Справочный материал по математике
материал на тему

Свойства корня.

,        

         (если , то )

Свойства степеней.

Формулы сокращенного умножения

Формулы логарифмов.

Свойства модуля.

Равенство  имеет место т. и т. т, к  и  т.е.  равносильна системе

Равенство  имеет место т. и т. т, к  т.е.  равносильно неравенство

Тождественные преобразования тригонометрических

выражений

Основные тригонометрические тождества

Формулы сложения

Формулы двойного аргумента

Формулы тройного аргумента

Формулы преобразования суммы в произведение

Формулы половинного аргумента

Формулы преобразования произведения в сумму

Соотношения между , ,  и

Прочие формулы и соотношения

Знаки,,,

Обратные тригонометрические функции

Производная

, где  – абсцисса точки касания,  – ордината точки касания,  – производная функции  в точке .

Прогрессии

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Тригонометрические уравнения.

Уравнение

1. , то         
2. , то         
3. , то         
4. , то         
5. , то корней нет

Уравнение

1. , то         
2. , то         
3. , то         
4. , то         

5. , то корней нет

Уравнение

1. , то         
2. 

Уравнение

1. , то         
2. 

Приближенные вычисления и квадраты

Функции и их графики

Правило №1. Для построения графика функции , где  – постоянное число, надо перенести график  на вектор  вдоль оси ординат.

Правило №2. Для построения графика функции , надо растянуть график  в  раз вдоль оси ординат.

Правило №3. График функции  получается из

 графика , переносом вдоль оси абсцисс на вектор

Правило №4. Для построения графика функции , надо подвергнуть график  растяжению с коэффициентом  вдоль оси абсцисс.

Правило №5. Для построения графика функции , необходимо построить график функции  и симметрично его отобразить относительно оси Ox.

Правило №6. Если функция периодическая и имеет период , то функция , где  – постоянны, а , также периодична, причем ее период равен        

Функция называется четной, если область определения симметрична относительно начала координат и для любого  из области определения выполняется равенство . (График функции симметричен относительно оси ординат).

Функция называется нечетной, если область определения симметрична относительно начала координат и для любого  из области определения выполняется равенство . (График функции симметричен относительно начала координат).

Функция  возрастает на множестве , если для любых  и  из множества , таких, что , выполнено неравенство .

Функция  убывает на множестве , если для любых  и  из множества , таких, что , выполнено неравенство .

Точка  называется точкой минимума функции , если для всех  из некоторой окрестности  выполнено неравенство

Точка  называется точкой максимума функции , если для всех  из некоторой окрестности  выполнено неравенство

Функция .

Вершина параболы

Функция .

Если и  – одного знака, то . Равенство достигается, при .

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

Действия над многочленами

– (a + b – c)x=–ax – bx + cx;   (a + b – c)(x + y)=ax + ay + bx + by – cx – cy

Дроби

;     ;     ;    ;    ;    

Формулы сокращённого умножения

2= a2 ± 2ab + b2             (a ± b)3 = a3 ± 3ab2 + 3a2b ± b3               a2 – b2 = (a–b)(a+b)

a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ± ab + b2)

Степени

Корни

Система двух уравнений первой степени

Квадратное уравнение

                    общего вида:                                                             с чётным 2–м коэффициентом

                   приведённое                                                       разложение трёхчлена на множители

теорема Виета для приведённого уравнения

Неравенства второй степени

Неравенства с переменной в знаменателе дроби

1. неравенство  сводиться к системам:    2.неравенство сводится к системам:

    1)                   2)                           1)              2)  

ПРОГРЕССИИ

Арифметическая прогрессия

Общий член  d – разность прогрессии, т.е.  или

Сумма n – первых членов     или  

Геометрическая прогрессия

Общий член   где q – знаменатель прогрессии                      сумма членов бесконечно

Свойства геометрической прогрессии:              убывающей прогрессии:

Сумма n – первых членов     или                     

ЛОГАРИФМЫ

Логарифмом числа  b  по основанию  a  называется показатель степени  c,  в которую нужно возвести основание  a,  чтобы получилось число  b.  

Основное логарифмическое тождество:            

Свойства логарифмов:  ;  ;   ;   ;

;     ;      ;    ;

ЗАМЕЧАНИЕ: все числа  a , b , x , y – принимают положительные значения, а если они стоят в основании логарифма, то не равны единице.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. уравнения вида:    1) при b<0,  уравнение решения не имеет

                                                   2) при

                   3) при  уравнение можно решить логарифмируя по основанию а,

2. уравнения вида:  выражение, находящиеся в скобках уравнения (2), является величиной постоянной; обозначим эту величину буквой N, тогда уравнение (2) примет вид , при N ≠ 0 имеем:

3. уравнение вида:   (1)   с помощью подстановки  обращается в обычное квадратное уравнение  , где y1 и y2 – корни. Далее решение уравнения (1) сводится к решению двух уравнений: 1)   2)

4. уравнение вида:   легко привести к виду уравнения (1) из 3.

   разделив это уравнение на :  С помощью подстановки , уравнение принимает вид:  и сводится к решению двух уравнений: 1)      2)

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

1.    1) при     2) при

аналогично для неравенства .

2. для неравенства вида  решение сводиться к решению систем:

  1)   2)   3)   4)

  аналогично для неравенства:

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

1. неравенство вида  сводится к решению одной из систем:

1) при a>1      2) при 0 аналогично для неравенства:

2. неравенство вида  сводиться к решению двух систем:

  1)   2)  аналогично для неравенства

ПРОИЗВОДНАЯ

значение производной функции в точке  равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.        – уравнение касательной к графику функции  в точке

ФОРМУЛЫ ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Определение   Радианная мера углов 1радиан = 1800/π ≈57,295779520;

10 = π/1800 радиан ≈ 0,001745 рад.

Знаки тригонометрических функций

Значения функций характерных углов

Формулы приведения. Чётность.

Основные соотношения

sin2α + cos2α = 1;      tgα · ctgα = 1;       tgα = sinα/cosα = 1/ctgα;      ctgα = cosα/sinα = 1/tgα;

1 + tg2α = 1/cos2α;     1 + ctg2α = 1/sin2α;   secα = 1/cosα;      cosecα = 1/sinα;

Периодичность

функции sinα и cosα имеют период 2π, а функции tgα и ctgα – период π.

sin(α + 2πn) = sinα, nZ;  cos(α + 2πn) = cosα, nZ;  tg(α + πn) = tgα, nZ;  ctg(α + πn) = ctgα, nZ;

Формулы для суммы и разности аргументов.

sin(α ± β) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ;                  cos(α ± β) = cosα · cosβ  sinα · sinβ;

tg(α ± β) = (tgα ± tgβ) / (1  tgα · tgβ);              ctg(α ± β) = (ctgα · ctgβ  1) / (ctgβ ± ctgα);

Функции двойных углов

sin2α = 2sinα · cosα;     cos2α = cos2α – sin2α = 1–2sin2α = 2cos2α – 1;   tg2α = 2tgα / (1–tg2α);

ctg2α = (ctg2α – 1) / 2ctgα;

Функции половинного угла

sin(α/2) = ±      cos(α/2) = ±       tg(α/2) = ±

2sin2(α/2) = 1 – cosα;    2cos2(α/2) = 1 + cosα;  sin2α = (1–cos2α) / 2

Функции полного угла

sinα = 2tg(α/2) / (1+ tg2(α/2));  cosα = (1–tg2(α/2)) / (1+tg2(α/2));  tgα = 2tg(α/2) / (1–tg2(α/2));

Функции тройного угла

sin3α = 3sinα – 4sin3α;      cos3α = 4cos3α – 3cosα;

Произведения тригонометрических функций

sinα · cosβ = ½ · (sin(α + β) + sin(α – β));              cosα · cosβ = ½ · (cos(α + β) + cos(α – β));

sinα · sinβ = ½ · cos(α – β) – cos(α + β));

Сумма и разность тригонометрических функций

sinα + sinβ = 2 · sin((α + β)/2) · cos((α – β)/2);          sinα – sinβ = 2 · sin((α – β)/2) · cos((α + β)/2);

cosα + cosβ = 2 · cos((α + β)/2) · cos((α – β)/2);        cosα – cosβ = 2 · sin((α + β)/2) · sin((α – β)/2);

tgα ± tgβ = sin(α ± β) / (cosα · cosβ);     cosα ± sinα = ;

Тригонометрические уравнения

sinα = a, α = (–1)n · arcsin a + π·n, nZ;   cosα = a, α = ± arccos a + 2π, nZ;

tgα = a,  α = arctg a + π·n, nZ;                ctgα = a, α = arcctg a + π·n, nZ;

Частные случаи

sin x = ±1,  x = ± π/2 + 2π,  nZ;       sin x = 0,  x = πn,  nZ;       cos x = –1, x = π + 2πn, nZ;

cos x = 0, x = π/2 + πn, nZ;              cos x = 1,  x = 2πn, nZ;

Обратные тригонометрические функции отрицательного аргумента

arcsin(–α) = –arcsinα;    arccos(–α) = π – arccosα;      arctg(–α) = –arctgα;      arcctg(–α) = –arcctgα;

ГЕОМЕТРИЯ

МЕТОД КООРДИНАТ

Пусть на (i, j, k) заданы , тогда операции над ними будут равны:

   ;  

   Пусть A ( x1; y1; z1);  B (x2; y2; z2); тогда:

вектор; модуль вектора

ТРЕУГОЛЬНИК

внешний угол СВД = ;  К – точка пересечения высот (ортоцентр треугольника). ha, hb, hc – высоты треугольника на соответствующие стороны.

         где полупериметр .

        М – точка пересечения медиан треугольника (центр тяжести).

ma, mb, mc – медианы на соответствующие стороны. МВ:МД=МА:МЕ=МС:МК=2/1

Т – точка пересечения биссектрис треугольника (центр вписанной окружности).  La, Lb, Lc – биссектрисы соответствующих углов.  ВМ:МС = АВ:АС

где SΔ – площадь треугольника; p – периметр треугольника; hc –

высота опущенная на соответствующую сторону с. На всех 4–х нарисованных треугольниках стороны одинаково обозначены, просто на 1–м они обозначены, а на остальных они опущены для упрощения рисунка. И вообще подразумевается, что все 4 треугольника абсолютно одинаковые.

MN – средняя линяя треугольника. MN=0.5AC; MN║AC.

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

 где R – радиус описанной окружности.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

 где – длины сторон треугольника, а – высоты, опущенные на соответствующие стороны.     

 – формула Герона.

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

 тогда площадь 

ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

а и b – катеты, с – гипотенуза, ас и bc – проекции катетов на гипотенузу.

а2 + b2 = c2 – теорема Пифагора.

S= a·b/2 = c·hc/2;   – радиус вписанной окружности.

        R = c/2, – радиус описанной окружности.

        sinA = a/c; cosA = b/c; tgA = a/b; ctgA = b/a;  b2 = c·bc;

a = c·sinA = c·cosB = b·tgA = b·ctgB;  c = a/sinA = a/cosB = 2R;

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

ПРЯМОУГОЛЬНИК

           РОМБ

КВАДРАТ

ТРАПЕЦИЯ

а и b – основания, h – высота

ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ

Длина окружности с =2πR. Площадь круга S = πR2 = πD2/4.

Длина дуги l = π·R·α/1800. Площадь сектора S = π·R2·α/3600.

где α – величина угла дуги в градусах.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И КРУГ

Свойство вписанного четырёхугольника:

ac + bd = ef, где a,b,c,d – стороны, e,f – диагонали.

Свойство описанного четырехугольника: a + c = b + d;

S = p·r, p – полупериметр.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

Внутренний угол где n – число сторон. an = 2R·sin(1800/n);

Sn = ½ ·n·an·r;     Sn = ½ ·Pn·r;        r = R·cos(1800/n);

ШЕСТИУГОЛЬНИК

СТЕРЕОМЕТРИЯ

ПРИЗМА

Боковая поверхность наклонной призмы Sб.п. = P1·l, где P1 – периметр перпендикулярного сечения, l – ребро призмы. Боковая поверхность прямой призмы Sб.п. = Pосн ·l; Объём призмы Vпр=Sосн·h;

ПИРАМИДА

I. Если боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (их длины равны), то высота проходит через центр окружности описанной около многоугольника основания.

II. Если боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (длины апофемы равны), то высота проходит через центр окружности, вписанной в многоугольник основания.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sб.пир.= ½ ·Pосн·ha , где ha – апофема.

Sб.пир.= Sосн /cosα , где α – угол наклона боковой грани к основанию.

Объём пирамиды: Vпир= ⅓·Sосн·h, где h – высота пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды:  Sбок= ½ ·(P1+P2)·ha , где P1, P2 – периметры оснований (верхнего и нижнего); ha – апофема.

Объём усечённой пирамиды:  где Q1 и Q2 – площади оснований.

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

ЦИЛИНДР

Площадь боковой поверхности: Sбок =2·π·R·h; Площадь всей пов–ти: S=2·π·R·(R + h);  Объём: V = πR2·h;

КОНУС

Площадь пов–ти конуса: боковой Sб=πrl; полной Sп=πr ·(r + l); где l – образующая. Объём: V=πr2h/3;

УСЕЧЁННЫЙ КОНУС

Площадь боковой пов–ти: Sб.у.к.= π·l·(R + r); Объём: V=⅓·π·h(R2 + r2 +Rr); угол развёртки: α=(R–r)/l;

ШАР

Площадь пов–ти сферы: Sсф=4πR2; Объём шара: Vш=4/3·πR 3;

ТАБЛИЦА   ПЕРВООБРАЗНЫХ   ИНТЕГРАЛОВ

1)       

2)       

3)     

4)  

5)             

6)             

7)  

8)        

9)         

10)  

11)     

12)    

13)  

14)       

15)     

16)  

17)                 

18)  

19)               

20)  

21)                             

22)