 – 2 ; 10 – 4 ) ; (2; 6) ; ( 10 – 2 ; 6 – 2 ) ; (8; 4) ; = (2 + 8; 6 + 4) = (10; 10) ; 3 х 1 0 х 2 2 0 0

Слайд 22

№ 33 Найдите сумму координат вектора . Решение: (4 – 2; 10 – 4) ; (2; 6) ; (10 – 2; 6 – 2) ; (8; 4) ; = (2 – 8; 6 – 4) = (– 6; 2) ; x + y = 3 х 1 0 х 2 - 4

Слайд 23

№ 34 Найдите квадрат длины вектора . Решение: (4 – 2; 10 – 4) ; (2; 6) ; (10 – 2; 6 – 2) ; (8; 4) ; = (2 – 8; 6 – 4) = (– 6; 2) ; 3 х 1 0 х 2 4 0

Слайд 24

№ 35 Найдите скалярное произведение векторов и Решение: (4 – 2; 10 – 4) ; (2; 6) ; (10 – 2; 6 – 2) ; (8; 4) ; a b = 2 · 8 + 6 · 4 = 3 х 1 0 х 2 4 0

Слайд 25

№ 36 Найдите угол между векторами и . Ответ дайте в градусах. Решение: a b = a b cos α 2 · 8 + 6 · 4 = 40 ; (4 – 2; 10 – 4) ; (2; 6) ; (10 – 2; 6 – 2) ; (8; 4) ; a b = cos α = α = 45º 3 х 1 0 х 2 4 5

Слайд 26

№ 37 Найдите длину диагонали прямоугольника, вершины которого имеют координаты (2; 1), (2; 4), (6; 1), (6; 4). Решение: (2; 1) (2; 4) (6; 1) (6; 4) a b ? a = 6 – 2 = 4; b = 4 – 1 = 3; d = 3 х 1 0 х 2 5

Слайд 27

№ 38 На координатной плоскости изображены векторы . Вектор разложен по двум неколлинеарным векторам и : , где k и l — коэффициенты разложения. Найдите k . Решение: 2 4 = (1; 3); 4 6 2 = (2; 1); 3 8 5 = (5; 0); = k · (1; 3)+l · (2;1) = = (k; 3k)+ (2l; l) =(k+2l);(3k+l). k+2l=5, 3k+l=0; | · (-2) k+2l=5, -6 k -2 l=0; -5 k=5, k = 3 х 1 0 х 2 - 1

Слайд 28

№ 39 На координатной плоскости изображены векторы и . Найдите скалярное произведение Решение: 5 2 8 = ( 4 ; 6 ); 11 3 5 = ( 6 ; -2 ); = 4 · 6 + 6 · (- 2 ) = 3 х 1 0 х 2 1 2

Слайд 29

№ 40 Даны векторы Найдите длину вектора Решение: = ( 1 + 3 + 4 ; 2 – 6 – 2 ) = ( 8 ; – 6 ) ; 3 х 1 0 х 2 1 0

Слайд 30

№ 41 Даны векторы Найдите значение выражения Решение: = ( 4 ; – 4 ) ; = 4 · 4 – 4 · (-3) = 16 +12 = 3 х 1 0 х 2 2 8

Слайд 31

№ 42 На координатной плоскости изображены векторы . Найдите длину вектора . Решение: 5 2 8 = ( 4 ; 6 ); 11 4 = ( 6 ; -2 ); 9 9 5 = ( 1 ; -4 ); = ( 11 ; 0 ); 3 х 1 0 х 2 1 1

Слайд 32

№ 43 Даны векторы Найдите скалярное произведение Решение: a b = 3 · 0 + (-2) · 1 = 3 х 1 0 х 2 - 2

Слайд 33

№ 44 Длины векторов и равны и 5, а угол между ними равен 150°. Найдите скалярное произведение Решение: a b = a b cos α 3 х 1 0 х 2 - 1 5

Слайд 34

№ 45 Даны векторы Найдите косинус угла между ними. Решение: a b = a b cos α 3 · (-4) + 4· (-3) = a b = -24 5 5 cos α = 3 х 1 0 х 2 - 0 , 9 6

Слайд 35

№ 46 Длина вектора равна угол между векторами и равен 45°, а скалярное произведение равно 12. Найдите длину вектора Решение: a b = a b cos α ? 3 х 1 0 х 2 6