Комбинаторные задачи
план-конспект урока по математике (6 класс)

Класс 6

Тема и место урока в теме: Комбинаторные задачи (первый из трёх)

Цель: Обеспечить усвоение первоначальных навыков решения комбинаторных задач с помощью различных методов.

Задачи:

личностные: формировать умения                                                                                                     работать в коллективе, парах;                                                                                                          находить согласованные решения;                                                                                      самоконтроля и самостоятельного исправления ошибок;

метапредметные:

•  регулятивные: определяют цель учебной деятельности;
•  познавательные: делают предположения об информации, которая нужна для решения предметной учебной задачи;
•  коммуникативные: умеют отстаивать свою точку зрения, аргументируя еѐ, подтверждая фактами.

предметные:                                                                                                                                      Учатся решать комбинаторные задачи с помощью всех возможных методов (перебора, табличного метода, графов, дерева вариантов). Моделируют ход решения с помощью рисунков и таблиц..

Тип урока Урок первичного предъявления из закрепления новых знаний.

Формы работы учащихся: Фронтальная, парная, индивидуальная

Организация деятельности учащихся на уроке:

-самостоятельно определяют цели урока;

-работают с текстом учебника;

-отвечают на вопросы;

-решают самостоятельно задачи;

-оценивают себя и друг друга;

Необходимое техническое оборудование: Компьютер, проектор, интерактивная доска, учебники по математике, электронная презентация, выполненная в программе Power Point

Ход урока

Сценарий урока «Комбинаторные задачи»

Нередко в жизни возникают ситуации, когда задача имеет не одно, а несколько решений, которые нужно сравнить, а может быть, и выбрать наиболее подходящее для конкретной ситуации. Например, при рассмотрении меню обеда в столовой человек мысленно составляет комбинации из различных первых, вторых и третьих блюд, после чего делает выбор согласно своему вкусу и совместимости продуктов.

 Ситуаций может быть очень много, и сталкиваемся мы с ними ежедневно как в быту, так и в профессиональной деятельности. Приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был наилучшим.

Оказывается, существует целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать оптимальную. Этот раздел называют комбинаторика

Комбинаторика позволяет ответить на вопросы: сколькими способами, сколько вариантов и так далее. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать».

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации, подчинённые тем или другим условиям, из заданных объектов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Некоторые комбинаторные задачи решали еще в Древнем Китае, а позднее -в Римской империи. Однако как самостоятельный раздел математики комбинаторика оформилась в Европе лишь в XVIII в. в связи с развитием теории вероятностей

Что значит решить комбинаторную задачу.

Решить  комбинаторную  задачу – это  значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи.

2.Методы решения комбинаторных задач:

1. метод перебора
2. табличный метод (все условия вносятся в таблицу, в ней же выполняется решение);
3. построение дерева возможных вариантов решений;
4. построение граф - схемы.

1. Метод перебора возможных вариантов

Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.

Способ перебора может применяться в простых задачах, например в таких, как эта:

Задача 1. Для своих двух книг Маша купила три разные обложки. Сколькими различными способами она может обернуть книги купленными обложками?

Ответ: Для решения обозначим обложки буквами а, б, в. Составим из букв всевозможные пары: аб, ав, бв, ба, ва, вб. Всего получилось 6 способов.

2. Табличный метод

Решить комбинаторные задачи можно с помощью таблиц. Они, наглядно представляют решение таких задач.

Задача 2. В школьной столовой приготовили на завтрак плов (П), кашу (К), блины (Б), а из напитков - сок (С), чай (Ч) и молоко (М). сколько различных вариантов завтрака можно составить?

Ответ: 9 вариантов

3. Метод построения дерева возможных вариантов решений

Подбирая различные комбинации, можно запутаться. В этом случае приходит на помощь метод построения дерева возможных вариантов решений. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название. Если его правильно построить, ты не упустишь ни один из возможных вариантов решения.

Задача 3. Катя собирается на выходные. Она может провести их с сестрой или с родителями. Если Катя поедет с сестрой, то она сможет провести выходные или на катке, или в парке, или концерте. Если она поедет с родителями, то она сможет провести выходные или посещая театр, или на выставке, или в музее. Сколько разных вариантов есть у Кати, чтобы провести свои выходные?

ВСЕГО: 6 вариантов

2.4.Метод построения граф-схемы

Все видели схему станций метрополитена, трамвайных путей или карту

железнодорожных сообщений. Точки — города, отрезки или дуги, которые их соединяют — железнодорожные пути. Такие схемы и называют графами.

Итак, если произвольные точки пространства соединены между собой отрезками или дугами (не обязательно все), то такое соединение (схема) называется графом.

Граф — это набор точек, некоторые из которых соединены линиями.

Эти точки называются вершинами. Соединяющие их линии называются ребрами графа.

Граф - это геометрическая фигура, состоящая из точек (вершины графа) и линий, их соединяющих (рёбра графа).

При этом с помощью вершин изображают элементы некоторого множества (предметов, людей и т.д.), а с помощью рёбер - определённые связи между элементами. Для удобства иллюстрации условия задачи, вершины графа могут быть заменены кругами или прямоугольниками

 Задача 4.Аня, Борис, Вика и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

         Ответ. Сыграно 6 партий

Закрепление изученного

1. Решение задач с помощью разных методов

Видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой флаг. Как подсчитать, сколько таких флагов мы можем составить из трех цветных полосок?

Решение этой задачи можно записать разными способами: Таблица вариантов

Ответ: 6 способов.

Дерево вариантов

Работа с учебником.

№844(способ перебора а) ИВТ, ИТВ б)ИВТ,ТВИ,ВТИ,ВИТ)

№845(строим граф)

Резерв. Задача №5

Домашнее задание. Приложение №2

№1

Задача 1. Для своих двух книг Маша купила три разные обложки. Сколькими различными способами она может обернуть книги купленными обложками?

Задача 2. В школьной столовой приготовили на завтрак плов кашу блины , а из напитков – сок, чай и молоко сколько различных вариантов завтрака можно составить?

Задача 3. Катя собирается на выходные. Она может провести их с сестрой или с родителями. Если Катя поедет с сестрой, то она сможет провести выходные или на катке, или в парке, или концерте. Если она поедет с родителями, то она сможет провести выходные или посещая театр, или на выставке, или в музее. Сколько разных вариантов есть у Кати, чтобы провести свои каникулы?

 Задача 4.Аня, Борис, Вика и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно?

Задача 5. Андрей, Борис, Вика и Галя после возвращения из спортивного лагеря подарили на память друг другу свои фотографии. Причем каждый подарил каждому по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено?

№2

Упражнения  выполнить с помощью графов.

1. При встрече каждый из друзей пожал другому руку (каждый пожал каждому). Сколько рукопожатий было сделано, если друзей было пятеро?

2. По окончании деловой встречи специалисты обменялись

визитными карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько всего визитных карточек было роздано, если во встрече участвовали 3 человека?

3. Маше на день рождения подарили три букета цветов:

из роз (р), астр (а) и гвоздик (г). В доме было две вазы: хрустальная (х) и керамическая (к). Маша пробовала устанавливать каждый букет в каждую вазу. Перечислить все полученные сочетания букета с вазой.

4. В каждую из трех ваз: хрустальную (х), керамическую  (к) и стеклянную (с) — пробуют поставить по одному из двух имеющихся букетов цветов: из роз (р) и гвоздик (г). Перечислить все возможные варианты установки каждого букета в вазу.