Исследовательская работа "Кривые в математическом вышивании"
проект по геометрии (10 класс)

                                СОДЕРЖАНИЕ

I Содержание.                                                                                                     2

II Аннотация.                                                                                                      3

III Введение. Постановка проблемы.                                                               4

IV Основная часть.                                                                        5

1.  Кривые                                                                                                           5

а) Окружность.                                                                                           5                                                                                          

б)  Конические сечения.                                                                    5

в)  Эпициклы                                                                                6

г) Эпициклоиды                                                                         6

2. Исторический обзор                                                                8

3. Математическое вышивание                                                        9

а) Заполнение угла.                                                                        9        

б) Заполнение окружности.                                                                9

в) Нефроида.                                                                                10

г) Кардиоида.                                                                                                      10

V Заключение. Выводы.                                                                                    11

VI Литература.                                                                                                    12                                                                                                

           VII Приложения.                                                                                                  13

АННОТАЦИЯ

Данина Ольга

пос. Курагино, МОУ СОШ №3, 11 класс

Руководитель: Юдина Ольга Ивановна, учитель математики

Цель: изучение математического вышивания как способа построения кривых.

Методы: моделирование, сравнение, обобщение, классификация, определение понятий, анализ и синтез.

Полученные данные: 

1. получена информация по теме исследования из научно-популярной литературы;
2. рассмотрены изящные кривые и кривые второго порядка;
3. построены изящные кривые и кривые второго порядка методом математического вышивания;
4. созданы несколько моделей в технике «изонить»;

Выводы:

1. Я рассмотрела математические кривые.
2. Из многообразия способов их построения я выделила метод огибающих касательных (математическое вышивание).
3. Математическое вышивание известно с XVII века как вид декоративно-прикладного искусства. Я тоже прикоснулась к этому творчеству и выполнила несколько моделей в технике «изонить».

ВВЕДЕНИЕ

В седьмом классе на уроках математики мы более подробно начали изучать графики различных функций. Чуть позже я увидела замечательные работы одного мальчика, который увлекался «математическим вышиванием».  С помощью обычных прямых у него получались те самые кривые, которые мы рассматривали на уроках. Я очень заинтересовалась этой техникой.

Ниткография – техника создания картин из ниток на твердой основе. Довольно простая в выполнении и не требующая больших затрат работа. Можно создавать различные картины, сувениры, делать какие – либо вышивки на одежде. Такие изделия можно даже преподнести в качестве подарка.

Цель моей работы – изучение математического вышивания как способа построения кривых.

Изучив различные материалы, я поставила перед собой задачи:

1. проанализировать имеющуюся информацию по теме исследования в научно-популярной литературе;
2. рассмотреть различные виды кривых;
3. построить изученные кривые методом математического вышивания;
4. применить метод математического вышивания (технику «изонить») в декоративно-прикладном творчестве;

Разумеется, хорошая математика всегда красива.

 П. Д. Коэн

КРИВЫЕ

Кривые имеют богатую историю. Из всех видов мы знаем только некоторые из них: окружность, прямая, спирали. Если созданы сферы, то отбрасываемые ими тени имеют очертания конических сечений. Но древние греки изобрели и кривые других типов.

Окружность: Ее математическое определение отличается особенной простотой.

Если к окружности проведены две касательные в точках P и P', пересекающиеся в точке T, то, удерживая на месте точку Р и заставляя точку P' двигаться по окружности к точке P, мы увидим, что точка T устремляется к точке P – общей точке, неподвижной касательной и окружности.

Кривые удобно рассматривать как огибающие касательных. Окружность вычерчивают касательные, находящиеся от точки O на определенном расстоянии.

Конические сечения: Название «конические сечения» очень подходит этому классу кривых, поскольку эти кривые можно получать как сечения прямого кругового конуса.

Существует три типа конических сечений – эллипс, парабола и гипербола. Каждый из типов конических сечений можно ввести как огибающую некоторого семейства прямых.

Парабола:  Если секущая плоскость параллельна только одной из образующих конической поверхности, коническое сечение есть парабола.

Эллипс: Если секущая плоскость не параллельна ни одной из образующих конической поверхности, то коническое сечение есть эллипс.

Гипербола: Если секущая плоскость параллельна двум образующим конической поверхности, то коническое сечение есть гипербола.

Эпициклы: До того как Кеплер показал, что орбита планеты Марс имеет форму эллипса,  на протяжении тысячелетий окружность считалась совершеннейшей из всех кривых. Но когда астрономическими наблюдениями было выявлено несоответствие, то были изобретены эпициклы (окружности, движущиеся по окружности).

Более изящные кривые получаются как огибающие некоторых семейств окружностей.

Эпициклоиды: Кардиоида — плоская линия, которая описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом. Получила своё название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.

Нефроида — плоская алгебраическая кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящейся снаружи по большей в два раза окружности.

Гипоциклоида  — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения

Построением этих кривых заняты не только математики. Эти изящные кривые заслужили много внимания простых людей, и они воплотили их в «математическом вышивании».

Цель прикладного искусства состоит в том,

чтобы «одушевить силою художества» предмет

материального назначения, дать ему смысл,

сделать его привлекательным. Прикладные искусства

преображают саму жизнь, заменяя существовавшие до них

 нехудожественные вещи – художественными,

тем самым формируя сознание, духовный облик человека.

А.Б. Салтыков

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР

Математическое вышивание (нитяная графика, изонить) – это графический рисунок, выполненный нитями, натянутыми в определенной последовательности на твердом фоне.

Нитяная графика, как вид декоративно-прикладного искусства, впервые появилась в Англии в XVII веке. Английские ткачи придумали особый способ переплетения ниток. Они забивали в дощечки гвозди и в определенной последовательности натягивали на них нити. В результате получались ажурные кружевные изделия, которые использовались для украшения жилища. Интерес к нитяной графике то появлялся, то исчезал. Один из пиков популярности был в конце XIX века.

Сейчас этим искусством занимаются во многих странах мира (например в Англии, США, Дании, Австралии). В Америке с ниточным дизайном знакомят учащихся в некоторых школах. В Швейцарии, например, можно купить изящные открытки, выполненные на плотной бумаге шелковыми нитками, на благотворительных распродажах при монастырях. В нашей стране информация по изонити имеется в небольшом количестве, в основном, ознакомительного характера. Интерес к изонити растет. В Интернете появляется информация об открывшихся кружках «Изонити» в разных уголках нашей страны, оформляются фотогалереи детских работ.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВЫШИВАНИЕ

В «математическом вышивании используются два основных приема: заполнение угла и заполнение окружности.

Заполнение угла: 

1. На изнаночной стороне картона чертится угол;
2. На каждой стороне угла откладывается равное количество отрезков;
3. Полученные точки нумеруются, начиная от вершины. Вершина – точка «0»;
4. Сделать проколы во всех точках, кроме вершины;
5. Цветной нитью соединяются точки на сторонах угла в определенной последовательности: первую точку на одной стороне – с последней точкой на другой, вторую точку –  с предпоследней и т.д. [Приложение 1]

Заполнение окружности: 

1. Начертить окружность;
2. Разделить ее на равные части;
3. Сделать проколы в полученных точках;
4. Соединить две выбранные точки окружности;
5. Следующие две точки должны находиться друг от друга на том же расстоянии, что и в первой паре.

Если пары точек расположены на концах диаметра, то при вышивании получится звезда с заполненным центром. Чем ближе располагаются соединяемые точки, том свободнее центр звезды.[Приложение 2]

Вернемся к кардиоиде и нефроиде. Как было выше сказано, эти кривые можно построить методом «математического вышивания», но они более сложные, чем основные приемы.

Нефроида: 

1. Начертить окружность;
2. Разделить на дуги в 10˚;
3. Пронумеровать точки по часовой стрелке;
4. Соединить точки с номерами n и 3n;
5. Пронумеровать эти же точки против часовой стрелки;
6. Соединить новые точки в том же порядке n и 3n. [Приложение 2]

Кардиоида:

1. Начертить окружность;
2. Снаружи окружность делится на дуги  в 10˚ (0 – 35);
3. Изнутри – 20˚(0 – 17), причем внутренний 0 совпадает с наружной точкой 18;
4. Соединяются внутренние и наружные точки с одинаковыми номерами. [Приложение 2]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Я рассмотрела математические кривые.
2. Из многообразия способов их построения я выделила метод огибающих касательных (математическое вышивание).
3. Математическое вышивание известно с XVII века как вид декоративно-прикладного искусства. Я тоже прикоснулась к этому творчеству и выполнила несколько моделей в технике «изонить».[Приложение 3]

Изучив технику «изонить», я освоила новый вид декоративно-прикладного творчества, с помощью которого надеюсь воплощать свои дальнейшие замыслы в ниткографии.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. http://ru.wikipedia.org/
2. http://portfolio.1september.ru/
3. http://collection.edu.yar.ru/
4. Математика в понятиях, определениях и терминах,  ч. I/ Под ред. Л. В. Сабинина – Москва: Изд-во «Просвещение», 1978. -248с.
5. Пидоу Д. Геометрия и искусство/  Д. Пидоу; пер. с англ. Ю. А. Данилова, под ред. И. М. Яглома – М.: Мир, 1979. -235с. – 294с.
6. Бурундукова Л. И. Волшебная изонить/ Л. И. Бурундукова – Москва: Аст – Пресс, 2010. – 88с.

Приложение 1.

Приложение 2.

Приложение 3

Приложение 4.

КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ