Методическое пособие по теме "Тригонометрия"
методическая разработка по математике (10 класс)

ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«БЕЛГОРОДСКИЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

по дисциплине «Математика»,

раздел «Тригонометрия»

Белгород, 2016 г.

Методическое пособие для самостоятельной работы студентов 1 курса очной формы обучения по дисциплине «Математика», раздел «Тригонометрия»

Автор:                    Кузьмина Юлия Сергеевна

                                преподаватель ОГАПОУ «БСК».

        Методическое пособие содержит теоретический материал, практический материал и задания для самостоятельной работы студентов с целью изучения и закрепления основ раздела «Тригонометрия».

        Задания для самостоятельной работы студентов очной формы обучения 1 курс по дисциплине «Математика», раздел «Тригонометрия».

ОГАПОУ «БСК», 2016

ВВЕДЕНИЕ

        Слово "тригонометрия" составлено из греческих слов "тригонон" —треугольник и "метрезис" — измерение.

Тригонометрия — математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника. Углы произвольного треугольника нельзя связать непосредственно с его сторонами с помощью алгебраических соотношений. Поэтому тригонометрия вводит в рассмотрение, кроме самих углов, тригонометрические величины (синус, косинус, тангенс, котангенс). Эти величины уже можно связать со сторонами треугольника простыми алгебраическими соотношениями. С другой стороны, по значению тригонометрической величины можно определить угол, и обратно. Правда, эти вычисления требуют длительных и утомительных расчетов, но эта работа проделана раз и навсегда и закреплена в таблицах.

В данном методическом пособии содержится краткий справочный и пояснительный материал по разделу «Тригонометрия», необходимый для решения задач, а также основные типы задач, методика и образцы их решения. Предложены типовые задания для самостоятельной  работы.

Тригонометрические тождественные преобразования.

        В тригонометрии много формул, благодаря чему нередко одно и то же выражение можно преобразовать различными способами.

Если в выражении имеются тангенсы или котангенсы, то надо помнить, что есть значения аргументов, для которых значения этих функций не существуют ( для тангенса и  для котангенса, ).

Следует иметь ввиду, что принято считать, что преобразования какого-либо выражения производятся в его области определения, поэтому можно ее не указывать. Однако некоторые преобразования могут оказаться выполнимыми не для всех допустимых значений переменной. Тогда эти ограничения надо отметить (например, сокращение на выражение с переменной, которое возможно только для значений переменной, не обращающих в нуль сокращаемое выражение).

Пример 1. Упростить выражение .

Решение. 

Ответ. 2tg2x.

В тригонометрических преобразованиях нередко приходится применять формулы приведения. Все возможные случаи обобщаются в виде двух главных правил:

1. Если для приведения используются углы   или , то название функции сохраняется. А если углы   или  , то название функции меняется на сходственное.

2. Знак функции после приведения сохраняется тот же, какой был у нее до приведения (угол, к которому приводим, считается острым).

Эти правила применяются после того, как путем исключения целого числа периодов получили аргумент в границах от 0 до , а также после того, как знак минус у аргумента либо вынесли за знак функции, либо опустили – в зависимости от того, четная она или нечетная.

Пример 2. Доказать тождество .

Решение. Используя правила приведения, получаем

;

;

  (2 четверть);

 (3 четверть).

Из всех возможных путей преобразования получившегося выражения быстрее всего ведет к цели использование формул для  и .

.

Пример 3. Упростить выражение .

Решение. Путь преобразований подсказывается аргументом тангенса

;

,

.

Ответ. .

Пример 4. . Найти .

Решение. Как известно, все основные тригонометрические функции рационально выражаются через тангенс половинного угла.

В частности, . Поэтому найдем из условия  .

. Отсюда  и соответственно .

        Ответ. .

        Пример 5. Упростить выражение .

        Решение. . Вынесение за скобки возможно при  и , а сокращение на общий множитель при  .

        Ответ.  при , , .

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Доказать тождество:

а) ;       в) ;

б) ;           г) .

2. Вычислить при помощи формул приведения:

а) ;   б) .

3. Упростить выражение:

а) ;     в) ;

б) ;                                    г) .  

 Тригонометрические уравнения.

        Формулы решения стандартных тригонометрических уравнений:

;

.

        Следует обратить внимание: в обоих случаях решение состоит из двух серий углов. Для косинуса это очевидно, а для синуса одна серия получается при четных n, а другая – при нечетных. Оба решения уравнения  удалось объединить одной формулой, но, пользуясь ею, важно не терять из виду, что это единая запись двух решений, двух серий углов, для которых . Поэтому прибавляется только половина периода.

.

        Нередко у учащихся вызывает затруднение нахождение значений обратных тригонометрических функций. Поэтому полезно подчеркнуть, что их определения включают два условия: обратимость и область значений, в качестве которой выбирается промежуток монотонности прямой функции, на котором каждое ее значение встречается один раз.

;

;

;

.

        Таким образом, арксинус и арктангенс отрицательных аргументов – это отрицательные острые углы, и  , .

        В отличие от этого арккосинус и арккотангенс отрицательных аргументов – это тупые положительные углы, причем  , .

        Если в уравнении есть тангенсы или котангенсы, или синусы или косинусы в знаменателе, то надо учитывать область определения (ОДЗ), так как возможно появление посторонних корней. В ходе решения надо не забывать, что все преобразования выполняются в ОДЗ. Наконец, напомним, что при использовании некоторых формул область определения сужается и возможна потеря корней. Чтобы ее предотвратить, надо теряемые значения переменной рассматривать отдельно.

        Пример 1. .

        Решение. ОДЗ: .

,     .

        В ОДЗ  . Можно дважды сократить на  :

,       ,       ,

,       ОДЗ.

        Ответ. .

        Пример 2. .

Решение. ОДЗ: .

, . В ОДЗ  и  . Поэтому на  можно умножить, а на  сократить. Получаем .  в ОДЗ может равняться нулю. Этот случай надо рассмотреть отдельно.

        1. . Подставляем в уравнение это решение.

2. . Можно на   сократить: , .

Ответ.  и  .

Пример 3. .

Решение. Воспользовавшись формулами приведения, получаем: . ОДЗ:  и  . Можно умножить обе части на . Получаем .

1. , , , , .

2. . Можно обе части разделить на .

. Есть разные способы решить это уравнение. В данном примере проще всего возвести обе части в квадрат. , . В ОДЗ данного уравнения решений нет.

Заметим, что при других способах решения получаются, но все они не принадлежат ОДЗ, т.е. являются посторонними.

Ответ. .

Общий вид уравнения, которое пришлось решать в предыдущем примере имеет вид  . Здесь возведение в квадрат ничего не даст. Лучший способ – введение вспомогательного угла. Разделим все члены уравнения на . . Теперь коэффициенты при   и   принадлежат промежутку (-1; 1) и сумма их квадратов 1. Поэтому один из них можно принять за , тогда второй будет  .

;  (можно записать левую часть как ). .

Пример 4.

Решение. . . Введем вспомогательный угол:   и  .

;       .

Ответ. , где  .

Пример 5. .

Решение. ОДЗ:   и  . Можно воспользоваться формулой  . Но при этом надо учесть, что в левой части  . В правой части к этому добавляется   и  . Поэтому при использовании этой формулы корни вида  или   можно потерять. В данном примере такие значения может принимать х. Поэтому:

1) х=0  ( при  n=0). Подстановкой убеждаемся, что это корень. Значит, первое решение .

2) . Тогда  . Заменив в правой части исходного уравнения   на  , получаем  . Оба знаменателя в ОДЗ не равны нулю, на их произведение (т.е. на общий знаменатель) можно умножить обе части уравнения. Останется

;       ;       .

        Ответ. ;  .

        Учтя, что при использовании формулы для   ОДЗ сужается, можно было бы сразу левую част представить как  и воспользоваться формулой  для  . Тогда сужения ОДЗ не произошло бы, и оба корня получили бы из квадратного уравнения .

        Пример 6. .

        Решение. ;       . Решение будет только при  n=0 .

;       .

        Ответ. .

        Пример 7. .

Решение. Так как ни  один из множителей не может быть больше 1 и меньше -1, то либо каждый из них равен 1, либо каждый равен -1.

        Можно рассмотреть совокупность двух систем уравнений. Однако есть путь намного удобней. Из формул для   легко получается обратное представление – произведения синуса на косинус через их сумму.

        Итак, . В данном примере это дает ;       , что равносильно системе

        Необязательно решать каждое уравнение. Можно найти решение одного и выбрать из него те значения, которые удовлетворяют и другому уравнению. В данном случае решение второго уравнения (более простого): . Тогда . Таким образом, решение второго уравнения удовлетворяет и первому, и, значит, является решением системы и тем самым решением всего примера.

        Ответ. .

        Пример 8. .

        Решение. . Получаем  . Пусть . Тогда  . Уравнение принимает вид: . Отсюда   или  . Получаемые уравнения  и  решим введением вспомогательного угла.

;       ;       .

        Аналогично во втором случае: .

, так что решение есть.

        .

        Ответ. ,   .

        Пример 9. .

        Решение. Положим   и решаем как иррациональное уравнение, добавив лишь условие  .

              .

;       .

        Ответ. .

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Решить уравнение:

а) ;                        ж) ;

б) ;                          з) ;        

в) ;                     и) ;

г) ;                     к) ;

д) ;              л) ;

е) ;            м) .

Тригонометрические неравенства.

        Для решения стандартных неравенств   и   (или со знаком <) удобно использовать тригонометрический круг. Его радиус равен 1, поэтому значения синуса просто откладываются на вертикальном диаметре, а значения косинуса – на горизонтальном. На промежутке  функция  монотонно возрастает. Поэтому из   следует  и из   следует . Функция   на промежутке  монотонно убывает. Поэтому из  следует  и из   следует . При рассмотрении систем удобно отмечать решения каждого неравенства на координатной прямой и находить их пересечения.

        Пример 1. . 

Решение. Пусть ; ; . На одном периоде котангенс – монотонно убывающая функция, и   для . С учетом периодичности  ,  .

Ответ. .

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Решить неравенство:

а) ;                    г) ;

б) ;                           д) ;

в) ;           е) .

Тригонометрические функции.

При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция   представляется графиком, изображенным на рис.1. Эта кривая называется синусоидой.

Рис.1

График функции  представлен на рис.2; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика  вдоль оси ох влево на /2.

Рис.2

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

- область определения: ; 

- область значений:  ;

- эти функции периодические: их период 2 ;

- функции ограниченные  (|), всюду непрерывные, не монотонные, но 

   имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они  

   ведут себя, как монотонные функции (см. графики рис.1 и рис.2 );

- функции имеют бесчисленное множество нулей.

         Графики функций  и  показаны соответственно на рис.3 и рис.4

Рис.3          Рис.4

Из графиков видно, что эти функции: периодические ( их период ),

неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности

     Область определения и область значений этих функций:

для ;

для .

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Построить график функции:

а) ;     б) ;     в) ;     г) .

2. Решить графически уравнение:

а) ;                   в) ;                 д) ;                        

б) ;                г)  ;           е) .

Основные формулы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Богомолов Н.В. «Практические занятия по математике». –  М., «Высшая школа», 1987 год.
2. Вавилов В.В. и др. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. – М. Наука, 1997.
3. Литвиненко В.Н., А.Г. Мордкович. Задачник-практикум по алгебре. – М. Наука, 1995.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ТРИГОНОМЕТРИЯ

ВВЕДЕНИЕ                                                                                                          1

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ     2

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ                                                      4                                                          

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА                                                 8

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ                                                          9                                                                              

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ                                                                                 11

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ                                                                                  15