РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИЗУЧЕНИЮ раздела математики «Математический анализ» (Для студентов 2 курса СПО)
учебно-методический материал по теме

Министерство образования Московской области

ГБОУ СПО МО «Орехово-Зуевский государственный

профессионально-педагогический  колледж»

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

раздела математики «Математический анализ»

                           (Для студентов 2 курса)

                                           Разработал:                    Марковец В.Л.

Рассмотрено                                                               Методист             Цой Т.П.

на заседании ЦМК «М и ЕН»

протокол № ___ от _____2012 года

председатель __________

                                                        Орехово-Зуево

                                                               2012 год

                                                                                             Утверждаю

                                                                                       Зам. директора по УР

                                                                                        __________Коровина А.П.

                                                                                        «___» __________2012 г.

Методические указания

    Данное пособие ставит своей целью оказание помощи обучающимся колледжа в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений  и навыков по разделам курса математики.

    Эта работа требует упорства и умения читать, понимать прочитанное и применять его практически. В этом заключается суть умения работать с учебными пособиями.

                          Некоторые практические советы.

  Прежде всего необходимо ознакомиться с содержанием того или иного раздела или темы. Затем следует выбрать в качестве основного учебное пособие и придерживаться его при изучении всей части курса.

  Учитесь самоконтролю.

  Помните: учебник нужно не просто читать, а изучать; основой запоминания является  понимание, знание забывается – понимание никогда; повторение - важнейшее средство, предотвращающее забывание.

   Обязательно отвечайте на вопросы самоконтроля.

О решении задач

    Решение задач является лучшим способом закрепления материала. При этом следует придерживаться следующих советов:

1.внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выявите, какие

   теоретические положения связаны с данной задачей в целом или с

   некоторыми ее элементами;

2.составьте план решения;

3.если не видно сразу хода решения, то последовательно отвечайте на

   вопросы: что дано; что нужно найти; достаточно ли данных, чтобы найти

   неизвестное и т.д.

        Требования к выполнению и оформлению зачетной работы.

1.В конце данного пособия по каждой теме даются задания или тесты для

   контроля знаний полученных студентом. Результаты выполнения данных

   заданий позволяют преподавателю оценить и зачесть объем материала,

   изученного студентом самостоятельно.

2.После изучения темы или раздела студент может получить консультацию

   преподавателя.

3.Зачетная работа должна студентом выполняться самостоятельно, аккуратно

   и полно.

                               Рекомендуемая литература

1. И.И. Баврин, В.Л. Матросов «Высшая математика» -М., ВЛАДОС,2009.

2. В.С. Щипачев «Основы высшей математики» - М.: Высшая школа, 2011.

3. И.И. Валуцэ «Математика для техникумов» -М.

4. В.Ф. Бутузов, Н.И. Крутицкая «Математический анализ в вопросах и задачах» -М.: Физматлит,2010.

5. М.Я. Выгодский «Справочник по высшей математике» -М.: Росткнига,2013

П Р О Г Р А М М  А

  1.  Пределы.

  2.  Производная и ее приложения.

  3.  Дифференциал функции.

  4.  Интеграл и его приложения.

  5.  Дифференциальные уравнения.

  6.  Ряды.

 1.Пределы.

1).Предел последовательности. Число а называется пределом последовательности ( ) :

если для любого ε >0  существует число N=N(ε) такое, что

                       <ε  при  n >N.

2). Теоремы о пределах:

       1.   lim cx =c lim x,    где  с-const

       2.   lim (x+y)=lim x+ lim y,

       3.   lim xy = lim x ∙ lim y,

       4.   lim x= (lim x),

       5.  lim   если  lim y 0.

3).Предел функции.  Говорят, что функция  f(х) при х или

                                        limf(х) = А,

Если для любого ε >0 существует  такое  что, для всех х,

удовлетворяющих условиям  | x – a | < δ,  xa,  имеет место  неравенство

                                             | f(x) –A | <ε.

4). Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

  Функция  f(x) называется бесконечно малой при  х а , если

  Функция   f(x) называется бесконечно большой при  х а , если            

 Функция обратная бесконечно малой, есть величина бесконечно большая.

  И, наоборот, функция обратная бесконечно большой, есть величина бесконечно малая.

5).Вычисление пределов.

1. Предел многочлена.

  Вычислить      

  Таким образом, для вычисления предела многочлена f(x) при

достаточно  вместо переменной  поставить значение  , к которому  она

стремится, выполнить соответствующие действия, т.е.

                    .

 2.Предел отношения двух многочленов,

1)   Тип -  следует находить с применением  теорем, что   приводит к  

                       подстановке в выражение вместо      значение  .

2)   Тип -     тогда      

3)   Тип  -   следует числитель и знаменатель разложить на множители

                            и сократить, избавившись таким образом от данной неоп-

                            ределенности.

4.  Тип   -  тогда  

 5)   Тип     -  числитель и знаменатель разделить на наивысшую

                              степень, выполнить упрощения и применить теорему 5.

  3.Первый замечательный предел:

     т.е. sin x    и     х     при   х0  являются эквивалентными бесконечно

     малыми    и  обозначают     sin x ~ x.

 3.Второй замечательный предел:

                     - основание натурального логарифма.

  По данной теме сначала изучите    § 31 гл.6 .  Затем ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров  1-9 стр. 194-197 . Решите следующие упражнения:

6.23, 6.24, 6.28, 6.30, 6.31, 6.35, 6.39, 6.41, 6.43, 6.44.

Зачетная работа № 1

  Вычислить пределы:

                                  Производная и ее приложения.

О п р е д е л е н и е  1.  Производной функции  f(x) в точке  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

                                .

О п р е д е л е н и е  2. Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

О п р е д е л е н и е  3.  Производная функции f(x) в точке  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой , т.е.

                                             f ‘()=k=tg α.

в этом заключается геометрический смысл производной.

             -  уравнение касательной  

О п р е д е л е н и е  4.  Мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t:

                             V(t)=s’(t)=,

в этом заключается  механический смысл производной.

         Правила дифференцирования.

где  u=f(x),   то        

      Основные формулы дифференцирования

           Вторая производная.

 Второй производной функции  y=f(x)  называется производная от ее первой производной

 Вторая производная функции обозначается одним из символов:

 Таким образом     

 Аналогично определяются и обозначаются производные любого

порядка:

                   или    

  Механический смысл второй производной:

Ускорение a(t) прямолинейного движения материальной точки в момент времени t равно первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени, т.е.

                         a(t)=

               Признаки возрастания и убывания функции.

         Если производная функции f(x) в данном промежутке значений х положительна, то функция возрастает в этом промежутке, а если производная отрицательна, то функция убывает.

               Признаки максимума и минимума.

1.Первый признак.

(Пусть f(x)-дифференцируема в окрестности точки)

     Если производная  при переходе через точку  меняет знак плюса на минус, то  является точкой максимума;

     если производная  при переходе через точку  меняет знак минуса на плюс, то  является точкой минимума;

    если производная при переходе через точку  не меняет знак, то в точке

 функция не имеет экстремума.

2.Второй признак.

     Если функция f(x) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , причем  а  , то в точке функция

f(x) имеет максимум, если    и минимум, если  

         Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба.

1.Если на интервале (а;b) дважды дифференцируемая функция у=f(x), x, имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции обращен выпуклостью вверх (вниз).

О п р е д е л е н и е . Точкой перегиба кривой называется точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой.

2.Если функция у=f(x), x, дважды дифференцируема на интервале(а;b) и при переходе через  вторая производная  меняет знак, то точка кривой с абсциссой х= является точкой перегиба.

    Первое правило нахождения максимума и минимума функции у=f(x),

1.Найти производную .

2.Приравняв её к нулю, отыскать корни полученного уравнения; пусть эти корни( критические значения аргумента) будут  и т.д.

3.Расположив значения,… в порядке возрастания их величин, подставить в производную любое число, меньшее  а затем подставить любое число, большее но меньшее если при этом знак производной окажется:

  1) сначала +, затем  -,  функция при х= имеет максимум,

  2) сначала  - ,  затем +,  функция при х= имеет максимум,

  3) в обоих случаях одинаковый, то при х=функция не имеет ни максимума, ни минимума.

  Таким же образом определить знак  для х<  и для х>, но для х<знак   уже определен, остается найти ее знак в промежутке значений  х   между   и  и по чередованию знаков установить, будет ли функция при  х= иметь максимум или минимум или не будет иметь ни того ни другого и т.д.

4.Найти максимальные и минимальные значения функции, т.е. вычислить  и т.д.

        Четвертый пункт этого правила нужен только в том случае, если необходимо определить положение точек на кривой, соответствующих максимуму и минимуму функции.

       По данной теме следует изучить главу 7 [3], разобрать решения примеров

§§33, 34, 36, 37, 39, 43.

Зачетная работа № 2.

1. Найти производные функций:

2. Найти  если    

3.     Вычислить ускорение движения в конце второй секунды.

4. Найти максимум и минимум функции    

________________________________________________________________

5. Исследовать и построить график функции  

6. Число  8  разбить на два слагаемых так, чтобы сумма их кубов была наименьшей.

                      Дифференциал функции.

   По данной теме сначала изучите § 44 [3].  Затем ознакомьтесь  и внимательно разберите решение примеров из  пособия [3]. Ответьте на вопросы и выполните упражнения для самопроверки. Решите следующие задачи: [3] , № 7.112-7.115,   7.120,

7.123-7.125.

             Вопросы и упражнения для самопроверки.

1.Дайте определение дифференциала функции.

______________________________________________________________

2.Чему равен дифференциал независимой переменной (аргумента)?

______________________________________________________________

3.По какому правилу находят дифференциал функции?

______________________________________________________________

4.В чем состоит геометрический смысл дифференциала функции?

______________________________________________________________

5.Как применяют дифференциал функции в приближенных вычислениях?

______________________________________________________________

6.Найдите дифференциалы функций:

  а).  

  б).  

_______________________________________________________________

7.Вычислите значение дифференциала функции  s=  при изменении  t  от 4 до  4,025.

________________________________________________________________

8.Найдите приближенное значение :  .

________________________________________________________________

9.Объем куба, ребро которого равно 40 см, при нагревании увеличился на 0,05 своего первоначального значения. Найдите удлинение ребра куба.

                Интеграл и его приложения.

1.  Функция F(x) называется первообразной   для функции  f(x), если  

      ,  или, что то же самое,

      Для функции   f(x) существует множество первообразных  F(x)+c.

2.   Множество всех первообразных  F(x)+c    для функции   f(x) называется

       неопределенным интегралом и обозначается  

       Таким образом          =F(x) +c.

3.    Основные свойства неопределенного интеграла.

         1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

         2) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной

             функции, т.е.

         3)Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному

            выражению, т.е.

          4)Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции

             равен этой функции плюс произвольная постоянная

           5)Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух

              непрерывных функций  равен алгебраической сумме интегралов от

              этих функций в отдельности, т.е.

4. Таблица основных интегралов.

5.Методы интегрирования.

     1.Непосредственное интегрирование.

Это такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличных интегралов.

П р и м е р  1.

     2.Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки)

   Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

П р и м е р  2.

    Найти     .

 Сделаем подстановку    Найдем  дифференциал обеих частей подстановки:      откуда     Следовательно,

3.Интегрирование по частям.

  Сущность метода интегрирования по частям соответствует его названию. При вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение  

    представляется в виде произведения множителей   u    и     dv; при этом   dx   обязательно входит в  dv.  В результате получается, что заданный интеграл находят по частям:

  П р и м е р  3.     Найти          .

Положим  u=3x-1;    dv=,   тогда    du=3dx,  v=.  Следовательно,

                       Определенный интеграл и его

                                  приложения

1.О п р е д е л е н и е.

    Приращение    F(b) - F(a)   любой из первообразных   F(x)+c  при изменении аргумента   от    х=а   до   х=b  называется определенным интегралом от   a  до   b   функции  f(x)   и обозначается

                                            ,     где

    а- нижний предел интегрирования,

    b-верхний предел интегрирования.

  Таким образом, по определению

  2.Формула Ньютона-Лейбница

3.Геометрический смысл определенного интеграла.

    Определенный интеграл    численно равен  площади   S  криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции   f(x), осью абсцисс и прямыми  х = а   и  х = b,  т.е.

                                    S=  

4.Свойство определенного интеграла.

     Если поменять местами границы интегрирования определенного интеграла, то значение определенного  интеграла поменяется на противоположное, т.е.

                                    = -  

                                   Контроль знаний  № 9.

1.Доказать, что функция   F(х)=     есть  первообразная  для  функции      f =     на  промежутке  .

2.Найти первообразную для функции  f(x)=3sin x-2cos x.

3.Для функции     f(x)=  найти первообразную, график которой проходит

    через точку  М(1; -1).

________________________________________________________________

4.Вычислить:

  1)._______________________________________________________

  2). _____________________________________________________

  3). ___________________________________________________

  4).   ___________________________________________________

5.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

__________________________________________________________________

6.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс

   криволинейной трапеции, ограниченной линиями

                 у=2х+1,  х=0, х=2, у=0.

____________________________________________________________________________________________________________________________________