Олимпиадные задания
олимпиадные задания по теме

Задания для проведения олимпиады по математике

Вариант 1

№1  Построить график функции

У=llх²-4хl+3l

№2  Найдите число целых решений неравенства

(√х²+6х+9-2) (cosх+8)<0
№3  По пенсионному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года эти проценты капитализируются, т.е. начисленная сумма присоединяется к вкладу. На данный вид вклада был открыт счёт в 50 000 рублей, который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3 лет. Какой доход был получен по истечении этого срока?

№4  Пусть (х₀;у₀)- решение системы  

Найдите сумму х₀+у₀.

№5 При каком натуральном значении n уравнение

6х²+2х³-18х+n=0 имеет ровно два корня?

№6 Около равнобедренного треугольника КАМ с основанием КМ описана окружность радиуса 10.Найдите высоту АС, если она в четыре раза меньше основания.

№7 Найдите множество значений функции

У=arcsin ₍sinх+cosх₎-0.25).

Вариант 2

№1 Построить график функции

У=∣lх²-7хl+2∣

№2 Найдите число целых решений неравенства

(1-

№3 Торговая база закупила у изготовителя партию альбомов и поставила ее магазину по оптовой цене, которая на 30% больше цены изготовителя. Магазин уставил розничную цену на альбом на 20% выше оптовой. При распродаже в конце сезона магазин снизил розничную цену на альбом на 10%.На сколько рублей больше заплатил покупатель по сравнению с ценой изготовителя, если на распродаже он приобрел альбом за 70,2р.?

№4 Пусть (х₀;у₀)-решение системы

Найдите частное х₀:у₀

№5 При каком натуральном значении b уравнение 3х²-9х+х³+b=0

№6 В треугольнике ВСЕ СЕ=3ВС,<С=60⁰.Около треугольника описана окружность радиуса 8√3,и в него же вписана окружность с центром 0.Луч СО пересекает сторону ВЕ в точке К.Найдите длину отрезка КЕ.

№7  Найдите множество значений функции

У=arcsin(2-0.5₍ cos 2х+sin х*сosх₎).

Математическая олимпиада  6 класс

Разминка

В кабинете, где занимается 6А класс, три ряда по четыре парты. У Пети есть 21 друг среди одноклассников, Таня ни с кем не дружит, а у всех остальных учеников 6А по одному другу. Сколько учеников в классе?

В деревне 9 домов. Известно, что у Петра соседи Иван и Антон, Максим сосед Ивану и Сергею, Виктор — Диме и Никите, а также по соседству живут Евгений с Никитой, Иван с Сергеем, Евгений с Димой, Сергей с Антоном и больше соседей в означенной деревне нет (соседними считаются дворы, у которых есть общий участок забора). Может ли Петр огородами пробраться к Никите за яблоками?

Петр, пробираясь огородами до Никиты, сделал себе москитную сетку, в которой ровно 100 узелков, и любые два узелка соединены ниточкой. Сколько ниточек потратил Петр на это бесполезное занятие?

Задачи

1.

На олимпиаду по математике пришло 2006 школьников. Вася решил одну задачу. Известно, что число участников,

• решивших хотя бы пять задач, в 4 раза больше, чем решивших шесть задач;
• решивших хотя бы четыре задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы пять задач;
• решивших хотя бы три задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы четыре задачи;
• решивших хотя бы две задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы три задачи;
• решивших хотя бы одну задачу, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы две задачи.
• Сколько участников не решило ни одной задачи?

2.

В таблице 3×3 сумма чисел в любой строке и любом столбце равна нулю. Известно, что число нулей в таблице чётно. Какое наибольшее число нулей может быть?

4.

Четыре фальшивые монеты и пять настоящих расположены по кругу. Известно, что никакие две фальшивые монеты не лежат рядом. Все настоящие монеты весят одинаково, и все фальшивые — одинаково, но больше, чем настоящие. За два взвешивания на чашечных весах без гирек определите все фальшивые монеты.

5.

Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две части, из которых можно сложить квадрат. Сделайте это двумя способами.

Задача 1: На двух кустах сидело 25 воробьев. После того как с первого куста перелетело на второй 5, а со второго улетело 7 воробьев, то на первом кусте осталось вдвое больше воробьев, чем на втором. Сколько воробьев было на каждом кусте первоначально?

Задача 2: Золотоискатель Джек добыл 9 кг. песка. Сможет ли он за три взвешиванимя отмерить 2 кг песка с помощью двухчашечных весов а) с двумя гирями – 200 г и 50 г; б) с одной гирей 200 г?

Задача 3: Часы показывают час дня. Найти ближайший момент времени, когда часовая и минутная стрелка совпадут.

Задача 4: Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским – 10, немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Задача 5: Три человека выписали по 100 различных слов. После этого слова, встречающиеся не менее двух раз, вычеркнули. В результате у одного осталось 45 слов, у другого – 68, а у третьего – 54. Докажите, что по крайней мере одно слово выписали все трое.

Задача 6: Оксана Николаевна раздавала фумигаторы для шести отрядов. Каждому отряду она давала половину всех имеющихся у нее фумигаторов и еще полфумигатора. Оксана Николаевна раздала все фумигаторы. Сколько их всего было?

Задача 7: На доске написаны 10 единиц и 10 двоек. За ход разрешается стереть две любые цифры и, если они были одинаковыми, написать двойку, а если разными – единицу. Если последняя оставшаяся на доске цифра – единица, то выигрывает первый игрок, а если двойка – то второй. Докажите, что игрок, который ходит вторым, всегда выигрывает.

Задача 8: Каких натуральных чисел, меньших 200,000, больше: тех, которые делятся на 8 и не делятся на 9, или тех, которые делятся на 9 и не делятся на 8?

1. Цена на товар повысилась в январе на 25%, в феврале – на 50%, и в марте – на 60%. На сколько процентов возросла цена на товар в результате указанных повышений?

2. На прямолинейном участке шоссе расположены четыре остановки А, В, С, Д. Известно, что расстояние между остановками А и Д равно 1 км, между В и С – 2 км, между В и Д – 3 км, между А и В – 4 км, между С и Д – 5 км. Определите расстояние между остановками А и С.

3. Два года назад Вася был в два раза моложе своего брата Пети, а три года назад он был в три раза моложе Пети. Сколько лет братьям сейчас?

4. В коробке лежат болтики, шайбочки, винтики и гаечки – всего 107 штук. Известно, что число болтиков в 3 раза больше числа шайбочек, число шайбочек в 2 раза больше числа винтиков; кроме того, винтиков больше чем гаечек. Сколько гаечек лежит в коробке?

5. Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие – 20%. Сколько сухих фруктов получится из 40 кг свежих?

6. Расстояние между двумя пристанями по течению катер проходит за 8 ч, а плот – за 72 ч. Сколько времени потратит катер на такой же путь по озеру?

7. Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады – за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?

Муниципальное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 53 городского округа Самара

Математическая олимпиада

 6 класс  2010г

1. Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие – 20%. Сколько сухих фруктов получится из 40 кг свежих?

2. Расстояние между двумя пристанями по течению катер проходит за 8 ч, а плот – за 72 ч. Сколько времени потратит катер на такой же путь по озеру?

3.  Каких натуральных чисел, меньших 200,000, больше: тех, которые делятся на 8 и не делятся на 9, или тех, которые делятся на 9 и не делятся на 8?

4. Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским – 10, немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

5.Разрежьте фигуру, изображённую на рисунке, на две части, из которых можно сложить квадрат. Сделайте это двумя способами.

Школьная олимпиада по математике 2009/2010 уч. год

5 класс

1. Известно, что числа 1954, 7435 и 5743 являются зашифрованными обозначениями слов РОСТ, ТРОС и ВЕТО, однако не известно, какому слову соответствует каждое обозначение.

Как будет выглядеть зашифрованное обозначение слова ВЕЕР? (При шифровании каждая буква заменяется на некоторую цифру; разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым - одинаковые).

2. Четверо не очень упитанных пятиклассников Андрей, Боря, Вася и Гена решили определить свой общий вес. Но поскольку все четверо мальчиков на весы не помещались, то они стали взвешиваться по трое или по двое. Оказалось, что Андрей, Боря и Вася вместе весят 90 кг, Боря, Вася и Гена – 92 кг, а Андрей и Гена - 58 кг.

Сколько весят все четверо мальчиков вместе?

3.Скорый поезд проходит расстояние между городами А и В за 8 часов, а пассажирский – за 16 часов. Пассажирский поезд отправился из А в В в 2100 часов, а через 2 часа навстречу ему из В в А отправился скорый поезд.

В какое время поезда встретятся?

4. Мама дала своим детям конфеты: дочери половину всех конфет и еще 1 конфету, сыну половину остатка и последние 5 конфет. Сколько всего конфет мама дала детям?

5. Вася посчитал, что если каждая девочка принесет по 3 $, а каждый мальчик по 5 $, то все 30 учащихся класса соберут 122 $. Сколько в классе мальчиков?

6. На четырех полках было 164 книги. Когда с первой полки сняли 16, со второй на третью переставили 15, а на четвертую поставили 12 книг, то на всех полках оказалось поровну. Сколько было книг на каждой полке первоначально?

7. В десятичной записи двух натуральных чисел участвуют только цифры 1, 4, 6, 9. Может ли одно из этих чисел быть ровно в 3 раза больше другого?

Школьная олимпиада по математике 2009/2010 уч. год

6 класс

1. Цена на товар повысилась в январе на 25%, в феврале – на 50%, и в марте – на 60%. На сколько процентов возросла цена на товар в результате указанных повышений?

2. На прямолинейном участке шоссе расположены четыре остановки А, В, С, Д. Известно, что расстояние между остановками А и Д равно 1 км, между В и С – 2 км, между В и Д – 3 км, между А и В – 4 км, между С и Д – 5 км. Определите расстояние между остановками А и С.

3. Два года назад Вася был в два раза моложе своего брата Пети, а три года назад он был в три раза моложе Пети. Сколько лет братьям сейчас?

4. В коробке лежат болтики, шайбочки, винтики и гаечки – всего 107 штук. Известно, что число болтиков в 3 раза больше числа шайбочек, число шайбочек в 2 раза больше числа винтиков; кроме того, винтиков больше чем гаечек. Сколько гаечек лежит в коробке?

5. Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие – 20%. Сколько сухих фруктов получится из 40 кг свежих?

6. Расстояние между двумя пристанями по течению катер проходит за 8 ч, а плот – за 72 ч. Сколько времени потратит катер на такой же путь по озеру?

7. Первая и вторая бригады могли бы выполнить задание за 9 дней; вторая и третья бригады – за 12 дней. За сколько дней это задание могут выполнить три бригады, работая вместе?

Школьная олимпиада по математике 2009/2010 уч. год

8 класс

1. Упростите выражение:

,

при условии, что .

2. Доказать, что для любого натурального значения  величина  делится на 6.

3. При каких целых значениях  значение дроби  является целым числом?

4. Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вершины угла треугольника, делят этот угол на три равные части, Найти углы треугольника.

5. В равнобедренном треугольнике угол между биссектрисами угла при вершине и угла при основании равен 1300. Найдите углы треугольника.

6. Двое одновременно отправились из A в В. Первый поехал на велосипеде, а второй на автомобиле со скоростью в 5 раз большей скорости первого. На полпути автомобиль сломался, а оставшуюся часть пути автомобилист прошёл пешком со скоростью в два раза меньшей скорости велосипедиста. Кто из них раньше прибыл в В?

7. В двузначном числе десятков втрое больше, чем единиц. Если от этого числа отнять число, записанное этими же цифрами, но в обратном порядке, то получится 36.

8. Решите уравнение .

7 класс

Школьная олимпиада по математике 2009/2010 уч. год

1. В ящике имеются апельсины и лимоны, причем число лимонов составляло 1/3 числа апельсинов. Когда из ящика достали 7 лимонов и 15 апельсинов, то число лимонов составило 1/5 от числа оставшихся апельсинов. Сколько лимонов и сколько апельсинов было в ящике?

2. Имеется 101 монета, из которых 50 фальшивых (монеты неотличимы  по внешнему виду). Каждая фальшивая монета тяжелее настоящей на 1 грамм. Имеются также двухчашечные весы со стрелкой, показывающей разность весов на чашках. Вася спрятал одну из этих монет. Может ли Петя за одно взвешивание оставшихся монет определить, фальшивая ли она?

3. Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длиной 150 м за 15 с. Найдите длину поезда и его скорость.

4. Сосчитайте:

1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-…+2002-2003-2004+2005.

5.На стороне ВС прямоугольника АВСД отмечены точки К и Р, а на стороне АД – точка М. Оказалось, что КМ – биссектриса угла АКС, а РМ – биссектриса угла ВРД. Найдите сумму длин отрезков ВК и РС, если АК=6, КР=7, РД=8.

6. Вычислите значение выражения:

7. Сколько граммов воды нужно прибавить к 600 г раствора, содержащего 15% соли, чтобы получить 10%-й раствор соли?