Преемственность в обучении математике

между начальной и средней школой

Подготовка к ОГЭ.

Добрый день, уважаемые коллеги.

Тема моего выступления « Преемственность в обучении математике между начальной и средней школой. Подготовка к ОГЭ»

Начальная школа обязана научить ребенка осознанному чтению, письму  и счету, правильной и полноценной речи и т.д. В начальной  школе закладывается основа дальнейшего обучения.

      Проанализировав материалы ГИА И ЕГЭ 9-х и 11-х классов, можно увидеть, что некоторые темы затрагиваются уже на первой ступени обучения, а именно в начальной школе. С этой целью сейчас почти во всех УМК для начальной школы в методических рекомендациях введено тестирование по основным предметам, где проверяются не только практические, но и теоретические знания.

      В первую очередь надо  уяснить  для самого себя, что единый государственный экзамен и подготовка к нему это не только проблема учителей-предметников среднего и старшего звена, но и всех учителей, работающих в образовательном учреждении. Только слаженная совместная работа начального, среднего и старшего звена может дать положительные результаты.

      Используемые в начальной школе тесты позволяют выяснить насколько знания и умения учащихся соответствуют основным программным требованиям, а также как  учащиеся умеют пользоваться своими учебными действиями при выполнении тестовой работы. Тесты составлены таким образом, что показывают уровень сформированности основных учебных умений, а именно:

• воспринимать учебную задачу; 
• контролировать и корректировать собственные действия по ходу выполнения задания.

Структура данных тестов приближена к структуре КИМов для учащихся 9 и 11 классов.

Часть А– это задания с 1 по 12, в которых предлагается выбрать правильный ответ из 4-х.

Часть Б– это задания 13-14 требуют краткой записи ответов.

Часть С– это задание 15 требует лаконичного ответа, а также решение логической задачи по математике.

       Рассмотрим изучение предмета «Математика». Что важно усвоить в начальной школе для дальнейшего успешного обучения?

      Основной задачей начальной  школы является сформировать у ребенка представления о числе как о количестве, сформировать образы и понятия отношений «больше на/в …» и «меньше на/в …», научить школьника считать, выполняя практически необходимые операции с числами. Необходимо твердое знание таблицы умножения. К окончанию  начальной школы ребенком должны быть усвоены случаи устного и письменного деления, умножения, сложения и вычитания. Решение простых уравнений в начальной школе (знание названий компонентов и их нахождение)  - это тоже работа на будущее. Обучающийся должен уметь решать задачи разными способами, составлять краткую запись, схему, чертеж. К окончанию начальных классов у ребенка должны быть сформированы умения оперировать геометрическим материалом. Задачи на нахождение периметра и площади прямоугольника и квадрата тоже очень важны.

Математика – одна из самых сложных школьных дисциплин, и вызывает трудности у многих учащихся. Подготовка к выпускным экзаменам – это всегда ответственный процесс. И от того, насколько мы грамотно построим его, зависит наш результат.

ОГЭ по математике – первый независимый  рубеж  проверки знаний, полученных за время обучения в школе.

 Как я уже сказал, экзамен тестирует знания, умения, навыки за весь 9-тилетний курс. Поэтому главная проблема, с которой приходится сталкиваться при подготовке – это пробелы в знаниях.

         Поэтому первую задачу, которую надо решить учителю – это выявить и ликвидировать все пробелы в базовых знаниях. А то сейчас девятиклассники плохо знают таблицу умножения, а уж уголком делить многих приходится учить практически с нуля.

Начиная с самого начала преподавания у детей предмета, веду мониторинг уровня обученности  учащихся по всем темам, начиная с 5 по 9 классы.

В своей работе наряду с тренировочными вариантами, содержащими задания на все темы, как реальный экзаменационный вариант, я активно использую различные тематические подборки. Это особенно важно, когда какой-то раздел ученику дается с большим трудом. Например, задания на функции или геометрические задачи. В этом случае большой объем решенных задач по одной теме позволяет перевести количество в качество и твердо усвоить эту тему.

  Для учащихся 9-х классов провожу групповые и индивидуальные консультации после уроков в строго определённое время. Эти консультации охватывают как сильных обучающихся, с которыми разбираем задания повышенной сложности, так и слабоуспевающих учащихся, с которыми отрабатываем базовые знания умения и навыки.

  Преемственность в изучении чисел в 1-4 и 5-6 классах

    В пятом классе продолжается работа, начатая в начальных классах.

Тема "Натуральные числа" - первая тема в 5 классе, основные цели изучения которой: систематизировать, обобщить и развить знания учащихся о натуральных числах; познакомить с новыми понятиями, к восприятию и усвоению которых учащиеся были подготовлены в начальных классах.

Данные цели реализуются при изучении всех вопросов, включенных в тему. При повторении курса математики начальных классов вводится понятие "натуральное число" (в начальных классах этот термин не вводится, речь шла о числах, которые используются для счета), вводятся также понятия координатного луча (в начальных классах - числовой луч), координата точки, единичный отрезок (в начальных классах - мерка), учащиеся обобщают на вербальном и символическом уровне изменение результатов действий в зависимости от изменения компонентов и знакомятся со способами округления (подготовительная работа к такому обобщению также осуществлялась в начальных классах).

В раздел "Натуральные числа" включается знакомство пятиклассников с классом миллионов и миллиардов, с двойным неравенством, с помощью буквенной символики обобщаются свойства сложения (переместительное и сочетательное) и умножения (переместительное, сочетательное, распределительное) - термины были введены в начальных классах.

Введение понятий "делимое" и "кратное", простые и составные числа расширяют представления учащихся о натуральных числах и создают условия для включения заданий, нацеленных как на совершенствование вычислительных умений и навыков, так и на развитие логической грамотности учащихся.

Изучение свойств делимости опирается на знания, умения и навыки, сформированные в начальном курсе математики: связь компонентов и результатов действий умножения и деления; замена выражений - суммы, разности, произведения, частного - значением этих выражений и наоборот; деление суммы на число и др.  Например,  изучение свойств делимости суммы на натуральное число опирается на знание учащимися свойства "деление суммы на число.

Изучение свойств делимости, в частности свойства делимости суммы, находит дальнейшее развитие при изучении признаков делимости.

Введение понятий "наибольший общий делитель", "наименьшее общее кратное" создает условия для совершенствования вычислительных навыков и готовит учащихся к усвоению темы "Обыкновенные дроби". которая встречается в заданиях экзамена

Изучение перечисленных вопросов в данной последовательности позволяет учащимся активно использовать при изучении нового материала ранее усвоенные (как в начальных классах, так и в 5 классе) знания, умения и навыки, что создает условия для самостоятельного выполнения заданий, нацеленных на усвоение нового материала.

Преемственность в изучении алгебраического материала в начальных и 5-6 классах

Вычислительная культура формируется у учащихся на всех этапах изучения курса, но основа ее закладывается в начальной школе. В этот период школьники обучаются осознанному использованию законов математических действий, осваивают правила и приемы вычислений, которые в последующие годы совершенствуются и закрепляются. Поэтому уровень вычислительных навыков зависит от систематичности повторения и закрепления ранее усвоенных приемов вычисления и их преемственной связи с новыми, приобретаемыми при последующем изучении материала.

Во время перехода от изучения математики к изучению систематического курса алгебры традиционно происходят затруднения у школьников, что часто приводит к снижению успеваемости. Это связано с широким использованием в курсе алгебры буквенной символики и затруднениями в понимании учениками того факта, что буква в математике, а затем и в алгебре обозначает число.

Рассмотрим пример преемственности при изучении линии решения уравнений:

В изучении уравнений выделяются три этапа.

К I этапу относится пропедевтическое изучение уравнений в начальной школе, II этап - более высокий уровень пропедевтики этих понятий в курсе 5-6 классов и III этап начинается с 7 класса.

В курсе математики начальных классов уравнение рассматривается как истинное равенство, содержащее неизвестное число.

Термин “решение” употребляется в двух случаях: он обозначает так число (корень), при подготовке которого уравнение обращается в верное числовое равенство, так и сам процесс отыскания такого числа, т.е. способ решения уравнения. В данной работе для нас важнее второе толкование этого термина, поэтому рассмотрим некоторые способы решения уравнений более подробно.

Способы решений уравнений могут быть различными, желательно, чтобы учащиеся овладели их разнообразием. Выделяют следующие способы решения уравнений: способ, основанный на подборе значений переменной, способ, основанный на знании состава чисел, способы основанные на зависимостях между компонентами и результатами действий, графический способ, способы, основанные на разностном и кратном отношении чисел. Рассмотрим некоторые из них более подробно.

Способ подбора.

При решении уравнений в начальной школе не редко используется способ подбора. Прежде всего он формирует осознанный и материалистически верный подход к решению уравнений, т.к. ученик сразу ориентируется на то, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство при этом получится. Так, решая уравнение x+2=5, ученик пробует подставить вместо x число 1, 2, 3. Даже если ученик смог сразу дать правильный ответ, он должен еще “доказать” его правильность, подставив найденное число в уравнение вместо х. В этом случае для проверки осознанности, действий учащегося можно задать ему вопрос: “Почему х не может равняться 2? (Если вместо х подставить 2, то получится 4, а не 5).

Используя способ подбора, учащиеся смогут справиться и с решением уравнений на нахождение неизвестного уменьшаемого или вычитаемого. При подборе чисел в процессе решения уравнений ученик должен прежде всего, подумать, с какого числа целесообразнее его начать.

Все рассуждения, связанные с подбором решения уравнения и его проверкой, осуществляются устно. Способ подбора формирует у учащегося умение “оценить”, “проанализировать” записанное уравнение, что создает благоприятные условия для решения уравнений в дальнейшем с помощью “правил”.

Решение уравнений на основе соотношения между частью и целым.

Составляя подобные равенства, учащиеся на основе практических предметных действий выводят и усваивают правила:

целое равно сумме частей

чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть

Взаимосвязь между частью и целым является затем для учащихся тем удобным и надежным инструментом, который позволяет им легко решать уравнения с неизвестным слагаемым, уменьшаемым, вычитаемым.

Решение уравнений на основе зависимости между компонентами действий.

После того как учащиеся научатся решать простейшие уравнения вида: х + 10 = 30 - 7, х+ (45 -17) =40 и т.п. им предлагаются более сложные уравнения, для нахождения неизвестного компонента, в которых необходимы определенные преобразования. Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений.

Ученик использует в своих суждениях план, который определяет "шаги", ведущие к достижению поставленной цели. Этот способ позволяет учащимся учится рассуждать, переносить общие суждения на частные, ускорить осознание изучаемого материала.

Учащиеся, освоившие решение уравнений в начальных классах не испытывают трудностей в обучении математике в V классе.

В 5 классе в идейном отношении преемственность сохраняется. Используются формулировки: "Равенство, содержащее неизвестное число, называют уравнением", "Решить уравнение - значит найти все его корни", "Найденное значение неизвестного числа называют корнем уравнения". Способы решения уравнений по-прежнему ограничиваются использованием взаимосвязи между компонентами и результатами действий. Однако здесь более ярко выделяется линия на обобщение осваиваемых способов решения и фиксирования их в буквенно-символической форме. Решается уравнение х - 47 = 25. Вместе с классом анализируется равенство и отмечается, что следует найти неизвестное уменьшаемое. По смыслу вычитания находят корень уравнения. Далее способ решения такого вида обобщается: "Вообще если х - в = с, то х = в + с", одновременно формулируется правило; правило заучивается учащимися. В 5 классе изучаются способы нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителя, делимого, делителя. Правила нахождения формулируются и заучиваются. Записи способов нахождения неизвестного числа в буквенно-символической форме тщательно анализируются, "Что означают в равенстве используемые буквы?", уточняется смысл и объясняется значение используемых символов, а также отмечается, что в записи конкретных уравнений неизвестное число может обозначаться любой буквой.

В 5-м классе изучаются уравнения, которые содержат буквенные выражения только в одной части уравнения. При их решении внимание учащихся сосредотачивается на выделение способа решения, осмысление понятия корня и на понимании постановки задачи о решении уравнения.

Выделение нужного способа решения обеспечивается качественным анализом выражения, стоящего в левой части уравнения: какое действие выполняется последним, как читается запись этого выражения, какому компоненту этого действия принадлежит неизвестное число и т.п. Понимание же постановки задачи о решении уравнения обеспечивается анализом произведенной записи решения и полученного результата.

Запись решения обычно сопровождается словесным описанием выполняемых действий. Используются при решении первых уравнений для зрительного подкрепления и выработки правильной математической речи. Таблицы с образцами решения.

6528 : (х - 39) = 64

Неизвестное число входит в состав делителя, найдем делитель х - 39, для этого делимое разделим на частное

х - 39 = 6528 : 63

Вычислим результат деления:

6528 : 64 = 102

Теперь неизвестно уменьшаемое, чтобы его найти, надо сложить вычитаемое и разность

х - 39 = 102

х = 39 + 102

Вычислим сумму:

39 + 102 = 141

Следовательно 141 является корнем уравнения

В 6-м классе расширяются типы решаемых уравнений. Так, например, при изучении понятия модуля числа решаются уравнения: /х/=а.

Эти уравнения имеют два, один или не имеют корней, т.е. здесь продолжается формирование понятий корень уравнения и что значит решить уравнение.

Учащиеся 6-го класса осваивают и новые методы решения уравнений. Вначале рассматривается возможность умножения или деления обеих частей на одно и то же отличное от нуля число. В обоих случаях делаются выводы о том, что при умножении (или делении) обеих частей уравнения на неравное нулю число получается новое уравнение с теми же корнями, что и заданное.

Проводя работу по этапам процесса обобщения, к концу изучения курса математики V-VI классов можно сформировать у учащихся, обобщенный прием решения уравнения первой степени с одной переменной в следующем виде:

рассмотреть данное уравнение, отметить его особенности;

установить, какие из следующих упрощений уравнения можно сделать: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, приведение подобных слагаемых в левой и правой частях уравнения, раскрытие скобок, деление обеих частей на коэффициент при неизвестном;

упростить уравнение;

найти значение неизвестного;

записать ответ.

Преемственность в изучении геометрического материала в начальных и 5-6 классов

Изучение курса геометрии в основной школе направлено на достижение следующих целей воспитания интеллектуально развитой личности: развитие логического мышления; формирование и развитие умений и навыков геометрических построений и обоснования их правильности; формирование и развитие навыков практической деятельности на основе геометрических знаний, навыков математической деятельности; формирование пространственных представлений учащихся; создание фундамента для формирования пространственного мышления; формирование образного мышления; развитие функциональной грамотности; развитие графической грамотности, эстетического вкуса.

Структура школьного курса геометрии условно делится на 4 ступени:

1 ступень (1-4 классы) - изучение отдельных элементов геометрии.

2 ступень (5-6 классы) - пропедевтический курс геометрии.

3 ступень (7-9 классы) - систематический курс планиметрии.

4 ступень (10-11 классы) - систематический курс стереометрии

В начальной школе дети знакомятся с целым рядом геометрических фигур, работая при этом с готовыми геометрическими формами: различают их на картинке, измеряют длины отрезков, вычисляют периметр и площадь фигуры и т.д.

В 5 классе основное внимание отводится рассмотрению элементарных геометрических фигур, вводимых преимущественно через наглядное их описание: отрезок и его длина; прямая; луч; угол; многоугольник; ломанная; прямоугольный параллелепипед; куб и их объем.

В 6 классе ведущая роль отводится элементарным геометрическим построениям: построение треугольника по трем данным элементам; построение окружности; параллельных и перпендикулярных прямых с помощью треугольника и линейки; построение фигур, симметричных относительно точки, относительно прямой. Также рассматривают круг и шар. Без доказательства вводят формулы длины окружности, площади круга.

Таким образом, в 5-6 классах появляется возможность развить геометрические представления детей на новом для них уровне. Углубление и расширение геометрических знаний целесообразно проводить через конструирование моделей и изображение уже знакомых или неизвестных фигур, что позволяет детям понять, как устроены эти фигуры, и познакомиться с некоторыми их свойствами.

Структурное же отличие занятий геометрией в 5-6 классах от таковых в начальной школе состоит в объединение геометрического материала в отдельный учебный предмет. При этом важно правильно мотивировать изучение геометрии, чтобы оно не превращалось в игру, а вызывало интерес учащихся, главным образом, за счет тщательного подбора доступных для детей форм деятельности: рисования, конструирования, решения разнообразных задач.

Преемственность в обучении решению задач в начальных и в 5-6 классах

В педагогической литературе традиционно много внимания уделяется текстовым задачам. Это связано с тем, что их решению обучают на протяжении всего 9-летнего курса математики средней школы, а в младших классах они занимают одно из основных мест. К тому же текстовые задачи в обучении выполняют важные дидактические и развивающие функции.

Преемственность в обучении состоит в установлении необходимой связи и правильного соотношения между частями учебного предмета на разных ступенях его изучения, т. е. в последовательности, систематичности расположения материала, в опоре на изученное и на достигнутый учащимися уровень математического развития, в перспективности изучения материала, в согласованности ступеней и этапов учебно-воспитательной работы. К одному из условий соблюдения принципа преемственности в обучении математике относят подготовку ребенка к темам, которые будут изучаться в последующих классах.

Ребенок, поступающий в начальную школу, уже имеет некоторый опыт решения задач, в том числе и сюжетных математических. У одних детей этот опыт богаче, у других - беднее. В большинстве случаев он не осознаваем ими. Поэтому начать обучение решению задач нужно с обогащения опыта решения задач на интуитивном уровне, а также с помощью предметных действий и здравого смысла. Важное место при этом занимает операция сравнения.

Детей нужно учить наблюдать мир, сравнивать предметы и группы предметов по самым разнообразным свойствам, классифицировать объекты окружающего мира.

Важный момент в этот период - это обсуждение учащимися способов обозначения наблюдаемых свойств, сходств и различий, установленных по какому-либо признаку, отношений равенства, отношений «больше» и «меньше», отношений целого и части.

Основная цель первого периода обучения решению задач - формирование у детей основных познавательных действий, представлений о ключевых отношениях мира: отношениях целого и части, равенства и неравенства, формирование представлений о числах и действиях с ними. В процессе этой работы решаются и текстовые задачи. Простые задачи на сложение и вычитание могут решаться и без арифметических действий в этот период. Приемы, помогающие решению, учитель в этот период выполняет сам или «подсказывает» их детям. В результате у учащихся накапливается опыт, создаются первые представления о процессе решения задач.

К концу обучения в начальной школе учащиеся должны понять: для того чтобы решить задачу (особенно трудную), нужно:

- понять ее, т.е. понять смысл каждого слова в тексте задачи, понять, что с чем и как связано, что от чего зависит, о чем задача, о чем в задаче спрашивается, что при этом известно и что неизвестно;

- наметить план решения, т. е. наметить, что и в какой последовательности делать, чтобы ответить на вопрос задачи;

- выполнить намеченный план;

- проверить, правильно ли найден ответ на вопрос задачи;

- выяснить, все ли возможные ответы найдены.

Таким образом, обучение детей решению текстовых задач формирует у младшего школьника следующие умения:

· Умение выделять объекты, о которых идет речь в задаче.

· Умение выделять условие и вопрос задачи.

· Умение выделять известные (данные), неизвестные и величины.

В средних классах нет необходимости отдельно рассматривать каждое из этих трех действий. Они выполняются учениками самостоятельно «в уме». О результатах такой деятельности судят по ответам на вопросы: «Что нам известно из условия задачи? Что нужно найти?» Для совершенствования этих трех умений в 5-6 классах предлагаются упражнения на выделение известных и неизвестных величин (при этом лучше использовать задачи, условия которых сформулированы в косвенной форме); на построение схем с выделенными на них известными и неизвестными величинами (самостоятельное или использование недостроенных чертежей); на составление задачи по вопросу (условию); на замену объектов и (или) числовых данных в условии задачи и т.д. К 7 классу указанные умения учащиеся должны свободно применять при решении любой текстовой задачи.

На сегодняшний день остается актуальной проблема преемственности обучения решению текстовых задач в учебных комплектах младшей и средней школы. В связи с этим, учителю основной школы приходится самостоятельно «стыковать» материал учебников, тщательно отбирать уже известные и новые для учащихся сведения. Поэтому так же важным становится вопрос о том, чтобы и учитель начальных классов знал программу и учебники основной школы, по которым впоследствии будут учиться его ученики, знал весь курс математики, что бы позволило ему использовать пропедевтическое изучение какого-либо материала.

В своей работе я ставил цель изучить методы и средства осуществления преемственности в системе математического образования.

На сегодняшний день непрерывное образование понимается как связь, согласованность и перспективность всех компонентов системы (целей, методов, средств, форм организации воспитания и обучения) на каждой ступени образования.

Обучение математике позволяет достичь следующие взаимосвязанные цели:

- общеобразовательные - овладение детьми определенным объемом математических знаний, умений и навыков в соответствии с возрастом;

- воспитательные - формирование важнейших моральных качеств, готовности к труду;

- развивающие - развитие логических структур и математического стиля мышления;

- практические - формирование умения применять математические знания в конкретных ситуациях, при решении практических задач.

Математика задает стандарты правильного, рационального мышления на всю жизнь вперед. Дает огромный толчок для умственного развития. Позволяет развивать образное мышление и абстрактное воображение детей, воспитанию интереса к математике как совершенно особой области человеческого знания.

Преемственные связи в алгебраическом направлении находят свое выражение в том, что курс математики 5-го класса, так же, как и курс математики начальной школы, сориентирован на отработку частных вопросов.

Преемственность в геометрическом направлении происходит на основе усложнения материала: в начальной школе дети знакомятся с отдельными элементами геометрии, в 5-6 классах, они проходят пропедевтический курс геометрии.

Преемственность в обучении решению задач состоит в установлении последовательности, систематичности расположения материала, в опоре на изученное и на достигнутый учащимися уровень математического развития, в перспективности изучения дальнейшего материала.

Таким образом, Основой осуществления преемственности является установление преемственных и перспективных связей между этапами педагогического процесса.

Для успешного решения проблемы преемственности в условиях современной системы обучения математики необходимо:

· полностью согласовать требования к математической подготовке учащихся, сформулированные в программах начальной и основной школы;

· согласовать методы обучения, обеспечивающие достаточную подготовку детей к восприятию математических правил, законов, адаптацию детей к дедуктивному методу изложения;

· строить обучение математике так, чтобы достижение учащимися обязательных результатов обучения было безусловным требованием и непременно контролировалось;

· выявить опорные умения для смежных дисциплин;

· сгладить переход от одного учителя ко многим учителям-предметникам;

· установить тесную связь в методах работы с детьми между учителем начальной школы  и учителями  5-х классов.

         В заключение хочу отметить. Успешная подготовка к ОГЭ требует усилий всех участников процесса: и ученика, и учителя, и родителей. Контроль и внимание со стороны родителей просто необходимы для большинства детей.

         Подготовка к ОГЭ – задача не простая, но совместными усилиями решаемая! Успешной вам подготовки и отличных результатов!