Проект "От натурального числа до мнимой единицы" Чечина София, 8 класс,2022
проект по математике (8 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

                                   «Еткульская средняя общеобразовательная школа»

                                     Индивидуальный проект по предмету

                                               математика

                                                                  Тема:

« От натурального числа до мнимой                единицы».

Выполнила:           

Чечина София                

обучающаяся 8б класса      

 МБОУ «Еткульская СОШ»    

Наставник:            

Турукина Елена Владимировна

с.Еткуль 2021год

Содержание

   1.  Введение…....................................................................................3                          

     2. Цели и задачи….............................................................................3

     3. Глава 1. Натуральные числа....................................4

     4. Глава 2. Мнимая единица…................7

    5. Глава 3. Практическая часть работы...........................................11

   6. Вывод.............................................................................................12

   7. Используемые источники............................................................13

Введение

     Тема моего проекта: «От натурального числа до мнимой единицы».

Если бы не число и его природа, ничто существующее нельзя было бы постичь им само по себе, ни в его отношениях к другим вещам. Мощь чисел проявляется во всех деяниях и помыслах людей, во всех ремеслах и в музыке» Пифагореец Филолай, 5 в. до н. э. Понятие числа является основным стержнем всего школьного курса математики, пронизывающим этот курс от первого до последнего класса. И, конечно, только в старших классах уместен достаточно полный, систематизирующий взгляд на общую картину завершившегося эволюционного процесса. Я решила написать свою работу учителям математики в поддержку уроков, а также же для расширения кругозора учеников, особо интересующихся математикой.

       Цель моей работы:

Рассказать об истории возникновении большинства существующих видов чисел, отдельно рассмотреть мнимые единицы, выяснить насколько они полезны и найти их практическое применение.

         Задачи:

• Собрать материал по своей теме, «провести» слушателей по всей истории возникновения чисел
•  Узнать что такое мнимая единица?
•  Рассказать о комплексных числах
• Выяснить, а нужна ли вообще мнимая единица  в современном мире?

                            Глава 1. Натуральные числа

Давным - давно… Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел. Самым первым инструментом счета у древнего пещерного человека, безусловно, были пальцы рук. Сама природа предоставила человеку сей универсальный счетный инструмент. У многих народов пальцы (или их суставы) при любых торговых операциях выполняли роль первого счетного устройства. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи вполне хватало. К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног), сорокаричная (суммарное число пальцев рук и ног у покупателя и продавца). У многих народов пальцы рук долгое время оставались инструментом счета и на наиболее высоких ступенях развития.

     Развитие числа Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа .

                      Глава 2. Мнимая единица

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен -1. В математике, физике мнимая единица обозначается латинской буквой i. Введение мнимой единицы позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел.

        Исторические факты.

    Впервые мнимые величины появились в работе Дж. Кардано «Великое искусство, или об алгебраических правилах» в 1545 году. Пользу мнимых чисел при решении кубических уравнений впервые оценил итальянский ученый Р. Бомбелли (1572). Символ i (imaginaire) предложил российский ученый Л. Эйлер (1794). Задача о выражении степени n из комплексного числа была в основном решена в работах английских ученых А. Муавра (1707, 1724) и Р. Котеса (1722). Термин «комплексное число» ввел французский ученый Л. Карно (1803). В употребление термин вошел после работ К. Гаусса (1831). Полное геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе датского ученого К. Весселя (1799). Геометрическое представление комплексных чисел называют иногда «диаграммой Аргана» в честь швейцарского ученого Ж. Аргана.

Практическая часть

1.       В настоящем времени существует семь общепринятых уровней обобщения чисел: натуральные, рациональные, действительные, комплексные, векторные, матричные и трансфинитные (последние я упомянул лишь для ознакомления, они изучаются только на последних курсах высшей математики).
2. Геометрическое представление комплексных чисел называют иногда «диаграммой Аргана» в честь швейцарского ученого Ж. Аргана. Комплексные числа изображаются на так называемой комплексной плоскости. Ось, соответствующая в прямоугольной декартовой системе координат оси абсцисс, называется действительной осью, а оси ординат - мнимой осью (рис.  Комплексному числу z=a+bi будет однозначно соответствовать на комплексной плоскости точка (a;b): z=a+bi↔(a;b). То есть на действительной оси откладывается действительная часть комплексного числа, а на мнимой - мнимая.

    Вывод

«Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием».

                                                                                                            Г.Лейбниц

    Итак, в своей работе я представил вам историю возникновения чисел. Подводя итоги, можно сделать вывод: метод комплексных чисел в применении к решению задач по элементарной геометрии можно изучать старшим школьникам на факультативных занятиях, так как этот метод использует аппарат комплексных чисел, что, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учеников.

Спасибо за внимание!

Источники

• ВикипедиА: https://ru.wikipedia.org/
•  дмш самрина.рф: https://xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/
•  Kopilkaurokov:https://kopilkaurokov.ru/
• ppt4web/ru : https://ppt4web.ru/
•  Webmath: https://www.webmath.ru/

Конформное отображение

Пример конформного преобразования

Основная статья: Конформное отображение

Как уже отмечалось выше, всякая комплексная функция может рассматриваться как преобразование одной комплексной плоскости в другую. Гладкая (аналитическая) функция обладает двумя особенностями: если в заданной точке производная не равна нулю, то коэффициент растяжения/сжатия при этом преобразовании одинаков по всем направлениям, угол поворота также постоянен (конформное отображение)[57]. С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии[58][59] и гидродинамике[60].