Уравнения и неравенства с параметрами
творческая работа учащихся по математике (11 класс)

Уравнения, неравенства

и их системы с параметрами

                                                                Подготовила:               Лагута Екатерина,

                                                                                         ученица 11 «а» класса  

МКОУ СОШ №47                                                                

                                       Руководитель: 

                                                                                                     Лысова Марина Анатольевна,

                                                                                  учитель математики

                                                      высшей квалификационной категории

                                                                г. Барабинск

2020 г.

Содержание

1  Введение…………………………………………………………………….…….стр.3

2  Основная часть…………………………………………………………………..стр.4

    2.1. Уравнения с параметрами

           2.1.1. Определение уравнения с параметрами……………………….…...стр.4

           2.1.2. Иррациональные уравнения с параметрами…………………….…стр.5

           2.1.3.Показательные уравнения с параметрами…………………………..стр.6

           2.1.4. Логарифмические уравнения с параметрами……………………....стр.6

           2.1.5. Примеры решения уравнений с параметрами………………….…..стр.6

    2.2. Неравенства с параметрами

           2.2.1. Определение неравенства…………………………………….……..стр.7

           2.2.2. Алгоритм решения неравенств..……………………………….…...стр.8

           2.2.3. Показательные неравенства с параметрами………………….….…стр.9

           2.2.4. Логарифмические неравенства с параметрами……………..…....стр.10

2.3. Системы с параметрами

2.3.1.  Системы линейных уравнений с параметрами………………………стр.11

2.3.2.  Системы рациональных уравнений с параметрами…………………стр.12

 3. Заключение……………………………………………………………….……стр.15

 4. Литература……………………………………………………………….…….стр.16

 5. Приложения

        Приложение №1 «Сборник задач для самостоятельного решения»

         Приложение №2 Электронный учебник «Уравнения и неравенства с параметрами»

1. Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. В задании 15 контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена по математике предлагается решить уравнение, неравенство с параметрами или их систему, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же это один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Я захотела разобраться в этой теме, потому что планирую поступать в технический ВУЗ, где мне обязательно пригодится умение решать уравнения, неравенства и системы с параметрами.

Работая над темой «Уравнения, неравенства и их системы с параметрами», я ставлю перед собой цель: расширить и углубить знания по данной теме и помочь своим одноклассникам при подготовке к ЕГЭ.

Мои задачи:

- Изучить математическую литературу по данной теме;

- Выявить наиболее часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем и методы их решений;

- Разработать сборник задач для самостоятельного решения по данной теме;

- Создать электронный учебник «Уравнения и неравенства с параметрами».      

2. Основная часть

2.1. Уравнения с параметрами

2.1.1. Определение уравнения с параметрами

       Уравнения  вида       f (а, b, c, ...,k, х) = φ(а, b, c, ..., k, х),    где а, b, c, …, k, х – переменные величины, называются уравнениями с параметрами.

      Любая система значений переменных  а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, х = х0, при которой обе части уравнения принимают действительные значения, называются системой допустимых значений переменных а, b, c, …, k, х.

     Пусть А – множество допустимых значений а, В – множество допустимых значений b, С – множество допустимых значений с, …, К – множество допустимых значений k, Х – множество допустимых значений х, т. е. аА, b В, сС, …, k  К, х Х. Если из каждого множества А, В, С, …, К выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению а, b, c, …, k и подставить их в уравнение (неравенство), то получим уравнение (неравенство) относительно х, т. е. уравнение (неравенство) с одной переменной.

        Переменные а, b, c, …, k, которые при решение уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

       В дальнейшем будем параметры обозначать первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n,  а неизвестные – буквами x, y, z.

      В уравнении      m и n – параметры, а х – неизвестное.

     Допустимой является любая система значений m, n и х, удовлетворяющая условию

 m ≠ 3, n ≠ -1,  n ≠ 0, х ≠ 0.

При m = 4, n = 1 получим уравнение ,  

При m = 5,  n = 3 получим уравнение  и т. д.

            Решить уравнение – значит  указать, при каких значениях параметров существует решения и каковы они.

            Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

   а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

   б) каждое решение первое уравнение является решением второго и наоборот.  [7; стр.16]

2.1.2. Иррациональные  уравнения  с  параметрами

Существует  несколько  способов  решения  иррациональных уравнений  с  параметрами. Познакомимся  с  ними, разобрав  следующий  пример.

    Пример. Решить  уравнение   х -  = 1.

     Решение: Возведем  в  квадрат  обе  части  иррационального  уравнения  с  последующей проверкой  полученных  решений.

Перепишем  исходное  уравнение  в  виде:   = х – 1    

При  возведении  в  квадрат  обеих  частей  исходного  уравнения  и  проведения  тождественных  преобразований  получим:  2 х2 – 2х + (1 - а) = 0, D = 2а – 1.

Особое  значение: а = 0,5. Отсюда:

1. при  а > 0,5  х1,2 = 0,5 (1 ± );
2. при  а = 0,5  х = 0,5;
3. при  а <0,5  уравнение  не  имеет  решений.

Проверка:

1. при  подстановке  х = 0,5  в  уравнение, равносильное  исходному, получим  неверное  равенство. Значит, х = 0,5  не  является  решением и
2. при   подстановке х1 = 0,5 (1 ± )    получим:

-0,5 (1 + ) =  – (0,5 (1 - ))2

      Так  как  левая  часть  равенства  отрицательна, то  х1  не  удовлетворяет  исходному  уравнению.

3. Подставим  х2  в  уравнение:

                                   =

Проведя  равносильные  преобразования, получим:

Если   , то  можно  возвести  полученное  равенство  в  квадрат:

Имеем  истинное  равенство  при  условии, что

Это  условие  выполняется, если а ≥1. Так  как  равенство  истинно  при а ≥1, а  х2  может  быть  корнем  уравнения  (6)  при  а > 0,5, следовательно, х2 – корень  уравнения  при а ≥1.

          [4; стр.275]

                               2.1.3.   Показательные  уравнения с параметрами

           Уравнение вида

                                       а= b,

           где а > 0 и b> 0, будем называть элементарным показательным уравнением с параметром.

Например, уравнение      имеет смысл при а > 0. Областью определения его служит множество всех действительных чисел. Приведя его к виду                                        а = а  заметим, что при а = 1 х – любое действительное число, при а > 0 х = 2 (а ≠1).       [1; стр. 65]

2.1.4.    Логарифмические уравнения с параметрами

 Уравнения вида   log a f (x) = log b φ (x),   где а > 0 (а ≠ 1), b  > 0 (b ≠ 1), будем называть уравнения с параметрами. 

 Например,    а = b. По смыслу задачи а > 0, b > 0. Если а = b = 1, то х – любое действительное число; если       а = 1 и b ≠ 1, то х = 3; при а ≠ 1 и b = 1 х = - 1. Пусть теперь а ≠ 1 и b ≠ 1, тогда     (х + 1) = (3 – х) log a b,

              и         (х + log a b) x = 3 log a b – 1

 При  log a b + 1 = 0, т. е. при b =  , правая часть полученного уравнения равна – 4, следовательно, при b =  ≠ 1 решения нет.

При b ≠ , х = .          [6; стр.54]

2.1.5.  Примеры решения  уравнений с параметрами

         Пример 1: Решить уравнение с параметром                

                         (а- 1)х = 2а² + а - 3

        Решение: Данное уравнение является линейным относительно х. Оно имеет смысл при любых действительных значениях параметра а. Приведем его к виду:

                  (а – 1)(а +1)х = (2а+3)(а -1).

        Если а=1,то уравнение примет вид 0*х =0,его решением является любое действительное число.

       Если а = -1,то уравнение примет вид 0*х = -2,это уравнение не имеет решений.

       Если а ≠ ±1,то уравнение имеет единственное решение  х =,т.е. каждому допустимому значению а  соответствует единственное значение х.

 Пример 2: При каких значениях параметра а уравнение  х² + 2(а+1)х + 9а – 5 = 0 имеет два различных отрицательных корня?

       Решение. Так как уравнение должно иметь два различных корня х1  и  х2,то D > 0.

      D = 4(а+1)² -4(9а – 5) = 4(а-1)(а-6)

            По теореме Виета х1 +  х2 = - 2(а+1), х1·х2 = 9а – 5.

Так как х1<0 и х2<0, то получим систему неравенств

  Решая эту систему, получим:< а< 1, а > 6.

         Ответ: U  (6; + ∞).

   Пример 3: При каких а система уравнений

имеет единственное решении?

          Решение. Если коэффициенты при х и у не пропорциональны, то система имеет единственное решение. Следовательно, , т.е. а² ≠ ± 4 система имеет единственное решение.

           Ответ: а ≠ ± 4.        [5; стр.78]

2.2. Неравенства с параметрами

2.2.1.Определение неравенства          

Неравенства вида:   f (а, b, c, …,k, х) > φ(а, b, c, …, k, х),

                                              f (а, b, c, …,k, х) ≥ φ(а ,b, c, …, k, х),

                                              f (a, b, c, …, k, x ) < φ (a. b, c, …, k, x)  

где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

    Система значений параметров a = a0, b = b0, …,  k = k0, при которой выражения f (a, b, c, …, k, x)  и φ (a, b, c, …, k, x) имеют смысл в области действительных чисел, называются системой допустимых значений параметров.

     Например, в неравенстве   допустимой является любая система действительных значений m и n, удовлетворяющая условиям m ≠ 3 и n >-1.

При m > 3 и n ≤ -1 это неравенство не имеет смысла.      

х = х0 называется допустимым значением х, если f (a, b, …, k, х0) и  φ (a, b, c, …, k, x0)

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

            Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства.

            Например, областью определения неравенства  служит решение системы

где а ≥ 1.

      Действительное число х0 называется частным решением неравенства, если неравенство f (a, b, c, …, k, x) > φ (a, b, c, …, k, x0) верно при любой системе допустимых значений параметров.

    Множество всех частных решений неравенства называется общим решением этого неравенства.       [3; стр.76]

                                2.2.2. Алгоритм решения неравенств

1. Находим область определения данного неравенства.
2. Сводим неравенство к уравнению.
3. Выражаем а как х.
4. В системе координат хОа строим графики функций а = х для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.
5. Находим множество точек, удовлетворяющих данному неравенству.
6. Исследуем влияние параметра на результаты.
7. Найдём абсциссы точек пересечения.
8. Зададим прямую а = const и будем сдвигать её от -∞ до +∞.
9. Записываем ответ. [4; стр.292]

                      2.2.3.Показательные неравенства с параметрами

 Каждое из неравенств вида  а > а, a< a , a ≥ a  или a≤ a , где а > 0, мы будем называть элементарным показательным неравенством с параметрами. 

Например, решить относительно х неравенство с параметрами

  Решение. Приведем неравенство к виду

 и рассмотрим случай m = 1.

       При этом неравенство принимает вид:

                                        ,

  что верно при любых действительных значениях х.

         Пусть теперь m > 0 (m ≠ 1). Так как при этом m> 0, m+ 1 > 0, то неравенство равносильно неравенству

                                       ( m - 10) m + 15 - 3m( m+1) < 0.

           Пусть m = z > 0. Тогда получим неравенство

                                       (z- 10) z + 15 - 3z (z + 1) < 0

  или

                                       (z - 1) (z + 3) (z – 5) < 0.

            Так как (z + 3)  > 0, то оно равносильно неравенству

                                             (z - 1) (z – 5) < 0,

   откуда

                                                 1 < z < 5.

 Итак, мы пришли к неравенству

                                                  1 < m< 5.

 Отсюда при m > 1, 0 < х < log m 5, при 0 < m <1 , log 5 < х < 0.

Таким образом, мы получим ответ:

при m = 1, х – любое действительное число;

при m > 1, х (0; log m 5);

при 0 < m < 1, х (log m 5; 0).     [2; стр.98]

                          2.2.4. Логарифмические неравенства с параметрами

    Каждое из неравенств вида  log a f (x) > log a φ (x), log a f (x) <  log a φ (x), log a f (x) ≥  log a φ (x), log a f (x)  ≤ log a φ (x), будем называть элементарным неравенством с параметрами. 

             Например, решить относительно х неравенство 

                           log 2х + 3 (а – 2) < 1.

              Решение. Неравенство имеет смысл при а  > 2. Значение х должно удовлетворять условию 2х + 3  > 0 (2х + 3 ≠ 1), т. е. х > - 1,5 (х ≠ - 1).

              Переписав неравенство в виде

                          log 2х + 3 (а – 2) <  log 2х + 3 (2x +3),

 заметим, что при 2х + 3 > 1, т. е. при х > - 1 оно равносильно неравенству х > .

              Для выбора решения сравним числа  и – 1, т. е. рассмотрим разность

                                - (- 1) = .

       0,5 (а – 3) > 0 при а > 3 и 0,5 (а – 3) ≤ 0 при а ≤ 3.

 Отсюда при 2 < а ≤ 3 получим 0,5 (а – 5) ≤ 1 и решением системы

  служит х  > - 1.

 При а > 3 получим 0,5 (а – 5) > - 1 и решением системы                                  

служит х > 0,5 (а – 5).

     Найдем теперь те решения неравенства, которые удовлетворяют условию – 1,5 < х < -1.

При этом условии неравенства равносильно неравенству а – 2 > 2х + 3, т. е. х < 0,5 (а – 5).

Так как при 2 < а ≤ 3, 0,5 (а – 5) ≤ - 1, то решением системы

в этом случае служит (-1,5; 0,5 (а – 5)).

         При а > 3 получим 0,5 (а – 5) > - 1, следовательно, при этих значениях а решением системы

служит (- 1,5; - 1).

             Таким образом, при 2 < а ≤ 3,  х (- 1,5; 0,5 (а – 5)) U (- 1;  + ∞); при а > 3,

 х (- 1,5; - 1) U (0,5 (а – 5); + ∞).  [6; стр. 65]  

3. Системы уравнений с параметрами

3.1. Системы линейных уравнений с параметрами

Системы линейных уравнений с параметром решаются теми же основными методами, что и обычные системы уравнений: метод подстановки, метод сложения уравнений и графический метод. Знание графической интерпретации линейных систем позволяет легко ответить на вопрос о количестве корней и их существовании.

Например, найдем все значения для параметра а, при которых система уравнений не имеет решений.

Решение.

Рассмотрим несколько способов решения данного задания.

1 способ. Используем свойство: система не имеет решений, если отношение   коэффициентов перед х равно отношению коэффициентов перед у, но не равно отношению свободных членов (а/а1 = b/b1 ≠ c/c1). Тогда имеем:

1/1 = (а2 – 3)/1 ≠ а/2 или систему

Из первого уравнения а2 = 4, поэтому с учетом условия, что а ≠ 2, получаем ответ.

Ответ: а = -2.

2 способ.  Решаем методом подстановки.

или

После вынесения в первом уравнении общего множителя у за скобки, получим:

Система не имеет решений, если первое уравнение не будет иметь решений, то есть

Очевидно, что а = ±2, но с учетом второго условия в ответ идет только ответ с минусом.

Ответ: а = -2.

Пример 2.  Найти все значения для параметра а, при которых система уравнений имеет   бесконечное множество решений.

Решение.

По свойству, если отношение коэффициентов при х и у одинаковое, и равно отношению свободных членов системы, то она имеет бесконечное множество решений (т. е. а/а1 = b/b1 = c/c1). Следовательно 8/а = а/2 = 2/1. Решая каждое из полученных уравнений находим, что а = 4 – ответ в данном примере.

Ответ: а = 4.

3.2. Системы рациональных уравнений с параметрами

Пример 3. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

Решение.

Умножим первое уравнение системы на 2:

Вычтем из первого второе уравнение, получим 5|х| = 4 – а. Это уравнение будет иметь единственное решение при а = 4. В других случаях это уравнение будет иметь два решения (при а < 4) или ни одного (при а > 4).

Ответ: а = 4.

Пример 4. Найти все значения параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

Решение.  Данную систему решим с использованием графического метода. Так, графиком второго уравнения системы является парабола, поднятая по оси Оу вверх на один единичный отрезок. Первое уравнение задает множество прямых, параллельных прямой y = -x (рисунок 1). Из рисунка хорошо видно, что система имеет решение, если прямая

у = -х + а является касательной к параболе в точке с координатами (-0,5; 1,25). Подставив в уравнение прямой вместо х и у эти координаты, находим значение параметра а:

1,25 = 0,5 + а;

а = 0,75.

Ответ: а = 0,75.

Пример 5. Используя метод подстановки, выясните, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

Решение. Из первого уравнения выразим у и подставим во второе:

Приведем второе уравнение к виду kx = b, которое будет иметь единственное решение при k ≠ 0. Имеем:

ах + а2х – а2 – а + 2ах – 2а – 2 = 2;

а2х + 3ах = 2 + а2 + 3а + 2.

Квадратный трехчлен а2 + 3а + 2 представим в виде произведения скобок

(а + 2)(а + 1), а слева вынесем х за скобки:

(а2 + 3а)х = 2 + (а + 2)(а + 1).

Очевидно, что а2 + 3а не должно быть равным нулю, поэтому,

а2 + 3а ≠ 0, а(а + 3) ≠ 0, а значит а ≠ 0 и ≠ -3.

Ответ: а ≠ 0; ≠ -3.

Пример 6. Используя графический метод решения, определите, при каком значении параметра а, система имеет единственное решение.

 
Решение. Исходя из условия, строим окружность с центром в начале координат и радиусом 3 единичных отрезка, именно ее задает первое уравнение системы х2 + у2 = 9.

Второе уравнение системы (у = |х| + а) – ломаная. С помощью рисунка 2 рассматриваем все возможные случаи ее расположения относительно окружности. Легко видеть, что а = 3.

Ответ: а = 3. [8].

4. Заключение

                Итак, я рассмотрела иррациональные, показательные, логарифмические уравнения и неравенства и системы с параметрами, выявила  наиболее рациональные методы их решения, быстро приводящие к ответу.

Кроме того, составила сборник задач для самостоятельного решения уравнений, неравенств и систем с параметрами, с указанием ответов.  Создала электронный учебник «Уравнения,  неравенства и системы с параметрами».

                 Надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче экзаменов по форме ЕГЭ, а сборник задач и электронный учебник пригодится моим сверстникам при подготовке к экзамену. Желаю всем сдать экзамен по математике в форме ЕГЭ на 100 баллов!

4. Литература

1. Гольдштейн З. М,  Корнишевская Г. А, Коротченко Г. А, Кудинова С. Н.

     «Сборник работ по математике для подготовки курсов ТУСУР. Томск, 1999г.

2. Гусев  В. А. «Математика». Москва, «Просвещение», 1990г.

3. Жафяров А.Ж. «Профильное обучение математике старшеклассников»,      Новосибирск, 2003  г.

4. Крейнин  Я. Л. «Уравнения и неравенства с параметрами». Москва, «Просвещение»           1995г

5. Лурье М. В.,  Александров Б. И. «Задачи на составление уравнений». Москва,  «Наука»,    1990 г.

6. Мордкович А. Г.  «Справочный материал». Москва, «Просвещение», 1990г.

7. Ястребинецкий  Г. А. «Задачи с параметрами». Москва, «Просвещение», 1986г

8. http://school.abitu.ru/