Решение дивергентных задач на уроках математики как средство развития творческого мышления
статья по математике

Решение дивергентных задач на уроках математики как средство развития творческого мышления

Автор: Первутинская Любовь Сергеевна, учитель математики

бюджетного общеобразовательного учреждения Республики Алтай

«Республиканский классический лицей»

Одной из особенностей нашего времени является передача однообразной, рутинной работы различным механизмам и, как следствие, появление огромных возможностей для осуществления творческой деятельности. Умение видеть различные пути решения проблем позволяет быстро приспособиться к изменяющимся условиям и легко добиться определенных успехов.  Поэтому, основной задачей современного образования является воспитание человека креативного и критически мыслящего, активно и целенаправленно познающего мир, владеющего основами научных методов познания окружающего мира; мотивированного на творчество и инновационную деятельность (Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования (Утвержден 08.06.2012)).

Математика имеет большие возможности в развитии не только репродуктивного, но и продуктивного (творческого) мышления, которые тесно переплетены в процессе обучения. Огромное количество математических задач, которые содержатся в различных учебных пособиях, могут являться средством развития творческого мышления. Математическая задача пробуждает мысль, развивает креативность мышления, формирует интерес к учению. В большей степени эти слова  можно отнести к некоторым типам дивергентных задач, которые имеют множество способов решения и единственный ответ. Такие задачи всегда присутствуют в небольшом количестве в учебниках алгебры и геометрии, однако опыт показывает, что лишь незначительное число детей видит и понимает смысл разных способов решения подобных задач. Причем эти задачи не обязательно должны быть сложными. Рассмотрим пример на доказательство тригонометрического тождества.

Тождество  * (Алгебра и начала анализа. 10 кл.: В двух частях. А.Г. Мордкович. 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2009 г. Стр. 19, №126, г) можно доказать различными способами:

1 способ. Применим свойство пропорции. Для этого достаточно показать, что произведение крайних членов пропорции равно произведению средних.

Действительно, , т.к.

. Значит равенство верно.

2 способ. Умножим правую и левую части тождества* на :

1=1 – верно, что и требовалось доказать.

3 способ. Вычтем из левой части правую часть: 

Разность левой и правой частей равна 0, значит равенство* верно.

4 способ. Умножим правую и левую части тождества* на :

Левая часть равна правой части, ч.т.д.

4 способ. Разделим левую часть равенства* на правую часть (легко установить, что выражения в левой и правой частях тождества не равны 0):

Частное данных выражений равно 1, значит, они равны.

5способ. Приведем выражение, стоящее в левой части равенства* к правой части:

Что и требовалось доказать.

Доказывая эти тождества, учащиеся применяют способы, которым обучились ранее: преобразование левой части равенства к правой; преобразование обеих частей к верному равенству; использование утверждений о том, что если разность двух выражений равно 0, то данные выражения равны; если частное двух выражений равно 1, то они равны. Мышление, обеспечивающее решение задачи, опираясь на воспроизведение уже известных человеку способов, является репродуктивным. Но в данном случае от учеников требуется определенный уровень самостоятельности, который определяется в умении перенести известную схему доказательства тождества на новый тип заданий, в умении подобрать способ доказательства, формулы тригонометрии. И если, одни дети, применяя пятый способ, преобразовывают левую часть равенства к правой, а другие – правую часть к левой; если, применяя второй способ, умножают обе части равенства на разные выражения; если, преобразовывая тригонометрическое выражение, применяют различные формулы, то здесь и проявляется их творчество, умение решать задачу своим способом, пусть немного, но отличающимся от других. Оригинальность решения позволяет детям понять значимость собственных усилий, повысить самооценку, а значит и мотивацию к изучению математики.

Благоприятные условия для развития творческого мышления создает геометрия. Количество различных методов доказательства геометрических задач очень велико, что позволяет творчески подходить ко многим не сложным задачам.

Рассмотрим решение следующей задачи: в квадрате ABCD со стороной 1 на сторонах AB, BC, CD и DA отмечены точки M, N, K и L соответственно так, что AM+AL+CN+CK=2. Докажите, что прямые MK и NL перпендикулярны. (Задание творческого конкурса учителей математики, газета «Математика», № 2/ 2006 г.)

Для более простой записи решения примем АМ=а, AL=b, CN=c, CK=d.

1. Применение координатного метода.

За оси координат выберем прямые AD и AB (оси ох и оy соответственно), точка А – начало координат.

Тогда А(0; 0), M(0; а), N(1–с; 1), K(1; 1–d), L(b; 0).

Найдем скалярное произведение векторов  и :

Т.к. скалярное произведение ненулевых векторов равно 0, то векторы перпендикулярны, а значит MK⊥LN. Ч.т.д.

2.  Применение векторного метода.

Воспользуемся векторным равенством

Возведём обе части равенства в квадрат:

Выразим произведение  и преобразуем оставшееся выражение, используя следующие свойства и векторные равенства:

1. если ;
2. если ;
3. если ;

Т.к.  и  то в результате преобразований получим , значит . Ч.т.д.

3.  Применение метода площадей.

Воспользуемся очевидными фактами:

SMNKL=*, SMNKL=SABCD–SAML–SMBN–SNCK–SKLD**. Выразив площади треугольников AML, MBN, NCK, KLD, а также  длины отрезков MK и NL через a, b, c, d и подставив в равенство ** вместо SMNKL, MK и NL найденные значения, получим, что , откуда следует, что∠NOK=900. Ч.т.д.

4. Применение тригонометрического метода.

Проведем прямые AN1 и AK1, соответственно параллельные прямым LN и MK. Обозначим ∠N1AB=α, ∠K1AD=β и из треугольников N1AB и K1AD выразим тангенсы углов α и β:  . Тогда

Следовательно, ∠N1AK1=900 Значит,ч.т.д. Аналогичным способом можно получить равенства, .

Другие способы решения данной задачи.

5. Из равенства треугольников N1NL и M1MK (?) следует, что ∠1+∠2=900, значит ∠MON=900 , ч. т. д.

6. Доказательство можно построить на применении теоремы обратной теореме Пифагора, теоремы косинусов или теоремы синусов для Δ AN1K.

Решая одну задачу двумя, тремя и более способами дети не только получают новые знания, но и учатся видеть объект под новым углом зрения, развивают самостоятельность и гибкость мышления, свои интеллектуальные способности.

Систематическое использование дивергентных задач в процессе обучения математике, создание доброжелательной творческой обстановки, призванной поощрять любые идеи и инициативы учащихся в поисках разнообразных решений задач, способствуют развитию творческого мышления, готовят людей, способных мыслить нестандартно, умеющих принимать оригинальные решения в новых условиях.