Справочный материал по математике
материал по алгебре по теме

Пример 2.  На платье пошло 12 метров ткани, что составляет 15% всего рулона. Сколько метров ткани в рулоне?  

Решение: Всего ткани – 100%

              15%         100-15= 85%

              на платье            осталось

  12:15∙100=80(м)

Ответ: в рулоне 80 метров ткани.

Пример 3. Рабочий изготовил 20 деталей, а ему требуется изготовить 80 деталей. На сколько процентов он выполнил заказ?

 Решение: Всего  80 деталей – 100%

                 20            80-20=60  

              изготовил           осталось

100:80∙20=25%  

Ответ: заказ выполнен на 25%.

Формулы пути

S = V∙t ;             V = S:t ;             t = S:V,  

 S- это путь (расстояние),

V- это скорость,         t– это время.

-18-

Таблица умножения

Знаки

   <  - меньше , >  - больше

≤ - меньше  либо равно,

 ≥ - больше либо равно.

Порядок выполнения действий.

1. Вычисляем действия в скобках.
2. Вычисляем степени.
3. Делаем умножение и деление по порядку, слева на право.
4. Делаем сложение и вычитание по порядку, слева на право.

-3-

Соотношения величин

Единицы длины

1см=10мм ;          1м=100см ;            1м=1000мм ;

1дм=10см ;          1дм=100мм ;         1км=1000м ;

1м=10дм ;            1км=10000дм;      1км=100000см;

   1км = 1000000мм.  

Единицы площади

1см2=100мм2;  1м2=10000см2;    1м2=1000000мм2;

1дм2=100см2;  1дм2=10000мм2;  1км2=1000000м2;

1м2=100дм2;               1га=10000м2;  

1ар=100м2;                 1км2=100000000дм2;

1км2=100га;                1км2=10000000000см2;

1га=100ар;                  1км2=1000000000000мм2.  

Единицы массы

1кг=1000г (грамм);   1ц (центнер)=100кг=100000г;

1т (тонна)=1000кг;         1т=10ц=1000кг=1000000г.

Единицы объёма

1литр=1дм3=1000см3;             1см3=1000мм3;

1м3=1000дм3,                1км3=1000000000м3.

Сумма чисел              Разность чисел

     п + в = с                                            у - в = р

п – первое слагаемое            у – уменьшаемое

в – второе слагаемое             в – вычитаемое

с – сумма                                   р – разность

-4-

Сравнение десятичных дробей.

1. Сравниваем целые части.
2. Если целые части равны, то начинаем сравнивать соответствующие числа, стоящие после запятой (недостающие – нули).

28,45>16,5; 0,99<1,56;  25,9<25,905; 12>11,3.

Среднее арифметическое чисел – все числа сложить и разделить на их количество.

Например, среднее арифметическое чисел

25;  35,7;   48;  12;  2,05 равно

(25 + 35,7 + 48 +12 + 2,05):5=122,75:5=24,55.

Средняя скорость

VСР=(S1+S2+S3):(t1+t2+t3)= общий путь:все время.

Проценты.

1%=1/100

(1 процент равен одной сотой части числа)

Пример1. В классе 25 учеников, 40% из них-девочки. Сколько девочек в классе?

Решение: Всего детей – 100%

           девочки  мальчики

                 40%        60%  

 25:100∙40=10 (девочек)

Ответ: в классе 10 девочек.

-17-

делителя и делимого – на одинаковое количество цифр вправо так, чтобы делитель стал целым числом. Затем делим десятичную дробь на целое число.

45,24 : 0,5=452,4 : 05=452,4 : 5=452,40 : 5=90,48

_452,40  5

   45         90,48

     _24

        20

        _40

           40

         0

При умножении десятичных дробей умножаем их как обычные числа, не обращая внимание на запятые, потом считаем, сколько чисел всего после запятых и в ответе отделяем запятой столько же цифр считая от конца.

   25∙1,2=30,0=30;        1,98∙43,5=86,130=86,13

    25                                  1,98

  х 1,2                                            х 43,5

 +  50                                 + 990

  25__                           +594

  30,0                                      792        

              86,130

-16-

Умножение чисел                      Деление

п∙в=р                                              д:е=ч

п-первый множитель                  д-делимое

в-второй множитель                   е-делитель

р-произведение                            ч-частное

Уравнения

1. Неизвестное слагаемое - от суммы отнимаем известное .слагаемое:

а) Х + 14 = 25    в) 5+х=17      

    Х=25-14                 х=17-5

    Х=11                       х=12

2. Неизвестное уменьшаемое – к разности прибавляем вычитаемое:

Х-12=43

Х=43+12

Х=55

3. Неизвестное вычитаемое –от уменьшаемого отнимаем разность:

48-Х=5

      Х=48-5

      Х=43

-5-

4. Неизвестный множитель- произведение делим на известный множитель.

а) Х ∙ 4 = 28    в) 5∙х=15      

    Х=28:4                 х=15:5

    Х=7                       х=3

5. Неизвестное делимое – частное умножаем на делитель.

Х:12=3

Х=3∙12

Х=36

6. Неизвестный делитель-делимое делим на частное.

48:Х=5

      Х=48∙5

      Х=240

Свойства сложения и вычитания. Раскрываем скобки.

1. Если перед скобками ничего нет (они стоят в начале выражения) или перед  скобками знак «+», то скобки просто убираем.

(а+в)+с=а+в+с ; а+(в+с)= а+в+с ; (а-в)-с=а-в-с ;  а+(в-с)=а+в-с ; и наоборот: а+в+с = а+(в+с).

-6-

Сложение и вычитание – запятая под запятой, запятую сносим, недостающие цифры заполняем нулями.(из целого числа делаем дробь 72=72,0)

       +123,543             _  564,5

           56,500                   64,0

         180,043                500,5

 123,543+56,5=180,043;     564,5-64,5=500,5.

Десятичная запись дробных чисел.

    Чтобы обыкновенную дробь записать в виде десятичной, надо числитель разделить на знаменатель в столбик. Когда целая часть заканчивается, запятую сносим. (Делить можно только на целое число.)

Запишем дроби ¾ , 25/8 в виде десятичных:

   3:4=3,00:4=0,75;           25:8=25,000:8=3,125;

   _3,00 _4_                         _25,000  _8___

      28    0,75                          24          3,125

        _20                           _10

          20                        _8

            0                        _20

(так как 3<4 то                   20

запятую сносим сразу)              0

Деление десятичной дроби на целое число.

Если надо разделить число на десятичную дробь, то сначала переносим запятые у обоих чисел –

-15-

Наоборот:  

              1   1∙4+1   5       2       6∙5+2     32

              4       4       4,      5           5          5 .

(в числителе - целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, знаменатель остается тот же).

Основное свойство дроби – числитель и знаменатель дроби можно разделить или умножить на одно и то же число.

      3     3∙4    12

      5     5∙4    20 .

Действия с дробями.

Сравнивать, отнимать и складывать можно дроби с одинаковыми знаменателями.

При сложении (вычитании) дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают (отнимают), знаменатель тот же.

Примеры:

   3      8    11       1              3 _ 7     1∙8+3 _ 7   11-7   4

   5      5     5        5    ,         8     8        8         8      8     8 ,

      3     8                    _6_         14       (так как целая

      5     5 ,                   15          15 ,        часть больше)

Десятичные числа.

0,1=1/10; 0,5=5/10; 0,25=25/100; 1,234=1234/1000

 (сколько чисел после запятой, столько нулей)

-14-

2. Если перед скобками стоит знак минус, то скобки убираем, а знаки, которые были в скобках, меняем на противоположные.

     в - (2-а+с)=в-2+а-с ; а +в-(с-у)=а+в-с+у

3.  Числа и буквы можно переставлять вместе со знаками, которые стоят у них впереди.

    в-2+а-с = в  -2  +а  -с = в  +а -с  -2=

= в+а-с-2 = а +в -2 -с                  

если впереди числа нет знака, то перед этим числом ставят плюс.

Умножение и деление натуральных чисел и его свойства.

Степень числа.

а∙0=0,  а∙1=а,  а∙а=а2 (читают а в степени 2 или а в квадрате), а∙а∙а =а3 (читают а в степени 3 или а в кубе), и так далее,   а∙а∙а∙а∙а =а5 (читают а в степени 5)

   02=0∙0=0 ноль в любой степени будет ноль,

   12=1∙1=1 один в любой степени будет один.

На ноль делить нельзя!  а:0=нельзя

                   а:1=а,     а:а=1,      а:с+в:с=(а+в):с                

-7-

Таблица степеней                

Распределительное свойство умножения

(Метод «фонтанчика»)-                  И наоборот,

если выражение в скобках            одинаковый

умножается на а, то скобки           множитель

убираем, а каждое   слагае-          можно вынести

мое или вычитаемое умно-          за скобки:

жаем на а:  а∙(в+с)=а∙в+а∙с             а∙в+а∙с= а∙(в+с)

                      а∙(с-у)=а∙с-а∙у ;             а∙в-а∙с= а∙(в-с)

          а∙(в+с-у)=а∙в+а∙с-а∙у ;      а∙(в+с-у)=а∙в+а∙с-а∙у

 Примеры:  7∙34-7∙4=7∙(34-4)=7∙30=210;

28∙18+2∙18=(28+2) ∙18=30∙18=540;

43∙2=(40+3) ∙2=40∙2+3∙2=80+6=86.

-8-

знаменатель- на сколько                                     или

одинаковых частей

разделили.

У правильной дроби                

числитель меньше чем       0             ⅟4                                                  1

знаменатель: 5 , 12, 48,    1256   .

                           6   13  59   189765

У неправильной дроби                

числитель равен или           0          ⅟4                                   1       5∕4

больше чем знаменатель: 5, 12, 48,  1256 .

                                                   5   10   9     765

Правильная дробь всегда меньше 1, а непра-вильная дробь больше либо равна единице.

1                  4            5                    4

4                  4  ,         4                    4  .

5                  6            52                    12

6                  6  ,         12                    12  .

 Смешанная дробь -  у неё есть и целая и дробная части, её можно превратить в неправильную дробь, и  наоборот (делением в столбик) .

5             1           32          2

4             4  ,         5           5   .

   _ 5   4 (знаменатель)         _ 32   5 (знаменатель)

      4  1 (целая часть)                30   6 (целая часть)

      1 (числитель)                         2 (числитель)

-13-

Приближенные значения чисел. Округление чисел.

Если следующее за разрядом, до которого нужно округлить,  стоит число меньше 5,то  все числа правее этого разряда заменяем нулями. (смотри таблицу)

Если следующее за разрядом, до которого нужно округлить,  стоит число больше 5 или =5 , то к числу в этом разряде добавляем 1, а все числа правее этого разряда заменяем нулями. Нули  стоящие после запятой в конце числа можно не писать.

Округлим до десятых: 123,25≈123,30=123,3; 1,21≈1,2; 0,02≈0,00=0; 56,76556≈56,80000=56,8.

 Округлим до десятков: 123,25≈120,00=120; 6,21≈10,00=10; 0,02≈00,00=0; 56,76556≈60,00000=60.

До сотых:56,6789≈56,6800=56,68; 0,0235≈0,0200=0,02.

Деление с остатком

     52   3   (делитель)

     3    17(неполное частное)

     22                                                                      

     21                                   52=17∙3+1

       1(остаток)                  

Дроби.

 1                числитель    

 4           знаменатель  . 

Числитель показывает,

сколько частей взяли, а

-12-

Фигуры

Периметр –это сумма всех сторон

Прямоугольник –это четырехугольник, у которого все углы прямые.

Периметр Р=(а+в)∙2

Площадь S=а∙в

Треугольник Р=а+в+с  ∆

Квадрат –это прямоугольник у которого все стороны равны.

Р =4∙а, S=а∙а=а2

Окружность  и круг      

Радиус R-это расстояние от центра О до любой точки окружности.

   R = ОА

                               О

                         R

                    А

Прямая-нет начала, нет конца.

Луч –есть начало, нет конца.

Отрезок- есть начало и конец.

Координатный  луч-это луч, у которого есть шкала (одинаковые деления) и указан единичный отрезок.                                      А                 Х

1. 1                          8

У точки А координата 8, это обозначают так: А(8).

-9-

Прямоугольный параллелепипед

У него все грани-прямоугольники.

Его измерения- а,в,с (длина, ширина, высота)

Объём V=а∙в∙с,  

Площадь поверхности S=(а∙в+в∙с+а∙с)∙2.

                      в                   а

                    с

Куб

У куба все грани- квадраты, все стороны равны.

Объём V=а∙а∙а=а3, где а-сторона квадрата.

Площадь поверхности S=(а∙а+а∙а+а∙а)∙2=6∙а2.

                             а

Углы.(измеряем в градусах транспортиром.)

    Острый угол  меньше прямого угла.

       Прямой угол равен 90⁰.

                        Тупой угол больше 90⁰.

-10-

                                                      Развернутый угол равен 180⁰.                            

А                                      В      пишут: LАОВ.

           o

Измеряют углы с помощью транспортира.

                                        С

                                   135⁰

                    0⁰                                                        180⁰          

            А                   В

   L ABC = 135⁰.

Разряды.

-11-

СПРАВОЧНИК

ПО МАТЕМАТИКЕ

ЗА 5 КЛАСС

(по учебнику Виленкина Н. Я.)

Автор –учитель математики

МКОУ Лицей №1 г. Нарткала, КБР,

Иванова С. Б.

Содержание:

Таблица умножения; знаки; порядок выполнения действий ……………………………3

Соотношения величин…………………………...4

Уравнения……………………………………………….5

Свойства сложения и вычитания……………6

Свойства умножения и деления натуральных чисел………………………………….7

Фигуры ……………………………………………………9

Разряды ………………………………………………..11

Округление чисел; деление с остатком; дроби…………………………………………………….12

Действия с дробями и десятичные числа ………………………………………………………..……..14

Среднее арифметическое чисел; средняя скорость ; проценты………………………………17

Формулы пути………………………………………..18