Открытый урок Теорема о трех перпендикуляров
методическая разработка по математике (11 класс)

Тема. Теорема о трех перпендикулярах  

Цели урока:

• Обучающая: знать теорему о трех перпендикулярах и уметь применять ее при решении задач;
• Развивающая: уметь логически мыслить, точно выражать свои мысли, творчески подойти к поставленной задаче;
• Воспитательная: воспитать точность, аккуратность, любовь к предмету; показать красоту предмета.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

• Определение перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной на плоскость;
• Доказательство теоремы о трех перпендикулярах;
• Определение угла между прямой и плоскостью.

Глоссарий по теме

Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Определение: углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Основная литература:

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.

Дополнительная литература:

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим плоскость α и точку А, не лежащую в этой плоскости (рис. 1). Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости α какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний

Фронтальный опрос учащихся.

• Способы задания плоскости;
• Какие прямые в пространстве называются параллельными?;
• Какие прямые в пространстве называются перпендикулярными?;
• Определение перпендикулярности прямой и плоскости;
• Признак перпендикулярности прямой и плоскости;
• Как проверить  перпендикулярность  прямой и плоскости с помощью строительного угольника?;
• Сформулируйте теорему о перпендикулярности плоскости одной из параллельных прямых;
• Что называется перпендикуляром к плоскости?;
• Что называется наклонной к плоскости?;
• Что называется проекцией наклонной на плоскость?;

 3. Изложение нового материала

4.Закрепление нового материала

5.Самостоятельная работа.

6. Задание на дом

Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Задача № 1. Докажите, что в тетраэдре скрещивающиеся ребра перпендикулярны.

У тетраэдра есть три пары скрещивающихся ребер. Докажем перпендикулярность одной пары, другие вы сделаете по аналогии, например, AD ⊥ BC.

На рисунке  есть только наклонная AD и плоскость (ABC), значит, нам не хватает проекции наклонной и перпендикуляра, тогда проведем их:

Тогда, чтобы доказать, что AD ⊥ BC:
1) AH ⊥ BC (если продлить АН до пересечения с BC), т.к. AH является выстой в правильном треугольнике.
2) DH ⊥ (ABC) (по построению, а, значит, перпендикулярно любой прямой, находящейся в этой плоскости) => DH ⊥ BC.

После того, как мы это доказали, можем смело сказать, что AD ⊥ BC 

(всегда дожно быть доказательство двух пунктов, и только тогда вывод).

Задача № 2. Докажите, что в прямом параллелепипеде ребра B₁C и CD перпендикулярны. 

Возьмем B₁C как наклонную к плоскости (ABCD), тогда перпендикуляром будет BB₁, а проекцией наклонной на эту плоскость — BC.

1) BB₁ ⊥ (ABCD) т.к. параллепипед прямой (боковые ребра перпендикулярны плоскости основания) => BB₁ ⊥ CD (если прямая перпендикулярна плоскости, то и перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости).
2) BC ⊥ CD т.к. ABCD — прямоугольник.
3) По т.т.п.: B₁C ⊥ CD. 

Два пункта доказательства, третий пункт вывод. 

Задача № 3. Дана пирамида SABC с высотой AS, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с прямым углом A. Докажите, что  SB⊥ AC. 

Скажем, что BC — наклонная к плоскости (ABC):

1) SA ⊥ (ABC) => SA ⊥ AC
2) AB ⊥ AC ( ABC — прямоугольный треугольник по условию).

3) По т.т.п.: SB ⊥ AC.

Вывод: 

Два пункта доказательство и вывод!
1) Перпендикуляр будет опускаться на плоскость под 90°.
2) Проекция наклонной на плоскость перпендикулярна прямой.
3) По т.т.п. наклонная перпендикулярна прямой.

Задание 4. Через центр О вписанной в треугольник АВС окружности проведена прямая SO, перпендикулярная плоскости треугольника. Доказать, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Доказательство. 1) Так как радиус CO=r перпендикулярен стороне треугольника (рис. 2), то, согласно теореме о трех перпендикулярах, отрезок SA  перпендикулярен этой стороне.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO. По теореме Пифагора

3) Аналогично, можно показать, что

То есть 

Самостоятельная работа

Задача 1.

Из вершины А квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр АК к его плоскости. Докажите, что ВС перпендикулярно КВ.

Доказательство:

Задача 2. 

Из вершины В квадрата АВСD восстановлен перпендикуляр ВМ к его плоскости. Докажите, что АС перпендикулярно МО (О – точка пересечения диагоналей).

Задача 3. 

Из вершины А прямоугольника АВСD восстановлен перпендикуляр АК к его плоскости. Докажите, что треугольник КВС прямоугольный.

Доказательство:

Задача 4.

Из вершины прямоугольника АВСD восставлен перпендикуляр АК  к его плоскости. Расстояния от точки К до других вершин равны 6 см, 7 см, 9 см. Найдите длину перпендикуляра АК.

Задание на дом. Высота прямоугольного треугольника ABC, опущенная на гипотенузу, равна 9,6. Из вершины C прямого угла восставлен к плоскости треугольника ABC перпендикуляр CM, причем CM=28. Найти расстояние от точки M до гипотенузы AB.

Решение.