Простейшие функции и способы их задания, основные свойства.
презентация к уроку по математике

Слайд 1

Лекция № 2 Простейшие функции и способы их задания, основные свойства.

Слайд 2

Содержание Понятие функции Обзор элементарных функций и их графиков

Слайд 3

Понятие функции При изучении природных и технических процессов исследователи сталкиваются с величинами, которые мы разделяем на переменные и постоянные. Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же численное значение; переменной величиной – величина, принимающая различные численные значения. В практических задачах изменение переменной величины связано с изменением одной или нескольких других переменных величин. Переменная х называется независимой переменной или аргументом функции . Переменная у называется зависимой переменной или функцией . Чтобы задать функцию y=f ( x ) , необходимо указать правило, позволяющее, зная х , находить соответствующее значение у . Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический.

Слайд 4

1. Аналитический способ: функция задаётся в виде одной или нескольких формул или уравнений. Пример : Если уравнение, с помощью которого задаётся функция, не разрешено относительно у , то функция называется неявной. Например, 2. Табличный способ: функция задаётся таблицей ряда значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций. На практике часто приходиться пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путём или в результате наблюдений. 3. Графический способ: задаётся график функции. Графиком функции y=f ( x ) называется множество точек ( х;у ) плоскости Оху , координаты которых связаны соотношением y=f ( x ) . Само равенство y=f ( x ) называется уравнением этого графика. Совокупность всех значений аргумента х , для которой функция y=f ( x ) определена, называется областью определения этой функции (обозначают D( f ( x )) или D(у) ) . Совокупность всех значений, принимаемых переменной у , называют областью значений функции y=f ( x ) (Обозначают Е( f ( x )) или Е(у) ).

Слайд 5

Пример1. Найти область определения функции Нам известно, что подкоренное выражение не может быть отрицательным. Запишем это в виде неравенства: Решением этого неравенства является отрезок [-2;2]. Запишем ответ: Функция y = f ( x ) называется чётной (нечётной) , если для каждого х из области определения функции число – х также принадлежит её области определения и выполняется равенство f (- x ) = f ( x ) ( f (- x ) = - f ( x )) . График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а нечётной - относительно начала координат. Пример 2. Какие из следующих функций - чётные, какие – нечётные , а какие не принадлежат ни одному из этих классов: Решение : Следовательно, функция нечётная и её график симметричен (как это видно из рисунка) относительно начала координат. Следовательно , функция чётная и её график симметричен (как это видно из рисунка) относительно оси ординат . Следовательно, ни четная, ни нечётная и её график не является симметричным ни относительно начала координат, ни относительно оси ординат. Функция y=f ( x ) называется периодической , если существует такое число что для каждого х из области определения функции значения х+Т и х-Т также принадлежат её области определения, и при этом выполняются равенства f ( x - T ) = f ( x ) = f ( x + T ) . Число Т называется периодом функции y=f ( x ) .

Слайд 6

Пример 3: Функция y=cos x является периодической с периодом Так как Функция y=f ( x ) называется возрастающей (убывающей) , если для любых из области определения этой функции и таких, что выполняется неравенство Пример 4. Будет ли возрастающей (убывающей) функция : Решение : 1) Выберем два аргумента из области определения данной функции и вычислим значения функции в этих точках . Таким образом на своей области определения данная функция возрастает (см.рис.1). 2) Выберем два аргумента из области определения данной функции и вычислим значения функции в этих точках . Согласно определению данная функция убывает (см.рис.2).

Слайд 7

Обзор элементарных функций и их графиков Многочлен вида где постоянные числа, называемые коэффициентами многочлена; m – натуральное число, называемое степенью многочлена, называется целой рациональной функцией . Эта функция определена на всём множестве действительных чисел. Пример. у=5х-2 . Это линейная функция . 2. Графиком является прямая, для её построения достаточно найти две точки: Эта функция определяется как отношение двух многочленов: Она определена при всех значениях х , кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. Степенная функция – это функция, вида где действительное число. Она определена, при всех значениях х , если натуральное число; при всех х , не равных нулю, если целое отрицательное число, и при всех х >0 , если произвольное действительное число. Пример: График этой функции верхняя ветвь параболы

Слайд 8

Показательная функция Функция вида где Называется показательной . Она определена на всём множестве действительных чисел. Функция вида где называется логарифмической. Она определена при x >0 . Функция y=arcsin x . Здесь у – переменная из сегмента синус которой равен х , т.е. х=sin y . Область определения этой функции – сегмент Функция y=arcos x означает, что x=cos y , причём Функция y=arctg x есть переменная, тангенс которой равен х , т.е. x=tg y , причем х – любое и

Слайд 9

Функция y=arcctg x есть переменная, для которой x=ctg y , где х – любое и Пусть переменная у зависит от переменной и , которая в свою очередь зависит от переменной х , т.е. Тогда при изменении х будет меняться и и , а следовательно будет меняться и у . Значит у является функцией х : Эта функция называется сложной функцией, переменная и называется промежуточной переменой. Указанную сложную функцию называют также суперпозицией функций Степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические функции называются элементарными. Всякая функция, которая получается из основных элементарных путём конечного числа суперпозиций и четырёх арифметических действий, называется элементарной функцией.