Современные образовательные технологии в учебном процессе
учебно-методический материал

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Видновская средняя общеобразовательная школа №10»

г. Видное, Московская  область

«ИННОВАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В УСЛОВИЯХ РЕАЛИЗАЦИИ ФГОС ООО»

 Учитель математики:

А.А.Четвертакова

2020г.

1. Введение

Поскольку традиционное обучение не отвечает современным требованиям общества, существует объективная необходимость применения новых методов обучения, которые позволят формировать творческих знающих специалистов, способных самостоятельно решать научные проблемы.

             Глубокие, прочные и, главное, осознанные знания могут получить все школьники, если развивать у них не столько память, сколько логическое мышление. Ведь не секрет, что учитель довольно часто встречается с такой ситуацией: он рассказывает и показывает иллюстрации, но некоторые ученики его не слышат, поскольку голова занята совсем другим. Как до таких «достучаться» и «вернуть» на урок?

В примерной программе по математике предусмотрено значительное увеличение активных форм работы, направленных на вовлечение учащихся в математическую деятельность, на обеспечение понимания ими математического материала и развития интеллекта, приобретение практических навыков, умений проводить рассуждения, доказательства Учитель должен  уметь строить урок с учетом формирования и развития универсальных учебных действий у учащихся, знать и использовать технологии, которые позволят осуществить достижение требований ФГОС наилучшим способом.

   В связи с этим         наиболее актуальными становятся  педагогические технологии.

Технология (от греч. téchne — искусство, мастерство, умение и греч. logos — изучение) — комплекс организационных мер, операций и приемов, направленных на изготовление, обслуживание, ремонт и/или эксплуатацию изделия с номинальным качеством и оптимальными затратами.

Педагогическая технология - это такое построение деятельности учителя, в котором входящие в него действия представлены в определенной последовательности и предполагают достижения прогнозируемого результата.

Образовательная технология:

• легко вписывается в учебный процесс;
• позволяет достигать поставленные программой и стандартом образования целей по конкретному учебному предмету;  
• обеспечивает внедрение основных направлений педагогической стратегии: гуманизации, гуманитаризации образования и личностно-ориентированного подхода;
• обеспечивает интеллектуальное развитие детей, их самостоятельность;
• обеспечивает доброжелательность по отношению к учителю и друг к другу;
• отличительной чертой большинства технологий является особое внимание к индивидуальности человека, его личности;
• четкая ориентация на развитие творческой деятельности.

Виды технологий:

• -развивающее обучение;
• -проблемное обучение;
• -разноуровневое обучение;
• -коллективная система обучения (КСО);
• -технология решения изобретательских задач ( ТРИЗ);
• -исследовательские методы обучения;
• -проектные методы обучения;
• -технология « дебаты»;
• -технологию модульного и блочно- модульного обучения;
• -лекционно – семинарско - зачетная система обучения;
• -технология развития «критического мышления»;
• -технология использования в обучении игровых методов: ролевых, деловых и других видов обучающих игр;
• -обучение в сотрудничестве ( командная, групповая работа);
• -информационно – коммуникационные технологии;
• -здоровье сберегающие технологии;
• - систему инновационной оценки « портфолио»;
• - технологию дистанционного обучения
• технология мастерских
• групповое обучение

На своих уроках я часто применяю проблемное обучение, проектные технологии, исследовательские методы обучения.

2. Проблемное обучение.

Начальным моментом мыслительного процесса обычно является проблемная ситуация. Мыслить человек начинает, когда у него появляется потребность что-то понять. Мышление обычно начинается с проблемы или вопроса, с удивления или недоумения, с противоречия.

Если учитель не будет постоянно заботиться об этом, поставляя «пищу для ума», то ученики не смогут состояться как творческие личности.

Если учитель хорошо усвоит содержание и сущность теории организации процесса проблемного обучения, овладеет формами, методами и техническими средствами обучения и будет систематически творчески применять усвоенное на практике, то успех придет сам.

Проблемное обучение – это тип развивающего обучения, содержание которого представлено системой проблемных задач различного уровня сложности. В процессе решения таких задач учащимся в их совместной деятельности с учителем и под его общим руководством происходит овладение новыми знаниями и способами действия, а через это – формирование творческих способностей: продуктивного мышления, воображения, познавательной мотивации, интеллектуальных эмоций.

     Можно выделить четыре наиболее характерных типа проблемных ситуаций.^[1] 

 Первый тип.

     Проблемные ситуации чаще всего возникают тогда, когда учащиеся сталкиваются с необходимостью использовать ранее усвоенные знания в новых практических условиях.

     Как правило, учителя организуют эти условия не для того лишь, чтобы учащиеся сумели применить свои знания на практике, но и для того, чтобы они при попытке использовать имеющиеся знания, умения и навыки для решения практической задачи столкнулись с фактом их недостаточности. Осознание этого факта учащимися возбуждает познавательный интерес и стимулирует поиск новых знаний.

     Алгебра, 8 класс, тема «Применение свойств неравенств с одной переменной».

     В квадратном уравнении, написанном на доске, во время перемены кто-то стёр одно число:

                                .

     Учитель не стал восстанавливать исходное уравнение и, поставил на свободное место букву  и, уравнение стало выглядеть так:

                                .

     Ребятам было предложено самим найти значение . Чтобы это стало возможным, учитель сообщил два следующих факта:

• число натуральное;
• уравнение имеет два различных корня.

     Вопросами о том, каковы коэффициенты и свободный член этого уравнения, от чего зависит количество корней квадратного уравнения , учитель подвёл учащихся к необходимости сначала составить дискриминант

, а затем рассмотреть неравенство >0. Решить само неравенство уже не составило труда:  -8m>-9,  m>.

     Значит, единственно возможное значение m – это 1.

     Таким образом, перед уроком на доске было записано:

                                  .

 Второй тип.

     Проблемная ситуация легко возникает в том случае, если имеется противоречие между теоретически возможным путём решения задачи и практической неосуществимостью избранного способа.

     Перед изучением темы «Описанные треугольники» (геометрия 8 класс) была предложена задача «Участок леса имеет треугольную форму. Нужно было выбрать место для палатки, которая была бы на одинаковом расстоянии от границ участка леса».

     Предлагалось идти от середины сторон лесса, из углов участка. Но искомое место получалось в разных точках. Возникло неожиданное затруднение.

     Так, ещё до начала изучения новой темы была создана проблемная ситуация, которая помогла учащимся увидеть проблему, почувствовать необходимость её решения, выдвинуть предположения (гипотезы) и убедиться в их ошибочности.

     Данная проблемная ситуация возникла при имеющемся противоречии между теоретически возможным путём решения задачи и практической неосуществимостью избранного способа.

     Третий тип.

     Проблемная ситуация возникает тогда, когда имеется противоречие между практически достигнутым результатом и отсутствием у учащихся знаний для его теоретического обоснования.

     Геометрия, 8 класс, тема «Теорема Пифагора».

     Перед изучением этой темы можно предложить учащимся следующее практическое задание:

• Из частей двух квадратов, построенных на  катетах прямоугольного треугольника, равных 3 и 4, составить новый квадрат.

     Чтобы выполнить это задание, нужно разбить площадь квадратов на квадратные единицы и сравнить длину стороны полученного квадрата с гипотенузой.

     В результате практической работы учащиеся установили, что сторона нового квадрата равна длине гипотенузы и новый квадрат можно построить на этой гипотенузе.

     Получен вывод о том, сто площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов построенных на катетах.

     Для проверки вывода можно предложить выполнить аналогичное построение для прямоугольного треугольника, катеты которого равны 2 и 4.

     Разбивка квадратов на единичные квадраты и создание нового квадрата к выполнению этого задания не привели. Теперь возникла проблемная ситуация из-за того, что у учащихся появилось сомнение относительно правильности полученного вывода. Возникшее затруднение вызвало у них желание и потребность выяснить, равна ли площадь квадрата, построенного на гипотенузе, сумме площадей квадратов , построенных на катетах. В данном случае потребность теоретического обоснования результатов учебно–практического задания подвела к формулировке теоремы Пифагора.

     Четвёртый тип.

     Этот тип следует считать самым распространённым.

     Проблемные ситуации возникают, если учащиеся не знают способа решения поставленной задачи, не могут ответить на проблемный вопрос, дать объяснение новому факту в учебной  и жизненной ситуации, т.е.  в случае осознании учащимися недостаточности прежних знаний для объяснения нового факта.

     Алгебра, 7 класс, тема «Формулы сокращённого умножения».        

     Учитель рассказывает: «Вчера по телевизору я смотрела передачу с участием экстрасенса, который произвёл на меня огромное впечатление. Я научилась быстро выполнять в уме операции над числами. Хотите я продемонстрирую свои способности?» Получив утвердительный ответ, учитель предлагает посоревноваться с ним в вычислениях.

     І тур. Учитель просит кого-нибудь из ребят назвать два   последовательных натуральных числа. Пусть школьник назовёт 129 и 130. Теперь учитель и класс вычисляют на скорость 1302 – 1292. Победителем, причём мгновенно, выходит учитель.

     ІІ тур. Вновь учитель обращается к одному из учеников и просит того назвать любые два числа. Пусть ученик назвал  1,43 и 2,51. Теперь класс и учитель соревнуются при вычислении значения выражения:

     Понятно, что учитель, пользуясь формулами сокращённого умножения, легко побеждает в соревновании. Изменяя задания, неизменно побеждая, учитель, в конце концов, добьётся от ребят фразы типа: «Вы что-то знаете!»

«Да, я действительно что-то знаю,- заявляет учитель. – Вы также узнаете это что-то на сегодняшнем уроке и сможете быстро выполнять такие вычисления».

3. Примеры проблемных ситуаций, используемых

на уроках математики.

1.   Геометрии 7 класс, тема «Сумма углов треугольника».

С учениками гуманитарного класса проводится небольшая беседа о роли великих людей в истории развития математики и предлагается проанализировать слова А. Данте: «… что как для смертных истина ясна,

что в треугольник двум тупым не влиться…».

 Или проводится практическая работа, с использованием готовых моделей: склеиваем поочередно углы … Делаем вывод: сумма углов треугольника 180 градусов, хотя треугольники у всех разные, а результат получился одинаковый. Но обязательно найдется 1-2 ученика, у которых другой результат. Поэтому доказываем теорему.

2. Алгебра 8 класс, тема «Применение свойств неравенств с одной переменной».

1.   В типографию поступил для печати новый учебник алгебры для 8 класса. Но, к сожалению, в компьютере произошел сбой, и одно из заданий стало выглядеть следующим образом:

     «С помощью калькулятора найти значение выражения  при последующих значениях переменной: 5; -2; 8,3; 10,63; -0,5; 3; ».

     Типографские корректоры заметили, что уже при  в приведённом выражении получаются странные вещи.

 Что происходит с выражением при ? Как узнать, нет ли ещё лишних чисел в данном упражнении?

     Обсуждение создавшейся ситуации начинается с того, что выясняют, чем же так не устраивает значение переменной, равное 5? Учитель направляет разговор так, чтобы ученики вспомнили само понятие арифметического квадратного корня, условия его существования.

     После обсуждения учащиеся составляют необходимое неравенство

14-6и решают его. Получив в ответе промежуток (], находят «случайно попавшие» в задание значения переменной:5; 8,3; 10,63; 3.

     Всё разрешение проблемной ситуации проходит через исследование. Происходит смена механической подстановки осмысленным методом решения.

2.  На доске написано задание: «Решите уравнение ».

     Начинается обсуждение с повторения понятия модуля, известного учащимся с 6 класса. Выясняется, чему равен модуль неотрицательного числа. Учитель фиксирует на доске ответы в виде записи:

                                        <0.

     Чему  в таком случае равно выражение ? В ходе обсуждения школьники выясняют, что

                         =

                                            -<0

     Теперь следует сопоставить полученные выводы с тем условием, что исходная дробь равна 1. Учащиеся вспоминают: равенство единице означает, что числитель дроби равен знаменателю, т. е.

                    , отсюда .

     Если не находится ни одного ученика, готового «поправить» неравенство, учитель обращает внимание класса на то, что выражение не может принимать нулевых значений, поскольку стоит в знаменателе дроби, т. е.  >0, <3,4.

     Ответ: .

     В данной ситуации использована задача опережающего характера. Она сводится к решению на интуитивном уровне уравнения с параметром, а также уравнения, содержащего модуль алгебраического выражения.

3. Алгебра 8 класс.

     Перед изучением темы о формуле корней квадратного уравнения учитель может обратить внимание на примеры, которые решались способом выделения квадрата двучлена и предложить для сравнения решить следующее уравнение:  

                                .

     Ребята приступают к работе и выполняют решение так:

           .

     Примеры типа , где не является квадратом целого числа, учащиеся ещё не решали. И на этом этапе они обязательно споткнутся. После чего учитель объявляет, что известный ребятам способ выделения квадрата двучлена универсален, но требует каждый раз громоздких преобразований. Поэтому удобнее, решив квадратное уравнение в общем виде, вывести формулу его корней и в дальнейшем решать квадратные уравнения по этой формуле. Затем учитель объявляет новую тему урока, а ученики психологически готовы её воспринять.

      В данной ситуации возникает познавательное затруднение когда учитель побуждает учащихся к сравнению, сопоставлению и противопоставлению фактов.

4. Алгебра, 8 класс.

     При изучении темы «Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби», после повторения основного свойства дроби

ставится проблема: «Какое выражение проще вычислить:  или  »?

 Оказывается, что вычислить проще, так как делить на рациональное число легче, чем на иррациональное число. Поэтому очень полезно научиться освобождаться от иррациональности в знаменателе. Учащимся предлагается подумать, как это сделать.

)  .

     Анализируем, на какое выражение нужно умножить знаменатель, чтобы корни «исчезли». А чтобы дробь не изменилась, воспользуемся основным свойством дроби. Получаем:

     Перечисляются операции, которые были выполнены.

     Для сильных учащихся можно предложить избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:

                         .

     В данном случае проблема умений, учащихся вызывает заинтересованность знаниями, появляется желание устранить пробелы в знаниях.

5. Алгебра 9 класс, тема «Сумма  первых членов арифметической прогрессии».

     Для создания проблемной ситуации учащимся предлагается старинная задача:

     «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками так,  что разность между каждым человеком и его соседом равняется  меры».

     Далее учитель сообщает, что эта и подобные задачи в древности решались следующим образом:

10 мер:10=1 мера – средняя доля

1 мера•2=2 меры – удвоенная средняя доля

Удвоенная средняя доля – это сумма долей пятого и шестого человека.

 - удвоенная доля пятого человека.

 - доля пятого человека и т. д.

     Такие задачи, а также задачи, связанные с разделом имущества или наследства, приводят к понятиям арифметической и геометрической прогрессий, которые встречаются в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до н. э.

     Задачей урока является получение зависимости суммы членов прогрессии от их числа и проверка того, верно ли в древности решали приведённую задачу.

     Учитель предлагает попытаться вначале найти сумму двадцати последовательных натуральных чисел, начиная с единицы. Если ученики будут предлагать сложение непосредственно, то следует сказать, что в данном случае важно получить идею нахождения суммы для любого количества членов, которое может быть достаточно большим. Затем, учитель рассказывает легенду о маленьком Гауссе и представляет учащимся время для вычислений. Результат получен. Но известно, что Гаусс сложил эти числа за 1 минуту.

     Учитель предлагает записать все числа в столбик и спрашивает:

• Посмотрите, пожалуйста, на эти числа. Вы ничего не заметили?
• Верно, это арифметическая прогрессия, разность которой равна 1.
• Имеется ещё одна закономерность. Если учащиеся её не видят, то учитель проводит стрелки.

1

2

3

.

.

.

18

19

20

• Сумма двух членов, равностоящих от концов последовательности, равна 21; таких сумм 10. Итак, сумма всех двадцати членов прогрессии:

                    или в общем виде .

     Следующая проблема создаётся следующим вопросом:

• Как изменятся наши рассуждения, если таких чисел 21?

1. 21
2. 20
3. 19
4. 18

.            .

.            .

.            .

19. 3
20. 2
21. 1

     Если сопоставить данный столбец с таким же, но записанным в обратном порядке, то появится ещё один способ доказательства.

     Наконец выясняется, как поступить, если требуется найти сумму п последовательных членов арифметической прогрессии, знаменатель которой отличен от 1.

     Вначале требуется убедиться, что

 . Это верно, т. к. значение выражения

  не зависит от .

     Получаем окончательную формулу (для решения общей проблемы). , после чего возвращаемся к исходной задаче.

     Учащиеся становятся очевидцами возникновения проблем, участниками их постановки и разрешения, соавторами небольших теорий, исследователями полученных закономерностей. Структура темы учебника становится более понятной, а само её изучение проходит в форме решения интересных практических и познавательных задач.

6. Для создания проблемных ситуаций можно использовать домашние задания, которые могут поставить учащегося в тупик.

     Например, перед изучением в 8 классе теоремы об одном замечательном свойстве окружности, ученики получают такое практическое задание на дом:

 «Дана прямая  и две точки  и  вне её. С помощью треугольника найдите такую точку , чтобы угол был прямой».

     Ученики должны быть предупреждены о возможности нескольких решений. Также предлагается рассмотреть различные положения точек  ,  и прямой .

     Дома, учащиеся, взяв в помощь треугольник, сопоставят его стороны  с точками  и , а затем начнут вертеть его, пытаясь найти нужную точку на прямой.

     В зависимости от расположения точек   и , прямой , они её либо найдут (возможны два решения), либо нет.

     При проверке домашнего задания (перед изучением новой темы) можно задать вопрос классу: «Нельзя ли решить эту задачу с помощь циркуля и линейки?»

     Этот вопрос побуждает ребят проанализировать действия, совершенные при попытке решения задачи. И некоторым из них придёт в голову мысль, что сами того не зная, они пользовались свойством окружности, т. е. пользовались линейкой как циркулем. А будут и те, кто дома догадался использовать в своей работе циркуль.

     Далее учащиеся приступают к изучению новой темы, при этом объяснение лучше провести в форме беседы (вопрос-ответ). В конце урока ученикам даётся возможность уже чётко ответить на поставленный вопрос.

     В данном случае проблема возникла в связи с отсутствием у учащихся определённых знаний. Учащиеся осознают наличие пробелов в своих знаниях, они готовы к работе над устранением этих пробелов. Такая домашняя работа даёт базу для введения новых геометрических положений. 

7. Геометрия 8 класс.

     После изучения свойств ромба можно предложить решить задачу:

     «Однажды Снежная Королева попросила Деда Мороза расставить в Ледяном дворце 7 ёлок так, чтобы среди любых трёх из них нашлось бы две на расстоянии 10-ти шагов друг от друга. Выполнима ли просьба Снежной Королевы?»

     Первые попытки решить задачу будут неудачными, и поэтому учитель напоминает о том что, что им знакома фигура ромб и предлагает начать размещение сначала 4, потом 5, 6 ёлок, а закончить 7 ёлками.

     Если ребятам не придёт идея сдвинуть два ромба, то учитель может объяснить идею:

• Ёлки располагаются в вершинах двух ромбов, стороны которых и меньшая диагональ равны 10-ти шагам.
• Кроме того, у этих ромбов имеется общая вершина (С), а две другие вершины А и В также находятся на расстоянии 10-ти шагов.

     Ответ: просьба Снежной Королевы выполнима.

     В данном случае ученики столкнулись с ситуацией, когда нужно применить имеющиеся знания на практике,  и с  противоречием между теоретически возможным решением задачи и практической его неосуществимостью. В данном  случае совместный поиск будет успешным. 

8. Геометрия 7 класс, тема «Вертикальные углы».

     Понятие вертикального угла можно ввести следующим образом. На доске начерчено несколько углов.

    Учитель задаёт наводящие вопросы:

• Что общего у всех пар углов?
• Чем отличается пара углов а) от пары углов б)?
• Чем отличается пара углов б) от пары углов в)?

     Учитель сообщает: «Пару углов в) называют вертикальными углами» и предлагает дать их определение. Глядя на рисунок в) и учитывая  особенность углов, учащиеся без затруднений дают верное определение.

     Во время приведённой проблемной беседы в процессе совместной деятельности учащихся и учителя происходит осознание, принятие и разрешение проблемных ситуаций. Учащиеся самостоятельно делают выводы, обобщения, формулируют правила. Во время беседы учитель задаёт вопросы, ответы на которые не содержатся ни в прежних знаниях, ни в предъявляемой информации.  

9. Геометрия 7 класс, тема «Измерение углов транспортиром»

     Задача: «Требуется измерить данный угол без помощи транспортира». Данную задачу можно предложить на дом. Если  решение не было найдено, то учитель может сделать подсказку: «Нет транспортира, но есть другие предметы, которые могут его заменить!» Тогда учащиеся начинают искать у себя, в классе вещи, которые могут заменить транспортир. Идея – инструмент или прибор должны иметь деления. Оказывается, что нужный прибор – часы. Их устанавливают так, что начало секундной стрелки совпадает с одной стороной угла, фиксируют момент совпадения с другой стороной и … сообщают градусную меру угла.

     В этом случае не видно, как можно подойти к решению этой задачи. Поиск решения вызывает у учащихся заинтересованность знаниями, концентрирует энергию, необходимую для разрешения этой проблемы.

10. Геометрия 8 класс, тема «Площадь треугольника».

     Заранее учитель задаёт ученикам задание повторить формулу площади прямоугольника и решить одну - две соответствующие задачи. Урок можно начать с самостоятельной работы учеников.

• Найти площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов 6см, а другой 9см.

     Знакомясь с данной задачей учащиеся замечают, что они знают только формулу площади прямоугольника. Здесь и выявляется проблемная ситуация.

Некоторые ученики, анализируя подробно эту ситуацию приходит к учебной проблеме: как вычислить площадь прямоугольного треугольника, применяя формулу площади прямоугольника.

     Для решения это проблемы они могут предложить следующие варианты:

• разбиение на квадратные сантиметры;
• дополнение до прямоугольника.

     За гипотезу принимается второй вариант. Действительно, легко заметить, что если прямоугольный треугольник дополним до прямоугольника, то диагональ разобьёт  его на два равных прямоугольных треугольника. А так как площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон, то площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон, то площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

     Затем, учитель обращает внимание учеников на тот факт, что основная проблема решена только частично.

     По предложению учителя ученики решают и другую частную задачу

• Вычислите площадь произвольного остроугольного треугольника.

     При помощи дополнительных вопросов учителя учащиеся находят способ решения путём достроения остроугольного треугольника до параллелограмма. Затем, воспользоваться тем фактом, что диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

     После этого ученикам предлагается тем же путём вычислить площадь произвольного тупоугольного треугольника.

     Итогом рассмотрения этих частных случаев может стать решение следующей учебной проблемы: «Найти площадь произвольного треугольника».

     Учащиеся теперь подготовлены самостоятельно доказать эту теорему.

     Обобщая изучаемый новый материал, учитель, задаёт следующее домашнее задание, которое тоже содержит элементы проблемной ситуации:

1. Попытаться найти другое доказательство теоремы о вычислении площади треугольника.
2. Решите следующие задачи:

1. Две стороны треугольника равны 18см и 24см. Вычислите высоту, проведённую ко второй стороне.
2. Вывести формулу для вычисления площади равнобедренного треугольника.

11. Геометрия 8 класс, тема «Теорема Пифагора»

• Учитель предлагает рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами 300 и 400 и задаёт вопрос: «Определяется ли гипотенуза данного треугольника однозначно?» Ученики отвечают утвердительно и обосновывают свой ответ. Тогда учитель просит назвать длину гипотенузы данного треугольника. Ученики осознают, что не могут этого сделать, хотя в принципе гипотенуза определяется однозначно. Таким образом, ребята ощутили ограниченность своих знаний и осознали необходимость их пополнения.
• «Фантастика! Вчера у нас в школе появился инопланетянин и предложил выбрать пластинки из неизвестного нам материала. Он положил на стол прямоугольный треугольник, а потом на катетах и на гипотенузе построил квадраты из упомянутого материала. Все пластинки однородные и одинаковой толщины. От нас зависит выбор: взять квадратную пластинку, построенную на гипотенузе, или две квадратные пластинки, построенные на катетах (это условие инопланетянина). Что мы выбираем?» Ребята высказывают предположения, спорят, экспериментируют. Основная часть работы сопровождается вопросами к классу: «А как вы думаете?», «Предлагайте свои варианты», «Приведите опровергающий пример». Такие вопросы стимулируют учащихся к активной работе на уроке, помогают им « не выключаться» из процесса познания.

4. Исследовательская деятельность на уроках математики

Учитель может ставить перед классом и перед собой проблемы нерешенные, дискуссионные, нуждающиеся в исследовании не только ради решения задачи, но и ради поисков истины. И ученикам важно увидеть нечто, выходящее за рамки усвоения готовых понятий и решений, теорем и аксиом, регламентированных задач. Так, например, изложение нового материала может проводиться как на уровне ознакомления с уже существующей трактовкой, так и на уровне самостоятельных, полезных, пусть и неоригинальных наблюдений и обобщений, а также на уровне маленьких открытий, позволяющих по-новому взглянуть на изученный материал, известные понятия. В этом заключается один из видов исследовательской деятельности учащихся.  

 Учебно-исследовательская деятельность готовит учащихся к новым общественным отношениям, развивает личностно-значимые качества учащихся, необходимые им для успешного самоопределения в дальнейшем.

  Исследовательский метод обучения применим на всех ступенях обучения — с учетом возрастных возможностей и подготовки учащихся. Этот метод применяется в трех направлениях:

• включение элемента поиска во все задания учащихся;
• раскрытие учителем познавательного процесса, осуществляемого учащимися при доказательстве того или иного положения;
• организация целостного исследования, осуществляемого учащимися самостоятельно, но под руководством и наблюдением учителя (доклады, сообщения, проекты, основанные на самостоятельном поиске, анализе, обобщении фактов).

При использовании исследовательского метода меняется роль учителя: из носителя знаний и информации учитель превращается в организатора деятельности, консультанта и коллегу по решению проблемы. Педагог выступает как организатор формы и условий исследовательской деятельности, благодаря которым у ученика формируется внутренняя мотивация подходить к любой возникающей перед ним научной или жизненной проблеме с исследовательской, творческой позиции. Учитель, как организатор учебного процесса, должен проявлять и управленческие способности, и творческий подход. Непосредственное же руководство учебно-исследовательской работой школьника — это тот вид педагогического взаимодействия, в котором максимально раскрываются возможности сотрудничества, соавторства, сотворчества.

5. Примеры исследовательской деятельности на уроках математики.

Исследовательский характер работы обучающихся в процессе обучения является существенным условием применения проблемного метода.  Этапы деятельности учителя и ученика в процессе проблемного обучения  во многом схожи с этапами исследовательского метода.

1. Алгебра 8 класс, тема «Изучение теоремы Виета».

В начале урока предлагается игра: «Придумайте два каких-нибудь числа, а я назову квадратное уравнение, корнями которого будут ваши два числа». Например, ученики называют  4 и 1. Учитель записывает на доске уравнение:  x2 -5x+4=0.  Ребята  решают предложенное уравнение и убеждаются, что действительно корни:  4 и 1. Одновременно на доске заполняется таблица (последние два столбца пустые).

Ученики удивлены: как учитель может так быстро назвать уравнение с заданными корнями? Рассматривая запись на доске, кто-то из ребят замечает связь коэффициентов приведенного квадратного уравнения и его корней. Выдвигается гипотеза: если x1 u x2 -  корни уравнения х2+рх+q=0, то х1 +х2= -p,  х1∙  х2= q. Затем проверяется гипотеза (доказательство теоремы Виета) и применяются полученные знания при решении задач. Проверка гипотезы осуществляется учащимися самостоятельно.

2. Геометрия, 7 класс, тема урока «Некоторые свойства прямоугольных треугольников»

На каждой парте находится лист исследования

    1                                             2                                         3

Ребята должны распределить обязанности и провести исследование треугольников по схеме: измерить длину гипотенузы, построить медиану, измерить длину медианы, занести данные в таблицу, проанализировать заполненную таблицу, сформулировать и записать гипотезу о соотношении длин гипотенузы и медианы.

На следующем этапе исследования доказательство проходит в форме побуждающего проблемного диалога.

3. Математика, 5 класс, тема «Обыкновенные дроби»

После выполнения вычислений учащимся дается время  сделать вывод о качестве дроби после увеличения числителя, увеличения знаменателя.

4. Алгебра, 7 класс, тема «Умножение многочлена на многочлен»

Задания для  исследования

- для 1 группы

- для 2 группы

5. Математика, 6 класс, тема «Длина окружности»

Определение числа π.

 – взять бумажный круг, банку, стакан обвести по контуру на миллиметровую бумагу;

 – измерить диаметр получившейся окружности, вычислить радиус;

– опоясать окружность ниткой и измерить длину получившейся нити;

– найти отношение длины окружности к ее диаметру

Вычислить среднее арифметическое числа пи

6.Проект «Вся тригонометрия в одной задаче»

Так учащимся 10 класса предлагается найти как можно больше способов решения  тригонометрического уравнения   sin x + cos x = 1    

Задачи проекта:

-изучить и проанализировать теоретический материал, познакомиться с различными способами решения уравнения sin x + cos x = 1;

-подготовить результаты исследования к использованию на элективных курсах или на уроках математики как дополнительный материал.

Форма отчета:

математическая газета, презентация на электронном носителе.

7. Геометрии 8 класс, проект по теме:  «Четырехугольники».

    В итоге общим  итогом деятельности всех участников и групп становится создание классификации четырехугольников.

Главное в работе учащихся над проектом – это творчество. В процессе проектной деятельности у них формируются умения самостоятельно организовывать исследовательскую работу, реализовывать творческие способности, получать не только знания по основным материалам учебной темы, но и дополнительные знания, открывать новые формулы. Учащиеся, работая над проектом, осознанно воспринимают предмет и глубину поставленных перед ними задач. Проект позволяет мотивировать творческое развитие, развивать гибкость мышления, показывать многообразие и красоту математических решений.

На уроках математики при решении практически любой задачи проводится так называемое мини-исследование, где используются основные мыслительные операции - анализ и синтез, индукция и дедукция, сравнение и аналогия, обобщение и конкретизация;

-при решении задач различными способами

-при решении задач с параметрами также используется исследовательская деятельность: ставится вопрос о существовании решения, о числе решений, об особых случаях, какие могут представиться в зависимости от значения параметра;

-при решении задач по стохастике, которая изучается теперь с 5 класса на уроках математики. В школьные программы стохастика входит, в основном, элементами теории вероятностей и статистики. А какая статистика без сбора информации, без создания базы данных, без таблиц, без выдвижения гипотез?

Ученики обрабатывают статистические данные, строят графики, диаграммы, заполняют таблицы, проводят эксперименты.

С учащимися 7 класса создали проект «О загруженности обучающихся домашними заданиями». В ходе исследования выяснили, соответствует ли расписание уроков «кривой» работоспособности, загруженность домашними заданиями по каждому предмету, на каждый день и т.д.

6. Заключение

У Плутарха есть известная притча о работниках, которые везли тачки с камнями. Работников было трое. К ним подошёл человек и задал каждому и них один и тот же вопрос: «Чем ты занимаешься?» Ответ первого был таков: «Везу эту проклятую тачку». По-иному ответил второй: «Зарабатываю себе на хлеб». Третий воодушевлённо провозгласил: «Строю прекрасный храм!» Все они выполняли одну и ту же работу, но думали о ней, а, следовательно, и выполняли её по-разному. Поэтому, прежде всего, необходимо осознание школьниками полезности своего учебного труда, осознание мотивов своей деятельности.

Поэтому учитель должен внимательно следить за развитием интересов учащихся. Учащиеся, в свою очередь, должны быть уверены, что, разрешая эти проблемы, исследуя ту или иную задачу, они открывают новые и полезные для себя знания.

   Современный урок немыслим без творчества учителя и ученика, инициативы учителя, обратной связи, понимания учеником задания учителя, комфортности работы ученика, наличия проблемных вопросов и ситуаций, самоотверженности работы учителя, заботы учителя о творческом росте ученика.

Таким образом, применение проблемного обучения и исследовательского метода в учебном процессе эффективно способствует формированию у обучающихся математического склада мышления, появлению интереса к предмету, прививает навыки исследовательской работы и желание самостоятельно решать возникшие ситуации.

7. Литература

1. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии. Москва, «Народное образование», 1998 год.
2.  Гузеев В.В. Образовательная технология: от приема до философии. // библ. Ж. "Директор школы".- 1996.
3.  Полат Е.С. и др. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования/Под ред. Е.С. Полат. М.: Академия, 1999.
4. Книга для учителя .Я иду на урок математики.5 класс. Москва, «Первое сентября»,2001 год.
5. С.Г.Манвелов. Конструирование современного урока математики. Москва «Просвещение»,2002год.
6. Кульневич С. В., Лакоценина Т. П. Современный урок. Часть ІІІ: Проблемные уроки. - Ростов-н/Д: Изд-во «Учитель», 2005.
7. Куланин Е. П. Как подготовить и провести проблемную беседу. «Математика» - приложение к газете «Первое сентября»
8. Лернер И. Я. Проблемное обучение. – М: «Наука», 1980.
9. Лоповок Л. М. Тысяча проблемных задач по математике. – М: «Просвещение», 1995.
10.  Манвелов С. Г. Основы творческой разработки урока математики. – Статьи из газеты «Математика», 1997.
11.  Матюшкин А. М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. – М: «Просвещение», 1991.
12.  Окунев А. А. Как учить не уча. – Санкт-Петербург: «Нева», 1998.
13.  Понурова Г. А. Проблемный подход в обучении географии в средней  школе. – М: «Просвещение», 1991.