Применение исследовательской деятельности учащихся при обучении математике.
материал на тему

Научно-практическая конференция учителей МОУ СОШ № 10 г. Таганрога.

Выступление учителя математики Пироговой Татьяны Николаевны.

Применение  исследовательской деятельности учащихся

 при обучении математике.

 Развитие информационного общества, научно-технические преобразования, рыночные отношения требуют от каждого человека высокого уровня профессиональных и деловых качеств, предприимчивости, способности ориентироваться в сложных ситуациях, быстро и безошибочно принимать решения.
       Государство перед школой ставит задачу подготовить школьников к жизни в этом быстро изменяющемся мире.
Совершенно очевидно, что школа не в состоянии обеспечить ученика знаниями на всю жизнь, но она может и должна вооружить его методами познания, сформировать познавательную самостоятельность.
       Школьнику необходимо получить добротное образование, уметь на протяжении всей своей жизни обновлять и пополнять знания, уметь реализовать свои лучшие качества, чтобы быть востребованным.
       Несмотря на трудности, учителя ищут эффективные пути и средства развития потенциальных возможностей школьников. Для этого наряду с традиционным обучением используют элементы новых развивающих технологий.
        Сравним системы традиционного и развивающего обучения.
Если в традиционной системе целью обучения является усвоение знаний, умений и навыков, то в системе развивающего обучения – общее развитие школьников, т.е. развитие ума, воли и чувств, что, в конечном счете, направлено на формирование личности учащихся. 
        При традиционном обучении чаще всего используются объяснительно-иллюстративные методы, т.е. методы сообщения учащимся готовых знаний. При развивающем обучении преобладают деятельностно-развивающие методы, когда знания не даются в готовом виде, а учитель организует учащихся на их добывание, открытие.
         Учитель в системе традиционного обучения – дающий знания, а ученик – объект обучения. В системе развивающего обучения учитель является организатором исследовательской деятельности учащихся, а школьники – активными участниками обучения.

Основным методом всех технологий развивающего обучения является исследовательская деятельность учащихся.

Каждому ребенку дарована от природы склонность к познанию и исследованию окружающего мира.

 Правильно поставленное обучение должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию соответствующих умений и навыков.     

  Необходимо прививать  школьникам вкус к исследованию, вооружать их методами научно-исследовательской деятельности.

         Исследовательская деятельность учащихся – это совокупность действий поискового характера, ведущая к открытию неизвестных для учащихся фактов, теоретических знаний и способов деятельности.

          Цель исследовательского метода – «вызвать» в уме ученика тот самый мыслительный процесс, который переживает творец и изобретатель данного открытия или изобретения.

       Школьник должен почувствовать прелесть открытия.

Таким образом, исследовательский процесс – это не только логико-мыслительное, но и чувственно-эмоциональное освоение знаний.

Рассмотрим основные этапы учебного исследования.

Основные этапы учебного исследования

1. Мотивация исследовательской деятельности

2. Формулирование проблемы

3. Сбор, систематизация и анализ фактического материала

4. Выдвижение гипотез

5. Проверка  гипотез

6. Доказательство или опровержение гипотез

1) Мотивация – очень важный этап процесса обучения, если мы хотим, чтобы оно было творческим. Целью мотивации, как этапа урока, является создание условий для возникновения у ученика вопроса или проблемы. Одним из способов осуществления мотивации может служить исходная (мотивирующая задача), которая должна обеспечить «видение» учащимися более общей проблемы, нежели та, которая отражена в условии задачи.

2) Этап формулирования проблемы – самый тонкий и «творческий» компонент мыслительного процесса. В идеале сформулировать проблему должен сам ученик в результате решения мотивирующей задачи. Однако в реальной школьной практике такое случается далеко не всегда: для очень многих школьников самостоятельное

определение проблемы затруднено; предлагаемые ими формулировки могут оказаться неправильными. А поэтому необходим контроль со стороны учителя.

3) Сбор фактического материала может осуществляться при изучении соответствующей учебной или специальной литературы либо посредством проведения испытаний, всевозможных проб, измерения частей фигуры, каких-либо параметров и т.д. Пробы (испытания) не должны быть хаотичными, лишенными какой-либо логики. Необходимо задать их направление посредством пояснений, чертежей и т.п. Число испытаний должно быть достаточным для получения необходимого фактического материала.

Систематизацию и анализ полученного материала

удобно осуществлять с помощью таблиц, схем, графиков и т.п. – они позволяют визуально определить необходимые связи, свойства, соотношения, закономерности.

4) Выдвижение гипотез. Полезно прививать учащимся стремление записывать гипотезы на математическом языке, что придает высказываниям точность и лаконичность. Не нужно ограничивать число предлагаемых учащимися гипотез.

5) Проверка гипотез позволяет укрепить веру или усомниться в истинности предложений, а может внести изменения в их формулировки. Чаще всего проверку гипотез целесообразно осуществлять посредством проведения еще одного испытания. При этом результат новой пробы сопоставляется с ранее полученным результатом. Если результаты совпадают, то гипотеза подтверждается, и вероятность ее истинности возрастает. Расхождение же результатов служит основанием для отклонения гипотезы или уточнения условий ее справедливости.

6) На последнем этапе происходит доказательство истинности гипотез, получивших ранее подтверждение; ложность же их может быть определена с помощью контрпримеров. Поиск необходимых доказательств часто представляет большую трудность, поэтому учителю важно предусмотреть всевозможные подсказки.
Использование исследований на уроках способствует сближению образования и науки, так как в обучение внедряются практические методы исследования объектов и явлений природы – наблюдения и эксперименты, которые являются специфичной формой практики.

 Их педагогическая ценность в том, что они помогают учителю подвести учащихся к самостоятельному мышлению и самостоятельной практической деятельности; способствуют формированию у школьников таких качеств, как вдумчивость, терпеливость, настойчивость, выдержка, аккуратность, сообразительность; развивают исследовательский подход к изучаемым технологическим процессам.

Самостоятельная исследовательская работа учащихся предполагает наличие основных этапов, характерных для научного исследования.

Основные этапы научного исследования

1. Постановка проблемы

2. Знакомство с литературой по проблеме исследования

3. Сбор собственного материала

4. Анализ, обобщение

5. Выводы

Результат исследования неизвестен заранее.

Конечный результат обладает практической ценностью.

В формировании многих качеств, необходимых успешному современному человеку, может большую роль сыграть школьная дисциплина – математика.

 На уроках математики школьники учатся рассуждать, доказывать, находить рациональные пути выполнения заданий, делать соответствующие выводы. Общепризнанно, что «математика – самый короткий путь к самостоятельному мышлению».

 «Математика ум в порядок приводит» как отмечал М.В. Ломоносов.

Так же можно вспомнить слова французского философа М. Монтеня: «Мозг хорошо устроенный стоит больше, чем мозг хорошо наполненный».

Мое  знакомство с исследовательскими работами в математике началось с1996 года, когда я стала работать по учебникам «Математика 5 - 6» авторов Людмилы Георгиевны Петерсон и Георгия Владимировича Дорофеева. Одним из видов заданий в этом учебнике предлагались математические исследования. В них надо было что-то построить, измерить, сравнить, повторить, увидеть закономерность, сформулировать гипотезу и проверить ее. Например, № 117, 6 класс тема «Свойства и преобразования пропорций».

По  алгебре я  стала работать  по учебнику авторов Константина и Георгия Константиновича Муравиных и Георгия Владимировича Дорофеева. В конце учебника предлагались исследовательские и лабораторные работы, которые были запланированы при прохождении учебного материала.

Появление задач-исследований в учебниках по математике свидетельствуют о возможности включения учебного исследования в процесс обучения математике.

Именно благодаря этим учебникам я заинтересовалась исследовательскими работами по математике и стала использовать их далее, работая  по другим учебникам.

 Вышел в свет сборник исследовательских работ, которым пользуются    наши учителя математики и учителя других школ города.

Мы активно делимся своим опытом с учителями нашего города и области.

 На открытом заседании МО учителей математики мы показывали фрагменты уроков с различными приемами создания проблемных ситуаций и выхода из них. Я показывала мини-исследование учащихся по выводу правила умножения рациональных чисел.

В  рамках мастер-класса по исследовательской деятельности были проведены и показаны исследовательские работы по алгебре, геометрии и элективному курсу «События, вероятности и статистическая обработка данных».

На  региональном конкурсе-фестивале «Учитель профильной школы» я показала занятие с экспериментальной работой по выявлению связи между вероятностями и статистическими данными и исследованием литературного текста.

На городской конференции в августе я выступала по теме «Формирование исследовательских умений у учащихся».

На презентации сборника исследовательских работ мы показали мастер-класс по применению исследовательской деятельности при обучении математике для учителей города.

Я  показала открытый урок по теме «Решение уравнений с модулями и параметрами». На нем были проведены графические, геометрические и аналитические исследования  по группам.

Сегодня  я в рамках нашей конференции хочу представить серию исследований, которую я представляла на   региональном конкурсе-фестивале «Образование. Карьера. Бизнес».

Есть в школьной геометрии особые темы, которые ждешь с нетерпением, предвкушая встречу с невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести "Правильные многогранники".

Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные историко-философские концепции, оригинальные научные гипотезы. И тогда урок геометрии становится своеобразным исследованием неожиданных сторон привычного школьного предмета. 

После определения правильного многогранника возникает вопрос: на плоскости мы изучали правильные многоугольники,  их бесконечное множество, а сколько же возможно составить правильных многогранников?

1 исследование:  сколько существует правильных многогранников?

 Исследуем развертку выпуклого многогранного угла.   Чтобы получить правильный многогранник, в каждой вершине должно сходиться одинаковое количество граней, каждая из которых является правильным многоугольником.

Сумма плоских углов многогранного угла должна быть меньше 360.

Перебирая возможные целые решения неравенств: 60к < 360, 90к < 360 и 108к < 360, получаем, что гранями правильных многогранников могут быть только 3 типа правильных многоугольников: треугольники,  квадраты  и  пятиугольники. Правильных многогранников ровно пять. 

2 исследование: соотношение между названиями и количеством граней.

В переводе с греческого: эдра – грань, тетра – 4, гекса -6, окта -8, додека – 12, эйкоси -20.

Посчитайте количество вершин, ребер и граней каждого многогранника и определите его название

3 исследование Эйлерова характеристика: В-Р+Г.

Пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р - число его рёбер и Г - число граней. Число    =В-Р+Г называется Эйлеровой характеристикой многогранника. Вычислите  ее для правильных многогранников.

 Вывод:  верно равенство В-Р+Г=2.

4 исследование Двойственность многогранников.

Что получится, если построить многогранник, соединив все центры граней у куба, додекаэдра и тетраэдра  

 Куб - октаэдр, додекаэдр – икосаэдр, тетраэдр – тетраэдр.

5 исследование Правильные многогранники – символы стихий.

Правильные многогранники занимали важное место в философской концепции Платона об устройстве мироздания

Четыре многогранника олицетворяли в ней четыре сущности или "стихии". Попробуйте, держа их в руках пофантазировать.

 Он символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх (Тетраэдр).

 Он  -  воду, т.к. он самый "обтекаемый" (икосаэдр).

 Он - землю, как самый "устойчивый" (куб).

Он  - воздух, как самый "воздушный» (октаэдр).

Пятый многогранник  воплощал в себе "все сущее", символизировал все мироздание, считался главным (додекаэдр).  

Домашнее исследование по теме «Правильные многогранники вокруг нас» 

Многогранники в природе.

Создания природы, красивы и симметричны. Это неотделимое свойство природной гармонии. Например, одноклеточные организмы - феодарии, форма которых точно передает икосаэдр.                                                                       

 Чем же вызвана такая природная геометризация? Может быть, тем, что из всех многогранников с таким же количеством граней именно икосаэдр имеет наибольший обьем и наименьшую площадь поверхности. Это геометрическое свойство помогает морскому микроорганизму   преодолевать давление водной толщи.

 Интересно и то, что именно икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр. Его геометрические свойства, позволяют экономить генетическую информацию.                          

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Кристаллы некоторых знакомых нам веществ имеют форму правильных многогранников. Так, куб передает форму кристаллов поваренной соли NaCl, монокристалл алюминиево-калиевых квасцов (KAlSO4)2 12Н2О имеет форму октаэдра, кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра, сурьменистый сернокислый натрий - тетраэдра, бор - икосаэдра

Многогранники в устройстве мира

Важное место занимали правильные многогранники в системе гармоничного устройства мира И.Кеплера. По его мнению, сферы планет связаны между собой вписанными в них Платоновыми телами. Поскольку для каждого правильного многогранника центры вписанной и описанной сфер совпадают, то вся модель будет иметь единый центр, в котором будет находиться Солнце

Проделав огромную вычислительную работу, в 1596 г. И. Кеплер в книге "Тайна мироздания" опубликовал результаты своего открытия. В сферу орбиты Сатурна он вписывает куб, в куб - сферу Юпитера, в сферу Юпитера - тетраэдр, и так далее последовательно вписываются друг в друга сфера Марса - додекаэдр, сфера Земли - икосаэдр, сфера Венеры - октаэдр, сфера Меркурия.  

Московские инженеры В.Макаров и В.Морозов  считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обусловливают икосаэдро-додекаэдрическую структуру Земли, проявляющуюся в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

 Если нанести на глобус очаги наиболее крупных и примечательных культур и цивилизаций Древнего мира, можно заметить закономерность в их расположении относительно географических полюсов и экватора планеты. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрово-додекаэдровой сетки. Еще более удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер: тут располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана, здесь шотландское озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.

Многогранники в архитектуре.

Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Некоторые археологи считают, что, возможно, на строительство Великой пирамиды 100 000 человек потребовалось 20 лет. Она была создана из более чем 2 миллионов каменных блоков, каждый из которых весил не менее 2,5 тонн.

Александрийский маяк. В III веке до н.э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем - столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет. Маяк был построен и  на маленьком острове Фарос в Средиземном море.

Во всем облике японского строения очевидна идея преобразования пространства, подчинения его новой логике - логике "завоевания" природного ландшафта, которому противопоставлена четкая геометрия проникающих архитектурных форм.

Многогранники в искусстве.

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявляли различные художники.

Литография «Водопад». В центре картины расположен  комплекс с террасами, башни увенчаны    многогранниками (слева - три пересекающиеся куба, а справа также три пересекающихся правильных октаэдра).        

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер создал уникальные и очаровательные работы, в которых показан широкий круг математических идей.

Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров, в которые художник поместил фигуры хамелеонов.   Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". 

У Сальвадора Дали - обращение к правильному многограннику-додекаэдру. Форму додекаэдра по мнению древних имела  ВСЕЛЕННАЯ.

 На картине "Тайная Вечеря" обратите внимание, что  Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер   в известной гравюре  ''Меланхолия '' на переднем плане изобразил додекаэдр.

И в заключении хочу сказать, что как  показывает опыт, исследовательская деятельность - один из эффективных методов повышения мотивации обучающихся на уроках математики для достижения определенных результатов и овладения определенными знаниями.

 Математика - это наука, где такие слова как эксперимент, исследование, практическая работа являются неотъемлемыми частями процесса обучения.

 Математика описывает все закономерности в природе, жизни, гармонию чувств и красоту красок и звуков.

Здесь огромное поле для активизации учебно-познавательной деятельности школьников.