методическая шкатулка

Вложение	Размер
elektivnyy_kurs.docx	33.33 КБ
reshenie_zadach.docx	58.75 КБ
тесты по геометрии	19.5 КБ
Итоговый тест по алгебре за 7 класс	17.79 КБ
Самостоятельная работа по алгебре 9 класс	14.56 КБ
Тест по теме “Логарифмические и показательные уравнения”	107.24 КБ
k.r.po_geomno49kl.doc	150 КБ
контр. работа по геометрии 7 класс	142 КБ
контр. работа по геометрии 9 класс	661 КБ
итоговый тест по геометрии 9 класс	146 КБ
контр. работа по алгебре 8 класс	242.5 КБ

Предварительный просмотр:

Программа

Элективного курса по алгебре и началам анализа в 10-11классах по теме:

Избранные вопросы математики в задачах

Программа элективного курса предназначена для учащихся 10-11 классов универсального профиля и рассчитана на 68 часов.

Математика практически единственный учебный предмет, в котором задачи используются и как цель, и как средство обучения, а иногда и как предмет изучения. При переходе на новый базисный учебный план и изучение математики на базовом уровне сокращается количество часов на отработку навыков решения задач. Ограниченность учителя временными рамками урока и временем изучения темы, нацеленность учителя и учащихся на достижение ближайших целей (успешно написать самостоятельную или контрольную работу, сдать зачет) – все это никак не способствует решению на уроке задач творческого характера. Предлагаемая программа элективного курса позволяет повторить и систематизировать знания обучающихся по решению различных задач, а также уделить внимание решению нестандартных заданий. Элективный курс представлен в виде практикума, который позволит восполнить пробелы и систематизировать знания учащихся в решении задач по основным разделам математики и позволит начать целенаправленную подготовку к сдаче итогового экзамена в форме ЕГЭ.

Учебно-тематический план и содержание курса построено таким образом, чтобы наряду с поддержкой базового курса математики старшей школы повторить материал основной школы, а также рассмотреть решение задач повышенного уровня сложности, включенных в сборники контрольно-измерительных материалов и не нашедших отражение в учебниках. Предложенный курс ориентирован на удовлетворение любознательности старшеклассников, развивает умения и навыки решения задач, необходимые для продолжения образования, повышает математическую культуру, способствует развитию творческого потенциала личности.

Цель курса - создание условий для формирования и развития у обучающихся навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний, подготовка к итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

Задачи курса:

обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения задач;
развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в незнакомой ситуации;
формирование и развитие у старшеклассников аналитического и логического мышления при проектировании решения задачи;
продолжить формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении нестандартных задач;
развитие коммуникативных и общеучебных навыков работы в группе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.

Рассчитанная на 68 часов, программа может быть реализована в 10-11 классах по 1 часу на протяжении .При изучении курса только в 11 классе (из расчета 1 час в неделю) возможно составление программы из отдельных тем полного .

В организации процесса обучения в рамках рассматриваемого курса используются две взаимодополняющие формы: урочная форма и внеурочная форма, в которой учащиеся дома выполняют практические задания для самостоятельного решения.

Виды деятельности на занятиях:

лекция учителя, беседа, практикум, консультация, работа с компьютером.

Предполагаемые результаты.

Изучение данного курса дает учащимся возможность:

- повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;

- освоить основные приемы решения задач;

- овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;

- овладеть и пользоваться на практике техникой сдачи теста;

- познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;

- повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;

- познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов, в ходе подготовки к итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

Содержание курса

Тема 1. Текстовые задачи.

Задачи на сложные проценты, сплавы, смеси, задачи на части и на разбавление. Решение задач на равномерное движение по прямой, движение по окружности с постоянной скоростью, равноускоренное (равнозамедленное) движение. Задачи на конкретную и абстрактную работу.

Задачи с ограничениями на неизвестные нестандартного вида. Решение задач на арифметическую и геометрическую прогрессии. Комбинированные задачи.

Тема 2. Геометрия на плоскости

Теоремы синусов и косинусов. Свойства биссектрисы угла треугольника. Площади треугольника, параллелограмма, трапеции, правильного многоугольника. Величина угла между хордой и касательной. Величина угла с вершиной внутри и вне круга. Окружности, вписанные в треугольники и описанные вокруг треугольника. Вписанные и описанные четырехугольники. Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиус вписанной окружности.

Тема 3. Теория многочленов

Деление многочлена на многочлен с остатком. Делимость многочленов. Алгоритм Евклида для многочленов. Корни многочленов. Теорема Безу и ее следствие о делимости многочлена на линейный двучлен. Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами. Обобщенная теорема Виета. Преобразование рациональных выражений.

Основная цель – сформировать у учащихся навык разложения многочлена степени выше второй на множители, нахождение корней многочлена, применять теорему Безу и ее следствия для нахождения корней уравнений выше второй, а также упрощения рациональных выражений.

многочлена.

Тема 4. Модуль

Понятие модуля, основные теоремы и его геометрическая интерпретация. Способы решения уравнений, неравенств с модулем и их систем. Способы построения графиков функций, содержащих модуль. Модуль в заданиях ЕГЭ.

Тема 5.Тригонометрия.

Тригонометрические функции и их свойства. Преобразование тригонометрических выражений. Решение тригонометрических уравнений. Решение систем тригонометрических уравнений. Комбинированные задачи.

Тема 6. Иррациональные уравнения и неравенства

Преобразование иррациональных выражений. Решение иррациональных уравнений и неравенств. Комбинированные задания.

Цели: рассмотреть с учащимися понятия иррационального выражения, иррационального уравнения и неравенства, изучить основные приёмы преобразований иррациональных выражений, основные способы решения иррациональных уравнений и неравенств.

Тема 7.Параметры

Линейные уравнения и уравнения, приводимые к ним. Линейные неравенства. Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к ним Квадратные неравенства. Решение уравнений и неравенств при некоторых начальных условиях. Применение производной при решении некоторых задач с параметрами. Задачи с параметрами.

Основная цель - совершенствовать умения и навыки решения линейных, квадратных уравнений и неравенств, используя определения, учитывая область определения рассматриваемого уравнения(неравенства); познакомить с методами решения уравнений( неравенств) при некоторых начальных условиях , комбинированных заданий.

Тема 8. Показательная и логарифмическая функции

Свойства показательной и логарифмической функций и их применение.

Решение показательных и логарифмических уравнений. Решение показательных и логарифмических неравенств. Комбинированные задачи.

Тема 9. Стереометрия

Многогранники. Тела вращения. Комбинации тел.

Цели: систематизация и применение знаний и способов действий учащихся по школьному курсу стереометрии.

В разделе «Итоговое повторение» предполагается провести заключительную контрольную работу по материалам и в форме ЕГЭ, содержащую задания, аналогичные демонстрационному варианту (предполагается использование электронных средств обучения).

10 класс.

№ урока	Содержание темы	Кол-во часов	Литература	Сроки проведения Дата Заплан.факт.прим.
I. Текстовые задачи 8ч.
1	1.Задачи на сложные проценты, сплавы, смеси, задачи м на части и на разбавление	1	В.Н. Студенецкая, Л.С.Сагателова. Сб. элективных курсов 8-9 кл.
2	1.Задачи на сложные проценты, сплавы, смеси, задачи м на части и на разбавление	1	Сб. элективных курсов 8-9 кл.
3	2.Решение задач на равномерное движение по окружности, по прямой, равноускоренное (равнозамедленное) движение	1	А. Г. Клово и др.
4	3. Задачи на конкретную и абстрактную работу	1	Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике. Москва центр тестирования 2005, 2006г.
5.	4. Решение задач на арифметическую и геометрическую прогрессию	2	Лысенко Ф.Ф.и др. Математика подготовка к ЕГЭ Ростов-на-Дону 2004г.
6	4. Решение задач на арифметическую и геометрическую прогрессию	2	Лысенко Ф.Ф. и др. Математика подготовка к ЕГЭ Ростов-на-Дону 2004г.
7	5. Комбинированные задачи	2	Тесты ЕГЭ
8	5. Комбинированные задачи	2	Тесты ЕГЭ
II. Геометрия на плоскости 8ч.
9	1. Теоремы синусов и косинусов	1	Тесты ЕГЭ
10	Свойство биссектрисы угла треугольника	1	Г-9,Ат.
11	Величина угла между хордой и касательной.	1	Дидактические материалы по геометрии 8,9кл. Б.Г. Зив.
12	Величина угла с вершиной внутри угла и вне круга.	1	Г-9, Ат.
13	Окружности, вписанные в треугольники и описанные около треугольников.	1	Г-9,Ат.
14	Вписанные и описанные четырехугольники.	1	Г-9.Ат.
15	Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.	1	Г-9.Ат.
16	Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.	1	Г-9. Ат.

III.Теория многочленов 6ч.
17	Деление многочлена на многочлен с остатком.	1	З.А.Скопец Сборник задач по математике . 1971 г.
18	Делимость многочлена на многочлен с остатком	1	В.В. Фирсов Избранные вопросы математики 10 кл. М.,1980.
19	Корни многочленов. Теорема Безу и ее следствие о делимости многочлена на линейный двучлен.	1	В.В. Фирсов Избранные вопросы математики 10 кл. М.,1980.
20	Корни многочленов. Теорема Безу и ее следствие о делимости многочлена на линейный двучлен.	1	В.В. Фирсов Избранные вопросы математики 10 кл. М.,1980.
21	Нахождение рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами	1	В.В. Фирсов Избранные вопросы математики 10 кл. М.,1980.
22	Обобщенная теорема Виета. Преобразование рациональных выражений.	1	В.В. Фирсов Избранные вопросы математики 10 кл. М.,1980.
IV. Модуль 9ч.
23	Понятие модуля, основные теоремы и геометрическая интерпретация.	1	Элективный курс, 8-9 кл.
24	Способы решения уравнений с модулем и их систем.	1	Элективный курс, 8-9 кл.
25	Способы решения уравнений с модулем и их систем.	1	Элективный курс, 8-9 кл.
26	Способы решения неравенств с модулем и их систем.	1	Элективный курс, 8-9 кл.
27	Способы решения неравенств с модулем и их систем.	1	Элективный курс, 8-9 кл.
28	Способы построения графиков функции, содержащих модуль.	1	Элективный курс, 8-9 кл.
29	Способы построения графиков функции, содержащих модуль.	1	Элективный курс, 8-9 кл.
30	Модуль в заданиях ЕГЭ	1	Тесты ЕГЭ
31	Модуль в заданиях ЕГЭ	1	Тесты ЕГЭ
V. Решение комбинированных заданий по данной программе за 10 кл. 4ч
32-35	Решение комбинированных заданий по данной программе за 10 кл.	4	Тесты ЕГЭ, Элективный курс, 8-9 кл.

11 класс

№ урока	Содержание темы	Кол-во часов	Литература	Сроки проведения Заплан. фактич Дата. Дата.
I. Тригонометрия 8ч.
1	Тригонометрические функции и их свойства.	1	Лысенко Ф.Ф.и др. Математика подготовка к ЕГЭ Ростов-на-Дону 2004г.
2	Преобразование тригонометрических выражений	1	Лысенко Ф.Ф.и др. Математика подготовка к ЕГЭ Ростов-на-Дону 2004г.
3	Преобразование тригонометрических выражений.	1	А.Г. Клово и др. «Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике», Москва, Центр тестирования, 2005, 2006 г
4	Решение тригонометрических уравнений.	1	А. Г. Клово и др. «Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике», Москва центр тестирования 2005, 2006г.
5.	Решение тригонометрических уравнений.	1	Лысенко Ф.Ф.и др. Математика подготовка к ЕГЭ Ростов-на-Дону 2004г.
6	Решение систем тригонометрических уравнений.	1	Лысенко Ф.Ф.и др. Математика подготовка к ЕГЭ Ростов-на-Дону 2004г.
7	5. Комбинированные задачи	1	Тесты ЕГЭ
8	5. Комбинированные задачи	1	Тесты ЕГЭ
II. Иррациональные выражения, уравнения, неравенства. 6ч.
9	Преобразование иррациональных выражений.	1	Лысенко Ф.Ф.и др. Математика подготовка к ЕГЭ Ростов-на-Дону 2004г.
10	Преобразование иррациональных выражений.	1	А. Г. Клово и др. «Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике», Москва центр тестирования 2005, 2006г.
11	Решение иррациональных уравнений и неравенств.	1	Лысенко Ф.Ф.и др. Математика подготовка к ЕГЭ Ростов-на-Дону 2004г.
12	Решение иррациональных уравнений и неравенств	1	Лысенко Ф.Ф.и др. Математика подготовка к ЕГЭ Ростов-на-Дону 2004г.
13	Комбинированные задачи	1	Тесты ЕГЭ
14	Комбинированные задачи	1	Тесты ЕГЭ
III. Параметры 8 ч.
15	Линейные уравнения и уравнения, приводимые к ним. Линейные неравенства.	1	З.А.Скопец Сборник задач по математике . 1971 г.
16	Линейные уравнения и уравнения, приводимые к ним. Линейные неравенства.	1	З.А.Скопец Сборник задач по математике . 1971 г.
17	Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к ним. Квадратные неравенства.	1	З.А.Скопец Сборник задач по математике . 1971 г.
18	Квадратные уравнения и уравнения, приводимые к ним. Квадратные неравенства.	1	В.В. Фирсов Избранные вопросы математики 10 кл. М.,1980.
19	Решение уравнений и неравенств при некоторых начальных условиях.	1	В.В. Фирсов Избранные вопросы математики 10 кл. М.,1980.
20	Применение производной при решении некоторых задач и параметрами.	1	В.В. Фирсов Избранные вопросы математики 10 кл. М.,1980.
21	Задачи с параметрами.	1	Тесты ЕГЭ
22	Задачи с параметрами.	1	Тесты ЕГЭ
IV. Показательная и логарифмическая функции 6 ч.
23	Свойства показательной и логарифмической функции и их применение.	1	Лысенко Ф.Ф.и др. Математика подготовка к ЕГЭ Ростов-на-Дону 2004г.
24	Решение показательных и логарифмических уравнений.	1	Лысенко Ф.Ф.и др. Математика подготовка к ЕГЭ Ростов-на-Дону 2004г.
25	Решение показательных и логарифмических уравнений.	1	Лысенко Ф.Ф.и др. Математика подготовка к ЕГЭ Ростов-на-Дону 2004г.
26	Решение показательных и логарифмических неравенств.	1	Лысенко Ф.Ф.и др. Математика подготовка к ЕГЭ Ростов-на-Дону 2004г.
27	Решение показательных и логарифмических неравенств.	1	Лысенко Ф.Ф.и др. Математика подготовка к ЕГЭ Ростов-на-Дону 2004г.
28	Комбинированные задачи.	1	Тесты ЕГЭ
V. Стереометрия. 5 ч.
29	Многогранники.	1	Г.10-11,Ат.
30	Многогранники.	1	Г.10-11,Ат.
31	Тела вращения.	1	Г.10-11,Ат.
32	Комбинированные задачи	1	Тесты ЕГЭ
33	Комбинированные задачи	1	Тесты ЕГЭ
VI. Итоговое повторение 1ч.
34	Итоговое повторение.	1	Тесты ЕГЭ

Литература для учителя:

1. Единый государственный экзамен: Математика: 2004-2005.Контр. измерит. матер./ Л.О.Денищева, Г.К.Безрукова, Е.М. Бойченко и др.; под. Ред. Г.С.Ковалевой - . М-во образования и науки РФ. Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки.: Просвещение, 2005.

2. А.П.Ершова, В.В. Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. Разноуровневые дидактические материалы. – М.: Илекса, 2002г.

3. А.Г. Клово и др. «Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике», Москва, Центр тестирования, 2005, 2006 г.

4. Ф.Ф. Лысенко «Математика. ЕГЭ 2006. Учебно-тренировочные тесты». Ростов-на-Дону, 2006г.

5. Лысенко Ф.Ф., Калашников В.Ю., Неймарк А.Б., Давыдов Б.Е. Математика. Подготовка к ЕГЭ, подготовка к вступительным экзаменам.- Ростов-на-дону: Сфинск. 2004

6. Л.Д.Лаппо, М.А. Попов. Математика для подготовки к ЕГЭ и централизованному тестированию: Учебно-методическое пособие. – М.: издательство «Экзамен», 2004г.

7. Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов и учителей. 2-е изд. дораб. М.: Просвещение, 1991 г.

8. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989.

9. Г.Я. Ястребеницкий «Задачи с параметрами», М.:Просвещение,1986г.

10. Журнал «Математика в школе», рубрика «Готовимся к ЕГЭ».

11. Электронный учебник. Сдаем Единый экзамен 2004. Серия «1С: Репетитор.» Центр тестирования.

Литература для учащихся:

Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы. Под редакцией М.И. Сканави, 9-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и образование, 2001г.
А.Г. Клово. Пособие для подготовки к единому государственному экзамену по математике, М.: Федеральный центр тестирования, 2005г.
Л.О. Денищева, Е.М. Бойченко, Ю.А. Глазков и др. Единый государственный экзамен: Математика: Контрольные измерительные материалы. М-во образования РФ. – М.: Просвещение, 2003г.
В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. - 2-е изд. – М.: Просвещение, 1993г.

5. Современный учебно-методический комплекс. Алгебра 10-11. Версия для школьника. Просвещение –МЕДИА.(все задачи школьной математики).

Предварительный просмотр:

Алгоритмы решения задач с помощью систем уравнений

Кузьмина В.М.,учитель математики

Математика в наши дни проникает во все сферы жизни. Овладение практически любой профессией требует тех или иных знаний по математике. Особое значение в этом смысле имеет умение смоделировать математически определённые реальные ситуации. Данное умение интегрирует в себе разнообразные специальные умения, адекватные отдельным элементам математических знаний, их системам, а также различные мыслительные приёмы, характеризующие культуру мышления.

В школьной математике знакомство с математическим моделированием основано, прежде всего, на решении текстовых задач. Текстовая задача несет в себе важные элементы математического моделирования. Решая ее, учащийся некие производственные, экономические, житейские связи зашифровывает с помощью математических символов, придавая им абстрактную математическую форму. Решая уравнения, учащийся расшифровывает результат, согласуя его со здравым смыслом. Вот почему решению текстовых задач, этому важнейшему мостику между математикой и ее приложениями должно уделяться особое внимание. При этом представляется, что техника решения текстовых задач может отрабатываться на любых задачах

Применение на практике различных задач на составление уравнений позволяет создавать такие учебные ситуации, которые требуют от учащегося умения смоделировать математически определённые физические, химические, экономические процессы и явления, составить план действия в решении реальной проблемы. Практика последних лет говорит о необходимости формирования умений решения задач на составление уравнений различных типов ещё и в связи с включением их в содержание ГИА и ЕГЭ.

Важно сформировать у учащихся умения составлять план действий, алгоритм решения конкретной задачи, культурой моделирования явлений и процессов. Большинство учащихся решают такие задачи лишь на репродуктивном уровне.

Все задачи, решаемые с помощью дробных рациональных уравнений, можно разделить на несколько групп:

Задачи на движение по местности.
Задачи на движение по воде.
Задачи на работу.
Задачи на нахождение дробей
Задачи , в которых используется формула числа
Задача с геометрическим содержанием
Задачи на смеси и т.д.

Начинать обучение следует с простых задач, условия которых полностью соответствуют названиям основных типов, и сводящихся к решению дробных рациональных уравнений. Затем можно приступать к решению более сложных задач. Рекомендуется подобрать разноуровневые задачи по каждому типу, что дает возможность работать со школьниками разных математических способностей.

В курсе алгебры 9 класса отводится всего 4 часа на решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Это задачи на движение, совместную работу и задачи с геометрическим содержанием.

Алгоритм решения задач на совместную работу.

Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить за 1.
Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. , где t – время, за которое этот рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.
Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно за то время, которое он работал.
Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих.

Задача №1

Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

1. Принимаем площадь участка, с которого необходимо собрать урожай, за 1.

2. Пусть х – время, необходимое первому комбайнеру для уборки всего урожая, у - время, необходимое второму
комбайнеру для уборки всего урожая. Тогда– производительность первого комбайнера, – производительность второго комбайнера.
3. 35 – часть участка, с которого может убрать урожай первый комбайнер за 35 часов работы, 35 – часть участка, с которого может убрать урожай второй комбайнер за 35 часов работы.

4.Составим систему уравнений:

у = 60, х = 84
Ответ: для уборки всего урожая первому комбайнеру потребуется 84 часа, второму – 60 часов.

Задача №2

Две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторое задание за 3 ч 36 мин. Сколько времени затратит на выполнение этого задания каждая бригада, работая в отдельности, если известно, что первой бригаде требуется для этого на 3 часа больше времени, чем второй.

Задача №3

Мастер и ученик должны были выполнить некоторое задание. После четырех дней совместной работы ученик был переведен в другой цех, и, чтобы закончить выполнение задания, мастеру пришлось еще 2 дня работать одному. За сколько дней мог бы выполнить каждый из них это задание, если известно, что мастеру для этого требуется на 3 дня меньше, чем ученику?

Алгоритм решения задач, в которых используется формула двузначного числа.

Вводится обозначение:
х – цифра десятков
у – цифра единиц
Искомое двузначное число 10х + у
Составить систему уравнений

Задача №1.

Двузначное число в четыре раза больше суммы его цифр. Если к этому числу прибавить произведение его цифр, то получится 32. Найдите это двузначное число.

Х – цифра десятков. У – цифра единиц. 10х + у – искомое число.

2х2 + 12х – 32 =0

х2 +6х – 16 =0

х1 =-8 (посторонний корень) х2 =2, тогда у =4.

Ответ: 24.

Задача №2.
Двузначное число в трое больше суммы его цифр. Если из этого числа вычесть произведение его цифр, то получится 13. Найдите это двузначное число. (27).

Задача №3.
Двузначное число в шесть раз больше суммы его цифр. Если это число сложить с произведением его цифр, то получится 74. Найдите это число.(54).

Задача №4.
Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.(32).

Задача №5.
Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.

Алгоритм решения задач на смеси.

х – масса первого раствора, у – масса второго раствора, (х + у ) – масса полученной смеси.
Найти содержание растворенного вещества в растворах, т.е.
а % от х, в % от у, с % от (х+у)
Составить систему уравнений.

Задача №1
Смешали 30% -ный раствор соляной кислоты с 10% -ным и получили 600г 15% -ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Введем обозначение. Пусть взяли х г первого раствора, у г – второго раствора, тогда масса третьего раствора – (х+у).

Определим количество растворенного вещества в первом, втором, третьем растворах, т.е. найдем 30% от х, 10% от у, 15% от 600.

Составим систему уравнений:

0,3х + 60 – 0,1х = 90
0,2х = 30
х = 30:0,2
х = 150, у = 600 – 150 = 450
Ответ: взяли 150 г первого раствора и 450 г второго раствора.

Задача №2
Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого их этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

Задача №3
Смешали 10% -ный и 25% -ный растворы соли и получили 3 кг 20% -ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?

Алгоритм решения задачи на движение, переведем реальные ситуации на математический язык, составим математические модели – нелинейные системы уравнений – и решим их, тем самым решив исходную задачу.

Задача 1.

Расстояние между двумя пунктами по реке составляет 14 км. Лодка проходит этот путь по течению за 2 часа, против течения – за 2 часа 48 минут. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения реки.

Решение:

Вспомним уравнение прямолинейного равномерного движения:

S – расстояние,V – скорость,T – время.

Пусть x км/ч – скорость лодки в стоячей воде, y км/ч – скорость течения реки. Составим математическую модель.

Если лодка движется по течению, то она имеет скорость км/ч и пройдет 14 км за время Если лодка движется против течения, она идет со скоростью км/ч и пройдет 14 км за время .

Решим полученную систему.

Ответ: 6 км/ч; 1 км/ч.

Задача 2.

Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда, и встречаются через 5 часов. Если второй поезд отправится на 7 часов раньше первого, то они встретятся через два часа после отправления первого поезда. Найти скорость каждого поезда.

Задача с геометрическим содержанием:

«Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а его площадь 30 см2. Найти катеты».

Решение: Пусть катеты равны х и у сантиметрам. Используя теорему Пифагора и формулу площади прямоугольного треугольника, условие задачи запишем так:

Прибавляя к первому уравнению системы второе, умноженное на 4, получаем: откуда или Так как х и у – положительные числа, то Из этого уравнения выразим у через х и подставим в одно из уравнений системы, например во второе: Решим полученное уравнение:

Подставляя эти значения в формулу находим В обоих случаях один из катетов равен 5 см, другой 12 см.

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см.

Задача на нахождение площади:

«Участок прямоугольной формы нужно огородить забором длиной 1 км. Каковы должны быть длина и ширина участка, если его площадь равна 6 га?»

Решение: Пусть длина и ширина участка прямоугольной формы равны х и у метрам. Используя формулы нахождения периметра и площади прямоугольника, а также соотношения 1 км=1000 м и 1 га=10000 м, условие задачи запишем так:

Выразим из второго уравнения значение у: Подставив значение у в первое уравнение системы, получим квадратное уравнение:

Подставляя полученные значения в формулу

Ответ: длина и ширина участка 300 м и 200 м.

Задачи , предлагаемые для самостоятельной работы

1. Два числа составляют в сумме 47. Если первое из них разделить на второе, то в частном получится 2, а в остатке 5. Найти эти числа.

2. Два числа составляют в сумме 46. Если первое из них разделить на второе, то в частном получится 3, а в остатке 2. Найти эти числа.

3. В двух ящиках находится 140 рублей. Если из первого переложить во второй 15 рублей, то в обоих окажется поровну. Сколько денег в каждом?

4. В двух ящиках находится 300 рублей. Если из второго переложить в первый 30 рублей, то в обоих ящиках окажется поровну. Сколько денег в каждом?

5. В двух бочках налита вода; если перелить из первой во вторую 6 ведер, то в обеих будет поровну; если же перелить 4 ведра из второй в первую, то в первой окажется вдвое более, чем во второй. Сколько воды в каждой бочке?

6. В двух бочках налита вода; если перелить из первой во вторую 10 ведер, то в обеих будет поровну; если же перелить 5 ведер из второй в первую, то в первой окажется втрое более, чем во второй. Сколько воды в каждой бочке?

7. В кошельке находятся пятикопеечные и двухкопеечные монеты. Требуется уплатить сумму в 95 копеек и отдать весго 25 монет. Сколько монет каждого достоинства нужно отдать?

8. Две трубы наполняют бассейн в 15 часов. Если бы в течение пяти часов вода текла из обеих труб, а потом вторую закрыли; то одна первая могла бы докончить наполнение бассейна в 40 часов. Во сколько часов каждая труба отдельно наполняет бассейн?

9. Владелец, конного завода, запасая овес для лошадей, рассчитал, что если он продаст 6 лошадей, то купленного овса хватит на 10 дней долее; если же он прикупит еще 18 лошадей, то овса недостанет на 15 дней. Сколько лошадей и на сколько дней запасено овса?

10. Владелец конного завода, запасая овес для лошадей, рассчитал, что еслн он продаст 15 лошадей, то купленного овса хватит на 20 дней долее; если же он прикупит еще 20 лошадей, то овса недостанет на 10 дней. Сколько лошадей и на сколько дней запасено овса?

11. Два путешественника проходят один и тот, же путь длиною в 1440 верст, выходя из места отправления одновременно. Второй оканчивает путешествие 20-ю днями раньше первого. Время, в течение которого первый делает 56 верст, сложенное с временем, в котороое второй делает 96 верст, составляет 5 дней. Сколько верст делает каждый ежедневно?

12. Два путешественника проходят один и тот, же путь длиною в 500 верст, выходя из места отправления одновременно. Первый оканчивает путешествие 6-ю днями раньше второго. Время, в течение которого первый делает 105 верст, сложенное с временем, в котороое второй делает 100 верст, составляет 4 дня. Сколько верст делает каждый ежедневно?

13. Сумма цифр трехзначного числа равна 17. Цифра сотен вдвое больше цифры единиц. Если от искомого числа отнять 396, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но напиисанными в обратном порядке. Найти это число.

14. Сумма цифр трехзначного числа равна 19. Цифра единиц втрое больше цифры сотен. Если к искомому числу прибавить 594, то получится число, обозначенное теми же цифрами, но написанными в обратном порядке. Найти это число.

15. Некто, отдав одну часть капитала по 4%, другую по 5% и третью по 6%, получает с них дохода 530 р.. Первая часть доставляет дохода на 70 р. меньше второй. Пятипроцентный доход со всего капитала на 30 р. меньше получаемого дохода. Определить три части капитала.

16. Некто, отдав одну часть капитала по 5%, другую по 4% и третью по 3%, получает с них ежегодно 400 рублей дохода. Первая часть доставляет дохода на 60 р. больше третьей. Четырех-процентный доход со всего капитала такой же, какой теперь получается. Определить части капитала.

17. Имеются два сплава золота и серебра. В одном эти металлы смешаны в отношении т : п, в другом в отношении р : q. Требуется отделить от сплавов по части так, чтобы часть, отделенная от первого сплава, весила больше другой на а фунтов и чтобы при сплавлении этих частей золото и серебро смешались в отношении r : s. По скольку фунтов должны содержать отделенные части?

18. Две бочки, вместимостью по а ведер, наполнены смесью спирта и воды. В первой эти жидкости смешаны в отношении т : п, во второй в отношении р : q. По скольку ведер нужно отлить из каждой бочки, чтобы из отлитых частей составить смесь, в которой спирта и воды поровну, а, смешав то, что останется, получить смесь спирта и воды в отношении r : s?

Литература:

1. В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. “ Просвещение”.
2. М.Б.Миндюк, Н.Г. Миндюк. Разноуровневые дидактические материалы по алгебре. 9 класс. “Генжер”.

3. М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. “ Высшая школа”.

4. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре.

8 – 9. “ Просвещение”.

Предварительный просмотр:

Четырёхугольники.

I. Что такое параллелограмм?

1)Четырехугольник у которого все стороны равны.

2)Четырехугольник у которого все углы прямые.

*3)Четырехугольник у которого противоположные стороны попарно равны.

4)Четырехугольник у которого все углы смежные.

5)Все утверждения не верны.

II. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен 900?

1)5.

2)7.

3)6.

*4)4.

5)8.

III. Найдите сумму углов выпуклого семиугольника.

1)6500

2)5400

3)8000

4)7000

5)5000

IV. Найдите углы А и С трапеции АВСDс основаниями АDи ВС, если

∠В =1440,∠D=630.

1)560, 1070.

*2)360, 1170.

3)560, 1270.

4)660, 1370.

5)Все ответы не верны.

V. Найдите углы параллелограмма ABCD, если ∠В=960.

*1)740, 960, 740, 960.

2)840, 960, 840, 960.

3)860, 960, 840, 960.

4)820, 960, 820, 960.

5)760, 960, 760, 960.

VI. Найдите угол D выпуклого четырехугольника ABCD, если

А=В=C=750

*1)1350

2)1200

3)900

4)1100

5)1400

VII. Что такое трапеция?

1) Это прямоугольник у которого все стороны равны.

2)Это четырехугольник у которого противоположные стороны попарно равны.

*3)Это четырехугольник у которого две стороны параллельны, а другие две не параллельны.

4) Параллелограмм у которого все углы прямые.

5) Параллелограмм у которого все углы смежные.

VIII. Чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника?

1)2800

*2)3600

3)1800

4)4600

5)3800

IX. Какая трапеция называется равнобедренной, а какая прямоугольной? Напишите ответ.

X. Найдите периметр ромба ABCD, в котором В=600, АС=10,5.

В

А С

D

*1)42,5см

2)42см

3)50см

4)40см

5)35 см

XI. Один из углов равнобедренной трапеции равен 680. Найдите остальные углы трапеции.

1)1020, 1020, 680, 680.

*2)1120, 1120, 680, 680.

3) 1220, 1220, 680, 680.

4)1320, 1320, 680, 680.

5)Правильного ответа нет.

XII. Периметр параллелограмма равен 48см. Найдите стороны параллелограмма, если разность двух сторон равна 7 см.

*1)15,5 см

2) 8,5 см

3)16 см

4)8 см

5)13,5 см

XIII. Найдите углы B и D трапеции ABCDс основаниями ADи BC, если

А=360, C=1170.

1)1540, 680

*2)1440, 630

3)1640, 530

4)1340, 830

5)Правильного ответа нет.

XIV. Периметр параллелограмма ABCDравен 50см. С=300, а перпендикуляр BHк прямой СDравен 6,5см. Найдите стороны параллелограмма.

*1)13см, 12см

2) 10см, 11 см

3) 15см, 16 см

4) 17см, 18 см

5)Верного ответа нет

XV. Найдите углы выпуклого многоугольника, если они равны друг другу.

1) 850

*2)900

3) 800

4) 650

5) 700

XVI. Найдите сумму углов выпуклого десятиугольника.

1)7200

*2)14400

3)10500

4)12000

5)9600

XVII. Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 33см, а одна сторона больше каждой из других соответственно на 6см, 7см и 8см.

Р=33см

Х

(х+8)см (х+6)см (х+6)см

(х+7)см

*1)3; 9; 10; 11.

2)6; 5; 10; 12.

3)4; 9; 10; 10.

4)6; 7; 8; 12.

5) 4; 6; 8; 15.

XVIII. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник каждый угол которого равен 600, 1200.

*1) 3; 6.

2) 5; 8.

3) 6; 9.

4) 7; 8.

5) 7; 9.

XIX. Периметр параллелограмма равен 48см. Найдите стороны параллелограмма если одна сторона на 3 см больше другой.

1)8см

*2)8,5см

3) 16см

4) 13,5см

5) 12см

XX. Найдите стороны четырехугольника если его периметр равен 8см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3мм, 4мм, 5мм.

1) 15, 25, 20, 20.

2) 18, 16, 20, 16.

*3) 17, 20, 21, 22.

4)15, 17, 23, 25.

5)18, 19, 21, 22.

XXI. Найдите стороны четырехугольника, если его периметр равен 66см. Первая сторона больше второй на 8см и настолько же меньше третьей стороны, а четвертая в три раза больше второй.

1)8, 14, 20, 24.

*2)7, 15, 21, 23

3)9, 18, 25, 14

4)15, 18, 20, 13

5)10, 25, 12, 13.

XXII. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам1, 2, 3, 4.

1)400, 500, 1300, 1400

*2)300, 600, 1200, 1500

3)300, 700, 1250, 1350

4)500, 850, 1120, 1130

5) 450, 800, 1050, 1300

XXIII. Найдите углы параллелограмма ABCD, если А+С=1420.

*1)710, 1090, 710, 1090.

2)530, 1270, 530, 1270

3)1200, 600, 1200, 600

4)840, 960, 840, 960

5)Все ответы неправильные.

XXIV. Периметр параллелограмма ABCDравен 60 см, сторона ABравна 20 см. Найдите стороны параллелограмма.

1) 20 см

2) 100 см

3) 40 см

4) 5 см

5) 1 дм

XXV. Найдите углы А и С трапеции ABCD с основаниями ADи ВС, если ∠D=400, ∠B=1000.

1) ∠А=400, ∠С=1000

2) ∠А=800, ∠С=1000

3) ∠А=800, ∠С=1400

4) ∠А=400, ∠С=1400

5) ∠А=1000, ∠С=400

XXVI. Найдите периметр квадрата АСВД, если сторона АВ=7 см.

1) 14 см2

2) 28 см2

3) 7 см2

4) 30 см2

5) 10 см2

XXVII. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠С=300, а перпендикуляр BHк прямой CDравен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.

1) 12 см; 20 см.

2) 12 см;13 см.

3) 20 см; 13 см.

4) 10 см; 30 см.

5) 24 см; 36 см.

XXVIII. Найдите углы B и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ∠А=360, ∠С=1170.

1) ∠В=360, ∠D=1170.

2) ∠В=1130, ∠D=440

3) ∠В=660, ∠D=1470

4) ∠В=630, ∠D=1000

5) ∠В=1440, ∠D=630

XXIX. Найдите периметр квадрата АСВД, если сторона АВ=4 см.

1) 1см2.

2) 4 см2

3) 16 см2

4) 24 см2

5) 8 см2

XXX. Найдите периметр ромба АВСД, в котором ∠В=600, АС=10,5 см.

1) 42 см.

2) 20 см.

3) 41 см

4) 21 см.

5) 50 см.

Предварительный просмотр:

Итоговый тест по алгебре за 7 класс

I вариант

Часть А

№ 1. Найдите значение числового выражения: -31/4 : 1,3 + 11/14 ∙ 4,2

1) 4,1; 2) 2; 3) 3,5; 4) 4,9

№ 2. Найдите значение выражения а + в

ав при а = -1,5; в = 1

1) 1/3; 2) -1/3; 3) 3; 4) 5/3

№ 3. Из уравнения 3х + 5у – 2 = 0 выразите переменную у через х.

1) у = 3/5 х + 2/5; 2) у = -3/5 х + 2; 3) у = -3/5 х + 2/5; 4) у = 3/5 х + 2

№ 4. Упростите выражение: х6 ∙ х4

Х2

1) х22; 2) х5; 3) х12; 4) х8

№ 5. Какое из указанных чисел является корнем уравнения: х( х2 – 7 ) = 6?

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 0

№ 6. По графику функции, изображенному на рисунке, найдите значение функции при х = -3, х = 2

1) -2 ; -1; 2) -2 ; 3; 3) 0 ; 3; 4) -1 ; 4

№ 7. Найдите разность многочленов: 2у2 – у + 4 и -3у2 – 2у

1) 5у2 – 3у; 2) 5у2 + у + 4; 3) –у2 + у + 4; 4) –у2 -3у + 4

№ 8. Раскройте скобки и упростите выражение: 5а( а2 – 4а ) – 8а( а2 – 6а )

1) -3а3 + 28а2; 2) -3а3 – 68а2; 3) -3а3 + 40а2; 4) -15а3 + 40а2

№ 9. Представьте в виде многочлена: ( 5а - 2в )2

1) 25а2 – 4в2; 2) 5а2 – 2в2; 3) 25а2 – 10ав + 4в2; 4) 25а2 – 20ав + 4в2

№ 10. Разложите на множители: 16m2 – n6

1) (n3 + 4m)(n3 – 4m); 2) (8m – n3)(8m + n3); 3) (8m + n3)( n3 – 8m); 4) (n3 + 4m)(4m – n3)

№ 11. Разложите на множители многочлен 15а3в – 3а2в2 , вынося за скобки ( -3а2в )

1) -3а2в ( в – 5а ); 2) -3а2в ( -5а – в ); 3) -3а2в ( 5а – в ); 4) -3а2в ( -5а + 3в )

№ 12. Даны точки: А ( 2; 1 ), В ( -1; 7 ), С ( -2; 9 ). Сколько из них принадлежит графику функции

У = -2х + 5?

1) одна; 2) две; 3) три; 4) ни одной

№ 13. Какое из неравенств верно?

1) ( -3 ) 10 › 0; 2) ( -5 ) 12 › 0; 3) ( -3 ) 9 ‹ 0; 4) ( -3 ) 7 › 0

( -5 ) 11 ( -2 )14 ( -10 )11 ( -8 )12

Часть В

№ 1. Решите уравнение: х _ 3 = х

5 2

Ответ: _____________

№ 2. Решите систему уравнений: х – 3у = -1

2х + у = 5

Ответ: _______________

Часть С

№ 1. Постройте график функции, заданной формулой у = - 1/3 х + 1. С помощью графика найдите координаты точек пересечения графика с осями координат.

На отдельном листе или на обратной стороне бланка постройте график и запишите ответ.

№ 2. Составив уравнение, решите задачу:

Лодка проплыла 3 ч против течения реки и 2 ч по течению реки, проплыв за это время 32 км. Скорость течения реки 3 км/ч, Найдите собственную скорость лодки.

Ход решения и ответ запишите на обратной стороне бланка или на отдельном листе.

Итоговый тест по алгебре за 7 класс

Вариант II

Часть А

№ 1. Найдите значение числового выражения: 2,4 ∙ 47/12 – 2,25 : 11/8

1) 13; 2) 9; 3) 7; 4) 8,5

№ 2. Найдите значение выражения bс

b-c при b = -0,5; с = 2

1) -0,25; 2) 0,25; 3) 0,4; 4) -0,4

№ 3. Из уравнения 5х – 3у + 1 = 0 выразите переменную у через х

1) у = 5/3 х + 1/3; 2) у = 5/3 х – 1/3; 3) у = - 5/3 х – 1/3; 4) у = - 5/3 х + 1/3

№ 4. Упростите выражение: а3 ∙ ( а4 ) 2

1) а14; 2) а9; 3) а11; 4) а24

№ 5. Какое из указанных чисел является корнем уравнения: 4 – х2 = 2х – 4?

1) 1; 2) 2; 3) -1; 4) 4

№ 6. По графику, изображенному на рисунке, найдите значение функции при х = -1, х = 2

1) 0; -1,5; 2) -2; 1; 3) -1; -2,5; 4) -1; 2,5

№ 7. Найдите разность многочленов: 4у2 -2у + 3 и -2у2 + 3у

1) 6у2 – 5у + 3; 2) 6у2 + у + 3; 3) 6у2 – 5у; 4) 2у2 + у + 3

№ 8. Раскройте скобки и упростите выражение:

4х( 5х2 + 7у ) – 6х ( 5у + х2 )

1) 26х3 – 2ху; 2) 14х3 – 2ху; 3) 10х3 + 2ху; 4) 14х3 + 2ху

№ 9. Представьте в виде многочлена: ( 7х + 2у )2

1) 49х2 + 4у2 ; 2) 49х2 + 28ху + 4у2; 3) 49х2 + 14ху + 4у2; 4) 7х2 + 28ху + 2у2

№ 10. Разложите на множители: 16х4 – 25

1) (8х2 – 5)(8х2 + 5); 2) (х2 + 5)(5 – 16х2); 3) (5 + 4х2)(4х2 -5); 4) (4х2 – 5)2

№ 11. Разложите на множители многочлен 14х4 b - 21х3 b2, вынося за скобки ( -7х3b)

1) -7х3b( 2х -3b); 2) -7х2b( 3b - 2х ); 3) -7х3b( -2х -3b); 4) -7х3b( -2х + 21b)

№ 12. Даны точки: А ( -1;2 ), В ( -2;-1 ), С ( 1;3 ). Сколько из них принадлежат графику функции

У = 3х + 5?

1) одна; 2) две; 3)три; 4) ни одной

№ 13. Какое из неравенств верно?

1) ( -4 )19 ∙ ( -3 )20 < 0; 2) ( -7 )14 ∙ ( -2 )23 > 0; 3) ( -10 )12 ∙ ( -5 )10 < 0; 4) ( -3 )15 ∙( -8 )11 < 0

Часть В

№ 1. 4 + х = х

3 5

Ответ:______________

№ 2. Решите систему уравнений: х – 2у = -1

3х + у = 11

Ответ:_________________

Часть С

№ 1. Постройте график функции, заданной формулой у = 0,5х – 2. С помощью графика найдите координаты точек пересечения графика с осями координат.

На отдельном листе или на обратной стороне бланка постройте график и запишите ответ.

№ 2. Составьте уравнение, решите задачу:

Лодка проплыла 4 ч по озеру и 5 ч по реке против течения, проплыв за это время 30 км. Скорость течения реки 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.