Итоговая аттестация. Проблемы преподавания геометрии и методы их решения.
учебно-методический материал по теме

Педагогические чтения 2014.

МБОУ ПГО «СОШ №8»

Кротова Елена Викторовна,

 учитель математики ВКК.

«Итоговая аттестация.

 Проблемы преподавания геометрии

 и пути их решения»

Тезисы.

60% девятиклассников не справляются с диагностическими работами в формате ГИА, самостоятельно могут решить геометрическую задачу менее 40% учащихся старших классов. К геометрическим задачам ЕГЭ приступает менее 20% экзаменуемых. Геометрический материал составляет 37% на ГИА и 27% заданий на ЕГЭ. Большое количество ребят, набирая 13 баллов и более, получают двойку за экзамен, не справляясь с геометрическим блоком. Если провести объективный срез знаний современного выпускника 9-го класса, изучавшего математику в «обычной» школе, картина получится удручающей. Даже хорошие ученики (те, которые в школе имеют по геометрии только «4» и «5»), как правило, «в совершенстве» знают лишь теорему Пифагора, а, например, уже подобие видят только в треугольниках с параллельными сторонами. Решение задач ими ведется без какой-либо определенной стратегии, простым перебором формул в надежде на то, что какая-нибудь из них «выдаст» результат. В геометрической подготовке выпускников имеются пробелы в развитии пространственных представлений, умении правильно изобразить геометрические фигуры, провести дополнительные построения, провести вычисления, применить полученные знания к решению практических задач. Например, вызывает трудности у половины выпускников задание на решение прямоугольных треугольников.

Сейчас, наверно, поздно задаваться вопросом «кто виноват». Скорее, нас - педагогов должен мучить вопрос «что делать».

Хотя про «виноватых» не сказать нельзя. Когда в последний раз наши девятиклассники выбирали предметом по выбору геометрию? Не физкультуру и ОБЖ, а билеты  с теоремами и задачами! С 2009 года в ЕГЭ по математике 2-3 геометрические задачи предлагались только для поступления в ВУЗы. В 9 классе всегда был обязательный экзамен только по алгебре. Учителя не успевали привыкнуть к одному формату, как он стремительно менялся. Не секрет, что за 5 лет тесты ЕГЭ менялись 5 раз. Успеть бы научить тому, что спрашивают! И еще время - такой ресурс, которого всегда не хватает. Скажите, что у вас занимает больше времени: подготовка к уроку алгебры или подготовка к уроку геометрии? Почему? Как вы думаете? Опытному учителю достаточно бегло прочитать условие алгебраической задачи, чтобы выяснить к какой теме она относится, какие навыки и умения формируются при её решении. С геометрическими задачами сложнее. Одного беглого прочтения недостаточно. Например, скажите в каком классе, после изучения какой темы можно дать ученикам такую задачу: стороны треугольника 11,13 и 12. Найдите все медианы треугольника. (после п.89 применение метода координат к решению задач, геометрия 9 класс) Дело осложняется ещё тем, что любую геометрическую задачу можно решить несколькими способами.

А теперь, «что делать». Уверена, каждый из вас может поделиться кучей рецептов, интересных находок преподавания. Сделаю это и я.

Готовясь к выступлению, я перечитала статью знаменитого геометра И.Ф. Шарыгина «Нужна ли школе 21 века геометрия?», познакомилась со статьей Зеленского А.С. и Панфилова И.И. «Некоторые проблемы преподавания геометрии в профильных классах», изучила методические письма о результатах ЕГЭ за последние годы. Попробую кратко изложить содержание этих документов. В разное время высказывались различные суждения по поводу изучения геометрии, и её места в системе школьного образования. Несомненно, то, что развитие логики и развитие интуиции, которые мы наблюдаем в геометрии – делают эту дисциплину  уникальной и необходимой для изучения. Главной целью изучения геометрии, конечно, является знание. Но следует признать, что эта цель по отношению к геометрии второстепенна, поскольку большинство школьных геометрических знаний не востребовано ни в практической жизни человека, ни даже в научной деятельности. Более важно, что геометрия есть феномен общечеловеческой культуры. Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших памятников мировой культуры. Человек не может по-настоящему развиться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию. Геометрия — один из важнейших предметов, причем не только среди предметов математического цикла, но и вообще среди всех школьных предметов. Какой же должна быть геометрия? Известный геометр И.Ф. Шарыгин шутит: «Геометрия должна быть геометрической» (а не аналитической или алгебраической). Это означает, что главным действующим лицом Геометрии должна быть фигура (на плоскости треугольник и окружность), а главным средством обучения рисунок, картинка.

Авторы всех школьных учебников стараются сделать изложение материала максимально доказательным. Это, конечно, правильно. Однако красоту и стройность теории способны оценить лишь немногие. У большинства учащихся эта тотальная доказательность как минимум отбивает интерес к обучению, а наиболее слабые очень скоро перестают воспринимать предмет. Процесс изучения Геометрии включает самые разнообразные виды деятельности. И в первую очередь — решение задач. Задача — это не только умения, это и элемент знания. Только через этот процесс учитель, ведущий занятия, может удержать интерес к предмету в классе с различным уровнем учащихся. В особенности если учитель будет предлагать различным категориям учащихся различные по сложности задачи. Ученик должен ознакомиться с определенным набором достаточно трудных геометрических задач, освоить некоторые геометрические методы, научиться решать задачи, следуя известным образцам. Кстати, именно в этом и состоит, по сути, процесс обучения алгебре. Мы показываем ученику методы, приемы, сообщаем алгоритмы, которые трудно, почти невозможно найти самостоятельно. В Геометрии, в отличие от Алгебры, подобных алгоритмов, очень мало, почти нет. Почти каждая задача по Геометрии является нестандартной. Поэтому при обучении возрастает значение опорных задач, сообщающих полезный факт, либо иллюстрирующих метод или прием. Шарыгин считает недопустимым предлагать задачи на минимальном уровне, на тройку. Задача должна быть нормальной задачей, а оценивать мы должны, сколь далеко ученик ушел от полного нуля и приблизился к полному решению.

Позволю себе подытожить мнение «великих»:

• Геометрия, безусловно, необходима в школьном курсе;
• Дать учителю возможность  на основе базовой программы составить свою, отвечающую имеющемуся контингенту учащихся.
• Геометрия – феномен общечеловеческой культуры. Показать  геометрию с этой стороны возможно на историческом материале;
• Разумно сократить доказательную базу;
• Задачи предлагать разноуровневые, с одной стороны, и учить разбивать сложные задачи на опорные, с другой. Оценивать любое продвижение по задаче.

Теперь к практике.  В своей работе решаю задачи:

1. Повысить интерес к предмету через иллюстрацию историческим материалом почти на каждом уроке. (Чем, например, знаменит Пифагор, кроме своей теоремы? Одним из главных предметов в школе Пифагора была музыка, он начинал свой день с игры на инструментах и пения баллад Гомера. Он был Олимпийским чемпионом по кулачному бою. А его жена работала вместе с ним в его школе и после его смерти продолжила его дело). Возможно, это тема проекта. Я со своими учащимися написала проекты по темам: «Почему мы так говорим?», «История знакомых значков», «Насколько мал золотник», «Женский вопрос в математике», и др.
2. Перераспределив материал учебника, укрупняю теоретические блоки. Например, тему «Площади» изучаем в режиме погружения. Тему «Вписанные и описанные окружности» изучаем в ходе исследовательской работы (ищем общее и различное для треугольников, четырехугольников и правильных многоугольников). Тему «Подобие» начинаем изучать, заполняя сравнительную таблицу «Равенство и подобие треугольников». Изучаем крупные блоки в 10 классе: «Взаимное расположение в пространстве», «Параллельность в пространстве», «Перпендикулярность в пространстве», «Расстояния в пространстве», «Угол в пространстве», «Многогранники» (опять, кстати, в режиме погружения)
3. Большое внимание уделяю заучиванию формул и формулировок. Никак нельзя без этого обойтись, ведь на экзамене справочного материала минимум, а то и нет совсем, а задание «выбери верное утверждение» не решить без знания. Обращаю внимание на различные техники заучивания,  на то, что некоторые формулы очень легко вывести (например, площадь сектора или длину дуги), на похожесть некоторых формул. Обращаю внимание на «переформулировки» - ведь в упомянутом задании формулировки не всегда стандартные. Здесь, конечно, не обойтись без систематической проверки, зачетов. Стараюсь находить интересные формы. Например,  сочиняю сказку о четырехугольниках и прошу детей подчеркнуть в тексте определения, свойства и признаки различным способом. Знаете, сколько затруднений вызывает это задание! В последнее время вообще увлеклась сказками, даже написали с ученицей проект «Сказки по геометрии». Считаю, что это увлекательный способ объяснить и проверить материал.

Очень важно систематически повторять пройденный материал. И много времени здесь не надо, если найти оптимальные формы. Например, записав на доске или слайде тему «Некоторые свойства прямоугольных треугольников», можно повторить практически весь материал 7 класса!

4. Предлагаю большое количество задач по готовым чертежам. Во-первых, возрастает КПД урока, во-вторых, такие задачи легче, их могут все пробовать решать. И, в-третьих, именно задачи по готовым чертежам предлагаются  в первой части ГИА и ЕГЭ.
5. Не надо жалеть времени на открытие знания! Пусть дети сами «откроют» теорему на основе практической деятельности и наблюдений. Да, это долго, да, их деятельность надо продумать и организовать, но деятельность свою они не забудут, а значит, и теорема останется в памяти.
6. Геометрия меньше «алгоритмизирована», чем алгебра. Способов решения одной задачи – несколько. В этом трудность для детей. Но какие-то опорные задачи можно и нужно алгоритмизировать. Доказательство равенства треугольников, например: найти треугольники – найти три равных элемента – применить признак – ответить на вопрос. Или площади: определить фигуру – записать формулу – отметить, что известно, а что нет – найти недостающее – подставить. Или подобие: найти треугольники – доказать подобие – составить отношения – решить пропорцию. Конечно, сильный ученик максимально упростит потом этот алгоритм, но для кого-то это единственная возможность продвинуться по задаче.
7. Особо следует сказать о взаимоотношениях между геометрией и компьютером. Компьютер является очень полезным инструментом в геометрических исследованиях. С его помощью можно экспериментально обнаруживать новые интересные геометрические факты. Человеку же остается важнейшая роль — эти факты доказывать (всего лишь!). При этом в геометрическую деятельность с использованием компьютеров могут включаться школьники и сильные и слабые (с точки зрения математики), технари и гуманитарии. Всегда здесь остерегаюсь «фанатизма». Компьютер, конечно, красивее и быстрее изобразит, быстрее посчитает. Но умение строить чертежи компьютер не заменит. Хотя некоторые темы, «Комбинации многогранников и тел вращении», например, без компьютерной графики уже трудно представить. Здесь компьютер как раз учит выполнять рисунок пошагово. Я в этом вопросе не сильна, пользуюсь готовыми презентациями и программами. Было бы очень полезно услышать тех, кто широко использует компьютерные технологии на своих уроках.
8. ГИА и ЕГЭ – это тест. Поэтому, от тестовых технологий не убежишь. Очень привлекает меня, в этом контексте, сборники тестов Фаркова А.В. Задания разноуровневые, соответствуют ГИА. Есть задачи очень простые, есть по готовым чертежам, есть без чертежа, есть задания повышенного уровня сложности. Задачи распределены по уровням А-В-С, и это все в одном тесте. И 4 варианта на каждую тему. У меня был о-о-очень слабый общеобразовательный класс. Мы изучали с ними геометрию только по этим тестам: 1вариант разбираем, находим в учебнике, записываем теоретические факты, алгоритмы, понятия. 2,3 варианты – закрепляем, 4 вариант – контроль. Ситуация успеха – гарантирована.
9. Урок одной задачи. Есть комбинированные задачи, в которых используется очень много разных знаний. Такие задачи есть в сборниках Зив. Или другой вариант: задача одна – вариантов решения несколько (С4 в ЕГЭ), или способов решения несколько (аналитический и векторный, например).

Итак, на итоговый аттестации наши дети должны решать задачи и анализировать точность формул и формулировок. Этому мы их и должны научить. За счет какого временного ресурса этого достичь?

• За счет разумного сокращения доказательной базы;
• За счет укрупнения теоретических блоков. Нереально продуктивно за 1-2 урока «открыть» теорему, доказать ее, опросить и хотя бы показать ее применение для решения задач;
• За счет различных продуктивных форм и методов работы;
• За счет повышения интереса к предмету.

Да простят меня авторы ФГОС и те, кто ответственен за его внедрение в нашу жизнь. Я двумя руками за метапредметность, за личностные результаты, за коммуникативность, регулятивность и за все, что там есть разумного. Но этими же двумя руками я против нивелирования предметной составляющей! В угоду некоторым модным течениям мы уже потеряли математическое образование, которое было лучшее в мире, и теперь пытаемся его реабилитировать с помощью новой «Концепции». Мы, школьные учителя, которые каждый день сталкиваются с этой проблемой, как никто страдаем в сложившейся ситуации, и только нам приходится искать пути выхода.