Задачи по статистике. Тема: «Вычисление и сопоставление среднего арифметического и медианы числовых наборов»
учебно-методический материал (7 класс) по теме

КУРСОВАЯ РАБОТА

КУРСЫ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ МА-3

Задачи по статистике

Тема: «Вычисление и сопоставление среднего арифметического и медианы числовых наборов»

Выполнила Яркова О.В.,

учитель математики

городского лицея № 1535

г. Москва, 2008 г.

Задача о возрасте детей

При проведении социологического опроса о количестве и возрасте детей в семьях в 20 квартирах одного дома были получены следующие  данные о возрасте детей (в годах): 2, 16,  4,  5,  4, 7, 12, 10, 8, 7, 2, 4, 12, 6, 4, 8, 12, 5, 2, 4, 12, 5, 4, 8, 5, 6, 4, 4, 5, 4, 6, 5, 5, 10, 6, 8, 5, 6, 10, 6.

Заполните таблицу:

Вычислите:

1. Средний возраст детей (среднее арифметическое) с помощью калькулятора.
2.  Медиану возрастов.
3. % детей, чей возраст меньше среднего и чей возраст больше  среднего.
4. % детей, чей возраст меньше, чем медиана.

Какие выводы могли бы вы сделать на основе каждой из средних оценок?

Решение:

•  В таблице указаны возрасты 40 детей.
• Среднее арифметическое приблизительно равно 6.5 лет.
• Медиана равна 5.5 лет.
• Младше среднего 65 % детей, старше, соответственно, 35 %.
• Младше 5.5 лет 50 %, что следует из определения медианы.

Возможные выводы:

Большая часть детей дошкольного возраста. Только примерно третья часть - школьники. А половина всех детей  имеют возраст  5 лет и младше.

Задача о демографии

Известно, что каждый день численность населения России уменьшается в среднем на 2500 человек.

Для того, чтобы страна могла развиваться, улучшать жизнь своих граждан, необходимо, чтобы её население увеличивалось.  То есть, было бы хорошо, когда (если так можно выразиться) количество детей было больше количества их родителей.

Ребята! Мы, конечно же, вынуждены рассматривать «идеальные» ситуации, когда в каждой семье по 2 родителя. Известно, что в жизни все немного иначе. Но в среднем по нашей  стране, насчитывающей примерно 147 млн. граждан, в подавляющее большинство семей - полные, т.е. с двумя родителями.

Итак, продолжим.  Если в каждой семье будет по 1-2 ребенка, то количество граждан  будет неуклонно уменьшаться, что приведёт к отрицательным последствиям  (об этом вы узнаете из курса обществознания в старших классах).

И только если в большинстве семей будет по 3 и больше детей, то страна сможет выйти из трудной ситуации или даже избежать её.

Приведем пример применения оценок среднего арифметического и медианы для оценки количества детей в российских семьях. По опросу учеников одной школы было выяснено, что:

Вычислите среднее количество детей в семье (среднее арифметическое) и медиану. При вычислении среднего арифметического  пользуйтесь калькулятором. Для того чтобы вычислить медиану, воспользуйтесь тем, что количество семей 200, значит, значение медианы равно среднему арифметическому 100 и 101 чисел во втором  столбце таблицы.

Решение:

В этом примере  медиана, равная 2, показывает, что половина семей имеет одного  или двух  детей, а вторая половина-  трех и более. Казалось бы, все обстоит не так уж плохо, и в среднем количество детей в семьях равно количеству их родителей или даже больше. Но среднее арифметическое «говорит», что, к сожалению, в «средней», типичной семье, количество детей менее двух.

Оценка физической подготовки спортсменов

Физическая подготовка команды 9 спортсменов была проверена при поступлении в спортивную школу, а затем после трех месяцев тренировки. Оценку физической подготовки проводила одна и та же бригада тренеров, по одной и той же системе баллов. Итоги проверки оказались следующими:

Прокомментируйте изменение оценок каждого спортсмена: у кого они повысились, у кого понизились?

Вычислите среднее арифметическое и медианы оценок спортивной команды при поступлении и после тренировок. На основе этих средних значений сделайте вывод: улучшилась ли спортивная подготовка команды? Объясните свои выводы, опираясь на изменение среднего арифметического и медианы оценок команд.

Решение.

Упорядоченные ряды оценок:       26   49  57  65   69   69   70  71   76  

                                                                      33   52   52   62   63   70   81   83   85  

Возможные выводы: если в соревнованиях учитывается общий результат  всей команды, то физическая подготовка улучшилась, т.к. повысился «средний балл» - среднее арифметическое. Если же будет личное первенство, то однозначный вывод сделать невозможно, т.к. медиана оценок уменьшилась.

Победитель «Недели моды»

На «Неделе моды» были представлены коллекции «Зима-Лето» пяти модельеров: Федора Волкова, Романа Лисичкина, Веры Чешуйкиной, Дины Флагмининой, Мольче и Дивано. Для выбора лучшей коллекции жюри из 8 судей оценивало каждую из пяти коллекций по 100- балльной шкале. В результате были получены такие результаты:

Определите победителя «Недели моды», вычислив среднюю оценку коллекции каждого модельера (среднее арифметическое всех 8 оценок его коллекции) и медиану его оценок.                                                              

Решение:

Упорядоченные ряды оценок:

Федор Волков: 12, 34, 34, 51, 77, 90, 90, 100

Роман Лисичкин: 19, 23, 29, 66, 67,  88, 94,99

Вера Чешуйкина: 16, 32, 47, 48, 62, 89, 98, 99

Дина Флагминина: 13, 33, 44, 55, 67, 77, 98, 99

Мольче и Дивано:  14, 32, 34, 65, 68, 87, 89, 99

Возможные выводы: победили коллекции Вера Чешуйкина и Мольче и Дивано. Или их коллекции должны быть оценены заново, возможно, другой командой судей.

Сравнение успеваемости двух классов.

По итогам учебы 1 четверти в лицее сравнили успеваемость двух 7-х классов по математике. Для этого классные руководители предметам записали в таблицу четвертные оценки по математике и решили сравнить их.

Вычислите среднее арифметическое оценок каждого класса и медиану оценок. При вычислении пользуйтесь калькулятором.

Решение:

В этом примере и медианы, и средние арифметические оценок настолько близки, что можно сделать вывод о примерно одинаковой успешности классов в изучении математики.

Выбор сценария праздничного концерта

Ученики 7 «А» класса вызвались подготовить сценарий новогоднего праздничного концерта. Но ребята оказались людьми творческими, и подготовили целых 4 сценария, вместо одного!

Для окончательного выбора ученики 7 «Б» и 7 «В» классов прочли все сценарии и, на классных часах, разбившись на группы, их баллами  от 1 до 4: чем интереснее им казался сценарий, тем больше баллов он заслуживал.

Поскольку ребята уже начали изучать курс «Теории вероятности и статистики», то они решили для каждого набора оценок вычислить и медиану, а затем сравнить среднее арифметическое с медианой.

Получились таблицы оценок:

Определите сценарий-победитель, пользуясь значением среднего арифметического оценок и пользуясь значением  медианы каждого набора оценок.

Решение:

Возможные выводы: Итак, если по средним арифметическим баллам, безусловно, побеждает 4-й сценарий, то равные медианы оценок третьего и четвертого сценария подсказывают, что неплохо было бы ещё раз внимательнее рассмотреть и оценить заново сценарии под номерами 3 и 4.