Устный счет на уроках математики
методическая разработка (5, 6 класс) на тему

Администрация города Улан-Удэ

Комитет по образованию г. Улан-Удэ

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа № 44»

670000, ул. Новая 44, г. Улан-Удэ,33-35-44, 33-32-44

 «Устный счет на уроках математики»

Автор: Учитель математики Бутуева Жанна Васильевна

Одна из важнейших задач обучения школьников математике – формирование у них вычислительных навыков, основой которых является осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений.

Вычислительные навыки необходимы как в практической жизни каждого человека, так и в учении. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии и т. д. нельзя решать, не обладая элементарными способами вычислений.

Но было бы ошибкой решать эту задачу только путем зазубривания таблиц сложения и умножения и использования при выполнении однообразных тренировочных упражнений. Не менее важная задача современной школы – развитие у учащихся в процессе обучения познавательной самостоятельности, творческой активности, потребности в знаниях.

Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах изучения курса математики, но основа ее закладывается в первые 5-6 лет обучения. В этот период школьники обучаются именно умению осознанно использовать законы математических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень). В последующие годы полученные умения и навыки совершенствуются и закрепляются в процессе изучения алгебры, физики, химии, черчения и других предметов.

Для развития у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков многие учителя используют различные методические приемы и формы, например, устный счет, игры «Быстрый счетчик», «Математическое домино», «Математический футбол», «Математическое лото».

Не секрет, что у детей с прочными вычислительными навыками гораздо меньше проблем с математикой. Но чтобы ребенок быстро считал, выполнял простейшие преобразования, необходимо время для их отработки. 5-7 минут устного счета на уроке недостаточны не только для развития вычислительных навыков, но и для их закрепления, если нет системы устного счета. Устные упражнения должны применяться также во всех подходящих случаях не только на небольших числах, но также и на больших, но удобных для устного счета. Задача учителя состоит в том, чтобы найти максимум педагогических ситуаций, в которых ученик стремится производить в уме арифметические действия.

Именно в 5-6 классах закладываются основы обучения математике наших воспитанников. Не научим детей считать в этот период, в дальнейшем они будут испытывать трудности.

Данная тема актуальна, так как устные вычисления необходимы в жизни каждому человеку. Математика является одной из важнейших наук на земле, и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Поэтому учителю необходимо формировать у детей вычислительные навыки, используя различные виды устных упражнений.

Вычислительные навыки достигают высшего уровня своего развития лишь в результате длительного процесса целенаправленного их формирования. Формирование у школьников вычислительных навыков остаётся одной из главных задач обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы при изучении арифметических действий

Формирование вычислительных умений и навыков – это сложный длительный процесс, его эффективность зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и организации вычислительной деятельности.

На современном этапе развития образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности школьников, которые способствуют не только формированию прочных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка.

При выборе способов организации вычислительной деятельности необходимо ориентироваться на развивающий характер работы, отдавать предпочтение обучающим заданиям. Используемые вычислительные задания должны характеризоваться вариативностью формулировок, неоднозначностью решений, выявлением разнообразных закономерностей и зависимостей, использованием различных моделей (предметных, графических, символических), что позволяет учитывать индивидуальные особенности ребенка, его жизненный опыт, предметно-действенное и наглядно-образное мышление и постепенно водить ребенка в мир математических понятий, терминов и символов.

Устные вычисления имеют большое образовательное, воспитательное и практическое и чисто методическое значение. Помимо того практического значения, которое имеет для каждого человека, умение быстро и правильно произвести несложные вычисления «в уме», устный счет всегда рассматривался методистами как одно из лучших средств углубления приобретаемых детьми на уроках математики теоретических знаний.

Устный счет способствует формированию основных математических понятий, более глубокому ознакомлению с составом чисел из слагаемых и сомножителей, лучшему усвоению законов арифметических действий и др.

Упражнениям в устном счете всегда придавалось также воспитательное значение: считалось, что они способствуют развитию у детей находчивости, сообразительности, внимания, развитию памяти детей, активности, быстроты, гибкости и самостоятельности мышления.

Устные вычисления развивают логическое мышление учащихся, творческие начала и волевые качества, наблюдательность и математическую зоркость, способствуют развитию речи учащихся, если с самого начала обучения вводить в тексты заданий и использовать при обсуждении упражнений математические термины.

Устный счет способствует математическому развитию детей. Оперируя при устных вычислениях сравнительно небольшими числами, учащиеся яснее представляют себе состав чисел, быстрее схватывают зависимость между данными и результатами действий, законы и свойства действий. Так, при делении 35 на 7 зависимость между данным и результатом деления выступает перед учащимся гораздо отчетливее, чем при письменном делении, скажем, 36750 на 125.

Профессор Московского университета С. А. Рачинский (1836 – 1902) обращал внимание на то, что способность к устному счету полезна и в практическом отношении, и как средство для здоровой умственной гимнастики. Он учил детей решать задачи быстро, оригинально, учил видеть неожиданные, особые свойства чисел и соотношений между ними.

Прививая любовь к устным вычислениям, учитель помогает ученикам активно действовать с учебным материалом, пробуждает у них стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, заменяя менее рациональные более современными. А это важнейшее условие сознательного освоения материала.

Устный счет имеет широкое применение в обыденной жизни; он развивает сообразительность учащихся, ставя их перед необходимостью подбирать приемы вычислений, удобные для данного конкретного случая, кроме того, устный счет облегчает письменные вычисления.

В настоящее время во всех областях жизни громадное значение имеют письменные вычисления, но и в то же время повседневная практика на заводе, в совхозе, в колхозе, а также военное дело требуют умения производить необходимый расчет быстро, точно, подчас на ходу.

Беглость в устных вычислениях достигается достаточным количеством упражнений. Ввиду этого в школе почти каждый урок начинается с устного счета (в течение 7 – 10 минут) и, кроме того, устный счет применяется во всех подходящих случаях не только на небольших числах, но также и на больших, но удобных для устного счета (например,18000:2, 15000:4 и т. п.). В большинстве случаев продолжительность устных вычислений определяет сам учитель, т. к. время, отводимое на устный счет, зависит от многих причин: активности и подготовки учащихся, характера материала.

Отмечая большое значение устных вычислений, следует в то же время признать исключительно важным создание у учащихся правильных и устойчивых навыков письменных вычислений. Успешная выработка таких навыков возможна лишь на базе хороших навыков устных вычислений.

Таким образом, на уроке математики формирование устных вычислительных навыков занимает большое место. Одной из форм работы по формированию вычислительных навыков являются устные упражнения. Овладение навыками устных вычислений имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение:

- образовательное значение: устные вычисления помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий, а также лучше понять письменные приемы;

- воспитательное значение: устные вычисления способствуют развитию мышления, памяти, внимания, речи, математической зоркости, наблюдательности и сообразительности;

- практическое значение: быстрота и правильность вычислений необходимы в жизни, особенно когда письменно выполнить действия не представляется возможным (например, при технических расчетах у станка, в поле, при покупке и продаже).

Умело поставленный и систематически проводимый устный счет развивает у учащихся способность быстро и безошибочно производить разнообразные устные вычисления. Нельзя не отметить, что отдельные приемы сокращенных вычислений, применяемые при устном счете, могут явиться дополнительным средством для закрепления математических знаний и алгебраических формул. Для того, чтобы учащиеся лучше осознали необходимость устных вычислений, их надо практиковать и при решении задач и примеров.

           На уроках устный счет применяется следующих форм:

·        Беглый счет.  При беглом счете преподаватель называет числа, говорит, какие действия надо над ними производить, а учащиеся говорят только ответ.

·        Беглый счет с последующей записью результата. Разница с предыдущим приемом заключается только в том, что если в первом случае учащиеся говорят ответ устно, то во втором они записывают его в тетрадях и показывают учителю.

·        Устный счет с предшествующей записью на классной доске чисел, даваемых для счета.  Эта форма устных вычислений применяется как в том случае, когда числа, предложенные для счета, большие, так и в том случае, когда закрепляется какой-либо новый прием быстрых вычислений, при котором все внимание учащихся должно сосредоточиться не на числах, а на сущности самого приема.

·        Устный счет при решении задач. Учащиеся решают задачу либо устно, либо по написанным учителем на доске числовым данным задачи, либо для устного счета запоминают и содержание задачи, и числовые данные.

   При устных вычислениях  мысль учащихся все время работает над вопросом:

« Какой прием лучше применить в том или другом случае, чтобы как можно быстрее производить требуемые вычисления? »

           Устный счет требует от учителя умелого подхода к индивидуальным особенностям каждого учащегося. Необходимо имеет в виду, что одни учащиеся  при устном счете считают правильно и довольно быстро; другие быстро, но часто ошибаются; третьи хотя и верно, но довольно медленно считают; четвертые считают совсем плохо и требуют от учителя индивидуальной помощи.

          Устный счет может практиковаться почти на каждом уроке математики. В зависимости от темы и материалам урока, они могут ставиться учителем в начале урока, середине или в конце.

           В начале урока устный счет удобно применять тогда, когда нужно  подготовить почву либо для изложения нового материала, либо для закрепления пройденных навыков.

           В середине урока устный счет лучше всего проводить тогда, когда он может быть связан  с проходимым или пройденным на уроке материалом.

В конце урока устный счет применяется обычно независимо от темы урока в специально оставленное для этой цели время (5-10 минут) как для упражнений в применении различных приемов быстрых вычислений, которыми учащиеся уже владеют, так и для объяснения  учителем новых приемов.

           Скорость вычисления как  при беглом счете, так при устном решении задач всецело зависит от степени трудности примеров, от степени подготовленности  детей, от их умения пользоваться приемами быстрых вычислений, от умения преподавателя вести эту работу.

           Нельзя применять много различных видов упражнений на одном уроке, так как это утомляет учащихся и снижает их внимание. Практику устного счета надо развивать постоянно. Вообще надо сказать, что умело поставленный устный счет является для детей нередко чрезвычайно интересной работой, своего рода гимнастикой ума, игрой.

           Для развития у учащихся умения быстро производить устные вычисления учитель должен тщательно  рассматривать с детьми некоторые свойства чисел, их сочетания, способы разложения и т. д. Это обеспечит всю последующую технику быстрых вычислений.

1. Необходимо, чтобы таблицы сложения, вычитания, умножения и деления были усвоены с детьми в совершенстве.
2. Надо, чтобы дети легко и быстро находили дополнения чисел до любого большего круглого числа (т. е. кратные 10)
3. Надо научить учащихся быстро делить и умножать на 2.
4. Учащиеся должны уметь разложить любые числа по разрядам, т.е. представить их в виде суммы.
5. Ученики обязаны хорошо знать основные законы четырех арифметических действий, зависимость между компонентами и результатами действий.
6. Представить число в виде разности двух чисел.
7. Использовать при вычислениях возможность замены одних действий другими действиями.
8. Знать значение квадратов чисел до 30.

Приступая к устным вычислениям, учитель должен начинать с более легких примеров и приемов, которые по мере их усвоения усложняются.

           Устный счет – очень нужный этап урока. Именно на этом этапе появляется настрой на весь урок. Устный опрос украшает урок, делает его логически стройным и интересным, способным лучшему усвоению программного материала.

Некоторые приемы устных вычислений

по математике в 5 и 6 классах.

1. Умножение чисел, оканчивающихся нулями.

          40·7 = (4·7)·10                                         8·60 = (8·6)·10

          400·7 = (4·7)·100                                      4·600 = (4·6)·100

          1200·50·=(12·5)·1000                                120·70 = (12·7)·100

2. Умножение любого числа на двузначное путем разложения множителя на десятки  и единицы.

           46·12 = 46·10 + 46·2           243·31 = 234·30 + 243·1

3. Перестановка  сомножителей.

  2·93·5 = 2·5·93 = 10·93      4·17·25 = 17·4·25 = 17·100     125·201·8 = 201·125·8 = 201·1000

Особые приемы умножения.

Чтобы применять особые приемы умножения, необходимо уметь всякое целое число быстро устно умножить  и  делить на 2 и 3, а также уметь быстро устно складывать и вычитать числа в пределах сотни.

Умножение на 4  может быть сведено к двукратному последовательному умножению данного числа на 2.

         48·4 = 48·2·2                                 157·4 = 157·2·2

Умножение на 5

          42·5 = ·10 = 21·10 = 210           93·5 = ·10 = 465

Умножение на 6

При умножении на 6 можно применять два способа:

1) Последовательное умножение

         52 · 6 = 52·2·3 = 104·3 = 312

2) Представление 6 в виде суммы 5 и 1

   52 · 6 = 52 · (5+1) = 312

Умножение на 7

52 · 7 = 52 · (5+2) = 260 + 104 = 364

Умножение на 9

   52 · 9 = 52 · (10-1) = 520 - 52 = 468

Умножение на 11

   52 · 11 = 52 · (10+1) = 520 + 52 = 572

Умножение на 25                                         Умножение на 50

     36 · 25 =36:4· 100 = 9 ·100 = 900              52 · 50 =52:2 · 100 = 2600

Умножение двух одинаковых сомножителей, оканчивающихся на 5

Для этого достаточно число десятков помножить на число, единицей большей десятков и к произведению приписать 25.

      45² = 2025 [ 4 · (4+1) = 20]                   65² = 4225 [6 · 7 = 42 ]

      55² = 3025 [5 · (5+1) = 30]

Можно применить умножение на 99 и 999.

Например: 52 · 99 = 52 · (100-1) = 5200 - 52 и т.д.

Способы быстрого сложения и вычитания

натуральных чисел

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

Пример.

364 + 592 = 364 + ( 592 + 8 ) – 8 = 364 + 600 – 8 = 956.

Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.

Пример.

997 + 856 = ( 997 + 3 ) + ( 856 – 3 ) = 1000 + 853 = 1853.

Если вычитаемое увеличить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.

Пример.

1351 – 994 = ( 1351 + 6 ) – ( 994 + 6 ) = 1357 – 1000 = 357.

Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число,

т. е. ( а + в ) – ( а – в ) = 2в.

Пример.

( 57 + 23 ) – ( 57 – 23 ) = 46.

Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то в результате получится удвоенное большее число, т. е. (а + в ) + (а – в ) = 2а.

Пример

( 74 + 26 ) + (74 – 26 ) = 148.

Сложение столбцами. Сумма цифр каждого разряда складывается отдельно. Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой е д и н и ц последующей суммы.

Примеры.

597

1289

+ 67382

95895

23

34

18

13

15

165163

439

+ 749

932

25

15

23

2475

Способы быстрого умножения и деления

натуральных чисел.

Применение распределительного закона умножение относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности.

Примеры.

8*318 = 8*(310 + 8) = 2480 + 64 = 2544;

7* 196 = 7(200 – 4) = 1400 – 28 = 1372.

Умножение методом Ферроля.

Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Этот способ умножения следует из тождества (10а +b) (10с + d) = 100ас +10(аd + bc) + bd.

Пример.

37*48 =1776 а) 8 * 7 = 56, пишем 6, помним 5;

б) 8* 3 + 4 * 7 + 5 = 57, пишем 7, помним 5;

в) 4 *3 + 5 = 17.

Методом Ферроля легко перемножать устно двузначные числа от 10 до 20.

Пример.

12*14 = 168. Умножаем так: а)2*4 = 8;

б)1*2 + 1*4 = 6;

в)1*1 = 1.

Можно умножить и трехзначное число на двузначное.

Пример.

125 а)3*5 =15, пишем 5, помним 1;

x 23 б)(3*2 + 2*5) +1 =17, пишем 7, помним 1;

2875 в)(3*1 + 2*2) + 1 = 8, пишем 8;

г)2*1 = 2, пишем 2.

Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10. Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй. Этот способ основан на тождестве (10а + в)(10а +с)=100а( а + 1) + вс, где в + с = 10.

Примеры.

13*17 =221, а)1*(1 + 1) = 2, пишем 2;

б)3*7 = 21, приписываем справа 21.

204*206 =42024 а)20*(20 +1) = 420, пишем 420;

б)6*4 = 24, приписываем справа 24.

Умножение чисел на 11.

Записать последнюю цифру числа (цифру из разряда единиц), затем последовательно, справа налево записывать суммы соседних двух цифр множимого и, наконец, первую цифру множимого.

Примеры.

54*11 = 594 а) пишем 4;

б) 4 + 5 = 9, пишем 9;

в) пишем 5.

124*11 = 1(1 + 2)(2 + 4)4 = 1364

Если одна из сумм соседних цифр окажется больше 9, то на соответствующем месте записывают цифру единиц полученной суммы, а к следующей сумме прибавляют 1. Прибавляют единицу и к последней цифре множителя, если предыдущая сумма превышала 9.

Примеры.

58*11 =638,

а) пишем 8;

б)5 + 8 = 13, пишем 3, помним 1;

в)5 + 1 = 6, пишем 6.

3765*11 =41415,

а) пишем 5;

б)5 + 6 = 11,пишем 1, помним 1;

в)(7 + 6) + 1 = 14, пишем 4, помним 1;

г)(3 + 7) + 1 = 11, пишем 1, помним 1;

д)3 +1 = 4, пишем 4.

Умножение на числа вида аа.

Умножить данное число сначала на а, потом на 11.

Пример.

123*55 = (123*5)*11 = 615*11 = 6(6+1)(5+1)5 =6765.

Умножение двузначного числа на 111.

Справа налево нужно последовательно записать: последнюю цифру первого множителя (т.е. цифру из разряда единиц), сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, его первую цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц каждой суммы, а к следующему результату прибавляем 1.

Примеры.

42*111 = 4(4 +2)(4 + 2)2 = 4662;

68*111 = 7548,

а) пишем последнюю цифру 8;

б) 6 +8 = 14, пишем 4, помним 1;

в)(6 + 8) + 1 = 15, пишем 5, помним 1;

г) 6 + 1 = 7, пишем 7.

Умножение однозначного или двузначного числа на 37. Способ основан на равенствах 2*37 = 74, 3*37 = 111. Пользуясь законами дистрибутивности и этими равенствами, можно упрощать процесс умножения во всех упомянутых случаях.

Примеры.

6*37 = 37*3*2 = 222;

8*37 = (6 + 2)*37 = 222+74 = 296;

45*37 = (48 – 3)*37 = 12*4*37 – 3*37 = 16*3*37 – 3*37 = 3*37(16 – 1) = 111*15 = 1665.

Умножение на 5, 25, 125.

Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000.

Примеры.

46*5 =46:2*10 = 230;

48*25 = 48:4*100 = 1200;

32*125 = 32:8*1000 = 4000.

Если множитель не делится нацело на 2, 4, или 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100, 1000, а остаток - на 5, 25, или 125.

Примеры.

53*5 = 26*10 + 1*5 = 265 (53: 2 = 26 и 1 в остатке);

43*25 = 10*100 + 3*25 =1075 (43:4 = 10 и в остатке 3);

66*125 = 8*1000 + 2*125 = 8250 (66:8 = 8 и в остатке2).

Деление на 5, 25, 125.

Умножить число соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.

Примеры.

220:5 = 220*26:10 = 44;

1300:25 = 1300*4:100 =52;

9250:125 = 9250*8:1000 = 74.

Иногда удобно менять порядок действий , выполняя сначала деление на 10, 100, 1000, а потом умножение.

Умножение на 9, 99 и 999.

К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.

Примеры.

286*9 = 2860 – 286 = 2574;

23*99 = 2300 -23 =2277;

18*999 = 18000 – 18 = 17982.

Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 десятков.

К 25 прибавить цифру в разряде единиц и к результату приписать справа квадрат числа единиц так, чтобы получилось четырехзначное число. Этот способ основан на тождестве (50 + а)2 =100*(25 +а) +а2.

Примеры.

512 = 2601,

а) 25 +1 = 26, пишем 26; б) 12 = 1,приписываем 01.

582 = 3364,

а) 25 + 8 = 33; б) 82 = 64.

Возведение в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся на 5.

352 = 2025,

а) справа приписываем 25; б) 3*4 =20 в)слева приписываем от 25 число 20.

752 =5625.

Вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или иное решение. Понятно, что без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учебы в школе. Этим, кстати, объясняется столь стремительное развитие удобных калькуляторов. Тем не менее калькулятор не может обеспечить ответ на все возникающие вопросы. Он не всегда имеется под рукой и бывает достаточно определить лишь примерный результат.

Многие навыки, сопутствующие вычислениям, неизбежно требуются и в быту, и в школьной практике. Так, нередко может потребоваться замена числа близким ему числом, например, 25% - это 0,25, т. е. четверть, сравнение чисел на основе качественных оценок.