Примеры использования технологии проблемного обучения на уроках математики
методическая разработка по математике (5, 6, 7, 8, 9 класс)

Примеры использования технологии проблемного обучения на уроках математики.

  Технологию проблемного обучения использую в основном на уроках:

• комбинированных (решение познавательных задач разного типа);
• изучения нового материала и первичного закрепления знаний (создание проблемных ситуаций).

  Проблемные ситуации:

Тема «Деление и дроби». (Математика, 5 класс)

Чтобы найти корень уравнения вида ax=b, надо b разделить на a. Если b не делится на a нацело, то уравнение не имеет натуральных корней.

Как объяснить тот факт, что уравнение 5x=1 имеет корень?

Тема «Сравнение десятичных дробей». (Математика, 5 класс)

Как вы полагаете, верно ли выполнено сравнение?  24, 325 < 24, 4.

(Дети как правило отвечают, что неверно).

Сравнение выполнено верно. Как же могло получиться, что число, состоящее из большего числа разрядов, меньше числа, состоящего из меньшего числа разрядов?

Тема «Деление обыкновенных дробей». (Математика, 6 класс)

Постановка проблемы. x= : . (Ученики еще не умеют выполнять деление обыкновенных дробей и вместе с учителем определяют тему урока и ставят перед собой задачи урока).

Тема «Объем прямоугольного параллелепипеда». (Математика, 5 класс)

Длина аквариума 80 см, ширина 45 см, а высота 55 см. Сколько воды надо влить в этот аквариум, чтобы уровень воды был ниже верхнего края аквариума на 10 см?

Проблема: не знают понятие объема и формулу для нахождения объема параллелепипеда.

Учащиеся выбирают необходимую им информацию, используя текст учебника. Обсуждают решение задачи, делают вывод, записывают формулу в тетради.

Тема «Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби». (Алгебра, 8 класс)

После повторения основного свойства дроби:  ставится проблема:«Какое выражение проще вычислить:  или  »?

Оказывается, что вычислить проще, так как делить на рациональное число легче, чем на иррациональное число. Поэтому очень полезно научиться освобождаться от иррациональности в знаменателе. Учащимся предлагается подумать, как это сделать.

)  .

Анализируем, на какое выражение нужно умножить знаменатель, чтобы корни «исчезли». А чтобы дробь не изменилась, воспользуемся основным свойством дроби. Получаем:

Перечисляются операции, которые были выполнены.

Для сильных учащихся можно предложить избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:  .

Тема «Формула корней квадратного уравнения». (Алгебра, 8 класс)

Решить методом выделения полного квадрата следующее уравнение: .

Ребята приступают к работе и выполняют решение так:

           .

Примеры типа , где не является квадратом целого числа, учащиеся ещё не решали. И на этом этапе они обязательно споткнутся. После чего учитель объявляет, что известный ребятам метод выделения полного квадрата универсален, но требует каждый раз громоздких преобразований. Поэтому удобнее, решив квадратное уравнение в общем виде, вывести формулу его корней и в дальнейшем решать квадратные уравнения по этой формуле. Затем учитель объявляет новую тему урока, а ученики психологически готовы её воспринять.

Тема « Умножение обыкновенных дробей». (Математика, 6 класс)

Формулируется следующая проблемная задача: вычислить площадь стола, длина которого  м, а ширина   м. Учителем задается вопрос: какие дроби мы умеем перемножать? Учащиеся: десятичные. Учитель: что нам необходимо сделать, чтобы решить задачу? Учащиеся: представить обыкновенные дроби в виде десятичных  = 0,7;     = 0,3. Учащиеся перемножают десятичные дроби, получают результат 0, 21. Учитель: итак, дробь 0,21 =   и далее просит проанализировать:  =  Учащиеся без труда выводят правило умножения двух обыкновенных дробей. 

Тема «Сумма углов треугольника». (Геометрия, 7 класс)

Учитель сообщает тему урока и дает задание учащимся:

Построить треугольник по заданным углам:

1. А=90°; В=30°; С=90°,

       2) А=70°; В=50°; С=110°;

       3) А=20°; В=50°; С=40°.

Учащиеся пытаются построить треугольники, но это им сделать не удается.  В каждом случае не выполняется условие  о сумме внутренних углов треугольника. Таким образом, создается проблемная ситуация:

-зависит ли сумма внутренних углов треугольника от его размеров, положения на плоскости, формы?

-дается задание: начертить два треугольника, измерить с помощью транспортира внутренние углы и найти их сумму.

Выдвигается гипотеза: сумма внутренних углов треугольника равна 180°, после чего доказывается соответствующая теорема.

  Познавательные задачи:

  Огромное значение для активизации познавательной деятельности имеют познавательные задачи. Если ученик воспринимает задачу как проблему и самостоятельно ее решает, то это есть главнейшее условие развития его мыслительных способностей.

  Виды задач:

1. Задачи с несформулированным вопросом.

Пример: Шоколад стоит 15 руб., коробка конфет 30 руб. Задайте все возможные вопросы по условию данной задачи.

2. Задачи с недостающими данными.

Пример:  Из двух пунктов вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Скорость одного пешехода равна 7 км/ч, а скорость другого – на 1 км/ч больше. Какое расстояние будет между пешеходами через 2 часа?

Учащимся задаются вопросы:

Почему нельзя дать ответ на вопрос задачи?

Чего не хватает?

Что нужно добавить?

Докажи, что теперь задачу точно можно будет решить?

А можно ли что-нибудь извлечь даже из имеющихся данных?

Какое заключение можно сделать из анализа того, что дано?

3.  Задачи с излишними данными.

Пример: Масса 11 ящиков яблок 4 ц 62 кг, а масса 18 ящиков груш 6 ц 12 кг. В магазин привезли 22 ящика яблок и 6 ящиков груш. На сколько килограммов масса одного ящика яблок больше массы одного ящика груш.

4. Задачи с несколькими решениями.

Пример: За три дня в магазине продано 1280 кг яблок. В первый день продали 25% всех яблок, а во второй день – 45% всех яблок. Сколько килограммов яблок продали в третий день? Решите задачу несколькими способами. Какой из них наиболее простой.

5. Задачи с меняющимся содержанием.

Пример 1: 

Первый вариант: Туристы прошли за день 20 км, что составило 40% намеченного маршрута. Какова длина маршрута?

Второй вариант: Туристы прошли за день 20 км, и им осталось пройти 60% намеченного маршрута. Какова длина маршрута?

Пример 2: 

Первый вариант: Девочка прочитала 120 страниц, что составляет  книги. Сколько страниц в книге?

Второй вариант: Девочка прочитала 120 страниц, что составляет  0,2 книги. Сколько страниц в книге?

Третий вариант: Девочка прочитала 120 страниц, что составляет  20 % книги. Сколько страниц в книге?

Пример 3: 

Первый вариант: Машина проехала 180 км, причем за первый час -  этого расстояния. Сколько километров проехала машина за первый час?

Второй вариант: Машина за первый час  проехала 100 км,  что составляет    всего расстояния. Сколько всего километров проехала машина?

1. Задачи на доказательство.  

Пример:  Докажите, что число   + 1 делится на 2.

2. Задачи на логическое рассуждение, соображение.  

Пример 1:  В конкурсе участвовали два класса. Из 5 “а” класса – 50% учащихся, а из 5 “б” – 40%   учащихся.

При подсчете оказалось, что количество участников из каждого класса одинаково. Почему?

Пример 2: Все грани куба покрасили красной краской и распилили его на n3  маленьких одинаковых кубиков. Выведите формулу для нахождения количества кубиков, не имеющих ни одной окрашенной грани.

Для решения учащиеся используют окрашенную модель куба и по ней устанавливают связь между объемом и количеством маленьких кубиков.

Пример 3: Длина плавательного бассейна 200 м, а ширина 50 м. В бассейн налили 2 000 000 л  воды. Как вы полагаете, можно ли плыть в этом бассейне?  

3. Задачи с заведомо допущенными ошибками.  

Пример:  Ване дали задание: найти значение выражения (37 + 34 · 5) : (45 · 3 – 135) .

Он  сказал, что найти значение этого выражения нельзя. Прав ли он?

Частично – поисковый метод обучения на уроках математики

Пример №1. «Сложение отрицательных чисел» (VI класс).

Учитель:    Ребята, вы знаете, что в некоторых играх выигравший получает определённое количество очков, а проигравший – штрафных очков. Какими числами можно выразить количество выигрышных очков и количество   штрафных очков?

Учащиеся: Количество выигрышных очков – положительными числами, штрафных очков – отрицательными.

Учитель:    Игрок за игру получил три штрафных очка, а за вторую – пять штрафных очков. Какое общее количество штрафных очков получил игрок за обе   игры?

Учащиеся: Восемь штрафных очков.

Учитель:    Каким действием вы нашли это количество очков?

Учащиеся: Действием сложения.

Учитель:  Выразите количество штрафных очков отрицательными числами и запишите соответствующее равенство.

Учащиеся: Записывают в тетрадях – 3 + (- 5) = - 8.

Учитель: Каким числом является сумма двух отрицательных чисел: положительным  или отрицательным? Как найден модуль суммы?

        Отвечая на эти вопросы, учащиеся приходят к выводу, что сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное, модуль которого равен сумме модулей слагаемых.

Пример №2. «Сложение чисел с разными знаками» (VI класс).

        Объяснение нового материала начинаю с решения задач:

1. В точку с какой координатой перейдёт точка А(- 5) при перемещении на 5 единиц в право?
2. Температура воздуха ночью была – 4˚С. К десяти часам утра она поднялась на 4˚. Какой стала температура в десять часов?
3. Игрок в одной партии получил 8 штрафных очков, а за вторую партию – 8 выигрышных очков. Чему равен результат игры на конец второй партии?

При решении каждой задачи на доске записываем равенства:

(-5) + 5 = 0;        (-4) + 4 = 0;        (-8) + 8 = 0.

        Далее веду фронтальную работу с классом используя вопросы:

1. Как называются числа 5 и -5; 4 и -4; 8 и -8?
2. С помощью какого действия решались эти задачи?
3. Какой результат был получен?
4. Какой вывод можно сделать?

Учащиеся приходят к выводу, что сумма двух противоположных чисел равна нулю.

Учитель:    Какие модули имеют противоположные числа?

Учащиеся: Противоположные числа имеют равные модули.

Учитель:    Ребята, сложение каких чисел мы ещё с вами не рассмотрели?

Учащиеся: Чисел с разными знаками, модули которых не равны.

Рассматриваем сложение таких чисел с помощью координатной оси.

1)

                              +7

        -5        

        - 5 + 7 = 2

                      -5             0    2

     2)

                                  -9

                                            3

        3 + (-9) = - 6