Публикации
материал по математике (5, 6 класс)

 «Современные подходы в преподавании математики»

Модернизация профессионального образования, реализуемая в настоящее время в рамках апробации и внедрения Федеральных государственных образовательных стандартов на первое место, выдвигает требования к результатам образования, которые должны быть значимы за пределами системы образования.

Государству важно решать эти проблемы целостно. На средние профессиональные образовательные учреждения возложена миссия по выходу качественного продукта, обучающегося, который способен индивидуально усвоенные знания коллективно распределять.

   Миссия педагога заключается в том, чтобы способствовать переориентации и адаптации системы образования в современных условиях.

Сегодня время диктует, чтобы выпускники были в будущем конкурентоспособными на рынке труда. Для этого необходимо не просто вооружить выпускника набором знаний, но и сформировать такие качества личности как инициативность, способность творчески мыслить и находить нестандартные решения.

В формировании многих качеств большую роль играет учебная дисциплина – математика. В новых стандартах образования говорится о том, что “одной из целей математического образования является овладение обучающимися системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности”.

Математическая грамотность обучающихся определяется как «сочетание математических знаний, умений, опыта и способностей человека», обеспечивающих успешное решение различных проблем, требующих использование математики.

  Поэтому в современных условиях, в образовательной деятельности важны ориентация на развитие познавательной активности, самостоятельности обучающихся, формирование умений проблемно-поисковой, исследовательской деятельности. Решить эту проблему старыми традиционными методами невозможно.

Возникновение интереса к математике зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, насколько умело будет построена учебная работа. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и методических приемов, которые активизировали бы мысль обучающихся, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний. Педагогу надо задуматься о том, чтобы каждый обучающийся работал активно, увлеченно, а это использовать как отправную точку для возникновения и развития любознательности, познавательного интереса.

Учение только тогда станет для ребят радостным и привлекательным, когда они сами будут учиться: проектировать, конструировать, исследовать, открывать, т.е. познавать мир в подлинном смысле того слова. Познавать через напряжение сил, умственных, физических духовных. А это возможно только в процессе самостоятельной учебно-познавательной деятельности на основе современных технологий обучения.

Современные педагогические технологии

Технология – это совокупность приемов, применяемых в каком-либо деле, мастерстве, искусстве.

Педагогическая технология есть продуманная во всех деталях модель совместной учебной и педагогической деятельности по проектированию, организации и проведению учебного процесса с безусловным обеспечением комфортных условий для обучающихся и педагога. Педагогическая технология предполагает реализацию идеи полной управляемости учебным процессом.

 К современным педагогическим технологиям относятся:

1.      Личностно-ориентированные технологии обучения

2.      Предметно-ориентированные технологии обучения

3.      Информационные технологии.

4.      Технологии оценивания достижений обучающихся.

5.      Интерактивные технологии.

             Цель педагога -  применяя новые педагогические технологии, научить обучающихся учиться. А как показывает практика, новые образовательные технологии могут быть освоены только в действии.

На учебных занятиях в первую очередь необходимо развивать познавательный интерес к предмету, максимальную опору на активную мыслительную деятельность обучающихся. Главной для развития познавательного интереса являются ситуации решения познавательных задач, ситуации активного поиска, догадок, размышления, в которых необходимо разобраться самому. Начальным моментом мыслительного процесса обычно является проблемная ситуация. Мыслить человек начинает, когда у него появляется потребность что-то понять. Мышление обычно начинается с проблемы или вопроса, с удивления или недоумения, с противоречия. Для этого необходимо использовать проблемные ситуации и помогать их разрешить.

Чтобы обучение стало интересным, нужно проводить нестандартные учебные занятия, которые достигали бы своей цели, обеспечивали качество подготовки обучающихся. Чтобы содержательная и методическая наполненность учебного занятия, его атмосфера не только вооружали обучающихся знаниями и умениями, но и вызывали у детей искренний интерес, подлинную увлечённость, формировали их творческое сознание. Чтобы они шли на учебное занятие без боязни перед сложностью предмета, ведь математика объективно считается наиболее трудным для усвоения учебным предметом.

Интерактивные методы

В своей работе использую игровую технологию, технологию разноуровневого обучения, личностно-ориентированную технологию. Пришла к выводу, что наиболее эффективными являются не отдельно взятые инновации, а их сочетание. Решению этой задачи и способствуют интерактивные методы. Это творческие задания, работа в малых группах, обучающие игры, использование общественных ресурсов, социальные проекты и другие внеаудиторные методы обучения.

Использование информационных технологий в процессе преподавания математики даёт то, что учебник дать не может; компьютер на учебном занятии является средством, позволяющим обучающимся лучше познать самих себя, индивидуальные особенности своего учения, способствуя развитию самостоятельности. Помня слова К.Ф. Гаусса о том, что «математика» " - наука для глаз, а не для ушей", определим, что математика  - это один из тех предметов, в котором использование ИКТ может активизировать все виды учебной деятельности.

Использование компьютерной техники открывает огромные возможности для педагога: компьютер может взять на себя функцию контроля знаний, поможет сэкономить время, богато иллюстрировать материал, трудные для понимания моменты показать в динамике, повторить то, что вызвало затруднения, дифференцировать учебное занятие в соответствии с индивидуальными особенностями.

Формы и методы обучения

Основные формы и методы обучения, способствующие повышению качества обучения математике – это: ролевые игры, деловые игры, семинары, повторительно – обобщающие занятия, конференции, диспуты, диалоги, проблемное обучение, самостоятельная работа, защита рефератов, индивидуальная работа, творческие сочинения, доклады, сообщения; тестирование, программированный контроль, исследовательская работа и др. Все перечисленные технологии обучения способствуют решению проблемы качества обучения.

          Универсально эффективных или неэффективных методов не существует.

Все методы обучения имеют свои сильные и слабые стороны, и поэтому в зависимости от целей, условий, имеющегося времени необходимо их оптимально сочетать.

Заключение

Разнообразие операций-воздействий подлежит обобщению. Их можно описать, ими можно овладеть, однако их нельзя предписать для конкретной ситуации, их нельзя предлагать в качестве решения педагогических задач. Разнообразие технологических операций неизбежно предполагает творческий выбор педагогом одной из них в сложившихся обстоятельствах.

Заслуга математики состоит в том, что она является весьма действенным инструментов к самопознанию человеческого разума. И хотя человек не всегда имеет возможности для создания чего-то нового в той или иной сфере деятельности, но будучи личностью, он тем не менее не может не быть готовым к творческому самовыражению Математика помогает ему, пробуждая творческие потенции. В этом и есть одно из главных предназначений учебного предмета математики.

 Список использованной литературы

1. Осинцева Н.В., Моделирование на уроках математики c использованием информационных технологий

2. Мусина Л.В., «Современные подходы в преподавании математики»

3. Котова И.В., «Компетентностный подход в обучении математики»               

“Счет и вычисления -основа порядка в голове»

Иоганн Генрих Песталоцци

Развитие навыков устного счёта на уроках математики.

Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается ежедневно в своей жизни. Именно поэтому необходимо развивать интерес у школьников к этому предмету. На мой взгляд, развивать познавательный интерес к математике возможно с использования различных видов устного счета.  Устный счёт — это математические вычисления, которые человек выполняет без помощи дополнительных приспособлений и устройств (ручка, бумага, калькулятор, компьютер).

На уроках я увидела, что мои ученики при решении задач и вычислении значений выражений тратят больше времени на выполнении арифметических действий, и у меня возникла идея, подобрать такие приёмы умножения и сложения, которые облегчили бы работу на уроках. Я считаю, что эта тема актуальна, так как на уроках математики постоянно выполняем арифметические действия над числами (не используя, калькуляторы) и умения быстро вычислять.

Упрощает осознание темы и повышает успешность в учебе. Одной основной задачей преподавания курса математики в школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков.

При проведении устного счета учителю необходимо придерживается следующих требований:

• Упражнения для устного счета выбираются не случайно, а целенаправленно.
• Задания должны быть разнообразными, предлагаемые задачи не должны быть легкими, но и не должны быть «громоздкими».
• Тексты упражнений, чертежей и записей, если требуется, должны быть приготовлены заранее.
• К устному счету должны привлекаться все ученики.
• В процессе проведения устного счета должны быть продуманы критерии оценки (поощрение).

Мои исследования состоит в следующем: различные способы устных вычислений существуют и они влияют на скорость работы на уроках математики. Владение навыками устного счёта даёт возможность учащимся выбрать в каждом отдельном случае наиболее рациональные пути вычислений, что приводит не только к дополнительному выигрышу времени при устном счёте, но и к облегчению выполнения письменного и полу-письменного счёта.

Чтобы навыки устных вычислений постоянно совершенствовались, необходимо установить правильное соотношение в применении устных и письменных приёмов вычислений, а именно: вычислять        письменно        только        тогда,        когда        устно        вычислять        трудно. Цель устных упражнений: активизировать внимание детей на уроках математики, сделать процесс учения более интересным, повышать с помощью них познавательный интерес к уроку математики. Задания в занимательной форме более доступны и привлекательны для детей.  Учащиеся незаметно для себя выполняют большое число арифметических действий, упражняются в устных

вычислениях.

Качество вычислительных умений определяется знанием алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированного алгоритма и от понимания принципа его использования. Умение формируется в процессе выполнения целенаправленной системы упражнений. Очень важно владение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыков. Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Такая степень овладения умениями достигается в условиях целенаправленного их формирования. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащимся понятен процесс вычислений и их особенности.

Вот наиболее важные умения и навыки, которые необходимо сформировать у учащихся при выполнении устных вычислений:

1. помнить данные числа;
2. безошибочно применять таблицы сложения и умножения натуральных чисел;
3. выявлять особенности отдельных чисел;
4. знать и применять основные формулы;
5. применять свойства действий над числами.

Владение навыками устных вычислений представляет огромную ценность не только потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками, но и потому, что они ускоряют письменные вычисления, разрешают модернизировать их.

Уровень вычислительных навыков определяется систематичностью закрепления ранее усвоенных приемов вычислений и приобретением новых в связи с изучаемым материалом.

Важную роль в выработке прочных вычислительных навыков играет сохранение преемственности между начальной школой и пятым классом. Заканчивая четвёртый класс, учащиеся должны хорошо знать таблицу умножения, четыре действия с натуральными числами, уметь решать примеры на порядок действий, иметь понятие о геометрических фигурах, знать единицы измерения некоторых величин. В результате прохождения программного материала пятиклассники должны уметь выполнять основные действия с десятичными дробями; применять свойства сложения и умножения (переместительное, сочетательное, распределительное), определять порядок действий при вычислении значения выражения.

К концу пятого класса у учащихся должны быть сформированы следующие навыки:

1. выполнить четыре действия с натуральными числами;
2. находить значение выражения в соответствии с порядком действий;
3. выполнять четыре действия с десятичными дробями;
4. выполнять совместные действия с десятичными дробями и натуральными числами.

В шестом классе к этому добавляются действия с обыкновенными дробями, смешанными числами и действия с отрицательными числами, умение использовать признаки делимости на 10, 2, 5, 3, 9, находить числовое значение выражения с использованием всех действий с десятичными дробями и т.д..

В седьмом и всех последующих классах также необходима систематическая работа по поддержанию навыков устных вычислений, несмотря на непреодолимую тягу учащихся к микрокалькуляторам.

Организация устных вычислений в методическом отношении представляет собой большую ценность. Устные упражнения используются как подготовительная ступень при объяснении нового материала, как иллюстрация изучаемых правил, а также для закрепления и повторения изученного. В устном счете развивается память учащихся, быстрота реакции, воспитывается умение сосредоточиться, наблюдать, проявляется инициатива учащихся, потребность в самоконтроле, повышается культура вычислений. Обращение к устному счету, предусмотренному на уроке, позволит организовать локальное повторение. При обдумывании учителем системы заданий и форм организации устного счета не исключается учет индивидуальной подготовки учащихся, склонностей и способностей к устным вычислениям.

На простых, но разнообразных примерах учащиеся отрабатывают навыки в использовании свойств арифметических действий. Иногда бывает достаточно только изменить порядок действий, проделать несколько простейших преобразований, и вычисления значительно упрощаются. Признавая достоинства устных вычислений, не следует, однако, чрезмерно ими увлекаться. Важно, чтобы устный счет был органически связан с другими этапами урока. Один и тот же набор устных упражнений на уроке в «сильном» классе может развивать имеющиеся навыки счета, а в «слабом» – нести обучающую нагрузку.

Методика устных вычислений на уроках.

Если рассматривать методику устных вычислений с точки зрения системного подхода, тогда метод можно рассмотреть с трех сторон:

1. По виду (способ доставки, транспортировки учебного материала до учащихся):

• слово;
• наглядность;
• практическая деятельность;

2. По характеру (особенности работы с учебным материалом):

• репродуктивный;
• объяснительно-иллюстративный;
• проблемно-поисковый;
• эвристический;

3. По способу осуществления (как осуществляется):

• индуктивный (от частного к общему);
• дедуктивный (от общего к частному);
• продуктивный (по образцу).

При организации устных вычислений предоставляется возможность использования всех методов. Однако стоит помнить, что использование тех или иных методов необходимо учитывать как возрастные особенности учащихся в различных классах, так и целесообразность их применения при изучении конкретных тем. А еще выбор методов зависит от того, какую цель ставит учитель перед учащимися, что он хочет получить в конечном итоге.

Для развития быстроты устных навыков вычислений в течение трёх-четырёх лет обучения на каждом уроке математики необходимо выделять 6–12 минут при проведении устных упражнений согласно преподаваемой теме. Учащиеся незаметно для себя выполняют большее число арифметических действий, упражняются в устных вычислениях.

Формы восприятия устного счета.

1. Беглый слуховой (читается учителем, учеником, записано на диктофоне) – при восприятии задания на слух большая нагрузка приходится на память, поэтому учащиеся быстро утомляются. Однако такие упражнения очень полезны: они развивают слуховую память.
2. Зрительный (презентации, таблицы, плакаты, записи на доске) – запись задания облегчает вычисления (не надо запоминать числа). Иногда без записи трудно и даже невозможно выполнить задание. Например, надо выполнить действие с величинами, выраженными в единицах двух наименований, заполнить таблицу или выполнить действия при сравнении выражений.

3)Комбинированный.

А так же:

-обратная связь (показ ответов с помощью карточек);

-задания по вариантам (обеспечивают самостоятельность);

-упражнения в форме игры (молчанка, продолжи цепочку, стук-стук, хлопки) и др.

Но ни в коем случае устный счет не должен становиться скучным и непривлекательным. Это должна быть яркая, динамичная работа чаще в начале урока, задающая тон всего дальнейшего урока.

Виды устных вычислений.

Нахождение значений математических выражений

Предлагается в той или иной форме математическое выражение, требуется найти его значение. Эти упражнения имеют много вариантов. Можно предлагать числовые математические выражения и буквенные, при этом буквам придают числовые значения и находят числовое значение полученного выражения. Основное назначение упражнений на нахождение значений выражений выработать у учащихся твердые вычислительные навыки, способствуют усвоению вопросов теории арифметических действий.

Беглый счет.

Он проводится следующим образом: учитель называет ряд чисел и действий над ними, например: (3+4-5)*2+8=, или показывает карточки с примерами. Учащиеся отвечают по вызову.

Равный счет.

Учитель записывает на доске строчку, например: 25+63-18=70, далее вызывает ученика и предлагает ему самому записать такую строчку, чтобы в ней получилось 70. Ученик пишет свой пример. Далее предлагается написать такую строчку всему классу, а два-четыре ученика записывают свои строки на доске.

Счет цепочкой (разновидность беглого счета).

На доске учитель записывает длинный пример: ((5*7+17)*3-56):2+15= , делая остановку перед каждым новым действием. Когда учитель ставит знак равенства, ответ у большинства должен быть готов.

Прием дополнения.

Учитель записывает на доске, например 1000, а потом называет одно за другим числа. Ученики должны назвать дополнение до 1000.

Заполнение квадратов.

Чертится квадрат, разбивается на 9 клеток. Дается ряд чисел: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Надо заполнить данными числами все клетки квадрата так, чтобы и в горизонтальных и в вертикальных рядах было в сумме 15.

Сравнение математических выражений

Эти упражнения имеют ряд вариантов. Могут быть даны два выражения, а надо их сравнить. Могут предлагаться упражнения, у которых уже дан знак отношения и одно из выражений, а другое выражение надо составить или дополнить. Главная роль таких упражнений - способствовать усвоению теоретических знаний об арифметических знаний, арифметических действиях, их свойствах.

Решение задач

Для устной работы предлагаются простые задачи. Эти упражнения включаются с целью выработки умений решать задачи, они помогают усвоению теоретических знаний и выработке вычислительных навыков. За годы учебы дети решают очень много задач.

Формирование геометрических знаний на уровне представлений наиболее характерно для детей младшего школьного возраста, т.к. их мышление опирается, в основном, на образы. Главная задача обучения младших школьников геометрии - это подготовка базы для изучения геометрии в средней и старшей школе. Детей надо познакомить не только с длиной, площадью, но и с объемом, научить их практически пользоваться не только линейкой, но и циркулем для выполнения построений. Школьному курсу геометрии традиционно отводится важная роль в развитии учащихся - научить их логическому мышлению, развивать пространственное представление. Геометрические задания будут способствовать развитию пространственных представлений.

Логические задания Позволяют продолжить занятия с учащимися по овладению такими понятиями, как слева, справа, ниже, шире, раньше, дальше и другие. В познании человеком окружающего мира, которое идет от живого созерцания, огромную роль играет уровень развития познавательных процессов: внимания, восприятия, воображения, наблюдения, памяти и мышления. Развитие этих процессов в детском возрасте идет постоянно. Оно будет более эффективным при систематической и целенаправленной работе.

Следует учитывать важнейшие вычислительные умения и навыки по каждой параллели.

В пятом классе у учащихся необходимо закреплять умение выполнять все арифметические действия с натуральными (многозначными) числами.

В шестом классе у учащихся необходимо закрепить умение находить числовое значение выражения с использованием всех действий с десятичными дробями.

В седьмом классе вычислительная техника школьников совершенствуется при выполнении тождественных преобразований над степенями с натуральным показателем, с одночленами и многочленами, при использовании тождеств сокращенного умножения.

Таким образом, проблема устного счета в курсе математики средней школы может быть решена посредством применения упражнений, направленных на выработку навыков устного счета. Практика показывает, что устные занятия по математике – это и одно из сильнейших средств повышения качеств знаний учащихся. При небольшой затрате времени устные занятия позволяют решить на уроке большое количество задач и упражнений по закреплению и углублению изучаемого материала, восстановлению в памяти учащихся ранее пройденного материала.

Я решила рассмотреть приемы быстрого умножения и деления (сложение и вычитание - особого труда                                        не                        составляют). Самые простые приемы, основанные на свойствах арифметических действий (переместительное и сочетательное        свойства        сложения        и        умножения,        распределительное        свойство                умножения относительно сложения), представлены в учебниках математики, но их мы, учителя, часто используем лишь для несложных вычислениях, т.е. применяем лишь в знакомой ситуации. Правила для устного умножения и деления более сложны и представляют особый интерес.

Облегчают эту работу знание признаков делимости чисел. Поэтому интересно рассмотреть приемы быстрого умножения, которые позволяют вычислять рациональным способом, т.е. легче и быстрее приводят к результату арифметического действия. Применение свойств арифметических действий вызывает желание научиться вычислять наиболее быстрыми, лёгкими и удобными способами. Умение рационально выполнять вычисления опирается на осознанное использование законов

арифметических действий, применение этих законов в нестандартных условиях, использование искусственных (универсальных) приемов упрощения вычислений.

Это означает, что в процессе обучения на конкретных простых числовых примерах рассматриваются различные способы прибавления числа к сумме, суммы к числу; вычитания числа из суммы, суммы из числа; умножения суммы на число и др. с целью формирования умения осознанно выбирать те способы, которые позволяют рационально осуществлять процесс вычислений. Опираясь на конкретный смысл арифметических действий, их свойства, связи и зависимости между результатами и компонентами действий, а также десятичный состав чисел, раскрываются приемы устных и письменных вычислений. Такой подход к изучению приемов вычислений обеспечивает, с одной стороны, формирование осознанных умений и навыков, т.к. учащиеся смогут обосновать любой вычислительный прием, а с другой стороны, при такой системе лучше усваиваются свойства действий, их законы и т.д.

Вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема. Любой вычислительный прием можно представить в виде последовательности операций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством.

Способы умножения и деления

1. Умножение и деление на 5,50,500 и т. д.

Умножение на 5,50,500 и т. д. заменяется умножением на 10,100,1000 и т. д. с последующим делением на 2 полученного произведения (или делением на 2 и умножением на 10,100,1000 и т. д.). (50 = 100: 2 и т.д.)

54*5=(54*10):2=540:2=270 (54*5 = (54:2)*10= 270).

Чтобы число разделить на 5,50, 500 и т.д, надо это число разделить на 10,100,1000 и т. д. и умножить на 2.

10800 : 50 = 10800:100*2 =216

10800 : 50 = 10800*2:100 =216

2. Умножение и деление на 25,250,2500 и т. д.

Умножение на 25,250,2500 и т. д. заменяется умножением на 100,1000,10000 и т. д. и полученный результат разделить на 4. (25 = 100: 4)

542*25=(542*100):4=13550 (248*25=248: 4*100 = 6200 )

(если число делится на 4, то выполнение умножения не занимает времени, любой ученик может выполнить).

Чтобы выполнить деление числа на 25, 25,250,2500 и т. д. это число надо разделить на 100,1000,10000 и т.д. и умножить на 4

31200: 25 = 31200:100*4 = 1248.

3. Умножение и деление на 125,1250,12500 и т. д.

Умножение на 125,1250 и т. д. заменяется умножением на 1000,10000 и т. д. и полученное произведение нужно делить на 8. (125 = 1000: 8)

72*125=72*1000:8=9000

Если число делится на 8, то сначала выполним деление на 8 , а потом умножение на 1000,10000

и т. д.

48*125 = 48:8*1000 = 6000

Чтобы разделить число на 125, 1250 и т.д., надо это число разделить на 1000,10000 и т. д. и

умножить на 8.

7000: 125 = 7000:1000*8 = 56.

4. Умножение и деление на 75,750 и т. д.

Чтобы число умножить на 75,750и т. д. надо это число разделить на 4 и умножить на 300, 3000 и т.д. (75 = 300: 4)

48* 75 = 48:4*300 = 3600

Чтобы число разделить на 75,750 и т. д. надо это число разделить на 300, 3000 и т.д. и умножить на 4

7200: 75 = 7200: 300*4 = 96.

5. Умножение на 15.

При умножении на 15, если число нечетное, умножают его на 10 и прибавляют половину полученного произведения: 23х15=23х(10+5)=230+115=345;

если же число четное, то поступаем еще проще — к числу прибавляем его половину и результат умножаем на 10:

18х15=(18+9)х10=27х10=270.

При умножении числа на 150 пользуемся тем же приемом и умножаем результат на 10, т.к.150=15х10:

24х150=((24+12)х10)х10=(36х10)х10=3600.

Точно так же быстро умножить двузначное число (особенно четное) на двузначное, оканчивающиеся на 5:

24*35 = 24*(30 +5) = 24*30+24:2*10 = 720+120=840.

6. Перемножение двузначных чисел, меньших, чем 20

К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на 10 и прибавить к ней произведение единиц данных чисел:

18х16=(18+6)х10+8х6= 240+48=288.

Описанным способом можно умножать двузначные числа, меньшие 20, а также числа, в которых одинаковое количество десятков: 23х24 = (23+4)х20+3х4=27х20+12=540+12=562.

Объяснение:

(10+a)*(10+b) = 100 + 10a + 10b + a*b = 10*(10+a+b) + a*b = 10*((10+a)+b) + a*b . 7.Умножение двузначного числа на 101 .

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено.

Пример:

57 * 101 = 5757 57 --> 5757

Объяснение: (10a+b)*101 = 1010a + 101b = 1000a + 100b + 10a + b

Аналогично производят умножение трехзначных чисел на 1001, четырехзначных - на 10001 и

т.п.

8. Умножение числа на 11

Следует "раздвинуть" цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток

вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

Пример:

34 * 11 = 374, так как 3 + 4 = 7, семерку помещаем между тройкой и четверкой

68 * 11 = 748, так как 6 + 8 = 14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой

17 * 11= 1 (1+7) 7 =187

28 * 11 = 2(2+8)8= (2 + 1) 08 = 308

Объяснение:

10a+b - произвольное число, где a - число десятков, b - число единиц. Имеем:

(10a+b)*11 = 10a*11 + b*11 = 110a + 11b = 100a + 10a + 10b + b = 100a + 10*(a+b) + b,

где мы имеем a сотен, a+b десятков и b единиц. т.е. результат содержит a*(a+1) сотен, два десятка и пять единиц.

43625*11

Составляем произведение: 5 единиц, 5+2=7 десятки, 2+6=8 сотни, 6+3=9 тысячи, 3+4=7 десятки тысяч, 4 сотни тысяч.

43625*11=479875.

Когда множимое заключается в пределах 1000 и 10000 (например, 7543), то можно применить следующий способ умножения на 11.Сначала разбить множимое 7543 на грани, по две цифры, затем найти произведение первой грани (75) слева на 11, как указано в умножении двузначного числа на 11. Полученное число (75*11=725) даст сотни произведения, так как умножали сотни множимого. Потом надо умножить на 11 вторую грань (43), получим единицы произведения: 43*11=473. Наконец, полученные произведения сложим: 825 сот. +473=82739. Следовательно, 7543*11=82739. Рассмотрим ещё пример: 8324*11. 83`24; 83 сот. *11=913 сот.

24*11=264; 913 сот. +264=91564. Следовательно, 8324*11=91564.

8.        Умножение двузначных чисел на 111.

Сначала возьмём множимым такое двузначное число, сумма цифр которого меньше 10.

Поясним на числовых примерах: 45*111.

Так как 111=100+10+1, то 45*111=45*(100+10+1). При умножении двузначного числа, сумма цифр которого меньше 10, на 111, надо в середину между цифрами вставить два раза сумму цифр (т.е. чисел, ими изображаемых) его десятков и единиц 4+5=9. 4500+450+45=4995. Следовательно, 45*111=4995. Когда сумма цифр двузначного множимого больше или равна 10, например 68*11, надо сложить цифры множимого (6+8) и в середину между цифрами 6 и 8 вставить 2 раза единицы полученной суммы. Наконец, к составленному числу 6448 прибавить 1100. Следовательно, 68*111=7548.

9.        Умножение на 22, 33, …,99

Чтобы двузначное число умножить 22,33, …,99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа на 11. Выполнить умножение сначала на однозначное число, а потом на 11:

15 *33= 15*3*11=45*11=495.

10.        Умножение на 37.

При умножении числа на 37, если данное число кратно 3,его делят на 3 и умножают на 111. 27*37=(27:3)*(37*3)=9*111=999

Если же данное число не кратно 3, то из произведения вычитают 37 или к произведению прибавляют 37.

23*37=(24-1)*37=(24:3)*(37*3)-37=888-37=851.

11.        Возведение в квадрат любого двузначного числа.

Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат любого двузначного числа, превышающего 25.

Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю.

Рассмотрим пример:

372=12*100+13*13=1200+169=1369

(М–25)*100+ (50-M) (50-М)=100M-2500+2500–100M+M*М=M*М.

12.        Умножение чисел, близких к 100:

При увеличении (уменьшении) одного из множителей на несколько единиц умножаем полученное целое число и прибавленные (отнятые) единицы на другой множитель и из первого произведения вычитаем второе произведение (полученные произведения складываем)

98 8=(100-2) 8=100 8-2 8=800-16=784.

Данный прием представления одного из сомножителей в виде разности позволяет легко умножать на 9, 99, 999.

Для этого достаточно умножить число на 10 (100, 1000) и из полученного целого числа вычесть число, которое умножали: 154х9=154х10-154=1540-154=1386.

Но еще проще ознакомить детей с правилом — «чтобы умножить число на 9 (99, 999)достаточно вычесть из этого числа число его десятков (сотен, тысяч), увеличенное на единицу, и к полученной разности приписать дополнение его цифры единиц до 10 (дополнение до 100 (1000) числа, образованного двумя (тремя) последними цифрами этого числа):

154х9=(154-16)х10+(10-4)=138х10+6=1380+6=1386

13.        Умножение двузначных чисел, у которых сумма единиц равна 10: Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма равна 10:

М=10m + n, K=10a + 10 – n. Составим их произведение.

M * K= (10m+n) * (10a + 10 – n) =100am + 100m – 10mn + 10an + +10n – n2 = m * (a + 1) * 100 +

n * (10a + 10 – n) – 10mn = (10m) * * (10 * (a + 1)) + n * (K – 10m).

Рассмотрим несколько примеров: 17 * 23= 10 * 30 + 7 * 13= 300 + 91= 391;

33 * 67= 30 * 70 + 3 * 37= 2100 + 111= 2211.

9. Умножение на 9,на 99,на 999.

для умножения многозначного числа на 9 надо приписать к нему справа нуль и вычесть из результата множимое число.

Например:

254* 9= 2540-254=2286 38478* 9=384780-38478=346302

324 * 99 = 32400 – 324 = 32076

546 * 999 = 546000 – 546 = 545454

Умножение на 99; 999 осуществляется

тем же способом, что и на 9. В этих случаях приписывают два, три нуля

и вычитают множимое число.

Для того чтобы найти произведение числа написанного одними девятками на число имеющее с ним одинаковое количество цифр надо от множителя отнять единицу и к получившемуся числу приписать другое число все цифры которого дополняют цифры указанного получившегося числа до 9.

8 * 9= 72;

46 * 99= 4554;

137 * 999= 136 863;

3562 * 9999= 35616438.

Наличие такого способа усматривается из следующего приёма решения приведённых примеров: 8 * 9= 8 * (10 – 1)= 80 – 8= 72,

46 * 99= 46 * (100 – 1)= 4600 – 54= 4554.

10. Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.

Число десятков умножаем на следующее число десятков и прибавляем 25. 15*15 = 225 = 10*20+ 25 ( или 1*2 и приписываем справа 25)

35*35 =30*40 +25= 1225 (3*4 и приписываем справа 25) 65*65 = 60*70+25=4225 (6*7 и приписываем справа 25)

11. Быстрое сложение и вычитание натуральных чисел. 364 +592 = 364 +(592+8) – 8 = 364+600-8=956

997+856 =(997+3)+(856-3) = 1000+853 =1853

1351-994=(1351+6)-(994+6)=1357-1000=357

Если из суммы двух чисел вычесть их разность, то получим удвоенное меньшее число, т.е. (а + в) – (а – в) = 2в

Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то в результате получится удвоенное большее число, т.е.

(а + в) + (а – в) = 2а

Заключение.

На первый взгляд данные способы вычислений кажутся сложными, но, выполняя их многократно, легко запомнить и использовать при решении. Привычка выполнять подобные вычисления устно формирует устойчивый навык, который не раз сыграет добрую службу при изучении более сложного материала.

Список литературы:

1. Бантова М.А. Система формирования вычислительных навыков. // Нач. шк — 1993.-№ 11.-с. 38- 43.
2. Минаева С.С. Вычисления на уроках и внеклассных занятиях по математике. Пособие для учителей/С.С.Минаева -М.: «Просвещение» - 1983. – 145с.