Исследовательская работа "Различные способы решения квадратных уравнений"
творческая работа учащихся по математике (10 класс)

АННОТАЦИЯ

Данина Ольга Сергеевна, Кудрявых Алена Анатольевна.

Муниципальное образовательное учреждение Курагинская средняя общеобразовательная школа №3, 9 класс.

Исследовательская работа «Различные способы решения квадратных уравнений»

Руководитель: Юдина Ольга Ивановна, МОУ КСОШ №3, учитель математики.

Цель работы: исследуя различную литературу, найти неизвестные нам решения квадратных уравнений.

Задачи:

• изучить различную литературу;
• изложить весь материал в нашей работе;
• показать свою работу другим людям.

В наше время квадратные уравнения решаются в основном с помощью формул. Мы решили найти другие способы их решения, узнать, как решали их в древности. Все это мы представим в нашей работе.

Чтобы написать данную работу мы изучили историю математики, исследовали различные математические ресурсы.

Мы нашли новые для нас способы решения квадратных уравнений, все обобщили и изложили в нашей работе. Новыми способами мы намерены поделиться со своими одноклассниками и с теми, кому это интересно.

Обобщение – это, вероятно, самый легкий

и самый очевидный путь расширения

математических знаний.

У. Сойер

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В ДРЕВНОСТИ

Методы решения квадратных уравнений были известны еще в древние времена. Они излагались в древних рукописях царя Хаммурапи (XX в. до н.э.), в трудах древнегреческого математика Евклида (III в. до н.э.), в древних китайских и японских трактах. Многие математики древности решали уравнения геометрическим способом: квадрат и его 10 корней равны 39. Для решения уравнения x2+10x=39 поступали       следующим образом. Пусть АВ = х, ВС = 5 (10:2). На стороне АС=АВ+ВС строили квадрат, который разбивался на четыре части. Сумма площадей I, II и III частей равна x2+10x или 39. Если к этой площади прибавить площадь IV части, то 39+25=64 – площадь всего квадрата. Но эта площадь равна (АВ+ВС)2, т.е. (х+5)2. Значит (х+5)2=64. х+5=8, х=3. Таким образом, число 3 является корнем квадратного уравнения, ведь отрицательных чисел тогда не знали.

В 825 году математик ал-Хорезми решал эту же задачу так. Построим квадрат со стороною х и на его сторонах четыре прямоугольника высотой . В углах фигуры построим четыре квадрата со стороной . Теперь подсчитаем площадь получившегося большого квадрата: х2+4∙∙х+= х2+10х+∙4.

По условию х2+10х=39, т.е. площадь большого квадрата равна 39+∙4=39+25=64. Значит его сторона равна 8, тогда х+2∙=8, х=3. (Ал-Хорезми не признавал отрицательных чисел).

Древнегреческий математик Диофант (III в. н.э.) решал другое квадратное уравнение, х2-20х+96=0.

Пусть сумма чисел будет равна 20, а произведение 96. Положим, что разность этих чисел 2z. Так как их сумма равна 20, то если разделить ее пополам, каждая из частей будет равна половине суммы, т.е. 10. И если половину разности – z прибавить к одной из полученных от деления половине и вычесть из другой, то опять получается сумма 20 и разность 2z.

Если большее из искомых чисел равно z+10, тогда меньшее – 10-z. Их сумма 20, разность 2z  . Произведение искомых чисел равно 96. Таким образом (10+z)(10-z)=96, 100-z2=96? z2=4, z=2. Следовательно, большее число равно 12, меньшее 8.

Попытаемся решить квадратное уравнение x2+10х=39.

1. Пусть х2+10х-39=0;
2. Разность искомых чисел 2z;
3. -5 – половина коэффициента при х  с противоположным знаком;
4. Значит х1=z-5, x2=z+5. Тогда (z-5)(z+5)=39, z2-25=39, z2=64, z=8

Отсюда, х1=8-5=3, х2=8+5=13. Эти корни устроили бы Диофита, т.к. оба натуральные.

Квадратные уравнения умели решать и вавилоняне и египтяне. Из этого мы можем сделать вывод, что квадратные уравнения уже умели решать в древности.

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В НАШЕ ВРЕМЯ

С 1591 года мы пользуемся всем известными формулами для решения квадратных уравнений. Решим уравнение х2+10х-39=0 современными способами.

1 СПОСОБ (Решение квадратных уравнений по формуле):

х2+10х-39=0,

а=1, b=10, с=-39.

D=b2-4ас; D=100+156=256, D>0. 

Ответ: х1=3, х2=-13.

Так же это уравнение можно решить по другой формуле. Замети, что коэффициент при х четный, значит

х2+10х-39=0,

а=1, b=10, с=-39, k==5.

D1=k2-ac; D1=25+39=64, D1>0.

Ответ: 3; -13.

2 СПОСОБ (Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета):

В 1951году Франсуа Виет вывел формулы отражающие зависимость корней квадратного уравнения от его коэффициентов и сформулировал теорему.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Используя теорему Виета решим уравнение х2+10х-39=0.

х2+10х-39=0

х1∙х2=-39

х1+х2=-10

х1=3; х2=-13.

Ответ: х1=3; х2=-13.

        ДРУГИЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ранее мы привели два примера решения квадратных уравнений. Но как мы выяснили существует еще множество решений.

3 СПОСОБ (Разложение левой части уравнения на множители):

х2+8х-20=0

х2+8х-20=х2+10х-2х-20=(х2-2х)+(10х-20)=х(х-2)+10(х-2)=(х+10)(х-2)

Так как произведение равно нулю, то по крайней мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть обращается в нуль при х=-10, а так же при х=2. Это значит что эти числа и являются корнями уравнения х2+8х-20=0.

4 СПОСОБ (Метод выделения полного квадрата):

Решим уравнение х2+8х-20=0 методом выделения полного квадрата:

х2+8х=х2+2∙х∙4.

Чтобы получить полный квадрат нужно прибавить 42:

х2+2∙х∙4+42=(х+4)2.

Преобразуем теперь левую часть уравнения прибавляя и вычитая 42:

х2+8х-20=х2+2∙х∙4+42-42-20=(х+4)2-16-20=(х+4)2-36.

(х+4)2=36,

х+4=,

х=,                      х1=2; х2=-10.

Ответ: х1=2; х2=-10.

5 СПОСОБ (Решение уравнений способом «переброски»):

4у2+8у-5=0

 «Перебросим» коэффициент 4 к свободному члену, в результате получим уже знакомое нам уравнение:

х2+8х-20=0

По теореме Виета:

х1=2                у1=              у1=0,5

х2=-10        у2=-       у2=-2,5.

Ответ: у1=0,5; у2=-2,5.

6 СПОСОБ (Графическое решение квадратных уравнений):

Решим уравнение х2+8х-20=0 графически:

х2=20-8х

Построим графики зависимости функций у=х2 и у=20-8х.

Парабола и прямая пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек и будут корнями уравнения.

Ответ: х1=2; х2=-10.

7 СПОСОБ (Решение квадратных уравнений с помощью номограммы):

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, который размещен с.83 (Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990). Номограмма для решения уравнения z2+pz+q=0. Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:

.

Полагая ОС=р, ED=q, ОЕ=а (все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию , откуда после подстановок вытекает уравнение z2+pz+q=0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Решим уже знакомое нам уравнение х2+8х-20=0  с помощью номограммы. Коэффициент p=8, а свободный член q=-20. На номограмме уравнения изображены отрезком, начало которого является коэффициентом р, а конец – свободным членом q. Точки пересечения отрезка с кривой являются корнями уравнения. Для данного уравнения номограмма дает положительный корень z1=2, а отрицательный находим, вычитая положительный корень из –p. z2=-p-z1=-8-2=-10.

8 СПОСОБ (Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки):

Искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках В(х1;0) и D(х2;0), где х1 и х2 – корни уравнения ax2+bx+c=0, и проходит через точки А(0;1) и С на оси ординат. По теореме о секущих , откуда . Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK, восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому ,

Теперь решим уравнение х2-2х-3=0 с помощью циркуля и линейки:

Определим координаты центра окружности по формулам: . Проведем окружность радиусом SA, где А(0;1).

9 СПОСОБ (Свойства коэффициентов квадратного уравнения):

Дано квадратное уравнение ах2+bх+с=0, где а≠0.

1. Если a+b+c=0 (сумма коэффициентов равна нулю), то х1=1, х2=. Разделим обе части уравнения на а≠0: . По теореме Виета

                По условию a+b+c=0, откуда b=-a-c

2. Если a-b+c=0, или b=a+c, то х1=-1, х2=. По теореме Виета

               По условию a-b+c=0, откуда b=a+c

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дробышев, Ю.А. Изучение квадратных уравнений на основе историко-генетического метода / Ю.А.Дробышев // Математика в школе.
2. Мордкович, А.Г. Алгебра. 8кл.: в двух частях. Ч.1 / А.Г.Мордкович: учеб. для общеобразоват. учреждений. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.
3. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / Под ред. М.Д.Аксенова. – М.: Аванта+, 2000.
4. Юшкевич, А.П. История математики в средние века / А.П.Юшкевич. – М.: Физматгиз, 1961. – С.194-195.
5. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. Изд. 57-е. – М.: Просвещение, 1990. С.83.
6. Клюквин М.Ф. Алгебра, 6 – 8. Пособия для учащихся 6 – 8 классов. – М.: Просвещение, 1963.
7. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. М.: Просвещение, 1972.
8. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. 4-е, дополн. – М.: Высшая школа, 1973.

АННОТАЦИЯ

Дурапова Дарья, п. Курагино, МБОУ КСОШ №3, 6 класс

«Как проявляется золотая пропорция в музыке?».

Руководитель: Юдина Ольга Ивановна, учитель математики.

Цель работы: исследование проявления золотого сечения в музыке.

Задачи:

1. Проанализировать имеющуюся информацию по теме исследования в научно – популярной литературе и Интернет – ресурсах.
2. Познакомиться с историей золотого сечения.
3. Рассмотреть проявление золотой пропорции в гармонии музыки.
4. Изучить вопрос золотого сечения в классических музыкальных произведениях по материалам исследования известных музыковедов.
5. Самостоятельно исследовать музыкальные произведения на наличие в них золотого сечения.

Методы и методики, используемые в работе: наблюдение, моделирование, сравнение, обобщение, планирование, определение понятий, анализ и синтез.

             Наша работа носит исследовательский характер. В процессе работы мы обращались к материалам таких авторов, как М. Марутаев, Л. Мазель, Л. Сабанеев, Н. Васютинский, а также к работе выпускника нашей школы Ерёмина Алексея «Золотая пропорция в архитектуре и искусстве», а собственные исследования подтвердили результаты выше названных ученых – музыковедов.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И  ВЫВОДЫ

1. Мы рассмотрели золотую пропорцию в музыке, начав с  истории её возникновения и развития.
2. Затем выяснили как проявляется золотая пропорция в гармонии музыки, т. е. в устройстве звукоряда.
3. Изучили исследования музыковедов по вопросу золотого сечения в классических музыкальных произведениях.
4. Самостоятельно исследовали некоторые музыкальные произведения на наличие в них золотого сечения.
5. В результате исследовании мы убедились, что золотая пропорция является критерием гармонии и композиции музыкального произведения, да и сам гармонический звукоряд основан на золотой пропорции.

ВВЕДЕНИЕ

Музыка есть таинственная арифметика души,  она вычисляет, сама того не сознавая.

Г. Лейбниц

При взгляде на математические схемы музыкальных произведений...невольно приходишь в священный трепет перед гениальностью мастера, воплотившего силой художественной чуткости до такой степени точности законы природного творчества.

Розенов Э.К

Явные черты «природного творчества» мы должны признать в тех случаях, когда в сильно одухотворенных созданиях гениальных авторов, порожденных мощным стремлением духа к правде и красоте, мы совершенно неожиданно обнаруживаем какую – то неподдающуюся непосредственному сознанию таинственную закономерность числовых отношений».

Розенов.Э.К

Математика и музыка – два полюса человеческой культуры.

Генрих Нейгауз

 Красота! Казалось бы, это понятие, лишенное практической ценности, материальности, очевидной полезности, не играющее существенной роли, в жизни людей является чем-то второстепенным, маловажным. Но почему же с давних времён до наших дней не прекращаются исследования этого непознанного чуда, почему человек издавна стремится окружить себя красивыми вещами? Посмотрите на предметы обихода жителя древности. Уже тогда создатели этих предметов преследовали не только чисто утилитарные цели — служить хранилищем воды, оружием в охоте и т. д., но и одновременно стремились придать этим предметам красивые формы, украсить их рисунком, покрыть краской. Некоторые предметы быта постепенно утратили своё утилитарное назначение и превратились только в украшения.

Но человек не только создавал красивые предметы, не только любовался ими, но всё чаще задавался вопросом: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Тогда из творца прекрасного он превращался в его исследователя. Уже в древней Греции изучение сущности красоты сформировалось в самостоятельную ветвь науки — эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии. Здесь же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония. Изучение прекрасного стало частью изучения гармонии природы, ее основных законов организации. В воззрениях пифагорейцев впервые стали трактовать гармонию как единство противоположностей. Они же пришли к выводу о необходимости числового выражения гармонического соотношения частей в целом, число у пифагорейцев выступает в качестве универсального ключа к объяснению мира.

Идеи пифагорейцев оказались удивительно живучими. Во всех последующих исследованиях ученые пытались так или иначе найти простые числовые соотношения в самых различных явлениях и структурах; изучение законов гармонии стало важной частью изучения природы.

Красота и гармония стали важнейшими категориями познания,  в   определенной степени даже его целью; ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый — красоту в истине.

Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов — от цветка ромашки (разве он не прекрасен?!) до красоты обнаженного человеческого тела. Попытки найти подобные критерии прекрасного в различных видах искусств и природы и составляют предмет эстетики.

«Формул красоты» уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные его метрические формы — квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т. д. Симметричные фигуры обычно предпочтительнее, чем несимметричные. В пропорциях различных сооружений предпочтительны целочисленные соотношения. Человек вообще предпочитает порядок — беспорядку, простоту — сложности, определенность — неопределенности. Очевидно, в этом проявляется сущность самой жизни, как феномена природы — упорядочение беспорядка (хаоса).

Я учусь в музыкальной школе по классу фортепиано. На занятиях сольфеджио, изучая элементы гармонии музыки, я познакомилась с аккордами и интервалами, которые звучат по разному – благозвучно и неблагозвучно. От чего это зависит? Среди множества музыкальных произведений различных жанров и направлений, которые исполняют известные музыканты, да и среди тех, которые я сама разучиваю на фортепиано, можно выделить самые популярные, т.е. самые любимые, отличающиеся особой красотой и выразительностью. Каковы же критерии прекрасного в этих произведениях? Что бы разрешить проблему я обратилась к работам известных музыковедов. Одним из критериев они называют наличие золотого сечения в устройстве звукоряда, в структуре мелодии и произведении в целом. Думаю, в след за учеными я проанализирую произведения и найду критерии прекрасного. Этому и посвящена моя работа.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

ИЗ ИСТОРИИ «ЗОЛОТОЙ ПРОПОРЦИИ»

Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Она отвечает такому делению   целого   на  две  части,   при   котором  отношение большей   части   к   меньшей   равно   отношению   целого к большей части: b/a=(a+b)/b, b - большая часть отрезка, a - меньшая часть отрезка, (a+b) - весь отрезок.

 Эту   пропорцию  называли  по-разному — «золотой», «божественной», «золотым сечением», «золотым числом». Древнейшие сведения о золотой пропорции относятся ко времени расцвета античной культуры. О ней упоминается в трудах великих философов Греции: Пифагора, Платона, Эвклида. Античные скульпторы и архитекторы широко использовали ее при создании своих произведений. В этом легко убедиться при изучении шедевров древнегреческого   искусства.

 В эпоху  итальянского Возрождения золотая пропорция возводится в ранг главного эстетического принципа, Леонардо да Винчи именует ее «Sectio autea». Откуда и получил начало термин «золотое сечение». (По мнению белорусского философа Э. Сороко, термин «золотое сечение» идет от Клавдия Птолемея, который дал это название числу 0,618, убедившись в том, что рост человека правильного телосложения делится именно в таком отношении.) Лука Пачоли в 1509 году пишет первое сочинение о золотой пропорции, названной им «божественной». Иоганн Кеплер говорит о ней как о «бесценном сокровище», как об одном из двух сокровищ геометрии.

После И. Кеплера золотое сечение было предано забвению, и около 200 лет о нем никто не вспоминал. Лишь в 1850 году немецкий ученый Цейзинг открыл его снова. В своих «Эстетических исследованиях» он пишет: «Для того чтобы целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть такое же отношение, что между большей частью и целым»[2]. Он называет это законом пропорций и обнаруживает его проявление в пропорциях человеческого тела и животных, в некоторых эллинских храмах, в ботанике и музыке.

Дать определение золотой пропорции, еще не значит ее изучить. Нужно было определить величину этого удивительного соотношения. Она оказалась близкой к 1,6, а если точнее — к 1,62, еще точнее — к 1,618. Более глубокий математический анализ показал, что золотая пропорция является величиной иррациональной, то есть несоизмеримой, ее нельзя представить в виде отношения двух целых чисел, она отвечает простому математическому выражению (1 +√5): 2 и равна 1,6180339...

АЛГЕБРА МУЗЫКАЛЬНОЙ ГАРМОНИИ

Обратимся к гармонии музыки, т.е. к устройству звукоряда. Вы знаете, что звуки, окружающие нас, есть не что иное, как колебания давления и плотности воздуха. Среди всего многообразия звуков некоторые оказывают на человека сильное эмоциональное воздействие. Это — звуки музыкальные. Объяснить их особое взаимодействие с мозгом только физическими причинами, разумеется, нельзя. Но можно, говоря словами Пушкина, «поверить алгеброй гармонию».

Музыкальные звуки (или музыкальные тоны) — это звуки, которые мы слышим тогда, когда их источники совершают гармонические колебания. Амплитуда этих колебаний определяет громкость звука, а частота — его высоту (или высоту тона).

 Большая амплитуда колебаний соответствует большей громкости, а большая частота — более высокому тону.

 Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался «поверить алгеброй гармонию», были Пифагор и его ученики. Ими было установлено, что одинаково натянутые струны, сделанные из одного материала, издают согласное музыкальное звучание, если их длины относятся, как небольшие целые числа. Например, если взять две струны, одна из которых вдвое короче другой, то извлекаемые из них звуки оказываются согласными. Музыканты в таком случае говорят, что звуки отличаются на октаву, и обозначают их одной нотой: например, «до» первой октавы, «до» второй октавы и т.п. Уменьшая последовательно длины струн, мы получим природный звукоряд из 16 звуков. Древние музыканты приняли звукоряд, состоящий из семи основных звуков, и лишь позже добавили еще пять дополнительных (так появились черные клавиши в пианино).

Теперь мы сможем сказать, что частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8:... А как следует выбирать музыкальные тоны внутри одной октавы, чтобы они тоже звучали согласно? Ответ на этот вопрос дали пифагорейцы, построив музыкальную гамму – согласную последовательность тонов внутри октавы.

Музыкальная гамма была найдена эмпирическим путем, на основании интуиции музыкантов. Известно открытие Пифагора в области теории музыки. Необычность его в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении  друг к другу.

Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд – полу инструмент, полу прибор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны.

В основе музыкальной системе было два закона, которые носят имена двух великих ученых – Пифагора и Архита (крупного теоретика музыки античности).

1. Частота колебания f звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l, т.е  f=a/l (a- коэффициент, характеризующий физические свойства струны).  
2. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n/(n+1)  (n=1,2,3), тем созвучней получающийся интервал.

Значение работ Пифагора по научному объяснению основ музыкальной гармонии трудно переоценить. Это была первая научно обоснованная теория гармонии в музыке.

Воспроизведем весь Пифагоров строй (название тонов в нем происходят от латинских числительных). Основной тон – прима – имеет частоту v1. Следующий – секунда – частоту v2=1,125*v1. Еще на один шаг отличается терция: v3 = 1.125* v2= (1.125)2 * v1=1.2656*v1. Далее следует кварта, частота которой v4=4/3 * v1= 1,3333 * v1 (v4<(1.125)3*v1 = 1.424 * v1). Пятый тон – квинта: v5=1.125*v4=1.50*v1. Частоты двух последующих ступеней находятся по обычному правилу: v6=1.125*v5=1.6875*v1 – секста, v7=1,125*v6=1.8984*v1 – септима, и последняя – октава v8=2*v1 – верхняя граница выбранного нами диапазона частот.

 К сожалению, в пифагоровом строе возникло два различных интервала: большой интервал (или большая секунда) — 1,125 = V2/V) = v3 / v2 = v5 / v4 = v6 / v5 = v7 / v6 и малый интервал (или малая секунда) — 1,0535 = v4/v3 = v8/v7. Пифагоровы тоны соответствуют белым клавишам клавиатуры, а черные клавиши размещены как раз между теми белыми, где оказывается большой интервал.

 Получается, что ширина двух малых интервалов — 1,0535 х 1,0535 = 1,110 заметно для слуха отличается от большого - 1,125. Поэтому звуки пифагоровой гаммы неравноправны — гамму не удается начать с любой из нот. Чтобы изменить тональность, музыкальный инструмент нужно настроить заново. Это было следствием несовершенства не только пифагорейской музыкальной гаммы, но и учения о числе (Приложение 1).

Несмотря на это неудобство, пифагорова гамма (наряду с другими типами музыкальных рядов) прослужила музыкантам более двух тысяч лет — до XVI века. Затем получила распространение так называемая диатоническая гамма, которая была построена на частотах, составленных из отношений чисел 2, 3 и 5. Но и она страдала аналогичным недостатком.

 Теорию музыки оказалось возможным улучшить, только после достаточного развития математики иррациональных величин. Но прежде, чем в науки утвердилось новое учение о числе, прежде, чем появился новый музыкальный строй, прошла целая эпоха.

Толчком к дальнейшему усовершенствованию музыкального строя стали исследования француза М. Мерсенна в начале ΧVII века. Он установил, как зависит частота колебаний струны не только от её длины, но и от силы натяжения, сечения струны и плотности материала, из которого она сделана. Вскоре после этого было изобретено фортепиано – инструмент, в котором струны настроены на последовательные музыкальные тоны с частотами от 27.5 до 3520 Гц, охватывающие 7 октав.

К началу 18 века был создан так называемый хорошо темперированный строй, т. е. хроматическая гамма, в которой все последовательные интервалы выбраны равными между собой, т.е. чистая октава (2:1) поделена на 12 равных полутонов (Приложение 2,3).

Ключом к её созданию стало математическое  совпадение. Оказалось, что степени числа с хорошей точностью совпадают с пифагоровыми отношениями. Между f и g лежит fis (черная клавиша в самой середины октавы); интервал от низкого с до fis, таков же, что и интрвал от fis до высокого c – увеличенная кварта. Если отношение числа колебаний в секунду fis:с обозначить через x, то должно получиться x*x=2 т.е. x= , а это число иррациональное (Приложение 4).

Фортепиано – темперированный инструмент: все полутоновые интервалы у него одинаковы и, значит, теоретически отвечают отношению числа колебаний .

Хроматическая квинта, например, отличается от пифагоровой всего на 0,11 - такая погрешность неразличима на слух. Поэтому на современных музыкальных инструментах можно играть в любой из 24 тональностей (12 мажорных и 12 минорных). То, что при этом можно добиться согласного звучания независимо от тональности, доказывал Бах, когда писал свой «Хорошо темперированный клавир» - 24 прелюдии и фуги во всех тональностях.

«ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ» И МУЗЫКАЛЬНЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ ЗВУКОРЯД

Звучание ноты «ля», видимо, не случайно выбрано как основа настройки музыкального инструмента с помощью камертона. От ноты «ля» золотое сечение будет, соответственно, в двух соотношениях : ля-ми-ля (A-E-A) и ля-ре-ля (A-D-A).

A H C D E F G A

ля си до ре ми фа соль ля

Соединяя два этих золотых сечения от ноты «ля», получаем интересный аккорд:

A D E A

Ля ре ми ля

Фактически здесь присутствуют четыре вложенные друг в друга золотые пропорции — две восходящие (A-D-A, A-E-A) и две нисходящие от «ля»  следующей октавы с возвратным движением (A-E-A, A-D-A).

Набор интервалов в таком соединении звуков следующий:

октава (A-A),

восходящая большая секунда (D-E),

нисходящая большая секунда (E-D),

восходящая кварта (A-D),

нисходящая кварта (A-E),

восходящая квинта (A-E),

нисходящая квинта (A-D).

Более 30 лет отдал изучению закономерностей гармонии в музыке композитор и учёный Михаил Марутаев (Приложение 5). Он разработал концепцию универсальной гармонии, определяющим элементом которой является выявление единых числовых характеристик — общих, как для природы, так и для музыки.

Путем математических преобразований композитор установил также связь золотой пропорций со значением малой секунды, равной =.1,059

И еще одно собственное наблюдение: простая и хроматическая гаммы соответствуют соотношению 13/8= 1,625 (Приложение 6,7)

ИССЛЕДОВАНИЯ УЧЕНЫХ - МУЗЫКОВЕДОВ

Анализ гармонии в музыке не исчерпывается установлением закономерностей звучания в гамме, изучением природы благозвучных аккордов. Интересно было определить природу прекрасного в произведениях великих композиторов, определить, в чем причина их привлекательности, эстетической ценности. 

В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки, причем такое построение характерно не только для произведения в целом, но и для его отдельных частей. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения или его композиционной части, обычно она смещена, ассимметрична. Изучая восьмитактные мелодии Бетховена, Шопена, Скрябина, советский музыковед Лев Мазель (Приложение 8) установил, что во многих из них вершина, или высшая точка, приходится на сильную долю шестого такта или на последнюю мелкую долю пятого такта, то есть находится в точке золотого сечения. По мнению Л. Мазеля. число подобных восьми тактов, где подъем мелодии занимает пять тактов, а последующий спуск — три, необычайно велико; их можно без труда найти почти у каждого автора, сочинявшего музыку в гармоническом стиле.

Очевидно, такое расположение кульминационных моментов музыкальной мелодии является важным элементом ее гармонической композиции, придающим художественную выразительность и эстетическую эмоциональность мелодии. Рисунок мелодии строится по схеме: длительный период нарастания эмоционального напряжения, затем остановка и после — более краткий период спада.

Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было

предпринято Леонидом Сабанеевым (Приложение 9), русским музыковедом, композитором, музыкальным критиком и ученым. Им было изучено 2000 произведений различных композиторов. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится «некоторыми вехами», которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Такими вехами могут быть границы изменения структуры мелодии, интонационные кульминационные пункты (как положительные, так и отрицательные), изменения тональности и т. д. Все эти музыкальные события делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения.

Сабанеев пишет: «Все такие события инстинктом автора приурочиваются к таким пунктам длины целого, что они собою делят временные протяжения на отдельные части, находящиеся в отношениях «золотого сечения». Как показывают наблюдения, приурочение подобных эстетических «вех» к пунктам деления общего или частичного протяжения в «золотом» отношении выполняется нередко с огромной точностью, что тем более удивительно, что при отсутствии у авторов музыки всякого знания о подобных вещах, это все является исключительно следствием внутреннего чувства стройности» [2] (Приложение 10,11,12,13).

По наблюдениям Л. Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, сопряженное с происходящим возле него «эстетическим событием», а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений; количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение: у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%}, Шопена (92%), Шуберта (91%).

Наиболее детально были изучены Л.Сабанеевым все 27 этюдов Шопена. В них обнаружено 154 золотых сечения; всего в трех этюдах золотое сечение отсутствовало. В некоторых случаях строение музыкального произведения сочетало в себе симметричность и золотое сечение одновременно; в этих случаях оно делилось на несколько симметричных частей, в каждой из которых проявляется золотое сечение.

Интересно, что в этюдах Шопена проявляется не одно выражение золотой пропорции, а целый ряд величин, связанных этим отношением:   0,618; 0,382; 0,236; 0,146; 0,090 и 0,058; реже встречались 0,854; 0,764 и 0,472. Первый ряд из шести чисел образует геометрическую прогрессию с показателем, равным 1,618, а три других числа являются производными золотой пропорции (0,764:0,472=1,618). Мелодия как бы растет и развивается, подчиняясь закону золотой пропорции.

МОИ ИССЛЕДОВАНИЯ

Проведем собственные исследования золотого сечения в музыкальных произведениях. Обратимся к Л. Бетховену. Рассмотрим его маленький шедевр «К Элизе».

Выделим “вехи”, делящие произведение на части, внутри каждой из которых наблюдается проявление золотой пропорции. При вычислениях за единицу времени мы взяли длительность  . Мы убедились, что закон золотого сечения здесь проявляется многократно. Проявление закона золотого сечения глубоко логично, оно указывает на силу темперамента Бетховена и в точности совпадает со всеми моментами высшего напряжения чувств. (Приложение 14)

Далее исследуем “Хроматическую фантазию  и фугу” Баха. Если за единицу меры во времени принять длительность четверти, то в этом произведении всего будет 799 таких  единиц меры. Золотое деление этого интервала приходится на 316-ю четверть от начала. Этот момент золотого сечения точно совпадает с ферматой (в нотной грамоте знак ферматы увеличивает длительность звука или паузы обычно в 1,5-2 раза), которая отделяет первую часть произведения (прелюдию) от второй. Поразительную соразмерность частей демонстрирует также фуга, следующая за фантазией. Она содержит 483 единицы времени. Таким образом:  =1.6… (Приложение 15)

Вслед за композитором Эмилем Розеновым я подробно разобрала Fantasia-Impromtu Шопена.  В этом произведении золотое сечение встречается очень часто. Например:

1. Все произведение состоит из одинаковых по длительности 138 тактов. На 82 такте заканчиваются две первых части. 138:82=1,6… (Приложение 16).
2. В первой части кульминация наступает на 37 такте, она обозначается фортиссимо (очень громко), а немного ранее, на 23 такте – пианиссимо (очень тихо) 37:23=1,608.
3. В третьей части, которая по длительности составляет 56 тактов, кульминацию (фортиссимо) мы наблюдаем на 33 такте. 56:33=1,6…

Фантазия Шопена была создана экспромтом и не подлежала никакой правке, а, значит, и не было сознательного применения закона золотого сечения, которое присутствует в этом музыкальном произведении вплоть до мелких музыкальных образований.

Характерно, отмечает Л.Сабанеев, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащим гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторов? И тогда вместо споров о достоинствах той или иной музыки достаточно произвести музыкальный подсчет?

В спорах о достоинствах современных музыкальных творений часто ссылаются на банальный афоризм: « На вкус и цвет товарища нет», на непонимание «старыми» ценителями новаторской музыки сегодняшнего дня, ссылкой на то, что нашему времени отвечает рок-музыка и т.п. Не будем разжигать страсти, «поверим алгеброй гармонию», проверим современные музыкальные шедевры  на критерии гармонии.

Из современных произведений я исследовала две джазовые инвенции немецкого композитора, пианиста, аранжировщика и музыкального педагога Манфреда Шмитца. Язык этих пьес содержит джазовые ритмы и импровизационность. Композиция инвенции №1 содержит золотое сечение, а в инвенции №5 его не найдено (Приложение 17).

Далее рассмотрим две произвольно выбранные песни певицы, музыканта, композитора и автора песен, выступающей под сценическим именем Земфира. Она стала олицетворением русского женского рока. В обоих ее произведениях “Красота” и “Бесконечность”  золотое сечение присутствует (Приложение 18).

Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения. Тогда логично предположить, что чем точнее соответствие произведения музыки золотой пропорции, тем выше степень гармонии, а отклонение от золотой пропорции – свидетельство несовершенства музыки.

Но не будем спешить с таким заключением. В искусстве часто отклонения от правила не менее ценны, чем само правило. Не следует забывать, что золотое сечение - иррациональная величина и ее невозможно выразить отношением целых чисел. А ведь мы замеряем размер частей в целом по числу тактов и выражаем их в целых числах. Л.Сабанеев считает, что это противоречие снимается, если учесть, что «живое музыкальное произведение никогда не идет точно метрически, его метрическая координата никогда не «пропорциональна» реальному времени. И темп музыки не является постоянной величиной, а переменной функцией метрического времени» [2]. Варьируя нюансами темпа, композитор может добиться точного соответствия структуры музыкального произведения золотой пропорции.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Накопленные знания об этом уникальном соотношении частей в целом по эстафете передаются от поколения к поколению, наполняясь новым содержанием. К понятию «золотая пропорция» в наибольшей степени подходит определение «формула красоты». Действительно, эта пропорция обладает наиболее отчетливыми признаками гармоничности прекрасного. Эта пропорция знаменует собой как бы вершину эстетических изысканий, некий предел гармонии природы. Эта пропорция является господствующей во многих произведениях искусства.

Многое в сущности этой «константы гармоничности» остается неизведанным. Еще неясно, почему Природа предпочла эту пропорцию всем другим.

Характерно, что золотая пропорция отвечает делению целого на две неравные части, следовательно, она отвечает асимметрии. Почему же она так привлекательна, часто более привлекательна, чем симметричные пропорции? Очевидно, эта пропорция обладает каким-то особым свойством. Целое можно поделить на бесконечное множество неравных частей, но только одно из таких сечений отвечает золотой пропорции. По-видимому, в этой пропорции скрыта одна из фундаментальных тайн природы, которую еще предстоит открыть.  В золотой пропорции – ключ к гармонии систем, волшебный золотой ключик, открывающий дверь в страну гармонии и красоты. Как здесь не вспомнить пифагорейцев, увидевших в числах сущность вещей, строение Вселенной. В системе пифагорейцев «число выступает в качестве универсального ключа к объяснению мира». Отсюда появилось и крылатое выражение, которое приписывают либо Пифагору, либо пифагорейцам: «Числа правят миром».

 Золотая пропорция — понятие математическое, ее изучение — это прежде всего задача науки. Но она же является критерием гармонии и красоты, а это уже категории искусства.

 ВЫВОДЫ

1. Мы рассмотрели золотую пропорцию в музыке, начав с  истории её возникновения и развития.
2. Затем выяснили как проявляется золотая пропорция в гармонии музыки, т. е. в устройстве звукоряда.
3. Изучили исследования музыковедов по вопросу золотого сечения в классических музыкальных произведениях.
4. Самостоятельно исследовали некоторые музыкальные произведения на наличие в них золотого сечения.
5. В результате исследовании мы убедились, что золотая пропорция является критерием гармонии и композиции музыкального произведения, да и сам гармонический звукоряд основан на золотой пропорции.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеева В. Любимые пьесы для фортепиано – М.: Музыка, 1988
2.  Васютинский Н.А. Золотая пропорция - М.: Молодая гвардия, 1990.
3. Величко М.В. Математика. 9-11 классы: проектная деятельность учащихся. Волгоград: Учитель, 2008.
4. Пичурин. Л. Ф. За страницами учебника алгебры - М.: Просвещение, 1999.
5. Фридкин Г. Практическое руководство по музыкальной грамоте – М.: 1968.
6. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия 5-6 классы - М.: Дрофа, 2007.
7. Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы - М.: Наука, 1980.
8. Школа в «Кванте». Физика 9 – 11. (Приложение к журналу «Квант» № 4/ 1995).
9. Школа в «Кванте». Физика 9 – 11. (Приложение к журналу «Квант» № 4/ 1996).
10. Штейнгауз Г.Ш. Математический калейдоскоп: Пер. с польского.- М.: Главная редакция физико-математической литературы, 1981.
11. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Савин А.П. - М.: Педагогика, 1989. 

ПРИЛОЖЕНИЯ

    1                                                                                             2

                                                       3

                                                        4

                                                              12

                                                              13

14

15

                                                                       16

                                СОДЕРЖАНИЕ

I Содержание.                                                                                                     2

II Аннотация.                                                                                                      3

III Введение. Постановка проблемы.                                                               4

IV Основная часть.                                                                        5

1.  Кривые                                                                                                           5

а) Окружность.                                                                                           5                                                                                          

б)  Конические сечения.                                                                    5

в)  Эпициклы                                                                                6

г) Эпициклоиды                                                                         6

2. Исторический обзор                                                                8

3. Математическое вышивание                                                        9

а) Заполнение угла.                                                                        9        

б) Заполнение окружности.                                                                9

в) Нефроида.                                                                                10

г) Кардиоида.                                                                                                      10

V Заключение. Выводы.                                                                                    11

VI Литература.                                                                                                    12                                                                                                

           VII Приложения.                                                                                                  13

АННОТАЦИЯ

Данина Ольга

пос. Курагино, МОУ СОШ №3, 11 класс

Руководитель: Юдина Ольга Ивановна, учитель математики

Цель: изучение математического вышивания как способа построения кривых.

Методы: моделирование, сравнение, обобщение, классификация, определение понятий, анализ и синтез.

Полученные данные: 

1. получена информация по теме исследования из научно-популярной литературы;
2. рассмотрены изящные кривые и кривые второго порядка;
3. построены изящные кривые и кривые второго порядка методом математического вышивания;
4. созданы несколько моделей в технике «изонить»;

Выводы:

1. Я рассмотрела математические кривые.
2. Из многообразия способов их построения я выделила метод огибающих касательных (математическое вышивание).
3. Математическое вышивание известно с XVII века как вид декоративно-прикладного искусства. Я тоже прикоснулась к этому творчеству и выполнила несколько моделей в технике «изонить».

ВВЕДЕНИЕ

В седьмом классе на уроках математики мы более подробно начали изучать графики различных функций. Чуть позже я увидела замечательные работы одного мальчика, который увлекался «математическим вышиванием».  С помощью обычных прямых у него получались те самые кривые, которые мы рассматривали на уроках. Я очень заинтересовалась этой техникой.

Ниткография – техника создания картин из ниток на твердой основе. Довольно простая в выполнении и не требующая больших затрат работа. Можно создавать различные картины, сувениры, делать какие – либо вышивки на одежде. Такие изделия можно даже преподнести в качестве подарка.

Цель моей работы – изучение математического вышивания как способа построения кривых.

Изучив различные материалы, я поставила перед собой задачи:

1. проанализировать имеющуюся информацию по теме исследования в научно-популярной литературе;
2. рассмотреть различные виды кривых;
3. построить изученные кривые методом математического вышивания;
4. применить метод математического вышивания (технику «изонить») в декоративно-прикладном творчестве;

Разумеется, хорошая математика всегда красива.

 П. Д. Коэн

КРИВЫЕ

Кривые имеют богатую историю. Из всех видов мы знаем только некоторые из них: окружность, прямая, спирали. Если созданы сферы, то отбрасываемые ими тени имеют очертания конических сечений. Но древние греки изобрели и кривые других типов.

Окружность: Ее математическое определение отличается особенной простотой.

Если к окружности проведены две касательные в точках P и P', пересекающиеся в точке T, то, удерживая на месте точку Р и заставляя точку P' двигаться по окружности к точке P, мы увидим, что точка T устремляется к точке P – общей точке, неподвижной касательной и окружности.

Кривые удобно рассматривать как огибающие касательных. Окружность вычерчивают касательные, находящиеся от точки O на определенном расстоянии.

Конические сечения: Название «конические сечения» очень подходит этому классу кривых, поскольку эти кривые можно получать как сечения прямого кругового конуса.

Существует три типа конических сечений – эллипс, парабола и гипербола. Каждый из типов конических сечений можно ввести как огибающую некоторого семейства прямых.

Парабола:  Если секущая плоскость параллельна только одной из образующих конической поверхности, коническое сечение есть парабола.

Эллипс: Если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конической поверхности, то коническое сечение есть эллипс.

Гипербола: Если секущая плоскость параллельна двум образующим конической поверхности, то коническое сечение есть гипербола.

Эпициклы: До того как Кеплер показал, что орбита планеты Марс имеет форму эллипса,  на протяжении тысячелетий окружность считалась совершеннейшей из всех кривых. Но когда астрономическими наблюдениями было выявлено несоответствие, то были изобретены эпициклы (окружности, движущиеся по окружности).

Более изящные кривые получаются как огибающие некоторых семейств окружностей.

Эпициклоиды: Кардиоида — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Нефроида — плоская алгебраическая кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящейся снаружи по большей в два раза окружности.

Гипоциклоида  — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения

Построением этих кривых заняты не только математики. Эти изящные кривые заслужили много внимания простых людей, и они воплотили их в «математическом вышивании».

Цель прикладного искусства состоит в том,

чтобы «одушевить силою художества» предмет

материального назначения, дать ему смысл,

сделать его привлекательным. Прикладные искусства

преображают саму жизнь, заменяя существовавшие до них

 нехудожественные вещи – художественными,

тем самым формируя сознание, духовный облик человека.

А.Б. Салтыков

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

Математическое вышивание (нитяная графика, изонить) – это графический рисунок, выполненный нитями, натянутыми в определенной последовательности на твердом фоне.

Нитяная графика, как вид декоративно-прикладного искусства, впервые появилась в Англии в XVII веке. Английские ткачи придумали особый способ переплетения ниток. Они забивали в дощечки гвозди и в определенной последовательности натягивали на них нити. В результате получались ажурные кружевные изделия, которые использовались для украшения жилища. Интерес к нитяной графике то появлялся, то исчезал. Один из пиков популярности был в конце XIX века.

Сейчас этим искусством занимаются во многих странах мира (например в Англии, США, Дании, Австралии). В Америке с ниточным дизайном знакомят учащихся в некоторых школах. В Швейцарии, например, можно купить изящные открытки, выполненные на плотной бумаге шелковыми нитками, на благотворительных распродажах при монастырях. В нашей стране информация по изонити имеется в небольшом количестве, в основном, ознакомительного характера. Интерес к изонити растет. В Интернете появляется информация об открывшихся кружках «Изонити» в разных уголках нашей страны, оформляются фотогалереи детских работ.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВЫШИВАНИЕ

В «математическом вышивании используются два основных приема: заполнение угла и заполнение окружности.

Заполнение угла: 

1. На изнаночной стороне картона чертится угол;
2. На каждой стороне угла откладывается равное количество отрезков;
3. Полученные точки нумеруются, начиная от вершины. Вершина – точка «0»;
4. Сделать проколы во всех точках, кроме вершины;
5. Цветной нитью соединяются точки на сторонах угла в определенной последовательности: первую точку на одной стороне – с последней точкой на другой, вторую точку –  с предпоследней и т.д. [Приложение 1]

Заполнение окружности: 

1. Начертить окружность;
2. Разделить ее на равные части;
3. Сделать проколы в полученных точках;
4. Соединить две выбранные точки окружности;
5. Следующие две точки должны находиться друг от друга на том же расстоянии, что и в первой паре.

Если пары точек расположены на концах диаметра, то при вышивании получится звезда с заполненным центром. Чем ближе располагаются соединяемые точки, том свободнее центр звезды.[Приложение 2]

Вернемся к кардиоиде и нефроиде. Как было выше сказано, эти кривые можно построить методом «математического вышивания», но они более сложные, чем основные приемы.

Нефроида: 

1. Начертить окружность;
2. Разделить на дуги в 10˚;
3. Пронумеровать точки по часовой стрелке;
4. Соединить точки с номерами n и 3n;
5. Пронумеровать эти же точки против часовой стрелки;
6. Соединить новые точки в том же порядке n и 3n. [Приложение 2]

Кардиоида:

1. Начертить окружность;
2. Снаружи окружность делится на дуги  в 10˚ (0 – 35);
3. Изнутри – 20˚(0 – 17), причем внутренний 0 совпадает с наружной точкой 18;
4. Соединяются внутренние и наружные точки с одинаковыми номерами. [Приложение 2]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Я рассмотрела математические кривые.
2. Из многообразия способов их построения я выделила метод огибающих касательных (математическое вышивание).
3. Математическое вышивание известно с XVII века как вид декоративно-прикладного искусства. Я тоже прикоснулась к этому творчеству и выполнила несколько моделей в технике «изонить».[Приложение 3]

Изучив технику «изонить», я освоила новый вид декоративно-прикладного творчества, с помощью которого надеюсь воплощать свои дальнейшие замыслы в ниткографии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. http://ru.wikipedia.org/
2. http://portfolio.1september.ru/
3. http://collection.edu.yar.ru/
4. Математика в понятиях, определениях и терминах,  ч. I/ Под ред. Л. В. Сабинина – Москва: Изд-во «Просвещение», 1978. -248с.
5. Пидоу Д. Геометрия и искусство/  Д. Пидоу; пер. с англ. Ю. А. Данилова, под ред. И. М. Яглома – М.: Мир, 1979. -235с. – 294с.
6. Бурундукова Л. И. Волшебная изонить/ Л. И. Бурундукова – Москва: Аст – Пресс, 2010. – 88с.

Приложение 1.

Приложение 2.

Приложение 3

Приложение 4.

КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ