Олимпиада, 8 кл
олимпиадные задания по математике (8 класс)

Задача № 1 :

 В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек.
За ход можно переложить спичку из одной кучки в другую.
За какое наименьшее число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками?

Задача № 2 :

Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так,
чтобы произведение оставшихся было точным квадратом.
В ответе укажите сумму всех вычеркнутых чисел.

Задача № 3 :

На гранях кубика расставлены 6 различных чисел от 6 до 11.
Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 36, во второй — 33.
Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 10?

Задача № 4 :

В конкурсе участвовали 5 человек.
На каждый вопрос один из них дал неправильный ответ, остальные — правильный.
Число правильных ответов у Пети равно 10 — меньше, чем у любого другого.
Число правильных ответов у Васи равно 13 — больше, чем у любого другого.
Сколько всего вопросов было в конкурсе?

Задача № 5 :

Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке.
Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого — контрольный пункт.
Петя пробегает участок за 9 мин, Вася — за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин.
Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним.
Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте).
Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

                                                        РЕШЕНИЯ

Задача № 1 :

 В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек.
За ход можно переложить спичку из одной кучки в другую.
За какое наименьшее число ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками?

Ответ : 4.

Решение :

Менее чем 4 ходами не обойтись:
чтобы получить кучку из 8 спичек, придется из любой первоначальной кучки убрать как минимум 4 спички.
Четырех ходов достаточно: перекладываем из кучки с 12 спичками по 2 спички в кучки с 19 и 24 спичками.

Задача № 2 :

Среди целых чисел от 8 до 17 включительно зачеркните как можно меньше чисел так,
чтобы произведение оставшихся было точным квадратом.
В ответе укажите сумму всех вычеркнутых чисел.

Ответ : 55.

Решение :
Чтобы произведение было точным квадратом,
нужно, чтобы каждый простой множитель входил в него в четной степени.
В произведение 8 · 9·...· 17 в нечетной степени входят 2, 7, 11, 13 и 17.
Значит, мы обязаны вычеркнуть сомножители 11, 13 и 17.
А вот чтобы «убить» лишние простые множители 2 и 7, хватит одного вычеркнутого сомножителя 14.
Итого сумма вычеркнутых чисел равна 11 + 13 + 14 + 17 = 55.

Задача № 3 :

На гранях кубика расставлены 6 различных чисел от 6 до 11.
Кубик бросили два раза. В первый раз сумма чисел на четырех боковых гранях оказалась равна 36, во второй — 33.
Какое число написано на грани, противоположной той, где написана цифра 10?

Ответ : 8.

Решение :

Cумма чисел на всех гранях равна 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 51.
При первом броске сумма на верхней и нижней гранях равна 51 – 36 = 15,
при втором — 51 – 33 = 18. Значит, на третьей паре противоположных граней сумма равна 51 – 15 – 18 = 18.
Сумму 18 можно получить двумя способами: 11 + 7 или 10 + 8.
Значит, на парах граней с суммой 18 напротив 11 находится 7, а напротив 10 — 8.

Задача № 4:

В конкурсе участвовали 5 человек.
На каждый вопрос один из них дал неправильный ответ, остальные — правильный.
Число правильных ответов у Пети равно 10 — меньше, чем у любого другого.
Число правильных ответов у Васи равно 13 — больше, чем у любого другого.
Сколько всего вопросов было в конкурсе?

Ответ : 14 .

Решение :
Так как на каждый вопрос были даны 4 правильных ответа, общее число правильных ответов делится на 4.
Поскольку Петя дал 10 верных ответов, Вася — 13, а остальные трое — от 11 до 12, то общее число правильных ответов не меньше, чем 10 + 13 + 3 х 11 = 56, и не больше, чем 10 + 13 + 3 х 12 = 59.
Из чисел в этих пределах только 56 кратно 4, поэтому число вопросов равно 

Задача № 5 :

Команда из Пети, Васи и одноместного самоката участвует в гонке.
Дистанция разделена на участки одинаковой длины, их количество равно 42, в начале каждого — контрольный пункт.
Петя пробегает участок за 9 мин, Вася — за 11 мин, а на самокате любой из них проезжает участок за 3 мин.
Стартуют они одновременно, а на финише учитывается время того, кто пришел последним.
Ребята договорились, что один проезжает первую часть пути на самокате, остаток бегом, а другой — наоборот (самокат можно оставить на любом контрольном пункте).
Сколько участков Петя должен проехать на самокате, чтобы команда показала наилучшее время?

Ответ : 18

Решение :
Если Петя проедет 18 участков и пробежит оставшиеся 42 – 18 = 24, он затратит 18 х 3 + 24 х 9 = 270 мин.
При этом Васе, наоборот,
достанется проехать 24 участка, а пробежать 18, на что уйдет 24 х 3 + 18 х 11 = 270 мин — то же самое время.
Если же Петя проедет меньшее число участков, то его время (и, соответственно, время команды) увеличится.
Если Петя проедет большее количество участков, то увеличится время Васи (и время команды).

Достаточно обозначить число проезжаемых Петей участков через x и решить уравнение

x·3 + (42 – x)·9 = (42 – x)·3 + 11x.