Устный счет на уроках математики
статья по алгебре (5 класс) по теме

Устный счет на уроках математики.

        Счёт в уме (устные вычисления) является самым древним и простым способом вычислений. Чтобы довести умения до уровня навыка, надо, чтобы каждый ученик выполнил примерно 600 упражнений в течение месяца. 25 учеников в классе – 15 тысяч упражнений. Сколько времени тратится на их подбор и проверку.  Значит нужно найти  технологию, которая поможет научить детей считать быстро, на уровне навыка, не тратя лишние силы и время. Ведь если простые умения не доводятся до автоматизма, это не позволяет совершенствовать умения сложные. То и тогда задача развития мышления может оказаться преждевременной, так как ученики плохо вычисляют. Всем известно, что “сильные” ученики опережают “слабых” в формировании умений и навыков. Если работать на “слабых”, стараясь не упустить их, “сильные” дети буквально будут томиться на уроках, тормозится их развитие. Если работать на “слабых”, стараясь не упустить их, “сильные” дети буквально будут томиться на уроках, тормозится их развитие. Если наоборот, то у “слабых” упадёт самооценка, накопятся с катастрофической скоростью пробелы, совсем упадёт интерес к учению. Как быть? За кого хвататься? Опять нужна технология, способная за короткий срок подтянуть детей, ускорить процесс формирования у них вычислительных навыков.          Хорошо развитые у учащихся навыки устного счёта – одно из условий их успешного обучения в старших классах. Учителю математики надо обращать внимание на устный счёт с того самого момента, когда учащиеся переходят к нему из начальной школы. Именно в пятых-шестых классах мы закладываем основы обучения математике наших воспитанников. Не научим считать в этот период – будем и сами в дальнейшем испытывать трудности в работе, и своих учеников обречём на постоянные, обидные промахи. Устный счёт мы всегда проводим так, чтобы ребята начинали с лёгкого, а затем постепенно брались за вычисления всё более и более трудные. Если сразу обрушить на учащихся сложные устные задания, то ребята обнаружат своё собственное бессилие, растеряются, и их инициатива будет подавлена. Следует разделять два вида устного счёта. Первый – это тот, при котором учитель не только называет числа, с которыми надо оперировать, но и демонстрирует их учащимся каким-либо образом (записывает на доске, указывает по таблице, проецирует на экран). Подкрепляя слуховые восприятия учащихся, зрительный ряд фактически делает ненужным удерживание данных чисел в уме, чем существенно облегчает процесс вычислений. Однако, именно запоминание чисел, над которыми производятся действия – важный момент устного счёта. Тот, кто не может удерживать чисел в памяти, в практической работе оказывается плохим вычислителем. Поэтому в школе нельзя недооценивать второй вид устного счёта, когда числа воспринимаются только на слух. Учащиеся при этом ничего не записывают и никакими наглядными пособиями не пользуются. Естественно, что второй вид устного счёта сложнее первого. Но он и эффективнее в методическом смысле – при  том, однако, условии, что этим видом счёта удаётся увлечь всех учащихся. Последнее обстоятельство очень важно, поскольку при устной работе трудно контролировать каждого ученика. Мы стараемся сделать так, чтобы устный счёт воспринимался учащимися как интересная игра. Тогда они сами внимательно следят за ответами друг друга, а мы становимся не столько контролёрами, сколько лидерами, придумывающими всё новые и новые интересные понятия.   Повышению вычислительной культуры способствуют и способы быстрых вычислений. Они развивают память учащихся, быстроту их реакции, воспитывают умение сосредоточиться. Для устных вычислений полезно отводить на уроке 5-7 минут ежедневно.

Но в большинстве случаев продолжительность устных вычислений определяет сам учитель, так как время, отводимое на устный счет, зависит от многих причин: активности и подготовки учащихся, характера материала и т.п.

В практике многих школ устный счет ставят в начале урока, вслед за проверкой домашнего задания. Но нельзя превращать это в шаблон. Устный счет можно проводить и в середине урока. Например, после вывода нового правила для закрепления его решением задач и примеров под руководством учителя, перед переходом к самостоятельной работе.

Можно выделить следующие виды упражнений по устному счету:

1. слуховые упражнения; (данные воспринимаются на слух);
2. зрительные упражнения; (числа воспринимаются зрением, используются наглядные пособия);
3. зрительно-слуховые упражнения.

Формы слуховых упражнений таковы:

1. пример или задача в одно действие;
2. пример, содержащий от двух до пяти звеньев;
3. задача-загадка.

Формы зрительных и зрительно-слуховых упражнений:

1. в виде примеров;
2. задач без конкретного содержания;
3. задач с конкретным содержанием.

Чтобы уроки устного счета были интересными, занимательными, вызывали активность и внимательность детей, нужно их по возможности разнообразить.

Формы устного счета:

1. Беглый счет. (Учитель называет ряд чисел и действий над ними)
2. Равный счет. (Учитель записывает строчку: 25 + 63 – 18 = 70, далее он вызывает ученика и просит записать такую строчку, чтобы в ней получилось 70. “Теперь дети, все придумайте такую строчку, чтобы в ней получилось 70”)
3. Счет цепочкой. (Разновидность беглого счета с паузой перед каждым новым действием. Когда учитель ставит знак равенства ответ у большинства должен быть готов)
4. Прием дополнение. (Учитель пишет на доске число 1 или 100, а потом называет одно за другим числа, а учащиеся должны называть дополнения до 1 или 100)
5. Придумывание задач к данному примеру. (Учитель рисует круг с числами, показывает указкой число, а дети в уме производят указанное действие)
6. Устное решение простых задач.
7. Заполнение квадратов. (Квадрат в девять клеток изображается на доске. Дается ряд чисел 1, 2, 3,…9. Задание: заполнить данными числами все клетки квадрата так, чтобы и в горизонтальных и в вертикальных рядах было 15 – рис. 2)
8. Зрительные и зрительно-слуховые упражнения – счет по таблицам Шохор-Троцкого (рис.3), Пифагора, ряды чисел “Угадай-ка” (рис.4), счетные круги и фигуры (рис.5), занимательные квадраты и прямоугольники. (Учитель вывешивает одно из пособий, показывает числа указкой и предлагает считать молча. Вычислив, учащиеся молча поднимают руки )
9. Математические диктанты.
10. Устные контрольные работы.

Наиболее распространенные формы таких работ:

1. фронтальная;
2. групповая.

Содержание устной контрольной работы можно подразделить на вопросы трех групп:

I. Определения и формулировки правил;
II. Задачи и примеры;
III. Вопросы на сообразительность, требующие глубокого знания теоретического материала.

Готовясь к фронтальной устной контрольной работе, учитель подбирает для класса 45-60 вопросов, по 15-20 вопросов на каждую из указанных групп. Например,

Фронтальная устная контрольная работа по разделу “Десятичные дроби”.

I.

1. Какая дробь называется десятичной?
2. Как увеличить десятичную дробь в 10, 100, 1000 раз? Примеры.
3. Как уменьшить десятичную дробь в 10, 100, 1000 раз? Примеры.
4. Как складываются десятичные дроби? Привести правило и пример.
5. Как умножить десятичную дробь на целое число?
6. Как умножаются десятичные дроби?
7. Какие законы сложения вы знаете?
8. Какие законы умножения вы знаете?
9. Как разделить десятичную дробь на целое число? Пример.
10. Как разделить десятичную дробь на десятичную дробь? Пример.
11. Как найти дробь от числа?
12. Как найти число по данной его дроби?
13. Как найти отношение двух чисел?
14. Как найти процент от числа?
15. Как найти число по данному его проценту?

II.

1. 2,53 + 1,0047.
2. 2,53 + 2,75 + 7,47.
3. 13,854 – 4,999.
4. 32,48 : 16.
5. 12,42 : 0,3.
6. 18,12 увеличить в3 раза.
7. 2,35 + (1/2 – 0,5).
8. 0,78 + (3/4 + 0,25).
9. 12,22 – 3,781 + 1,78.
10. 2,35 . (3/4  – 0,75).
11. (1/20 – 0,05) . 4,509.
12. (11/4 – 0,25) : 8.
13. Найти 0,25 от числа12,4.
14. Найти 20% от 45.
15. Найти число, если 5% его равны 0,5.

III.

1. Каждое из шести слагаемых увеличили на 0,2. Как измениться сумма?
2. Как поступить, если при умножении в полученном числе не хватает цифр для отделения запятой?
3. На каких свойствах умножения основаны следующие приемы устного счета:
4,5 . 6,7 + 4,5 . 3,3 = 4,5 . (6,7 + 3,3) = 4,5 . 10 = 45 ;
4 . 2,578 3/4 0,25 = 4 . 0,25 . 2,5787 = 2,578?
4. Вычислить наиболее рациональным путем:
0,25 . 0,3 . 4 . 10 =
1,25 . 0,4 . 0,8 . 5 =
50 . 0,17 . 0,2 . 20 =
1,5 . 0,6 . 0,4 . 0,5 =
5. Сумма двух чисел равна (0,593 + 1,507); одно из чисел в 9 раз больше другого. Найти меньшее число.
6. Как измениться произведение трех чисел, если один из сомножителей увеличить в 4,8 раза, а другой уменьшить в 2,4 раза?
7. Как измениться произведение трех чисел, если первый сомножитель умножить на 0,25, а другой увеличить в 4 раза, третий уменьшить в 10 раз?
8. Как измениться частное, если делимое умножить на 0,8, а делитель на 1,6?
9. Что больше: 20% от 15 или 15% от 20?
10. Какими приемами можно найти несколько процентов от числа?
11. Какими приемами можно найти число по данным его процентам?

Фронтальная устная контрольная работа.

Проводить её полезно только после прохождения раздела полностью (натуральные числа; обыкновенные дроби и т. д.), по времени это будет не чаще 1 раза в четверть. Организация проведения такова: учитель записывает предварительно на доске некоторые вопросы (те, которые трудно запомнить) и закрывает их газетой или листом бумаги. Предлагает ученикам убрать все со стола – все книги, тетради, бумагу, карандаши и говорит, что каждому ученику будут предложены 3-4 вопроса, за ответы он может получить оценку. Рук не поднимать. Каждый вопрос задается всему классу и дается некоторое время на обдумывание; это время зависит от трудности вопроса. Затем называется фамилия ученика, который будет отвечать. Если ответ не точен или неправилен, то следует спросить кого-либо из учащихся класса, разрешив поднять руки.

В конце урока надо отвести 4-5 минут на подведение итогов работы.

Групповая устная контрольная работа.

Эта форма контрольной работы обычно проводится за несколько дней до письменной контрольной работы, после прохождения определенной темы.

Эта работа рассчитана на весь урок. Для проведения такой работы учитель, как правило, готовит 5-8 её вариантов, занесенных на карточки. Содержанием контрольной работы являются вопросы трёх вышеперечисленных групп. В каждый вариант входит 5-6 вопросов. Методика проведения этой формы работы такова. Учитель вызывает 2-3 учащихся и дает им карточки с предложением устно решить все вопросы за 5-8 минут. Пока вызванные ученики готовятся к ответам, учитель фронтально опрашивает класс. По истечении отведенного времени один из получивших карточки и подготовившийся к ответам перед классом отвечает на вопросы карточки. Если ответ неточен, отвечает кто-нибудь из класса. Перед тем как выслушать ответ подготовившегося учащегося учитель вызывает ещё одного учащегося и также дает ему карточку. Целесообразно предлагать карточки стольким учащимся, чтобы число готовивших ответы по карточкам оставалось не более двух.

Иногда применяют 10-12 минутную контрольную работу по устному счету – математический диктант. Ученики на отдельных листах нумеруют соответственно 10-15 строк для ответов. Учитель читает первое задание, ученики молча пишут ответ в первой строке и т. д. Время для выполнения задания ограничено. Если ученик не успел сосчитать, он ставит прочерк против номера нерешенного задания. Среди заданий могут быть и теоретические задания. Например, математический диктант по теме “Проценты”:

1. Найти 25% от 36.
2. Найти 75% от 4,8.
3. Найти 1% от 15.
4. Найти 0,1% от 70.
5. Найти число, если 50% его составляют 3 1/8.
6. Найти число, если 12% его составляют 60.
7. Найти число, если 1 1/2% его составляют 1,8.
8. Сколько процентов составляет 6м от 24м?
9. Сколько процентов составляет 3см от 3м?
10. Сколько процентов составляет 1ц от 1т?
11. Сколько процентов составляет 1т от 1ц?
12. Сколько процентов составляет 4м от 4см?

Чтобы разнообразить формы занятий по устному счету и развить зрительную память, преподаватель должен время от времени проводить устные вычисления молча, записывая четко на доске задания. Немые жесты и краткие словесные указания преподавателя о том, что ученики должны делать имеют важное значение для воспитания у учащихся внимания. Зрительную память у учащихся развивают наглядные пособия и дидактические материалы.

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел.

    Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится. Если вычитаемое увеличить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится. Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, то есть . Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то в результате получится удвоенное большее число, то есть .

Сложение столбцами.

    Сумма цифр каждого разряда складывается отдельно. Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой единиц последующей суммы.

Сложение с перестановкой слагаемых.

    72+63+28=? Третье слагаемое является дополнением первого до 100. Мысленно переставим слагаемые. Сложим их 72+28+63=163. Соединяем слагаемые попарно: (3013+2118)+(74+126)=5200+200=5400.

Сложение десятичных дробей.

    Складывать устно десятичные дроби следует подобно целым числам, то есть, начиная с высших разрядов: сначала поразрядно сложить целые части, затем – дробные десятичные доли.

Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел.

    Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности.

Примеры: 8•318=8• (310+8)=2480+64=2544
                  7•196=7• (200-4)=1400 - 28=1372.

Умножение методом Ферроля.

Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот, и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Этот способ умножения следует из тождества . Методом Ферроля легко перемножать устно двузначные числа от 10 до 20. Можно умножать и трёхзначное число на двузначное.

Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10.

Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй. Этот способ основан на тождестве .

Умножение чисел на 11.

    Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. Если одна из сумм соседних цифр окажется больше 9, то на соответствующем месте записывают цифру единиц полученной суммы, а к следующей сумме прибавляют 1. Прибавляют единицу и к последней цифре множителя, если предыдущая сумма превышала 9.

Умножение на числа вида .

    Умножить данное число на , потом на 11.

Умножение двузначного числа на 111.

    Справа налево нужно последовательно записать: последнюю цифру первого множителя (т.е. цифру из разряда единиц), сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, его первую цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц каждой суммы, а к следующему результату прибавляем 1.

Умножение однозначного или двузначного числа на 37.

    Способ основан на равенствах 2• 37=74, 3• 37=111.

Умножение на 5, 25, 125.

    Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000. Если множитель не делится нацело на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток – на 5, 25 или 125.

Умножение на 9, 99, 999.

    К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.

Умножение на 75.

    Нужно число разделить на 4 и результат умножить на 300.

Умножение на 101.

    Чтобы умножить двузначное число на 101, надо к этому числу приписать справа это же число.

Умножение на 1001.

    Чтобы умножить трёхзначное число на 1001, надо к этому числу приписать справа это же число.

Умножение чисел, близких к 100 и 1000

    Примеры. 245•998=245•(1000-2)=245000-490=244510  
375•999=375• (1000-1)=375000-375=374625   
225•999=225• (1000-3)=222000-675=224325.

Умножение пары чисел, у которых цифры десятков одинаковые, а сумма цифр единиц составляет 10

    Примеры: 83•87=8•9•100+3•106=10••207=20•21•100+3•7=42021

Умножение двух рядом стоящих чисел

    Правило. При умножении двух рядом стоящих чисел надо сначала перемножить цифры десятков, затем цифру десятков умножить на сумму цифр единиц и, наконец, надо перемножить цифры единиц.

Умножение чисел, оканчивающихся на 1

    Правило. При умножении чисел, оканчивающихся на 1, надо сначала перемножить цифры десятков и правее полученного произведения записать под этим числом сумму цифр десятков, а затем перемножить 1 на 1 и записать ещё правее. Сложив столбиком, получим ответ.

Деление на 5, 25, 125

    Умножить числа соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.

Умножение чисел, оканчивающихся цифрой 5

    При умножении чисел, оканчивающихся цифрой 5 (одна цифра десятков – чётная, а другая – нечётная), надо к произведению цифр десятков прибавить целую часть половины суммы цифр десятков. Получим число сотен, и тогда к числу сотен следует приписать 75.

Организация устных упражнений всегда была и остаётся “узким местом” в работе на уроке: суметь за небольшое время дать каждому ученику достаточную “вычислительную нагрузку”. Помочь в разрешении этой проблемы помогают, как показывает опыт обучения школьников в средних классах, наборы упражнений – тренажёры. Они предназначены как для работы в классе на уроке, так и для самостоятельной работы дома. Вычислительные навыки можно тренировать и так. В начале урока дети получают карточки-задания. По сигналу ребята начинают записывать свои ответы. Через 2 минуты тренировка заканчивается.

 После занятий с учениками-помощниками подсчитываем количество правильных ответов и заносим результаты в сводную таблицу, которую вывешиваем в классе, и так на каждом уроке. Время от времени для объективности есть смысл проводить контрольный счёт, где проверку ответов осуществляет сосед по парте, либо сам учитель.