УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ЛИПЕЦКОЙ ОБЛАСТИ

ГОБПОУ «Усманский промышленно-технологический колледж»

для специальности (группы специальностей):

Усмань

2019

Составитель:        Полянцева Н.С., преподаватель математики

Методические указания по организации и проведению самостоятельной работы студентов предназначены для обучающихся ГОБПОУ «Усманский промышленно-технологический колледж» специальности  35.02.12 Садово-парковое и ландшафтное строительство для закрепления теоретических знаний и освоения практических умений и навыков.

Методические указания по организации и проведению самостоятельной работы студентов составлены в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины «Математика» специальности 35.02.12 Садово-парковое и ландшафтное строительство и требованиям к умениям и знаниям.

Введение

Методические указания по проведению практических работ составлены в соответствии с содержанием рабочей программы учебной дисциплины «Математика» (дисциплина входит в общеобразовательный цикл базисного учебного плана специальности 35.02.12 Садово-парковое и ландшафтное строительство по программе базовой подготовки).

Практические работы направлены на освоение следующих практических умений и знаний согласно требованиям ФГОС СПО специальности 35.02.12 Садово-парковое и ландшафтное строительство, рабочей программы дисциплины «Математика».

 В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:

• использовать математические методы при решении прикладных задач;
• проводить элементарные расчеты, необходимые в садово-парковом и ландшафтном строительстве;

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

• основные численные методы решения прикладных задач и их применение в садово-парковом и ландшафтном строительстве.

Методические указания по проведению практических работ могут быть использованы студентами для самостоятельной работы, преподавателями на учебных занятиях по математике.

Методические указания к выполнению

практической работы для студентов

1. К выполнению практической работы необходимо подготовиться до начала учебного занятия.
2. При подготовке к практической работе используйте рекомендованную литературу, предложенную в данных методических указаниях, конспекты лекций.
3. К выполнению работы допускаются студенты, освоившие необходимый теоретический материал.
4. По окончании выполнения практической работы проверьте себя, ответив на контрольные вопросы для самопроверки.
5. Если практическая работа не сдана в указанные сроки (до выполнения следующей практической работы) по неуважительной причине, оценка снижается.

 Практическое занятие № 1

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

        Пусть дана матрица

                                                    .

Число  называется определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, и обозначается символами   (det A, ):

==-.

        Определитель  матрицы A размера 2x2 (определитель 2-го порядка) – это число, которое можно найти по правилу: произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Определитель второго порядка содержит две строки и два столбца, числа , , ,  – элементы определителя. Правило вычисления определителя второго порядка можно представить схематически:

                         .

        Количество строк и столбцов в определителе всегда совпадает. Кроме определителей второго порядка существуют определители 3-го, 4-го и т. д. порядков. Определитель 3-го порядка содержит три строки и три столбца:

                                                .

ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА

                            (1)                                       (2)

                Перемножаются элементы, стоящие на левых диагоналях. Одна диагональ, главная, проходит через три элемента, и две диагонали побочные проходят через два элемента, третьим элементом для них является элемент, стоящий в вершине треугольника (схема 1). Аналогично находим произведения элементов, стоящих на правых диагоналях (схема 2). Эти произведения берутся с обратным знаком.

   .

Пример 2.

                                                             .

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПУТЕМ РАЗЛОЖЕНИЯ

ПО ЭЛЕМЕНТАМ СТРОКИ

Прежде чем перейти к следующему правилу вычисления определителя, введем понятие минора и алгебраического дополнения. В определителе

                                        =

вычеркнем одну строку и один столбец, останется определитель второго порядка, который принято называть минором. Например, при вычеркивании первой строки и первого столбца получим минор

                                        .

        При вычеркивании “i”-й строки и “j”-го столбца получим минор . Через  обозначим алгебраическое дополнение элемента . Алгебраическим дополнением элементаопределителя называется его минор, взятый со знакос «плюс», если сумма i+j  - четное число, и со знаком «минус» если эта сумма нечетная т.е.

                                        .

        По свойствам определителя его можно представить в виде суммы:

                                ,

что соответствует разложению определителя по элементам первой строки. Аналогично можно разложить по элементам любой строки или столбца.

        Пример 3.

                        .

        Вычислим определитель разложением по элементам строки. Для определенности выберем первую строку.

Тогда , , .

                                .

         – получен вычеркиванием первой строки и первого столбца.

                                .

         – получен вычеркиванием первой строки и второго столбца.

                                .

Тогда .

Вывод: Вычисление определителей. Определитель  матрицы A размера 2x2 (определитель 2-го порядка) – это число, которое можно найти по правилу:

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).

Определитель матрицы A размера 3x3  (определитель 3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по первой строке»:

Пример 4. Найти:

Решение. При нахождении определителя воспользуемся сначала формулой ,а затем (для вычисления определителей 2-го порядка) формулой .

Содержание практической работы

Вариант 1.

Задание 1. Запишите миноры М11, М13, М22, М23, М31, М32 и алгебраические дополнения А11, А13, А22, А23, А31, А32 определителя:

Задание 2. Вычислить определители:

Справка. Число  i определяется равенством i2=-1. Называется мнимой единицей.

 Задание 3. Вычислить определитель, разложив его по элементам первой строки:

Задание 4. Вычислить определитель, разложив его по элементам третьей строки:

Задание 5. Вычислить определитель по правилу треугольника и, разложив его по элементам первого столбца:

Задание 6. Вычислить определитель:

Практическое занятие № 2

Основной теоретический материал.

Метод Крамера. Применение для систем линейных уравнений.

        Задана система N линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с  неизвестными, коэффициентами при которых являются элементы матрицы , а свободными членами - числа

Первый индекс возле коэффициентов указывает в каком уравнении находится коэффициент, а второй - при котором из неизвестным он находится.

Если определитель матрицы не равен нулю

то система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение. Решением системы линейных алгебраических уравнений называется такая упорядоченная совокупность  чисел , которая при превращает каждое из уравнений системы в правильную равенство. Если правые части всех уравнений системы равны нулю, то систему уравнений называют однородной. В случае, когда некоторые из них отличны от нуля – неоднородной   Если система линейных алгебраических уравнений имеет хоть одно решение, то она называется совместной, в противном случае - несовместимой. Если решение системы единственное, то система линейных уравнений называется определенной. В случае, когда решение совместной системы не единственное, систему уравнений называют неопределенной. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными (или равносильными), если все решения одной системы является решениями второй, и наоборот. Эквивалентны (или равносильны) системы получаем с помощью эквивалентных преобразований.

Эквивалентные преобразования СЛАУ

1) перестановка местами уравнений;

2) умножение (или деление) уравнений на отличное от нуля число;

3) добавление к некоторого уравнения другого уравнения, умноженного на произвольное, отличное от нуля число.

                 Решение СЛАУ можно найти разными способами, например , по формулам Крамера (метод Крамера)

Теорема  Крамера.  Если определитель системы  линейных алгебраических уравнений с  неизвестными отличен от нуля то эта система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:    - определители, образованные с  заменой -го столбца, столбцом из свободных членов.

Если , а хотя бы один из  отличен от нуля, то СЛАУ решений не имеет. Если же , то СЛАУ имеет множество решений.

Задача 1.

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Решить систему методом Крамера

Решение.

Найдем определитель матрицы коэффициентов при неизвестных

Так как , то заданная система уравнений совместная и имеет единственное решение. Вычислим определители:

По формулам Крамера находим неизвестные

Итак единственное решение системы.

Задания для самостоятельного решения:

Решите  систему  уравнений  по  формулам  Крамера                                                                    

Практическое занятие № 3

СПРАВОЧНЫЙ  МАТЕРИАЛ

УПРАЖНЕНИЯ  С  РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Найдите производную функции

Решение: 

Пример 2.  Найдите производную функции:  

Решение:

Пример 3. Найдите производную функции

Решение:

Обозначим , тогда  Воспользуемся формулой  Найдем:

  Тогда  И вообще  Производную данной функции находим сразу как произведение производной степенной функции  на производную от функции :            

Пример 4. Найти производную функции:

Решение: Заменим кубический корень дробным показателем и по формуле:  найдем производную степени: .

Пример 5. Найти производную функции:

Решение: 

Пример 6. Найти производную функции:

Решение:

Пример 7. Найти производную функции

Решение:

Задания для выполнения

1. Найдите производную каждой из данных функций:

а) у=х3;        б) у=sinx;         в) у=tgx;         г) у=ех;               д) у=2х.

2. Вычислите производные:

а) у=3х2;   б) у=4х4;    в) у=;     г) у= ;   д) у=;    е) у=х+ ;    ж) у= .  

3. Вычислите производные:

а) у=2х2-3х+5;         б) у=;           в) у=4-х2;            г) у=х4-х2;           д) у=х5+2х3-;      е);                    ж).

4. Найдите производную данных функций:

а) f(x) = ( 3x7 - )                         б) f(x)=  (3-5х+х2)100                              в) f(x) =                                                             

Ответ: ;                        Ответ: 100(3-5х+х2)99(-5+2х);                Ответ: 21x6+;  

г) f(x) =                                  д) f(x)=                                                             

Ответ:;                         Ответ: ;  

е) f(x) = tgx·cos2x, указание: у=sinxcosx=½sin2x                       ж) f(x) =                                                          

Ответ: ;                                                        Ответ:cos2x;

з) f(x) =                                 и) f(x) = lg(5x2+1)                  к) f(x)=                                                 

Ответ: .                Ответ: ;        Ответ: ;

Практическое занятие № 4

Теоретическая часть

Функция , определенная на интервале , называется первообразной для функции , определенной на том же интервале , если

Если  — первообразная для функции , то любая другая первообразная для функции  отличается от  на некоторое постоянное слагаемое, т. е.  где .

Неопределенным интегралом от функции  называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл:  где

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.

Таблица основных интегралов

1.                            2.

3.                  

4.                                        5.

6.                                         7.

8.                              9.

10.                               11.

12.          13.

14.                    15.

16.                    17.

18.

Пример 1. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы (результат интегрирования проверить дифференцированием):

Решение.

Метод замены переменной

Теорема 1. Пусть монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда

         (1)

При этом, если  то  где — функция, обратная .

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм замены переменной:

1) Связать старую переменную интегрирования  с новой переменной  с помощью замены .

2) Найти связь между дифференциалами .

3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.

4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив

Пример 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.

Решение:

Задания для выполнения

Задание 1. Вычислить интегралы.

1)         

2)         

3)         

Задание 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменного.

1)                                         

2)                         

Практическое занятие № 5

1. Определенный интеграл

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b]. Разобьем этот отрезок на  n частей точками a< x0< x1< x2 <....< xn=b, выберем на каждом элементарном отрезке  xk – 1 ≤  x ≤ xk произвольную точку ξk и обозначим через Δ xk длину каждого такого отрезка.

Интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a; b] называется сумма вида:

   n

 Σ f(ξk) Δxk = f(ξ1)Δ x1 + f(ξ2)Δ x2 +...+ f(ξn)Δ xn

 k=1

Определение. Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a; b] называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю:

Для вычисления определенного интеграла от функции f(x) служит формула Ньютона-Лейбница:

т. е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

2. Основные свойства определенного интеграла

10. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. если а = const, то

20. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.

30. Если a < c < b, то

40. Если функция f(x) неотрицательна на отрезке [a; b], где a < b, то

50. Если f(x) ≥ g(x) для всех x ∈ [a; b], где a < b, то

3. Методы вычисления определенного интеграла

Непосредственное интегрирование

Чтобы вычислить определенный интеграл , нужно:

1) найти какую-нибудь первообразную F(x) для функции f(x) (найти неопределенный интеграл от функции f(x), в котором можно принять С = 0);

2) в полученном выражении подставить вместо x сначала верхний предел a, а затем нижний предел b, и из результата первой подстановки вычесть результат второй.

Пример 1. Вычислить

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница получаем:        =         

=19, 5

Пример 2. Вычислить

Решение. По формуле Ньютона-Лейбница:=

Пример 3. Найти

Решение.  =

Метод замены переменной (метод подстановки)

При вычислении определенного интеграла методом подстановки новая переменная вводится подобно случаю неопределенного интеграла. Однако в отличие от неопределенного интеграл а, где в полученном результате мы снова возвращались к прежнему переменному, здесь этого делать не надо.

Пример. Вычислить

Решение. Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки .  Дифференцируя, имеем:

Находим новые пределы интегрирования. Для этого подставим в соотношение  значения x = 1 и x = 2, соответственно получим:

Следовательно,

=

Интегрирование по частям

Если функции u(x) и v(x) и их производные u′(x) и v′(x) непрерывны в промежутке , то формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид:

Пример. Вычислить

Решение. Положим ,

             Тогда ,

Следовательно,  =

Задания для выполнения

Вычислить определенные интегралы:

Практическое занятие № 6

1. Теоретическая часть

Определение. Криволинейной трапецией (рис. 1) называют фигуру, которая ограничена:      

Утверждение. Геометрический смысл определённого интеграла в том, что его значение равно площади соответствующей криволинейной трапеции:

                                                                                                                              (1)

Рассмотрим различные методы вычисления площадей плоских фигур.

Пример 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: , x=-1, x=2 и осью OX.

Решение: данная фигура (рис. 2) представляет собой криволинейную трапецию, поэтому её площадь вычисляется по формуле (1).

Пусть y=f(x) – непрерывная функция при x[a, b], график которой расположен ниже оси OX (рис. 3). Значение определённого интеграла будет отрицательным, поэтому для расчёта площади берём значение интеграла по модулю.

Пример 2. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции и осью OX.

Решение: данная фигура (рис. 4) расположена ниже оси OX, поэтому применим формулу (2).

Пример 3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и .

Решение: данная фигура (рис. 5)представляет собой разность криволинейных трапеций

Абсциссы точек пересечения находим по чертежу: x1=-2 и  x2=1.

  . Можно записать под один интеграл:

Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и , и координатными осями.

Решение: данная фигура (рис. 6) представляет собой сумму криволинейных трапеций S=S1+S2, где    и  . Получим формулу:

2. Задания для выполнения

Практическое занятие № 6

Краткий теоретический материал

Краткий теоретический материал

Определение. Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины и ее приближенным значением.

Δ = , где Δ – абсолютная погрешность, x – приближенное значение некоторой величины (например, полученное путём однократного измерения этой величины), a – ее точное значение величины,

Δ =   a - x=  Δ  a = x  Δ

Пример 1

Найти абсолютную погрешность приближения 0,44 числа 4/9.

Δ = =

На практике во многих случаях точное значение бывает неизвестно, поэтому абсолютную погрешность найти нельзя. Однако можно дать оценку абсолютной погрешности, если известны приближения с избытком и с недостатком.

Определение.  Границей абсолютной погрешности Δ приближения называется такое положительное число h больше которого абсолютная погрешность быть не может.

Δ =   h

Пример 2

  < 0,0045

x - Δ – Нижняя граница (Н.Г.)          x + Δ – Верхняя граница (В.Г.)

Приближенные числа, как и точные записываются как правило при помощи десятичных дробей. Но если в записи точного числа все его цифры верные, то в приближенном некоторые его цифры верные, а другие являются сомнительными.

Определение. Цифра называется верной (точно значащей), если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы того разряда в котором записана эта цифра. В противном случае она называется сомнительной.

Пример 3

x = 3,7412 0,002  Определить верные и сомнительные цифры.

В.Г. = 3,7412 + 0,002 = 3,7432

Н.Г. = 3,7412 - 0,002 = 3,7392

Верные – 3 и 7, сомнительные 4,1 и 2.

Замечания

В записи приближенного числа сохраняются только верные цифры. x = 3,7

Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то они остаются в записи числа.

x = 0,301 0,001

В.Г. = 0,302  Н.Г. = 0, 300  x = 0,30

В десятичной записи числа значащими цифрами называются все его верные цифры, начиная с первой слева отличной от нуля.

0, 583;  38,57;  38,507;  29,830

Правило округления чисел: Если первая слева отбрасываемая цифра меньше 5, то округляют с недостатком, если это цифра 5 или больше, то округляют с избытком.

Пример 4

 5,739 (с точностью до 0,01) 5,74

 3, 53 (с точностью до целых) 4

 30253 (с точностью до 1000) 30000

Но абсолютной погрешности не достаточно для полной характеристики приближения. Если измерять расстояние между двумя городами, которое равно 100 км, с точность до 1 м, то это будет точное измерение, а если с точность до 1м измерена длина участка земли, которая равна 10м, то это грубое измерение.

Определение. Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к приближенному значению измеряемой величины. Обычно выражается в процентах.

ω  =  ;  ω% =  либо

Т.о. для более полной оценки точности измерений необходимо определить, какую часть, или сколько процентов, составляет абсолютная погрешность от значения данной величины.  

Пример 5

Сравнить точность двух измерений.

d = 4 0,3;   H = 600 0,3

ω(d) =

ω(H) =

Второе измерение более точное.

Варианты заданий  

Вариант 1

1. Найти абсолютную погрешность приближения 0,55 числа 5/8
2. x = 4,7452 0,003  Определить верные и сомнительные цифры
3. Сравнить точность двух измерений:

d = 5 0,3;   H = 500 0,3

Вариант 2

1. Найти абсолютную погрешность приближения 0,77 числа 7/9
2. x = 5,7462 0,002  Определить верные и сомнительные цифры
3. Сравнить точность двух измерений:

d = 4 0,2;   H = 700 0,2

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение абсолютной погрешности приближения.
2. Дайте определение относительной погрешности приближения.

Какая цифра называется верной (точно значащей), а какая цифра - сомнительной?

Практическое занятие 8

Теоретические сведения.

Прежде чем получить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки в прямоугольной системе координат на плоскости, вспомним некоторые факты.

Одна из аксиом геометрии гласит, что через две несовпадающие точки на плоскости можно провести единственную прямую. Другими словами, задав две точки на плоскости, мы однозначно определяем прямую линию, которая через эти две точки проходит (при необходимости обращайтесь к разделу способы задания прямой на плоскости).

Пусть на плоскости зафиксирована прямоугольная декартова система координат Oxy. В этой системе координат любой прямой линии соответствует некоторое уравнение прямой на плоскости. С этой же прямой неразрывно связан направляющий вектор прямой. Этих знаний вполне достаточно, чтобы составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Сформулируем условие задачи: составить уравнение прямой a, которая в прямоугольной декартовой системе координат Oxy проходит через две несовпадающие точки  и .

Оно имеет вид  (или ).

Также мы можем записать параметрические уравнения прямой на плоскости, проходящей через две точки  и . 

Они имеют вид  или .

Нам известно, что канонические уравнения прямой в пространстве вида  и параметрические уравнения прямой в пространстве вида  задают в прямоугольной системе координат Oxyz прямую линию, которая проходит через точку с координатами  и имеет направляющий вектор .

Направляющим вектором прямой M1M2 является вектор , и эта прямая проходит через точку  (и ), тогда канонические уравнения этой прямой имеют вид  (или ).

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Уравнение вида  называется общим уравнением прямой на плоскости. При различных численных значениях A, B и C, в том числе нулевых, оно может определять всевозможные прямые без исключения.

Одна из фундаментальных задач аналитической геометрии - составление общего уравнения прямой по точке, ей принадлежащей, и вектору нормали.

Вектор нормали - это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: . Координаты точки -  и .

Общее уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали составляется по формуле:

Пример 1.

Составьте общее уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости проходит через две точки  и .

Решение.

Сначала напишем каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Оно имеет вид . Теперь приведем полученное уравнение к требуемому виду: .

Ответ: .

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, и заданы две несовпадающие точки  и , через которые проходит прямая M1M2. Получим уравнения этой прямой.

Пример 2.

Напишите уравнение прямой, которая в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве проходит через две точки  и .

Решение.

Мы выяснили, что в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве канонические уравнения прямой, которая проходит через две точки  и , имеют вид .

Из условия имеем , тогда искомые уравнения прямой запишутся как .

Ответ:

.

Пример 3. Составить общее уравнение прямой на плоскости, если она проходит через точку  и вектор нормали к ней .

Решение. Используя формулу , получаем:

или

Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 2) перпендикулярно вектору (3, -1).

Решение. Составим при А = 3 и В = -1 уравнение прямой (Ах + Ву + С = 0.): 3х – у + С = 0. Для нахождения коэффициента С подставим в полученное выражение координаты заданной точки А. Получаем: 3 – 2 + C = 0, следовательно, С = -1. Итого: искомое уравнение: 3х – у – 1 = 0.

Пример 4. Задано общее уравнение прямой на плоскости: . Записать вектор нормали к этой прямой.

Решение. В заданном уравнении , . Поэтому вектор нормали запишется:

.

Задания для выполнения

1.Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(-1;3), В(4;-2).

2. Составить уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки  и .

3. Составить уравнение прямой в пространстве, проходящей через точки М1(-2;4;1) и М2

(-3;2;-5).

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(2,-7) и имеющий нормальный вектор n(1;1).

5. Записать уравнение прямой, проходящей через точку M(-1;2), с нормальным вектором n(1;1).

6. Задана прямая вида 2x+7y−4=02x+7y-4=0, найти координаты нормального вектора.

Практическое занятие 9

Теоретический материал

В повседневной жизни мы часто встречаемся с понятием площади. Мы говорим: площадь квартиры, площадь садового участка и т.д.

Необходимость в понятии «площадь» возникла из жизненных потребностей. В древности люди использовали для измерения длин те измерительные приборы, которые всегда были при себе.

Позже возникла потребность в измерении и сравнении разнообразных «фигур» (н.п. земельных участков). Было необходимо ввести величину, которая характеризовала бы величину той части плоскости, которую занимает фигура. Эту величину назвали площадью.

Измерение площадей является одним из самых древних разделов геометрии. В частности, название “геометрия” означает “землемерие”, т.е. связано именно с измерением площадей. Основы этой науки были заложены в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, т. е. вычислять их площади.

Способы вычисления площади фигуры на клетчатой бумаге.

При изучении вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге я заметил, что все задачи строятся на понятии узла. Узел напоминает узел в рыболовной сетке - пересечение горизонтальных и вертикальных линий. Все задачи достаточно разнообразны и занимательны, они заставляют думать, размышлять, анализировать, искать аналогии.

Три способа вычисления площади выпуклого многоугольника.

Разбиение. Смысл данного способа состоит в том, что многоугольник разрезается на прямоугольники и (или) прямоугольные треугольники с вершинами в узлах сетки.

Тогда площадь фигуры можно сосчитать по формуле: Sф = S1 + S2 + S3.

Дополнение до прямоугольника. Смысл данного способа – это дополнение многоугольника до прямоугольника так, чтобы его стороны проходили через вершины четырехугольника, а затем вычитание лишних частей. Получим, что площадь фигуры равна: Sф = Sпр - (S1 + S2).

Формула Пика. Любая фигура изображенная на листе бумаги делит его на внутреннюю область и внешнюю, а еще есть граничные точки многоугольника. Если обозначить:  В – количество целочисленных точек внутри этой фигуры, Г  – количество целочисленных точек на ее границе, S – площадь фигуры, то S=В+Г/2-1

Рассмотрим следующую фигуру:

Обозначим все внутренние целочисленные точки красными кружками, а те, что на границах – синими. Целочисленные – это те, что лежат на пересечениях сетки (в ее узлах). Считаем те и другие: В=12, Г=4.  Определим теперь площадь по формуле: S=В+Г/2-1=12+2-1=13.

Эта формула получила название формула Пика в честь австрийского математика Георга Пика которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года, опубликованной в Праге.

Формулы для вычисления площадей плоских фигур

Пример 1. Посчитать площадь фигуры различными методами.

Задания для выполнения

Вычислить площади фигур способом разбиения и по формуле Пика (1 клетка=1 см2)

Практическое занятие № 10

Теоретические сведения

Задача на построение - это задача, в которой требуется построить геометрический объект, пользуясь только двумя инструментами: циркулем и линейкой (односторонней и без делений). Решение таких задач состоит не в том, чтобы проделать «руками» соответствующие построения, а в том, чтобы найти алгоритм решения, то есть описать решение задачи в виде последовательности уже известных стандартных построений.

У́гол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами (сторонами угла), выходящими из одной точки (которая называется вершиной угла). 

Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла.

Две прямые называют перпендикулярными, если угол при их пересечении дает 900 градусов.

Перпендикулярность обозначается «⊥», а запись принимает вид a⊥b, что значит, прямая a перпендикулярна прямой b. 

        Задания для выполнения

Задание 1:

Построить середину данного отрезка.

Дано: отрезок АВ.

Построить: середину АВ.

Решение:

Строим с помощью линейки произвольный отрезок АВ.

Далее с помощью циркуля строим две окружности радиуса АВ с центрами в точках А и В.

Получаем две точки пересечения данных окружностей. Обозначим их Р и Q. Проведем с помощью линейки через точки Р и Q прямую РQ.

Точку пересечения прямой РQ и отрезка АВ обозначим О.

Точка О - искомая точка, т.е. точка О - середина отрезка АВ.

Задание 2:

Отложить от данного луча угол, равный данному.

Дано: луч ОМ, А.

Отложить: от луча ОМ угол, равный А.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки А и луч ОА.

Строим с помощью циркуля окружность произвольного радиуса с центром в вершине А.

Точки пересечения окружности со сторонами А обозначаем В и С, соединяем их  с помощью линейки.

Построим с помощью циркуля окружность того же радиуса, как и окружность с центром в вершине А, от начала луча ОМ точке О.

Точку пересечения данной окружности с лучом ОМ обозначим D.

Теперь строим с помощью циркуля окружность радиуса ВС с центром в точке D.

Получаем окружности с центрами в точках О и D пересекаются в двух точках, обозначим одну из этих точек Е.

С помощью линейки проведем луч ОЕ.

МОЕ - искомый угол, т.е. МОЕ = А.

Пример:

Построить биссектрису данного угла.

Дано: А.

Построить: биссектрису А.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки А.

С помощью циркуля строим окружность произвольного радиуса с центром в вершине А.

Точки пересечения данной окружности со сторонами А обозначим В и С.

Теперь проведем две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С.

В зависимости от длины ВС, получим одну или две точки пересечения данных окружностей внутри А. Ту точку, которая лежит внутри угла обозначают буквой и проводят через нее луч с началом в точке А. В нашем случае, получилось две точки пересечения данных окружностей, которые лежат внутри А. Обозначаем одну из них Е и проводим с помощью линейки луч АЕ.

Луч АЕ является биссектрисой данного А.

Задача 4:

Даны прямая и точка на ней. Построить прямую проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Дано: прямая m,  Mm.

Построить: МPm.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки прямую m и отмечаем на ней точку М.

На лучах прямой m, исходящих из точки М, с помощью циркуля откладываем равные отрезки МА и МВ (МА = МВ). Для этого строим окружность с центром в точке М, при этом всю окружность строить не обязательно, достаточно сделать пометки по разные стороны от точки М (смотри выделенное красным).

Затем строим две окружности с центрами в точках А и В радиуса АВ (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и красным цветом).

Данные окружности пересекаются в двух точках, обозначим их Р и Q. Проведем с помощью линейки через точку М и одну из точек Р или Q прямую, например, МР.

МPm.