Разнообразие методов работы при обучении математике
материал по теме

Р е ф е р а т

на тему:

«Разнообразие методов работы

 при обучении математике»

Выполнила:

учитель математики

негосударственной

частной школы

Рожкова Н.В.

Кострома 2000

Содержание

1. МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ И НАУЧНЫЕ МЕТОДЫ В ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИКИ

Современное развитие науки и техники требует от работника не только умений, навыков и определенных знаний в той или иной сфере деятельности, но и умение решать различные и часто новые для него задачи в изменяющихся при этом условиях, самостоятельно ставить такие задачи и т.д., т.е. от каждого работника требуется проявление определенной творческой активности. Достижение весьма значительных результатов в развитии математического мышления школьников, в воспитании у них вкуса к математическому творчеству происходит благодаря применению эффективных приемов и методов преподавания. Другими словами, с помощью методов обучения создаются также учебные ситуации, в которых в соответствии с поставленной заранее целью реализуются и преподавание и учение.

Таким образом под «методом обучения» понимают упорядоченные способы взаимосвязанной деятельности учителя и учащихся, направленные на достижение учебно-воспитательных задач.

В обучении математике используются и общедидактические методы, и те, которые разработаны в специфических условиях преподавания математики. Основой многих из них являются научные методы: индукция, дедукция, аналогия и др. Последние используются как непосредственно, так и косвенно через методы обучения.

Индукцией называется такой метод рассуждений, при котором общий вывод (гипотеза) основывается на изучении отдельных частных факторов. Если рассматриваются все частные факты (случаи) без исключения, то индукция называется полной, в противном случае – неполной.

Неполная индукция может привести к ошибочному выводу (ошибочной гипотезе). Вывод, сделанный на основе полной индукции, всегда является достоверным, если не допущены ошибки в рассуждениях.

Пример 1. Методом полной индукции докажем, что n3+5n делится на 6 при любом целом n.

Рассмотрим все возможные случаи:

1) n = 6р,        n3 + 5n = 6(62p3 + 5p), где р — целое число;

2) n = 6р ± 1, n3 + 5n = n(n2+5) = (6р±1)(36р2 ±12р+1+5) = 6(6p ± 1)(6p2 ± 2р + 1);

3) n = 6р ± 2, n3 + 5n = (6р±2)(36p2 ± 24р + 9) = 6(3p ± 1)(12p2 ± 8p + З);

4) n = 6p± 3,  n3 + 5n = (6р± 3)(36p2 ± 36p + 14) = 6(2p ± 1)(18p2 ± 18p + 7);

5) n = 6p± 4, n3 + 5n = (6p±4)(36p2±48p+21) = 6(3p±2)(12p2±16p+7);

6) n = 6p± 5, n3 + 5n = (6p±5)(36p2±60p+30) = 6(6p±5)(6p2±10p+5).

Так как рассмотрены все частные случаи и в каждом из них значение данного выражения кратно 6, то n3+5n  делится на 6 при любом целом n.

Другими примерами применения полной индукции могут служить: доказательство теоремы косинусов, когда рассматриваются три возможных случая; теорема об измерении вписанного  угла и т. д.

Пример 2. Вычисляя значения выражения n2 + n +41 при n==1, 2, 3, 4, 5, 6, …, получаем простые числа. Отсюда вывод: «Значения этого выражения — простые числа при любом натуральном n».

Этот вывод сделан на основе неполной индукции, так как рассмотрены не все частные случаи. Следовательно, он может оказаться ошибочным. Действительно, при n=40 получаем составное число:

402+40+41 =402+80+ 1 =(40+ 1)2==412.

Пример 3. Ученик строит биссектрисы внутренних углов треугольника и замечает, что они пересекаются в одной точке. Повторив свой эксперимент несколько раз, он заключает: «Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке». Этот вывод (гипотеза), сделанный на основе неполной индукции, является верным. Ученикам объясняем, почему его надо доказать.

Дедукция — форма мышления, при которой утверждение логически выводится из некоторых данных утверждений. Чтобы доказать какую-либо теорему, следует свести ее к аксиомам или ранее доказанным теоремам.

Полная индукция также может служить примером дедуктивного доказательства. Чтобы убедиться в этом, достаточно обратить внимание на характерное для полной индукции умозаключение: «Так как рассмотрены все возможные случаи, то доказываемое утверждение справедливо».

Дедуктивный метод является основным в школе, особенно в старших классах.

В творчестве ученых – математиков, а следовательно, и в школе важное место занимает также неполная индукция. Она используется в школе в следующих случаях:

1. для подведения учащихся к самостоятельному «открытию» математических предложений;

2) чтобы убедить учащихся в справедливости той или иной теоремы, когда строгое доказательство им не под силу;

3) для иллюстрации с помощью наглядных пособий теоремы или ее доказательства;

4) как один из действенных методов поиска решения задачи.

В трех первых случаях неполная индукция находит самое широкое применение в школе, являясь основой различных принципов, методов, приемов.

Значительно реже, к сожалению, неполная индукция используется как один из методов поиска решения задачи. Многие учителя даже не показывают учащимся, в какой мере рассмотрение частных случаев, например построение по возможности более точного чертежа, может облегчить и ускорить поиск решения задачи.

Применяя индукцию для подведения учащихся к «открытию» какой-либо теоремы, желательно учитывать следующие соображения:

1. Для экономии учебного времени подбираем минимальное количество частных примеров. От увеличения их числа строгость рассуждения нисколько не возрастает.
2. Рассматриваемые частные примеры не должны подводить учащихся к ложным выводам. Например, рассмотрев один пример а2 * а2 = (а*а)(а*а) = а4, учащиеся могут сделать ложный вывод: «Надо перемножить показатели степеней, а основание оставить прежним».

Аналогией называется рассуждение, имеющее следующую схему:

А имеет свойства a, b, c, d;

B имеет свойства a, b, c.

Вероятно, B обладает свойством d.

В творчестве ученых аналогия играет большую роль. Она может подсказывать существование еще неизвестной теоремы, способ ее доказательства, путь решения задачи. Самое широкое применение аналогия находит и в преподавании математики, являясь основой одного из важнейших методов обучения — обучения по образцам. Учитель должен показывать образец изложения доказательства теоремы, образец решения задачи и т. д.

В процессе обучения аналогия может приводить учащихся к ошибкам, например:

lg(a+b) = lg a + lg b

Анализируя такие ошибки, надо терпеливо и настойчиво бороться со стремлением учащихся бездоказательно пользоваться аналогией.

1. Метод целесообразных задач.

Сущность  данного метода сводится к тому, что для лучшего понимания материала учащимся предлагают подготовительные задачи. Они могут подготавливать учащихся к пониманию нового определения, к «открытию» теоремы, к пониманию ее доказательства, к самостоятельному решению задачи. Иногда с помощью целесообразно подобранных задач излагается вся тема.

Метод целесообразных задач разрабатывался известным русским методистом С. И. Шохор-Троцким, хотя сама идея метода была известна и до него. В настоящее время этот метод широко используется авторами учебников и учителями, однако во многих случаях его применение неоправданно широко. Рассмотрим поэтому условия применимости данного метода.

Допустим, что с помощью подготовительных задач учащихся готовят к пониманию новой темы. Отсюда, казалось бы, чем больше подготовительных задач решат учащиеся, тем лучше поймут и запомнят материал. Однако увеличение объема материала, как правило, ослабляет желание его запоминать. Каждая подготовительная задача фиксирует внимание учащихся на отдельных деталях новой темы, а это до осознания идеи нового материала в целом затрудняет его понимание. Из-за обилия подготовительных задач от учащихся ускользает основная идея новой темы. Увеличивая число подготовительных задач, мы растягиваем объяснение, оставляем мало времени на закрепление новой темы. Учитывая эти соображения, получаем

Условие применимости метода целесообразных задач:

При изложении новой темы с использованием метода целесообразных задач желательно подбирать минимальное число подготовительных задач, причем одна и та же задача может быть рассмотрена несколько раз, помогая оттенить отдельные детали темы.

Пример 1. При введении понятия «ромб» предлагаем упражнение: «Постройте параллелограмм, две смежные стороны которого равны. Такой параллелограмм называют ромбом. Сформулируйте определение ромба». Время, затраченное на выполнение чертежа, сразу окупается, так как он тут же используется при доказательстве теоремы о свойствах ромба. Следовательно, в данном случае применение метода целесообразных задач оправдано.

Пример 2. При введении понятия «параллелограмм» можно предложить упражнение: «Проведите две параллельные прямые. Пересеките их двумя другими параллельными прямыми. Вы получили четырехугольник, который называют параллелограммом. Попытайтесь сформулировать определение параллелограмма». Выполнив упражнение, учащиеся обычно дают такую формулировку: «Параллелограммом называют четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны». Они не догадываются включить в эту формулировку слово «попарно». Можно дать еще ряд подготовительных задач, добившись чтобы учащиеся пришли к этой догадке. Однако, потеряв много времени на подготовительные задачи, мы не успеем закрепить новое понятие и теорему о свойствах параллелограмма. Лучше ограничиться одной подготовительной задачей, разъяснив, как и почему следует исправить неточную формулировку.

Пример 3. Учащиеся могут самостоятельно решить задачу на вычисление площади прямоугольника длиной в 1,5 дм и шириной 0,4 дм, выразив длины сторон в сантиметрах и переведя затем результат в квадратные дециметры. На решение этой задачи уходит мало времени, она помогает подвести учащихся к пониманию правила умножения десятичных дробей. Следовательно, в подобных случаях желательно пользоваться методом целесообразных задач.

Пример 4. Правило умножения обыкновенных дробей также вводят с помощью задач о вычислении площади-прямоугольника. Но эти задачи учащиеся уже не могут решить самостоятельно. Более того, они с трудом понимают объяснение учителя, и в беседе участвует лишь часть класса. Следовательно, в подобных случаях учителю уместно ограничиться кратким сообщением: «Мы изучаем с вами новые числа. Они обладают некоторыми новыми свойствами: например, по-иному формулируется правило умножения». Затем учитель сообщает правило, и учащиеся приступают к упражнениям.

В рассмотренных примерах отчетливо прослеживается, что в основе  метода целесообразных задач лежит неполная индукция. В тех же случаях, когда мы подготавливаем учащихся к пониманию доказательства теорем, чаще всего выступает другой научный метод — дедуктивный. В свою очередь метод целесообразных задач является разновидностью более общего метода обучения — эвристического.

1. ЭВРИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД

В методической литературе этот метод определяют различным образом. Возьмем за основу толкование этого метода В. М. Брадисом. Эвристическим называется метод, при котором учитель вместо изложения учебного материала в готовом виде подводит учащихся к «переоткрытию» теорем, их доказательств, к самостоятельному формулированию определений, к составлению задач. Из этого определения следует, что метод целесообразных задач является разновидностью эвристического метода. На уроках математики получили распространение и другие-разновидности этого метода. Условимся поэтому подразделять эвристический метод на следующие виды:

1. метод целесообразных задач;
2. эвристическая беседа, при которой учащиеся подводятся к определенному выводу с помощью системы вопросов;

3) постановка и решение (или только решение) проблемы;

4) обобщение способа решения задач и составление рекомендации для поиска решения подобных задач.

Первая из этих разновидностей иллюстрировалась выше. Рассмотрим еще ряд примеров и обратим внимание на сочетание этих разновидностей друг с другом и с научными методами (индукцией, дедукцией, аналогией, анализом и др.)

Пример 1. При изучении темы «Ромб» ставится задание: «Наблюдением установить свойства диагоналей ромба. Сформулировать и доказать соответствующую теорему». К самостоятельной постановке этого задания можно подвести учащихся, например такими вопросами: «Обладает ли ромб теми же свойствами что и параллелограмм? Не присущи ли ему какие-либо новые свойства?» По чертежу учащиеся выявляют свойства диагоналей ромба формулируют и пытаются доказать свою гипотезу.

Пример 2. Вместо того чтобы самому объяснять вывод формулы общего члена геометрической прогрессии, учитель сразу после определения геометрической прогрессии дает задание: «Попытайтесь составить формулу ее общего члена». Это задание ученики могут выполнять легко и быстро по аналогии с арифметической прогрессией.

Пример 3. При изучении темы о зависимости перпендикулярности и параллельности прямых и плоскостей напоминается что существуют несколько признаков параллельности прямых (например, два перпендикуляра к одной прямой на плоскости параллельны и др.), а вот для параллельности плоскостей нам известен пока только один признак. Ставится проблема: «Нельзя ли указать и другие признаки параллельности плоскостей?» Рассматривая модели, учащиеся самостоятельно формулируют, а иногда и доказывают теорему: «Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны».

Пример 4. В классе предстоит решить задачу: «Доказать что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине». Вместо нее предлагается задание: «Попытайтесь установить зависимость между длиной медианы проведенной из вершины тупого угла треугольника, и длиной стороны, к которой она проведена». Обычно никто из учащихся эту зависимость не обнаруживает, так как они стараются выразить ее формулой. Тогда предлагается то же задание, но для медианы проведенной из вершины острого угла треугольника. Как только кто-либо из учащихся догадывается, что в первом случае длина медианы меньше половины длины стороны, во втором—больше наступает оживление. В классе возникает проблемная ситуация. Ставится вопрос: «А как будет в случае прямоугольного треугольника?» Учащиеся формулируют соответствующие задачи и решают  их. Работа ускоряется, если предлагается учащимся проследить за указанной зависимостью при изменении угла на таком чертеже, как на рисунке 1.

Нет сомнения, что подобные обобщения, решения сразу ряда «родственных» задач, выявление общего способа их решения приносят большую пользу.

Пример 5. На уроке двумя способами упрощают выражение

Сначала выражают все функции через синус и косинус, в другой раз — только через тангенс. Затем предлагают: сравнить оба способа; указать, какой из них проще; объяснить, почему он проще. Учащиеся (иногда с помощью учителя) отвечают примерно так:

«Данное выражение содержало две функции. При первом способе его свели к двум другим функциям, при втором — к одной. А так как с одной функцией оперировать легче, то, по-видимому, по этой причине второй способ оказался проще». Учитель обобщает этот вывод и формулирует указание, помогающее обнаруживать рациональные способы решения многих задач.

Указание. Упрощая тригонометрические выражения, желательно уменьшать число функций и число аргументов.

Рассмотрим достоинства и недостатки эвристического метода. Этот метод позволяет активизировать мыслительную деятельность учащихся, повысить их интерес  может приводить к хорошему усвоению материала, к развитию мышления и способностей учащихся.

В то же время эвристическому методу присущи следующие недостатки;

1. Он требует большей, чем при сообщении готовых знаний, затраты времени.
2. При этом методе особенно сильно сказываются индивидуальные различия учащихся: многие из них не успевают решать поставленные проблемы, отвечать на вопросы учителя. А он на уроке не имеет возможности ждать, пока все самостоятельно придут к нужному выводу.
3. Активное участие в решении проблемы или эвристической беседе принимают лишь отдельные учащиеся, остальные — пассивны. Это объясняется тем, что внимание некоторых учащихся ослабляется при поиске решения задачи, проблемы.

Эвристический метод следует использовать в разумной мере, нейтрализуя его недостатки с помощью различных приемов. Рассмотрим некоторые из этих приемов.

Прежде всего нужно помочь тем учащимся, которые не успевают решать на уроках поставленные проблемы. Следует прежде всего у всех учащихся сформировать умения и навыки, необходимые для самостоятельного решения проблемы. С этой целью можно предложить учащимся, например, следующий план решения проблем:

1. подобрать и рассмотреть частные примеры;
2. воспользоваться аналогией с известными фактами;
3. сформулировать свое предположение;
4. доказать его.

С помощью этого плана на уроке решается несколько проблем. В дальнейшем каждый учащийся, пользуясь списком указаний, знает, что и в какой последовательности надо делать, чтобы решить проблему, и принимает активное участие в работе.

Отмеченные недостатки эвристического метода частично можно компенсировать также следующим образом. На уроках ставятся нетрудоемкие проблемы, которые успевают решить все учащиеся класса с небольшой разницей во времени. Более трудоемкие проблемы включаются в домашние задания. На уроках только создается проблемная ситуация и ставится проблема. В домашних условиях каждый ученик может спокойно, не торопясь, рассмотреть достаточное число частных случаев, обратиться к книгам и самостоятельно прийти к «открытию», испытывая при этом большое удовлетворение, что обычно проявляется на следующий день в оживленных дискуссиях.

4. ВОПРОСНО-ОТВЕТНЫЙ МЕТОД

Сущность этого метода сводится к тому, что новая тема излагается путем беседы. Отвечая на ряд вопросов учителя, учащиеся самостоятельно приходят к некоторым выводам. Этот метод широко распространен в школах. Именно поэтому, особо выделяем его.

Вопросно-ответный метод имеет две разновидности: аналитическую и синтетическую, что учитывается далеко не всеми. В первом случае вопросы учителя соответствуют аналитико-синтетическому ходу рассуждений, помогая учащимся самим найти путь доказательства. Во втором случае вопросы учителя соответствуют синтетическому ходу рассуждений, когда учащимся не ясно, как самим найти путь доказательства. Следовательно, только первую из этих разновидностей вопросно-ответного метода можно считать эвристической беседой.

Пример. Проиллюстрируем эти разновидности вопросно-ответного метода при доказательстве одного из свойств неравенств:

Дано: с — любое число, a > b. (1)

Доказать:  a + c > b + c. (2)

Проводя беседу синтетическим способом, учителя обычно не изменяют доказательство теоремы, изложенное в учебнике. Они лишь делят его на части, предлагая учащимся обосновывать их, например:

• Рассмотрим разность (a + c) – (b + c). Как упростить ее?
• (a + c) – (b + c) = a – b.
• Какой знак имеет разность a – b?
• Она положительна.
• Почему?
• Так как a > b, то по определению разность a – b положительна.

При  такой  беседе  учащимся не  ясно,   почему  вдруг   понадобилось рассмотреть разность (а + с) – (b + c) зачем устанавливать знак разности и т. д.

Проводя беседу аналитико-синтетическим способом, учителю приходится изменять структуру рассуждения, приведенного в учебнике, что, конечно, требует более тщательной подготовки к уроку, например:

1. Вспомним, что для отыскания способа доказательства рекомендуется заменять понятия их определениями. Поэтому вспомним, при каком условии разность a – b положительна.

По определению a > b если разность a – b положительна.

2. Что достаточно знать для доказательства неравенства (2)?

 Достаточно доказать, что разность (a + c) – (b + c) положительна.

1. Попытайтесь это доказать.

 (a + c) – (b+c) = a + c – b – c = a – b но a – b – положительное число, так как a > b.

В методической литературе примеры, иллюстрирующие вопросно-ответный метод, обычно даются в аналитико-синтетической форме. Но именно это, как показывает анализ большого числа уроков, ускользает от внимания многих учителей.

Эвристическая беседа призвана активизировать мыслительную деятельность всех учащихся класса. Однако чаще всего активное участие в беседе принимают лишь отдельные учащиеся класса и притом всегда — одни и те же. В этих условиях вопросно-ответный метод приводит к отрицательным результатам. Неудачи в применении этого метода можно объяснить следующими причинами:

1. Вопросов задается чрезмерно много; они бывают слишком просты. Из-за этого сковывается самостоятельная работа и инициатива учащихся. Дал учитель вопрос — думают только над этим вопросом, а далее не продвигаются, ждут следующих указаний.
2. Между вопросами не выдерживаются паузы достаточной длительности, и большинство учащихся просто не успевает отвечать на эти вопросы.
3. Вопросы иногда бывают непродуманы, примитивны, очень часто ставятся в неопределенной форме, и на них учащиеся могут ответить все что угодно, и не только то, что ожидает учитель.
4. Некоторые учителя не учитывают следующую психологическую особенность, присущую классному коллективу во время учебного процесса. Если по ходу беседы вызванный по желанию человек неудачно отвечает на вопрос то, как правило, не лучшим образом отвечают и следующие 2—3 человека. Не учитывая этого, учитель продолжает вызывать одного за другим еще 5—6 человек, пока наконец не добьется правильного ответа. Теряется время, а главное, ослабевает внимание класса. В подобных случаях после неудачного ответа учащегося учителю лучше самому ответить на этот вопрос. Действительно, поставленный вопрос уже выполнил свою функцию. Он заставил учащихся задуматься. У них возникло желание проверить свою догадку. И классу в целом полезнее услышать четкий и ясный ответ учителя, чем томиться в ожидании, выслушивая неудачные попытки своих товарищей.

В методической литературе отмечались и другие недостатки данного метода. Он требует большой затраты учебного времени. Вопросы во время беседы нарушают целостность изложения нового материала, его систематичность, внимание учащихся рассеивается на второстепенные детали. Поэтому многие методисты предлагали отказаться от чрезмерного увлечения вопросно-ответным методом и чаще пользоваться лекционным методом. Однако эти предложения вызывали резкие возражения других методистов. В связи с такими противоречивыми рекомендациями рассмотрим возможности применения в школе лекционного метода.

1. ОБРАЗЕЦ ОТВЕТА КАК ОДИН ИЗ ВАЖНЕЙШИХ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ

Этот метод в педагогической литературе называют объяснительно-иллюстративным., в методической — школьной лекцией или рассказом учителя. Здесь дано своеобразное название «образец ответа», чтобы подчеркнуть одну из основных особенностей лекционного метода.

В методической литературе высказываются противоречивые рекомендации относительно использования этого метода на уроках математики. Одни авторы рекомендуют беседу заменять во многих случаях рассказом учителя, другие — полагают, что объяснение в виде связного рассказа уместно главным образом в старших классах. Последнее мнение аргументируется тем, что у младших и средних школьников еще не развито внимание и они не могут долго слушать рассказ без диалога. Но если подготовить учащихся к пониманию нового материала и излагать его четко и ясно, то учащиеся внимательно слушают объяснение учителя.

Почти на каждом уроке учителю приходится объяснять новый материал. В одних случаях он излагает доказательство теоремы, в других — объясняет решение задачи, способ выполнения чертежа и т. п. Все это в школьной практике чаще всего излагается вопросно-ответным методом, но, исходя из сказанного, можно излагать в виде рассказа. Учитель всегда хочет, чтобы ответы учащихся были грамотны, аргументированы, красивы. Но тогда и сам он должен достаточно часто давать образцы таких ответов в виде связного рассказа, лекции. Подобное объяснение учителя — это и есть образец ответа для учащихся.

Итак, основное требование к рассматриваемому методу сводится к тому, что объяснения учителя (кратковременные или более длительные) надо рассматривать как образцы ответов. Причем имеются в виду не только образцы изложения теоретических вопросов, но и, что, пожалуй, главное,— образцы решения задач.

Образец ответа при решении задачи—это один из важнейших способов обучения связному рассказу, формирование умений безупречно объяснять, комментировать выполняемое упражнение в виде связного цельного рассказа начинается с объяснения учителя Он показывает, как выполняется упражнение нового типа как следует располагать записи, в какие моменты и каким образом необходимо комментировать выполняемые операции.

Образец ответа, излагаемый учителем,—необходимый этап в обучении связному рассказу. Дело в том, что образец выполнения учителем упражнения нового типа (если только этот образец удовлетворяет перечисленным требованиям) включает в себя не только содержательные элементы (как выполнять?), но и чисто методические компоненты (каким образом комментировать, как располагать записи, демонстрировать рисунки и т. д.?). Эти чисто методические компоненты образца ответа может дать сначала только учитель.

Выполнение первого упражнения нового типа, как правило начинают с беседы. Учащимся предлагается найти способ решения, обсуждаются их предложения. Так поступает большинство учителей, и это очень хорошо, поскольку развивается инициатива и творчество учащихся. Но на многих уроках вслед за беседой вызывается сразу ученик для объяснения найденного решения. Вот это уже неудачно! Ученик затрудняется дать образец ответа с включением всех необходимых методических компонентов, если не видел, как это делается.

Следовательно, после обсуждения с классом способа выполнения упражнения  нового типа желательно учителю самому изложить в виде образца найденное решение.

Однако следует иметь в виду, что образец ответа сам по себе, без умелого сочетания с другими методами и приемами обучения не приносит ожидаемых результатов. Так как учащиеся не запоминают сразу все рекомендации из объяснения учителя, не запоминают последовательность рассуждении. Поэтому, приступая к выполнению упражнений, многие учащиеся оказываются совершенно беспомощными. В лучшем случае ученик верно записывает на доске решение, не всегда умело комментируя его. При этом он допускает массу погрешностей: спешит, из-за чего многие в классе едва успевают записывать; решение начинает писать слишком низко — на уровне своего лица и даже груди,, а значит, все время закрывает собою записи; не показывает элементы рисунка, и, пока учащиеся находят названный отрезок, угол и т. д., они пропускают часть последующего объяснения. А главное — объяснения бывают путанны, непоследовательны, неполны, с включением совершенно ненужных деталей, которые, в данном классе уже не надо объяснять. В данном случае цель вызова учеников совсем другая: они должны повторять образец ответа, данный учителем, со всеми его методическими особенностями с тем, чтобы помочь классу, чтобы еще и еще раз показать всем, как надо объяснять выполняемые упражнения. Но именно такая работа затрудняет учащихся, если образец ответа, показанный учителем, не сочетается на уроке с комплексом других методов и приемов обучения. Прежде чем перейти к ним, рассмотрим пример, иллюстрирующий важность, казалось бы, совсем второстепенных деталей.

Пример 1. На уроке алгебры изучается деление степеней с целыми показателями. Вызываемые учащиеся по ходу выполнения упражнений произносят, ряд терминов: «степень», «показатель степени», «делимое», но не показывают указкой соответствующие буквы и числа. Лично для них это необязательно, поскольку при произнесении этих терминов они могут мгновенно выделить соответствующие образы в выполняемом упражнении. Но вот к доске выходит более слабый ученик, и сразу замечаем, что этот ученик затрудняется выявлять образы используемых понятий. Еще более он затрудняется по образам (буквам, числам) быстро называть соответствующие термины. Иначе у него еще не сформированы прочные обобщенные ассоциации для каждого из этих понятий.

Следовательно, этот ученик не мог своевременно и отчетливо вникнуть в смысл, терминов, произносимых при выполнении предшествующих упражнений, и для него были бы отнюдь не лишними демонстрации образов по ходу всех предыдущих, объяснений. На последующих уроках учитель вносит коррективы в методику своей работы.

Итак, учителю важно знать не только описание и достоинства тех или иных методов и приемов обучения, ему следует также учитывать: возможные затруднения при использовании этих методов и приемов; их потенциальные недостатки; способы устранения этих недостатков и затруднений; типичные методические ошибки, допускаемые на первых порах использования этих методов.

Остановимся теперь на некоторых особенностях связного рассказа учителя при изложении теоретического материала. Главное при этом — добиться активной мыслительной деятельности учащихся.

Приступая к объяснению, учитель ставит классу конкретное задание, направляющее на понимание нового материала. Выполнение этого задания по ходу рассказа учителя активизирует мыслительную деятельность учащихся. Рассмотрим соответствующие приемы обучения.

Учитель сообщает, что, объясняя новый материал, он намеренно допустит неточности, а учащимся предлагается внимательно слушать и обнаружить эти неточности. Чтобы убедиться в достоинствах этого приема, учителю достаточно два-три раза применить его и посмотреть, с каким азартом и сосредоточенным вниманием учащиеся стараются обнаружить неточность.

Приступая к объяснению теоремы, учитель дает план ее доказательства. План помогает осознать идею доказательства в целом. В результате установка на запоминание способствует лучшему пониманию. Слушая объяснение учителя, учащиеся сопоставляют его рассуждения с предложенным планом, легче осознают переходы от одной логической части материала к другой, устанавливают связи между ними. При таком приеме обучения учащиеся хорошо усваивают материал, а главное, учатся слушать, применять план и в дальнейшем составлять его в процессе рассказа учителя.

Аналогичным образом можно добиваться того, чтобы учащиеся по ходу рассказа учителя использовали другие приемы мыслительной деятельности. Например, учащимся предлагается обнаружить, на какие аксиомы или определения мы опираемся при доказательстве. Это задание можно облегчить, предложив заметить, в каком месте доказательства мы опираемся на ту или иную аксиому, теорему.

 Итак, опираясь на психологические закономерности и используя ряд приемов обучения, можно добиться того, чтобы во время рассказа учителя максимально активизировалась мыслительная деятельность учащихся. Следовательно, при изложении нового материала можно успешно использовать школьную лекцию наряду с другими методами.

6. АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ МЕТОД .

Каждый учитель всегда требует (во всяком случае, должен требовать), чтобы учащиеся объясняли выполняемые упражнения. Однако многие учащиеся работают у доски молча или с трудом объясняют решение задачи. Для того чтобы исправить такое положение, ученику прежде всего надо показать образец ответа. Но одного образца явно недостаточно. Учащиеся не усваивают его с одного-двух раз. Поэтому необходимо рассказ учителя (образец) сочетать с другими методами и приемами обучения. Одним из таких методов является алгоритмический.

Чтобы каждому ученику обеспечить возможность выполнения упражнения с необходимыми объяснениями и в той же последовательности, какую показал учитель, дается алгоритм, точнее — список указаний. Он предлагается или в готовом виде, или составляется вместе с классом. Учащиеся читают его и одновременно выполняют упражнение.

Успешное использование алгоритмического метода зависит от ряда условий. Прежде всего, необходимо сочетание алгоритмического метода с применением образца ответа.

Алгоритм должен быть по возможности наиболее кратким. Он является для них как бы планом, схемой, своеобразным стимулом, помогающим восстанавливать в памяти только что прослушанные, но еще хорошо не запомнившиеся рассуждения учителя. Краткие указания легко запоминаются, и уже после выполнения нескольких упражнений многие учащиеся перестают читать отдельные указания, свободно воспроизводят их по памяти, ограничиваясь лишь беглым взглядом на них.

Важное значение имеет следующая рекомендация учителя:

«Читая и применяя алгоритм, старайтесь запоминать его». Подобная рекомендация, а также соответствующие требования и поощрения учителя вызывают у учащихся установку на прочное запоминание. Без такой установки формирование умений замедляется, и многие учащиеся долго не запоминают алгоритм, путаются при объяснении решения задачи.

Важное значение имеет также пунктуальное соблюдение данного учителем образца решения задачи. Учитель сам продумывает и алгоритм, и образец его применения, но затем по возможности соблюдает выбранную последовательность рассуждений

Если же последовательность рассуждений, заданная учителем и алгоритмом, не соблюдается, то формирование ассоциаций затрудняется и замедляется. Они, образно говоря, возникают и сразу «разрушаются», потому что у учащегося нет твердой линии, прочной, повторяющейся основы в этих рассуждениях. Поэтому в дальнейшем  учащимся очень трудно объяснять свои действия

Приведем еще два условия успешного применения алгоритмического метода.

В алгоритм желательно включать указания, побуждающие учащихся контролировать свои действия. Это позволяет предупреждать типичные ошибки. Действия учащихся по контролю неоднократно повторяются, и потому, постепенно свертываясь, они входят в сформированную обобщенную ассоциацию как ее необходимый компонент.

Указания в алгоритме желательно давать в таком виде (и в такой форме), чтобы они содержали в себе все необходимые объяснения, какие учитель хочет слышать от учащихся по ходу решения задач.

Пример 1. При решении простейших тригонометрических неравенств даем в готовом виде следующий алгоритм. Алгоритм заранее записывается на доске или демонстрируется на экране.

Учитель показывает образец выполнения упражнения. Читает последовательно указания алгоритма и выполняет их. Учащиеся слушают, читают алгоритм и одновременно с учителем решают неравенство. Затем аналогично работают с классом вызываемые учащиеся. При этом они руководствуются и алгоритмом, и образцом ответа.

Приведем ответ ученика при решении неравенства

sin(—2х) < 0,5.

Ученик последовательно читает и выполняет указания, видоизменяя их в соответствии с условием решаемого неравенства и образцом ответа, данным учителем. Объяснения, «вклиниваемые» учеником в список указаний, и описание его действий заключены ниже в скобках:

1. Строим единичную окружность. Отмечаем углы, синусы которых равны 0,5. (Выполняет (рис. 2).)

2. Выбираем и отмечаем на окружности интервал, удовлетворяющий неравенству. (Выбирает интервал и более жирной линией обводит соответствующую дугу окружности (рис. 3).)
3. Указываем начало и конец интервала. (Подчеркивает, что двигаться надо против часовой стрелки, и проводит стрелку вдоль выбранного интервала, тем самым отмечая на чертеже его начало и конец (рис.4).)

         Рис. 2                     Рис. 3                       Рис. 4                    Рис. 5  

1. Находим значения концов интервала и проверяем, чтобы значение начала интервала было меньше значения его конца.

(Указывает, что эти значения равны: /6 и 5/6  , затем проверяет и, обнаружив свою ошибку, записывает верный результат:  5/6  и  13/6  (рис. 5).)

1. Записываем двойное неравенство относительно сложного аргумента (—2х) и проверяем, чтобы слева было меньшее число. (Записывает, оставляя место для периода функции 5/6  < -2х <  13/6 , и проверяет.)  
2. Учитываем период функции и решаем полученное неравенство:

5/6  + 2 k < -2x < 13/6  + 2 k;

5/12   +  k > x > - 13/12  -  k;

-13/12  +  k < x < 5/12 + k;;

Приведенный список указаний вместе с образцом ответа, показанный учителем, дает возможность учащимся связно объяснять решение задачи и не только самостоятельно исправлять ошибки, но и избегать их.

Любопытно отметить, что, научившись применять данный список указаний, учащиеся самостоятельно составляют ему подобный для неравенства, содержащего косинус.

Итак, умения применять алгоритмы развивают устную и письменную речь учащихся в такой мере, что они довольно быстро переходят к более сложным умениям — самостоятельному составлению новых алгоритмов.

В одних случаях алгоритмы составлять легко. К их составлению можно привлекать даже учащихся, например, при решении квадратных неравенств или некоторых простейших тригонометрических неравенств. В других случаях составление алгоритма, например такого, как в последнем примере, является делом весьма трудоемким. Трудоемким, так как приходится предусматривать и пути предупреждения типичных ошибок, и способы наглядного оформления решения, и основное содержание объяснений, которые мы хотели бы слышать от учащихся по ходу решения.

Алгоритмы содержат образцы их применения к решению задач и рекомендации по его использованию в аналогичных случаях следовательно, в явном виде прослеживаются все этапы применения алгоритмического метода.

7. МЕТОДЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ И НЕЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗАДАЧ

Задачи по математике, физике и другим предметам условно подразделяют на элементарные и неэлементарные. Роль первых сводится к формированию навыков, необходимых для решения вторых. Неэлементарная задача сводится к нескольким элементарным, и на некотором этапе обучения она сама может стать для учащегося «элементом» решения более сложных задач. Таким образом, указанное подразделение проводится, исходя из дидактических соображений.

Методом элементарных задач, называют такой метод, при котором на основе простейших упражнений формируются навыки применения отдельных теорем, определений, аксиом (или их небольшого числа). При методе неэлементарных задач у учащихся формируются умения и навыки их решения и одновременно — навыки выполнения простых промежуточных операций.

Педагогический опыт выработал общий подход постепенного перехода от метода элементарных к методу неэлементарных задач. Длительность этого перехода может определяться только учителем, исходя из уровней развития и знаний учащихся. К сожалению, этот постепенный переход соблюдается не всегда. Например, в VII классе на уроках алгебры почти по каждой теме выполняют сначала десятки одинаковых упражнений, отличающихся друг от друга разве только буквами, а на уроках геометрии предлагают нередко задачи и теоремы, которые содержат по 7—9 умозаключений и более. Естественно, учащиеся не понимают решения таких задач, а доказательства теорем зубрят.

В соответствии с дидактическими принципами доступности и последовательного преодоления трудностей при изучении геометрии в VII классе нужно особенно тщательно и осторожно соблюдать постепенность. Начинать надо с задач, решения которых сводятся к 1—2 умозаключениям, затем переходить к задачам с 2—3 умозаключениями и т. д.

Реализацию такого постепенного и осторожного перехода позволяют осуществлять задачи по готовым чертежам. Задачи по готовым чертежам позволяют учителю, примеряясь к уровню развития своих учащихся, постепенно «наращивать» число умозаключений в упражнениях. При этом значительно лучшие результаты получаются у тех учителей, которые наряду с устным решением кропотливо учат письменно оформлять решения задач сначала с 1- 2 умозаключениями, затем – с 2-3 и т.д. Это обязательное условие, поскольку навыки устной и письменной речи у учащихся неодинаковы. Иногда учителя чрезмерно увлекаются устными упражнениями, а на последующих контрольных работах оказывается, что многие учащиеся не могут решить те же самые задачи, которые как будто не плохо решали устно.

Значительно лучшие результаты получатся, если не только предлагать задачи по готовым чертежам для устного решения, но и кропотливо учить письменному оформлению их решения. Стиль и умения письменно оформлять решения отрабатываются сначала на задачах с 1—2 умозаключениями путем коллективного обсуждения с записью на доске.

Позже после устного решения той или иной задачи учитель предлагает одному из учеников записать решение на доске.

Далее умения письменного оформления решения задач отрабатываются сочетанием коллективных, самостоятельных и контрольных работ. При этом в течение 2—3 месяцев учителю приходится проверять тетради всех учащихся после каждого урока. Это трудно, но необходимо. Иначе невозможно отработать у всех учащихся умения обоснованного и грамотного письменного оформления решения задач.

Как поступать учителю в тех случаях, когда его учащиеся могут решать задачи еще только с 2—3 умозаключениями, а доказательство очередной теоремы содержит 6—8 умозаключений или более? В таком случае  выбирают один из следующих методических подходов:

1. Доказательство теоремы, еще непосильное многим учащимся класса, временно опускается. Усилия учащихся сосредоточиваются на ее применении. Этим учитель не нарушает программу. (В ней, не регламентируется обязательность запоминания доказательства той или иной теоремы.) Наоборот, учитель соблюдает основную идею и дух программы, поскольку постепенно  и планомерно учит учащихся доказывать.
2. К доказательству теоремы, которое еще в целом непосильно учащимся, дается готовый план. Пользуясь им и учебником, учащиеся разбирают отдельные части доказательства, т. е. Оно и разбивается как бы на отдельные элементарные задачи. Тем самым учащиеся знакомятся с идеей доказательства, а некоторые и запоминают его. Сразу после такого ознакомления с доказательством теоремы переходят к ее применению, т. е. К главной цели урока  на данном этапе развития учащихся.

Подчеркнем, что в указанной ситуации требовать запоминания доказательства теоремы от всех учащихся недопустимо. Недопустимо, так как принципы дидактики доступности и сознательности надо не только пропагандировать и помнить, но и неукоснительно соблюдать. Реальным и единственным средством является только постепенный переход от простого к сложному при полном понимании изучаемого материала на каждом этапе обучения.

В связи с этим следует также подчеркнуть, что в VII—IX классах не может идти речи об аксиоматическом курсе геометрии. Учащиеся этих классов еще не готовы к пониманию такого курса. Излишняя строгость изложения доказательства теоремы или решения задачи воспринимается учащимися формально и ничего, кроме вреда, не приносит.

Итак, учителю желательно соблюдать постепенный переход от метода элементарных к методу неэлементарных задач. Если такая постепенность не соблюдается, то учитель практически не может добиться от многих учащихся связного объяснения решаемых задач.

Следовательно, успешное применение других методов возможно лишь при их умелой комбинации с методом элементарных задач.

Рассмотрим ряд примеров.

Ученик не сможет связно изложить решение рассмотренного неравенства sin (-2x) < ½ , если до этого не овладеет отдельными элементами решения: умением находить значения углов по данному значению синуса, решать двойные неравенства и др. Ученик не сможет упростить выражение

если не будет обладать прочными навыками применения основных тригонометрических формул и умением проводить преобразования такого вида:

Так как с подобными выражениями учащиеся встречаются неоднократно, то желательно отработать их выполнение на соответствующих элементарных упражнениях, например:

Упростить

    ;  

Таким образом, мы всегда можем на элементарных задачах отрабатывать умения применять сначала отдельные теоремы, определения, а затем их «комбинации», постепенно усложняя упражнения. Такое постепенное «наращивание» трудностей (числа умозаключений) при обучении геометрии легче всего осуществлять с помощью задач по готовым чертежам.

1. Заключение.

Таким образом, методы обучения – это сочетание методов преподавания и учения. Именно с помощью методов, через содержание учебного материала, устанавливается глубокая связь между деятельностью учителя и познавательной деятельностью учеников, методы являются совместной деятельностью учителя и учащихся. Зона применения учителями того или иного метода обучения, уровень эффективности его использования обуславливаются глубиной и широтой знаний педагога о методе. Ведь содержание учебного материала может быть лучше раскрыто с помощью индивидуального метода, другое – дедуктивного метода, одно может позволить поисковое изучение его, другое окажется недоступным для применения такого метода и т.д. Необходима специальная оценка возможностей различных методов в раскрытии данного содержания.

Однако методы обучения направлены не только на обогащение учащихся знаниями и умениями, не менее важна их роль как средство общего развития и воспитания учащихся.

Воспитательная функция методов обучения. Она проявляется в создании дидактических условий для обеспечения положительного эмоционального характера процесса обучения.

Важнейшей воспитательной сферой методов обучения является формирование эффектно-потребной сферы учащихся, стимулирование их в развитии своего мировоззрения.

Немаловажную роль в воспитании играет вооружение учеников техникой учебной работы, т.к. это дисциплинирует их, повышает эффективность труда. Кроме того, методы обучения, развивая интеллект и практическую умелость личности, формирует ее мировоззрение, нравственность и эстетическую культуру, служат формированию таких качеств личности, как творческий подход к решению познавательных и практических задач, четкость и организованность в труде, умение контролировать свою деятельность, оценивать ее.

Развивающие функции методов обучения.  Важнейшей функцией методов обучения является развитие речи учащегося, обогащение его словарного запаса, усиление коммуникативности, развитие выразительных свойств языка.

Методы обучения обеспечивают развитие сенсорной сферы личности, играют огромную роль в развитии интеллектуальной сферы ребенка. Целенаправленно формируя приемы умственной деятельности, они одновременно развивают активность мышления, его самостоятельность, глубину, широту, быстроту, систематичность, критичность, гибкость, совершенствуя и развивая одновременно внимание, память, воображение и фантазию.  

Многообразие методов должно образовываться на основе сочетания в процессе обучения различных психических функций. Так, если учитель, на уроке, используя соответствующие формы организации познавательной деятельности учеников, применяет методы или приемы, возбуждающие эмоциональные переживания, вводит приемы, способствующие конкретизации знаний, упрочнению умений, опирается на работу воображения, упражнений способности памяти, воздействуя на целостную личность учащегося – он рационально использует многообразие методов, ставя и познавательный, и трудовой процессы в наивыгоднейшие условия. Такое многообразие не утомляет, не распыляет энергию учеников, а связывает воедино активность психических функций, экономит рабочее усилие.

Каждый метод обучения должен выполнять разнообразные функции, но у него имеются свои специфические возможности в реализации целей обучения. Эффективность метода можно оценивать, лишь исходя из условий его места в системе методов обучения. Главное же назначение такой «разнообразной системы» состоит в том, что она позволяет наиболее полно воздействовать на личность, наиболее обстоятельно рассмотреть изучаемый материал, увидеть его во всем многообразии связей и отношений с другими явлениями и фактами. Это и создает внутренний стимул интереса и любознательности учащихся, повышает их познавательную активность.

Литература.

1. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики: Кн: для учителя. – М.: Просвещение, 1990.
2. Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. – М.: Просвещение, 1980.
3. Конаржевский Ю.А. Анализ урока. – М.: Центр «Педагогический поиск», 2000.
4. Щукина Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе. – М.: Просвещение, 1979.

Рис.1