Рабочая программа спецкурса «Юный математик»
рабочая программа (5 класс) на тему

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 16

города Невинномысска Ставропольского края

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПЕДАГОГОВ

ЖУЙКО ТАТЬЯНЫ АНАТОЛЬЕНЫ,

первой квалификационной категории

БЕЛОЗОРОВОЙ ВАЛЕНТИНЫ ГЕОРГИЕВНЫ,

высшей квалификационной категории

МИЩЕНКО ВЕРЫ ЮРЬЕВНЫ,

высшей квалификационной категории

спецкурса «Юный математик»

5-6 класс

Базовый уровень

Рассмотрено на заседании

методического совета МБОУ СОШ № 16

Протокол № 1 от 29.08. 2014 г.

г. Невинномысск

2014-2015 учебный год

Пояснительная записка

Для жизни в современном обществе важным является формирование математического мышления, проявляющегося в определенных умственных навыках.

Как известно, устойчивый интерес к математике начинает формироваться в 12-15 лет. Но это не происходит само собой: для того, чтобы ученик в 5-8 классе начал всерьёз заниматься математикой, необходимо, чтобы на предыдущих этапах он почувствовал, что размышления над трудными, нестандартными задачами могут доставлять удовольствие.

Для активизации познавательной деятельности учащихся и поддержания интереса к математике вводится курс «Юный математик», способствующий развитию математического и логического мышления, а также эстетическому воспитанию ученика, пониманию красоты и изящества математических рассуждений, восприятию геометрических форм, расширяет кругозор. Кроме того, данный курс имеет большое воспитательное значение, ибо цель ее не только в том, чтобы осветить какой-либо узкий вопрос, но и в том, чтобы заинтересовать учащихся предметом, вовлечь их в серьезную самостоятельную работу.

В детстве ребенок открыт и восприимчив к чудесам познания, к богатству и красоте окружающего мира. У каждого из них есть способности и таланты, надо в это верить, и развивать их. Девизом всех занятий могут служить слова: «Не мыслям надобно учить, а учить мыслить.» Э. Кант.

Освоение содержания программы элективного курса способствует интеллектуальному, творческому, эмоциональному развитию учащихся. При реализации содержания программы учитываются возрастные и индивидуальные возможности младших подростков, создаются условия для успешности каждого ребёнка.

Программа содержит в основном традиционные темы занимательной математики: арифметику, логику, комбинаторику и т.д. Уровень сложности подобранных заданий таков, что к их рассмотрению можно привлечь значительное число учащихся, а не только наиболее сильных.

Обучение по программе осуществляется в виде теоретических и практических занятий для учащихся. В ходе занятий ребята выполняют практические работы, готовят рефераты, принимают участия в конкурсных программах.

Спецкурс «Юный математик» предназначен для реализации в основной школе, разработан в соответствии образовательная программой внеурочной деятельности для учащихся 5-6-х классов. Мардахаева Е.Л.

Программа курса рассчитана на 2 года (5-6 класс) 68 часов из расчёта 1 час в неделю.

Цель данной программы – расширить школьный материал, связанный с курсом математики 5-6-х классов, познакомить с историческими сведениями, способствовать развитию интереса и мотивации в изучении математики, формировать начальные учебно-исследовательские навыки.

Содержание данного курса направлено на вовлечение всех учащихся в учебно-познавательный процесс. Поэтому следует обратить особое внимание учителя на привлечение учащихся с различной математической подготовкой, в том числе и не очень высокой. Основной акцент в процессе изучения курса следует делать на развитии логического мышления учащихся, способности учащихся самостоятельно работать, в том числе и приобретая новые знания.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Категория слушателей: учащиеся 5-6-х классов общеобразовательных школ, гимназий, лицеев.

Форма обучения: очная.

Срок обучения: 2 года.

Режим занятий: 1 раз в неделю.

ПРОГРАММА

Введение

Внеурочная деятельность учащихся, как часть учебного процесса, обуславливается целями, ориентированными на цели математического образования с учётом индивидуально-психологических и возрастных особенностей учащихся. Если говорить о преимущественных формах достижений воспитательных результатов, то данный курс позволяет достичь результатов трёх уровней: 1) приобретение школьников социальных знаний; 2) формирование ценностного отношения к социальной реальности; 3) получение опыта самостоятельного общественного действия.

При выборе формы проведения занятия с учащимися 5-7-х классов приоритет отдается комбинированному тематическому занятию, основную часть которого составляет решение задач по определенной теме. Помимо этого для проведения занятий можно рекомендовать использовать следующие формы:

1) «десятиминутка» – небольшое сообщение учителя или ученика по какому-нибудь сравнительно узкому вопросу;

2) решение задач, не связанных с основной темой данного занятия;

3) математические игры, иллюзии и развлечения, не связанные с основной темой заседания;

4) разбор домашних задач;

5) доклады на математические и историко-математические темы (на 20-25 мин);

6) моделирование.

Вопросы, рассматриваемые в курсе, выходят за пределы объема обязательных, знаний, но вместе с тем они тесно примыкают к основным вопросам программного материала. Занятия на математическом кружке будут способствовать совершенствованию и развитию математических знаний и умений, формированию интереса и мотивации к предмету, повышению уровня математической культуры, формированию универсальных учебных действий (УУД). К концу 6-го класса учащиеся должны знать: 

- различные арифметические способы решения задач;

- различные системы счисления: позиционные и непозиционные;

- дополнительные сведения по теме «Проценты», «Модуль», «Среднее арифметическое», «Признаки делимости»;

- элементы теории графов;

- начальные сведения из комбинаторики.

А так же уметь:

- решать задачи различными арифметическими способами;

- решать задачи на проценты, в том числе и с использованием старинного способа;

- решать простейшие уравнения и неравенства с модулем, опираясь на геометрическую модель;

- решать задачи на нахождение средней скорости, средней цены;

- решать задачи с использованием признаков и свойств делимости;

- делать развертки и каркасы прямоугольного параллелепипеда и куба; уметь решать логические задачи с помощью таблиц и графов; решать задачи комбинаторики с использованием таблиц, дерева возможных вариантов, правил умножения и сложения.

СОДЕРЖНИЕ ПРОГРАММЫ

• Числовая линия

Числовая линия на занятиях кружка представлена несколькими направлениями: изучение различных позиционных и непозиционных систем счисления; углубление знаний по темам, изучаемым на уроках; рассмотрение занимательных и исторических вопросов, связанных с развитием понятия числа. Так, с изучения римской системы счисления начинается 5-й класс, одновременно в этот период в классе учащиеся изучают натуральные числа и свойства действий над ними, поэтому полезно проведение аналогии в строении различных позиционных систем счисления на примере десятичной и двоичной. Изучаются недесятичные системы счисления по следующей схеме:

1. определение системы, перевод из десятичной системы в системы с указанным основанием и обратно;
2. сложение и вычитание в недесятичной системе с указанным основанием;
3. решение ребусов и занимательных задач в системе счисления с указанным основанием;
4. решение уравнений на нахождение неизвестного слагаемого, уменьшаемого или вычитаемого в системе счисления с указанным основанием;
5. умножение и деление в недесятичной системе с указанным основанием;
6. решение уравнений на нахождение неизвестного множителя, делимого или делителя в системе счисления с указанным основанием.

Углубляя знания в области натуральных чисел, основной акцент делается на том, что десятичная система является привычным для нас примером позиционной системы счисления. Однако задачи, рассматриваемые на занятиях, более высокого уровня сложности, поэтому необходима некоторая подготовительная работа. Полезно рассмотреть устные задачи на разложение числа по разрядным слагаемым такого вида:

а) представьте число  и число, полученное от перестановки его цифр в обратном порядке, в виде суммы разрядных слагаемых;

б) припишите к числу  справа цифру т и представьте полученное число в виде суммы разрядных слагаемых;

в) припишите к числу  слева цифру п и представьте полученное число в виде суммы разрядных слагаемых;

г) припишите между цифрами a и b числа  0 и представьте полученное число в виде суммы разрядных слагаемых.

При решении задач на занятии следует учитывать, что иногда полезнее решить одну и ту же задачу несколькими способами, чем несколько подобных задач. При этом предпочтение отдается арифметическим способам решения.

В дальнейшем рассмотрение позиционных систем счисления с другими, неравными 10, основаниями способствует более глубокому пониманию структуры позиционной системы. Используя недесятичные системы счисления, мы получаем ещё один метод решения некоторых задач, например, на доказательство делимости.

В процессе решения математической задачи полезным является умение осуществлять контроль за правильностью своих действий, а так же умение находить в собственном решении ошибки. Рассмотрение математических софизмов способствует формированию и развитию этих умений, а также позволяет закрепить и обобщить знания по теме «Свойства действий над числами». В то же время некоторые парадоксальные выводы, возникшие по причине завуалированных ошибок в решении, вносят в занятия атмосферу легкой интриги и юмора, что полезно для развития интереса к математике. Кружковцы знакомятся с разными видами софизмов: арифметическими, логическими, геометрическими. Перед рассмотрением арифметических софизмов необходимо повторить свойства действий над числами.

Изучение различных математических фокусов и игр также способствует более глубокому изучению учебного материала по числовой линии, формированию и развитию интереса к математике.

Математический фокус – это определенным образом подобранная последовательность действий над некоторым числом, в результате которых можно предсказать полученный результат или исходное число.

Занятие можно начать с демонстрации учителем какого-либо математического фокуса, и предложить учащимся определить, благодаря каким спрятанным «секретам» возможно такое угадывание. Если у учащихся ответ на этот вопрос вызывает сложности, можно продемонстрировать этот же фокус еще раз или раскрыть секрет самому учителю.

На занятии можно рассмотреть несколько математических фокусов и подробно разобрать «секреты», которые лежат в их основе. Заметим, чем искуснее «спрятан секрет фокуса», тем интереснее становится и процесс демонстрации фокуса, и процесс разгадывания его секрета.

Используя один и тот же принцип, можно составить несколько разных фокусов. Поэтому после разбора нескольких примеров, можно предложить творческое домашнее задание: самостоятельно составить математический фокус. На следующем занятии учащиеся демонстрируют фокусы, при этом важно не только его продемонстрировать, но и предложить другим учащимся определить их «секрет».

Удачной является проверка творческого домашнего задания в форме конкурса. Определяются несколько номинаций, по которым оцениваются приготовленные фокусы: «самый интересный фокус», «самый оригинальный фокус», «самый замысловатый фокус» и др.

• Решение задач арифметическими способами

Математический кружок позволяет рассмотреть разнообразные арифметические способы решения задач. Например, способ решения «с конца», способ ложного положения и др. Обращаем внимание на применение изученных способов в дальнейшем. Причем не только на занятиях кружка, но и на уроках, во время приготовления домашних заданий. Например, способ решения задач «с конца» помогает в 6- классе при изучении математических игр и стратегий. Полезно сначала поиграть в стратегические игры, разделив предварительно учащихся в группы по два. Акцент при этом делается не просто на игре, а на стремлении к выигрышу, а значит, в разработке выигрышной стратегии. Такие игры возбуждают необычайный интерес у учащихся.

а) Правила игры в «32»: На столе лежат 32 счетные палочки, игроки делают по очереди ходы, во время хода каждый может взять одну, две, три или четыре палочки. Выигрывает тот, кто берет последнюю палочку.

Учащимся сначала предоставляется возможность проиграть друг с другом пару партий, а затем ставится проблема: можно ли выбрать стратегию игры таким образом, чтобы непременно выиграть.

Для распознания выигрышной стратегии игры необходимо проиграть ходы в обратном порядке: если своим предпоследним ходом вы оставите 5 палочек, то победа вам обеспечена: сколько бы противник не взял палочек, всегда последний ход остается за вами. Перед этим противнику необходимо оставить 10 палочек: сколько бы противник не взял палочек, он оставит вам не меньше 6 – и всегда можно ему оставить 5. Чтобы противнику пришлось брать из 10, ему необходимо оставить 15 палочек. Далее прибавляя по 5 палочек, получаем, что первый раз противнику необходимо оставить 30 палочек. Получаем следующую стратегию игры: первым ходом берите 2 палочки; затем после хода партнера брать столько, чтобы на столе оставалось 25, затем 20, потом 15, потом 10 и, наконец, 5. Выигрыш всегда будет за вами.

б) Правила игры в «32» наоборот: Тот, кому достается последняя палочка, наоборот, не выигрывает, а проигрывает. Попробуйте разработать стратегию игры, чтобы наверняка выиграть.

в) Правила игры в «27»: Каждый игрок по очереди берет не более 4 палочек, выигравшим считается тот, у кого окажется четное число палочек. Можно ли в этой задаче рассчитать стратегию так, чтобы начинающий игру выиграл?

При изучении уравнений полезно повторить разнообразные арифметические способы, сравнить рациональность арифметического способа и решения задачи с помощью составления математической модели – уравнения.

• Геометрическая линия

Основная задача изучения геометрического материала на занятиях кружка – это развитие геометрической интуиции, наглядно-образного компонента, знакомство с простейшими свойствами некоторых геометрических фигур, с применением геометрического материала для решения логических и арифметических задач.

Для развития геометрической интуиции и наглядно-образного компонента используются специальные задания. Целесообразно не посвящать целое занятие выполнению таких заданий, а учитывать их при составлении плана каждого занятия, включать в домашнее задание. Приведем примеры таких заданий:

а) Найдите длину стороны квадрата, площадь которого численно равна его периметру.

б) Найдите фигуру в нижней части на рисунке 1, которая так относилась бы к правой фигуре сверху, как средняя относится к левой.

в) Сосчитайте, сколько треугольников на чертеже (рис. 2).

г) Четыре страны имеют форму треугольников. Нарисуйте, как расположены друг относительно друга страны, если у каждой из них есть общие границы с тремя другими.

д) Используя 12 спичек, соберите шесть одинаковых квадратов.

е) Используя 8 спичек, соберите квадрат и четыре треугольника.

ж) Помогите огороднику найти в огороде, имеющем форму четырехугольника, такую точку, чтобы сумма расстояний от этой точки до вершин четырехугольника была наименьшей.

з) Расположите два тупых (рис. 3) угла таким образом, чтобы образовались два острых угла и один прямой.

и) Из девяти квадратов со сторонами, равными 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 и 18 единицам, составьте прямоугольник.

к) Постройте прямую так, чтобы при пересечении четырехугольника получались 4 треугольника

л) Куб, длина ребра которого 5 см, окрашен, а затем разрезан на кубы, ребра которых равны 1 см. Сколько получится кубов с тремя, двумя, одной окрашенной гранью?

м) Куб, длина ребра которого 0,5 м, разрезан на кубы, ребро каждого из которых равно 2 мм. Полученные кубы выложили в один сплошной ряд. Чему равна длина этого ряда?

Возраст 10-12 лет является самым благоприятным для развития «умных рук» (по В.А. Сухомлинскому). Организация деловой игры на занятиях кружка в 5-6-х классах с использованием элементов ручного труда позволит в непринужденной форме развивать способности выполнения таких логических операций, как анализ и синтез, прогнозирования результата, умения оценить результат и выполнить проверку его правильности. Такие занятия стимулируют формирование и развитие пространственного компонента, способствуют повышению мотивированного интереса к предмету и прикладной значимости математических знаний.

На занятиях, организованных в форме творческой мастерской представляются широкие возможности для проявления творчества и богатой фантазии каждого учащегося. Можно организовать работу творческой мастерской по изготовлению моделей оригами, разнообразных геометрических головоломок, разверток и моделей многогранников, каркасов.

На первом занятии по теме «Куб и прямоугольный параллелепипед, изготовление каркасов» учащиеся выполняют задания на закрепление этих понятий и практические задания. Такое задание учащиеся могут выполнять сразу по заданному чертежу, но это требует достаточно высокого уровня развития пространственного компонента математических способностей. Поэтому при определенных затруднениях учащиеся могут привести чертеж к такому же виду, в котором задано предыдущее задание. Но после выполнения нескольких моделей таким способом рекомендуется выполнить пару моделей, не переводя чертеж к другому виду.

На следующем занятии «Изготовление разверток куба и прямоугольного параллелепипеда и их моделей» кружковцы знакомятся с понятием развертки, выясняют, для чего необходимо уметь изготавливать развертки, изучают готовые модели куба и прямоугольного параллелепипеда и составляют их развертки (сначала куба, а затем прямоугольного параллелепипеда). При возникновении сложностей с направлением поиска учитель помогает кружковцам с помощью вопросов: из чего состоит поверхность данных многогранников, из каких деталей (геометрических фигур) можно получить поверхность такого многогранника? Из приготовленных деталей можно составить комбинированную фигуру типа пространственного креста, или произвольной формы, это более сложный небольшой «архитектурный» проект.

Большую роль в развитии пространственных представлений учащихся также играют разнообразные задачи на изготовление каркасов, развёрток и моделей пространственных фигур. Рассмотрим пример.

Пример. Представьте себе стеклянный куб, на поверхности которого краской нанесены несколько линий, образующих в пространстве ломаную. На рис. 4 они выделены жирными линиями. Возьмите тонкую проволоку и изготовьте из нее модель, соответствующую этой ломаной.

Решение. Пронумеруем для удобства все выделенные отрезки (см. рис. 5). Отмерим на куске алюминиевой проволоки длину ребра 1 изображенного куба и согнем под прямым углом. Получим ребро 1 и кусок проволоки вдоль ребра 2 (см. рис. 6).

Теперь на согнутом куске отмерим длину ребра 2 и согнем под прямым углом вдоль ребра 3, получим модель, изображенную на рис. 7.

Отмеряем на получившемся куске проволоки длину ребра 3 и сгибаем оставшийся кусок под прямым углом вдоль ребра 4 (см. рис. 8).

Далее отмеряем на получившемся куске проволоки длину ребра 4 и сгибаем оставшийся кусок под прямым углом вдоль ребра 5 (см. рис. 9). И, наконец, отмеряем на получившемся куске проволоки длину ребра 5 и сгибаем оставшийся кусок под прямым углом вдоль линии 6.

Проволочная модель выделенных линий должна выглядеть так, как представлено на рис. 10.

Чтобы лучше изучить различные свойства углов (а затем и других фигур) рассмотрим модель плоскости – геоплан (см. рис. 11). Решение задач на геоплане развивает геометрическую интуицию, умение распознать на чертеже геометрические фигуры или их элементы, устанавливать их свойства, делать прикидку. Геоплан можно сделать из простого листа клетчатой бумаги, на котором на одинаковом расстоянии друг от друга (равном 1 клеточке или 1 сантиметру) поставлены точки (дырки).

При решении задач на геоплане нам понадобится умение строить отрезок, равный данному, а также прямой угол. Рассмотрим примеры, как можно выполнять построения в задачах на геоплане.

Пример 1. Построить на геоплане отрезок, равный данному.

Рассмотрим три случая

Первый: Заданный отрезок расположен вертикально. Например, отрезок АВ (см. рис. 12).

Построение: Считаем, сколько «дырок» набито вдоль его длины и строим вертикальный или горизонтальный отрезок длиной, соответствующей стольким же «дыркам». Так отрезку АВ равны – вертикальный отрезок CD и горизонтальный отрезок EF.

Второй: Заданный отрезок расположен горизонтально. Например, отрезок LN. (см. рис. 13).

Построение: Считаем, сколько «дырок» набито вдоль его длины и строим вертикальный или горизонтальный отрезок длиной, соответствующей стольким же «дыркам». Так отрезку LN равны – горизонтальный отрезок KM и вертикальный отрезок PQ.

Третий: Заданный отрезок расположен наклонно. Например, отрезок АС (см. рис. 14).

Построение: Строим прямоугольник ABCD с вертикальными и горизонтальными сторонами, диагональю которого является отрезок АС. Определяем длины его сторон. Строим другой прямоугольник MNPQ с такими же сторонами. Диагональ MP второго прямоугольника и будет отрезком, равным исходному.

Можно второй прямоугольник построить так, что он будет иметь с первым общую вершину, например, вершину А (см. рис. 14), а большая сторона будет располагаться горизонтально, как прямоугольник AMQN. Тогда его диагональ AQ и будет отрезком, равным отрезку АС.

Пример 2. Построить на геоплане прямой угол.

Рассмотрим три случая.

Первый: Заданный отрезок расположен вертикально. Например, отрезок АВ (см. рис. 16).

Построение: Строим горизонтальный отрезок АС, так, чтобы он имел общий конец с отрезком АВ. Тогда угол ВАС будет прямым.

Второй: Заданный отрезок расположен горизонтально. Например, отрезок АС (см. рис. 16).

Построение: Строим вертикальный отрезок АВ, так, чтобы он имел общий конец с отрезком АС. Тогда угол ВАС будет прямым.

Третий: Заданный отрезок расположен наклонно. Например, отрезок АС (в третьем случае предыдущей задачи).

Построение: Построение необходимо такое же, какое мы выполняли в третьем случае задачи 1. Образованный угол САQ будет прямым.

Задача 3. Постройте на геоплане тупой угол ВАС (см. рис. 17). Переместите вершину этого угла таким образом, чтобы образовался прямой угол. При перестроении точки В и С не должны менять своего положения.

Построение: Построим прямоугольник RBDC так, чтобы точки B и C были его вершинами (см. рис. 18). У прямоугольника все углы прямые. Значит, достаточно вершину А перенести в точку R или D. Углы BRC и BDC – прямые.

Задача 4. Постройте на геоплане произвольный тупой угол ВАС. Переместите вершину этого угла таким образом, чтобы образовался прямой угол. При построении точки В и С не должны менять своего положения.

Построение: Для решения задачи воспользуемся способом построения прямого угла, как в третьем случае задачи 2. То есть построим два равных прямоугольника – KBLN и NTCM, как показано на рис. 19. Длину и ширину прямоугольников придется подбирать.

Для этого построим вспомогательный прямоугольник OBPK так, что точка В является его вершиной (см. рис. 20). Сопоставляя рис. 51 и 52, имеем: сумма длины NM и ширины KN прямоугольников должна быть равна длине стороны ОK, то есть 12 отрезков. Так же видно, что длина LN больше ширины NT на длину отрезка LT, то есть – 2. Под эти два условия подходят следующие значения: длина – 7 отрезков, ширина – 5 отрезков.

Значит, строим два равных прямоугольника – KBLN и NTCM, со сторонами 5 и 7 отрезов. Перемещаем вершину угла в точку N (см. рис. 21). Угол BNC – прямой.

Задача 5. Постройте на геоплане произвольный тупой угол ВАС. Переместите вершину этого угла таким образом, чтобы образовался острый угол. При построении точки В и С не должны менять своего положения.

Построение: Для решения задачи воспользуемся результатом, полученным в задаче 4. Чтобы построить острый угол, вершину необходимо переместить во внешнюю область прямого угла BDC. Таких острых углов можно построить множество, ну, например, угол BRC на рис. 22.

На одном из занятий рассматриваются элементы теории графов, основные понятия (вершины графа, ребра.), задачи на построение графа, не отрывая карандаша от бумаги, и задачи о Кенигсбергских мостах, а также применение графов к решению логических задач, составление графов и схем для решения арифметических задач.

• Рассмотрение элементов комбинаторики и теории вероятностей

Первое занятие по теории вероятностей целесообразно начать с беседы об истории теории вероятностей. Учащимся объясняется, что среди многих явлений (не только бросание кости) встречается множество таких, исход которых зависит от случая, их называют случайными событиями. Предлагается учащимся привести примеры случайных событий. Это жеребьевка перед игрой, Спортлото, лото, раздача игральных карт, игра в рулетку и др. Для сравнения предлагается привести примеры детерминированных испытаний, результаты которых не являются случайными, и объяснить, почему они не являются случайными. Вводится понятие достоверного и невозможного события. Вводятся понятия одноэтапного (например, бросание монеты или игральной кости) и многоэтапного (например, шестикратный выбор шара из урны в Спортлото) испытаний, затем учащиеся знакомятся с понятием вероятности события. Вводится формула для вычисления вероятности события: отношение количества результатов, удовлетворяющих условию, к общему количеству возможных результатов испытаний. На двух следующих занятиях решаются несложные задачи на закрепление, во многом опирающиеся на наглядно-интуитивные рассуждения.

Встретившись с задачами, в которых подсчет количества возможных вариантов представляет собой также самостоятельную задачу, учащиеся приходят к необходимости отдельно изучать способы подсчета вариантов. Это благоприятная ситуация для того, чтобы познакомить их с разделом математики – комбинаторикой.

Некоторые теоретические аспекты комбинаторики могут быть сложными для учащихся этого возраста, поэтому основная задача познакомить с этим разделов математики на красочных примерах. Теоретические выводы делать только на основании большого количества решенных и подробно разобранных задач. Необходимо осознавать, что основная цель этих занятий не заучить сложную теорию, а понять основные принципы, лежащие в основе подсчета количества различных способов. На детальном разборе примеров базируется выделение правила суммы и правила произведения.

После рассмотрения понятия перестановок и введения факториала рекомендуется разобрать несколько заданий на закрепление этого понятия и только затем переходить к разбору задач с использованием факториала.

Устная работа (на закрепление понятия факториала)

Вычислить ; ; ; ; ; .

ЗАЧЕТ № 1

1. Переведите из десятичной системы счисления в двоичную:

а) 27;                                               б) 42.

2. Переведите из двоичной системы счисления в десятичную:

а) 1101102;                                      б) 101112.

3. Выполните действия в двоичной системе счисления:

а) 1101012 + 101012;

б) (1010112 – 11012) + 101102.

4. Задумайте целое число (лучше небольшое, чтоб было легче считать). Умножьте это число на 4, к произведению прибавьте 3, сумму умножьте на 5 и прибавьте 71. В полученном числе возьмите только последнюю цифру (остальные зачеркните). Затем с этим числом проведите две операции:

Сначала к полученному однозначному числу прибавьте 14 и разделите на 5. Запомните результат.

Теперь это же однозначное число (полученное после зачеркивания цифр) умножьте на 7 и отнимите 2.

Сравните полученные результаты. Наверняка, они отличаются друг от друга в 10 раз! В чем же секрет?

5. Если от каждого из двух чисел отнять половину меньшего из них, то остаток от большего будет втрое больше остатка от меньшего. Во сколько раз одно число больше другого?

6. В классе провели математическую олимпиаду. Было предложено для решения 10 задач. За каждую решенную задачу засчитывали 5 очков, а за нерешенную списывали 3 очка. Один из участников получил 34 очка. Сколько задач он решил правильно?

7. Повстречал Бездельник черта и попросил его помочь ему стать богатым, совсем ничего не делая. Черт согласился и стал объяснять: «Работа легкая. Вот видишь мост через реку? Перейдешь по мосту на другой берег, и у тебя будет вдвое больше денег, чем есть. Еще раз перейдешь, опять станет вдвое больше, чем было. И так каждый раз. Только одно условие: ты каждый раз, перейдя мост, будешь отдавать мне по 24 копейки за добрый совет». Бездельник согласился, вот только оказалось, что после того, как он прошел по мосту третий раз, денег у него оказалось ровнехонько 24 копейки, чтобы оплатить совет. Сколько денег было у бездельника?

ЗАЧЕТ № 2

1. Даны два прямоугольных треугольника: ΔABC и ΔDFG, имеющие общую часть. Изобразите эти треугольники так, чтобы их общая часть была тупоугольным треугольником

2. Встретились три друга – Белов, Серов и Чернов. Чернов сказал своему другу, одетому в серый костюм: «Интересно, что на одном из нас белый, на другом – серый и на третьем – черный костюм. В то же время ни на одном цвет костюма не соответствует фамилии» Какой цвет костюма у каждого из друзей?

3. Поезд идет со скоростью 40 км/ч. Пройдя некоторый путь, он возвращается обратно, но уже со скоростью 60 км/ч. Все расстояние он проходит за 7 ч. Какова должна быть средняя скорость поезда, чтобы весь путь туда и обратно он прошел за такое же время?

4. Цена книги повысилась на  ее стоимости. Во сколько раз новая цена больше прежней?

5. Имеется пять цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Сколько можно составить из них:

а) пятизначных цифр, чтобы ни одна цифра не встречалась в числе дважды;

б) трехзначных чисел, чтобы ни одна цифра не встречалась в числе дважды;

в) трехзначных чисел, цифры которых могут повторяются;

г) трехзначных чисел, у которых различная сумма цифр?

6. В магазине «Одежда для вас» имеется в продаже 5 видов разных юбок, 7 видов пиджаков, 4 вида блузок и 8 видов жилетов. Сколько можно составить разных комплектов одежды из двух предметов? Из трех предметов? Из четырех предметов?

7. Имеется 9 шаров: 5 красных, 3 синих и 1 белый. Сколькими способами можно разместить эти шары в два ящика, один из которых вмещает не более 4 шаров, а второй – не более 5.

ЗАЧЕТ № 3

1. Решите уравнение:

а) ;

б) .

2. Решите неравенство:

а) ;

б) .

3. В игре «Кто первым назовет число 100» участвуют двое. Один называет любое целое число от 1 до 9 включительно. Второй прибавляет к названному любое целое число от 1 до 9, которое ему понравится, и называет сумму. К этой сумме первый снова добавляет любое целое число от 1 до 9 и называет новую сумму и так далее. Выигрывает тот, кто первым назовет число 100. Кто в этой игре выигрывает при правильной игре? Как ему для этого необходимо играть?

4. Найдите число, которое в 17 раз больше числа, обозначенного цифрой, стоящей в разряде единиц.

5. На координатной плоскости дана точка С (−5; −2). Постройте:

а) точку С1, симметричную точке С относительно начала координат;

б) точку С2, симметричную точке С относительно прямой Ox;

в) отрезок ОС3, симметричный отрезку ОС относительно точки С2;

Найдите координаты построенных точек.

6. Перепишите выражение  так, чтобы в его записи не содержался факториал.

7. Перепишите выражение  так, чтобы в его записи содержался факториал.

8. Даны цифры 1, 2, 3, 4. Из них составлены всевозможные трёхзначные числа. Сколько чисел составлено?

ЗАЧЕТ № 4

1. Возьмите 2 любых трехзначных числа, не делящихся на 37, но так, чтобы сумма их делилась на 37. Приписав одно из таких чисел к другому, получите шестизначное число. Проверьте, делится ли оно на 37. Сформулируйте, пользуясь рассмотренным примером, утверждение и докажите его.

2. Через кран вода наполняет бак за 3 ч. А через сливное отверстие вся вода из бака выливается за 5 ч. За какое время вода заполнит бак при открытых кране и отверстии?

3. Весы пришли в равновесие, когда на одну чашу поставили гири по 2 кг, а на другую – по 5 кг, всего 14 гирь. Сколько двухкилограммовых гирь поставили на весы.

4. Разность двух нечетных чисел равна 8. Чему равен НОД этих чисел?

5. Каково наименьшее натуральное n, такое, что n! делится на 990?

6. На какую цифру оканчивается число 777777?

7. Фирма продавала чай в центре города по 7 руб., а кофе по 10 руб. за стакан; на вокзале — по 4 руб. и 9 руб. соответственно. Всего было продано за час 20 стаканов чая и 20 стаканов кофе, при этом выручка в центре и на вокзале оказалась одинаковой. Сколько стаканов кофе было продано в центре?

Литература

1. 600 задач на сообразительность: Энциклопедия / Сост. Н.Л. Вадченко, Н.В. Хаткина. – Донецк: Сталкер, 1997. – 512 с.
2. Абдрашитов Б.М., Абдрашитов Т.М., Шлихунов В.Н. Учитесь мыслить нестандартно: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. – 128 с.
3. Акимова С. Занимательная математика. – СПб.: Тригон, 197. – 608 с.
4. Аменицкий Н.Н., Сахаров И.П. Забавная арифметика. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. – 128 с.
5. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике. – М.: Гуманитарный изд. центр ВЛАДОС, 1999. – 208 с.
6. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Старинные задачи. – М.: Просвещение, 1994. – 128 с.
7. Болховитинов В. Н., Колтовой Б. И., Лаговский И. К. Твое свободное время. – М.: Дет. лит., 1975.
8. Бурау И.Я. Загадки мира цифр и чисел. – Донецк: Сталкер, 1996.
9. Виленкин Н.Я., Депман И.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с.
10. Галкин Е.В. Нестандартные задачи по математике: Задачи логич. характера: Кн. для учащихся 5-11 кл. – М.: Просвещение; Учебная литература, 1996. – 160 с.
11. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. Математические фокусы и головоломки. – М., 1977. – 128 с.
12. Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки: Пособие для внеклассной работы. – Киров: Издательство «АСА», 1994. – 269 с.
13. Геометрия на спичках / Сост. Н. Алиев, Т. Акперова, Э. Салимов. – Баку, 1995. – 31 с.
14. Гик Е.А. Занимательные математические игры. – М.: Знание, 1982. – 144 с.
15. Грицаенко Н.П. Ну-ка, реши!: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1998. – 192 с.
16. Гусев В.А. Математическая разминка: Кн. для учащихся 5-7- кл. / В.А. Гусев, А.П. Комбаров. – М.: Просвещение, 2005. – 94 с.
17. Депман И.Я., Виленкин И.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1999. – 287 с.
18. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математики. – Львов: ж-л «Квантор», 1991. – 97 с.
19. Задачи по математике для внеклассной работы в V-VI классах / Сост. В.Ю. Сафонова. – М.: Мирос, 1993.
20. Задачи по математике серьезные, занимательные и просто сказочные / Сост. О.Ю. Черкасов. – М: Московский лицей, 1997. – 184 с.
21. Зайкин М.И. Математический тренинг: Развиваем комбинационные способности: Книга для учащихся 4-7- классов общеобразовательных учреждений. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 1996. – 176 с.
22. Зайкин М.И. Развивай геометрическую интуицию: Кн. для учащихся 5-9 кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение; ВЛАДОС, 1995. – 112 с.
23. Занимательные задачи для маленьких. – М.: Омега, 1994. – 256 с.
24. Зубелевич Г.И. Занятия математического кружка в 4 классе: Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1980. – 79 с.
25. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. – М.: АО «СТОЛЕТИЕ», 1994. – 192 с.
26. Каганов Э.Д. 400 самых интересных задач с решениями по школьному курсу математики для 6-11 классов. – М.: ЮНВЕС, 1997. – 288 с.
27. Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1992. –192 с.
28. Козлова Е.Г. Сказки и подсказки: Задачи для математического кружка. -= М.: МИРОС, 1995. – 128 с.
29. Кордемский Б.А. Математическая смекалка. – М.: Издательский Дом ОНИКС: Альянс-В, 2000. – 576 с.
30. Кордемский Б.А. Математические завлекалки. – М.: Издательский Дом ОНИКС: Альянс-В, 2000. – 512 с.
31. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Мат. головоломки и задачи для любознательных: Кн. для учащихся. – 2-е изд., перераб. – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. – 159 с.
32. Литвиненко В.Н. Задачи на развитие пространственных представлений: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1991. – 127 с.
33. Лихтарников Л.М. Задачи мудрецов: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. –112 с.
34. Мадер В.В. Математический детектив: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1992. – 96 с.
35. Математика: Школьная энциклопедия / Гл. ред. С.М. Никольский. – М.: Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», 1996. – 527 с.
36. Мерлин А.В., Мерлина Н.И. Задачи для внеклассной работы по математике (5-11 классы). – Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2000. – 168 с.
37. Мочалов Л.П. Головоломки: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996. – 190 с.
38. Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка. – М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1961. – 167 с.
39. Нестеренко Ю.В., Олехник С.Н., Потапов М.К. Лучшие задачи на смекалку. – М.: Научно-технический центр «Университетский»: АСТ-ПРЕСС, 1999. – 304 с.
40. Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В., Потапов М.К. Старинные занимательные задачи. – М.: Издат. Отдел УНЦ ДО МГУ, 1996. – 152 с.
41. Островский А.И., Кордемский Б.А. Геометрия помогает арифметике. – М.: АО «СТОЛЕТИЕ», 1994. – 176 с.
42. Перельман Я.И. Веселые задачи. Двести головоломок для юных математиков. – М.: Изд. Дом Русанова «Пилигрим», 1997. – 286 с.
43. Перельман Я.И. Веселые задачи. – М.: ООО «Издательство Астрель»: ООО «Издательство АСТ»: ООО «Транзиткнига», 2003. – 287 с.
44. Перельман Я.И. Живая математика. – Домодедово: ВАП, 1994. – 160 с.
45. Перельман Я.И. Занимательная алгебра. – Домодедово: ВАП, 1994. – 200 с.
46. Перельман Я.И. Занимательная арифметика. – М.: АО «Столетие», 1994. – 176 с.
47. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений. – 2-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1999. – 237 с.
48. Плоцки А. Вероятность в задачах для школьников: Кн. для учащихся. – М.: Просвещение, 1996. – 191 с.
49. Пчелинцев Ф.А., Чулков П.В. Математика. 5-6 класс: Уроки математического мышления с решениями и ответами. – М.: «Издат-школа 2000». – 112 с.
50. Развивающие задачи для математического досуга / Сост. Э.А. Кремень,    З.С. Сухотина. – М.: Школа-Пресс, 1993. – 112 с.
51. Руденко В.Н., Бахурин Г.А., Захарова Г.А. Занятия математического кружка в 5-м классе. Учебное пособие. – М.: Издательский дом «Искатель», 1999. – 125 с.
52. Рязановский А.Р., Зайцев Е.А. Математика. 5-11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики. – М.: Дрофа, 2001. – 224 с.
53. Самые заковыристые головоломки. – М.: АСТ-ПРЕСС, 1998. – 112 с. («Знаменитые головоломки мира»)
54. Серебровская Е.К. Опыт внеклассной работы по математике в 5-7 классах. – М.: Учпедгиз, 1954.
55. Смекалка для малышей. Занимательные задачи, загадки, ребусы, головоломки. – М.: Омега, 1994. – 256 с.
56. Смирнова Е.С. Методическая разработка курса наглядной геометрии: 5 кл.: Кн. для учителя. – М.: просвещение, 1999. – 80 с.
57. Спивак А.В. Тысяча и одна задача по математике: Кн. для учащихся 5-7 кл. – М.: Просвещение, 2002. – 207 с.
58. Сухин И.Г. Веселая математика. 1500 головоломок для математических олимпиад, уроков, досуга: 1-7 класс. – М.: ТЦ Сфера, 2003. – 192 с.
59. Фридман Л.М. Изучаем математику: Кн. для учащихся 5-6 кл. общеобразоват. Учреждений. – М.: Просвещение, 1995. – 255 с.
60. Халамайзер А.Я. Пифагор. Занимательная математика. – М.: Высшая школа, 1994. – 79 с.
61. Цукарь А.Я. Развитие пространственного воображения. Задания для учащихся. – СПб.: Издательство СОЮЗ, 2000. – 144 с.
62. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для учащихся V-VI классов. М.: МИРОС, 1995. – 240 с.
63. Шарыгин И.Ф., Шевкин А.В. Математика: Задачи на смекалку: Учеб. пособие для 5-6- кл. общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 1995. – 80 с.
64. Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. За страницами учебника математики: Мат. анализ. Теория вероятностей. Старинные и занимат. задачи: Кн. для уч-ся 10-11 кл. - М.: Просвещение, 1997.
65. Шпорер З. Ох, эта математика!: Пер. с хорватско-сербского. – М.: Педагогика, 1981. –128 с.
66. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп: Пер. с польского. – М.: Наука, 1981. – 160 с.
67. Шуба М.Ю. Занимательные задания в обучении математике: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1994. – 222 с.
68. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика / Глав. Ред. М.Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 1998. – 688 с.