Метод весов в задачах на смеси и сплавы
занимательные факты по математике (8, 9, 10, 11 класс)

Метод «весов» в задачах на смеси и сплавы

Леонидов А.И.

Многие задачи по теме «Смеси и сплавы» предполагают составление уравнения и системы уравнений для нахождения решений. Данный тип используется не только в математической практике, но и входит в банк заданий ОГЭ и ЕГЭ.

Некоторые из них можно было бы решить быстрее или использовать предлагаемый способ для перепроверки. В качестве примера рассмотрим задачу: «Смешали 10-процентный и 15-процентный раствор кислоты. Получили 13-процентный раствор массой 20кг. На сколько масса второго раствора больше массы первого?»

Для решения задачи составим краткую запись (рис. 1), обозначив массы сплавов через x и y.

Рис. 1 Краткая запись задачи

Тогда для решения данной задачи необходимо найти разность между y и x. Составим систему на основе данной краткой записи. и решим её. Получим y=12 кг, x=8кг, значит ответ задачи: на 4 кг.

Здесь учащийся сталкивается с решением системы уравнений и не все хорошо осваивают данную тему, а также не исключены арифметические ошибки.

Применим метод «весов» к данной задаче. Заметим, что итоговый процент на 3 больше, чем у первого раствора и на 2 меньше, чем у второго, а значит массы данных растворов будут обратно пропорциональны этому изменению. Тогда масса первого составляет 2 части, а масса второго 3 таких же части. По условию задачи общий вес растворов 20 кг и он состоит из 5 равных частей, отсюда каждая часть весит 4 кг. Кроме того, второй раствор на 1 часть больше первого, поэтому разность масс равна 4 кг.

При использовании такого подхода не пришлось прибегать к решению системы и вычисления проводились только с целыми числами. Для того чтобы это не было частным решением, рассмотрим задачу в общем виде и укажем порядок применения данного метода и типы задач, для которых метод применим.

Пусть имеются два раствора (вещества) с концентрациями c1 и c2, массами m1 и m2 и итоговой концентрацией с, причём c1 < c2. Тогда составим одно из уравнении в данных задачах:  (1). Откуда, выразив отношение масс, получим . Значит можно сделать вывод о том, что массы и разности концентраций обратно пропорциональны. Рассматриваем разности, как положительное изменение концентрации, так как c будет находиться в интервале .

Так как преобразования уравнения были тождественные, то из обратной пропорциональности масс изменениям концентрации получим исходное равенство (1).

Данный способ подходит для решения задач на нахождение массы и концентрации сплава, если известно, что у каждого из сплавов они отличаются на какое-то количество килограмм или процентов. Кроме того, можно находить концентрацию итогового сплава.

Рассмотрим задачу: «Смешали 4 литра 15−процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25−процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?».

Отношение масс растворов равно , значит проценты эти сплавов распределялись в отношении . Поэтому первый раствор увеличил концентрацию на , а второй уменьшил на  по отношению к разности концентраций равной 10%. Тогда итоговая концентрация это  или . Получим 21%. Проверим одним из способов, для этого надо найти значение выражения . Как и в первом варианте ответ 21%.

Возможно, применение данного способа можно расширить на случай трёх сплавов или более сложных конструкций, поэтому предложения и критика приветствуются.