Решение задания 17 ЕГЭ математика профильный уровень
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)

Слайд 1

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!» (Д. Пойа) Дидактический материал по теме «Задание 17 ЕГЭ. Решение экономических задач» Автор: Денисенко Алёна Дмитриевна, у читель математики МБОУ БСОШ №1 им.П.П.Корягина Благовещенского района Алтайского края

Слайд 2

Есть всего два характерных типа «банковских» задач, или задач на кредиты. 1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами . Эта схема еще называется «аннуитет». К первому типу относятся также все задачи, где известны платежи (или дана закономерность именно для платежей ). 2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно . Это так называемая «схема с дифференцированными платежами». Ко второму типу относятся также задачи, где известна закономерность уменьшения суммы долга . В задачах первого типа обычно применяется формула для суммы геометрической прогрессии . В задачах второго типа – формула суммы арифметической прогрессии . И первое, что надо сделать, когда решаете «экономическую» задачу – определить, к какому типу она относится.

Слайд 3

В задачах первого типа обычно применяется формула для суммы геометрической прогрессии . В задачах второго типа – формула суммы арифметической прогрессии . И первое, что надо сделать, когда решаете «экономическую» задачу – определить, к какому типу она относится.

Слайд 4

Пусть S – сумма кредита, n – количество платежных периодов, р – процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент k показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов. 1. Выплаты кредита равными платежами (аннуитет). 2. Равномерное уменьшение суммы долга (схема с дифференцированными платежами) Х – очередная выплата Схема погашения кредита: Раскроем скобки: Применяем формулу суммы геометрической прогрессии. Получим: Схема погашения кредита для n платежных периодов. 1 выплата: 2 выплата: n- ная выплата: Для общей суммы всех выплат применяем формулу суммы арифметической прогрессии: где П - величина переплаты, К первому типу можно отнести все задачи, где одинаковы (или известны) платежи. Ко второму – задачи, где равномерно (или по известной схеме) уменьшается сумма долга.

Слайд 5

1 июня 2013 года Ярослав взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Ярослав переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Ярослав может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей Пусть S – сумма кредита ; p % – процентная ставка банка; Тогда после каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в k раз. . Пусть Х – величина платежа. После первого начисления процентов и первого платежа сумма кредита равна (Sk – X) , после второго (Sk – X)k – X , …., после n- го (( (((Sk – X)k-X)k-X)k - …X)=0 . Преобразуем: Sk n – X(k n-1 + k n-2 + …+ k +1)=0 Заметим , что в скобках – сумма n членов геометрической прогрессии, где . Поскольку , Получим: Из этой формулы находим S, X или n . Если бы банк не начислял проценты, то Ярослав смог бы вернуть долг за 3 месяца. Поскольку банк начисляет проценты, количество месяцев n ≥4. Поскольку проценты начисляются на оставшуюся часть долга, максимальными они будут в первый месяц, когда сумма долга максимальна. Проценты, начисленные за первый месяц, равны 0,01 ∙ 900 = 9 тысяч рублей. Значит, проценты, начисленные за 4 месяца, не превышают 9∙4 = 36 тысяч рублей. За 4 месяца Ярослав сможет выплатить и «тело кредита», и проценты. Нам повезло с условием задачи – сумма долга равна 900 тысяч рублей, а максимальная выплата 300 тысяч рублей. Что делать, если условие не настолько очевидно? Решим эту задачу в общем виде. Схема 1: Аннуитет. Известна информация о платежах.

Слайд 6

1 июня 2013 года Ярослав взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Ярослав переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Ярослав может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей В данной задаче S =900 000; p %=1% , k =1,01, Х ≤ 300 000 Из этой формулы находим n: 900·1,01 n = 300· 1,01 n 1,0309 Перебор для n . Из условия задачи видно , что если бы банк не начислял проценты, то Ярослав смог бы вернуть долг за 3 месяца. Поскольку банк начисляет проценты, количество месяцев больше или равно 4. При n=4 получим 1,01 n = 1,04060 , значит 4 месяца это минимальное количество месяцев на которое Ярослав может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей. Схема 1: Аннуитет. Известна информация о платежах.

Слайд 7

31 декабря 2014 года Тимофей взял в банке 7 007 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Тимофей переводит в банк платёж. Весь долг Тимофей выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа? Расчет будем вести в тысячах рублей. В данной задаче S =7007 тысяч рублей, p %=20% , k =1,2, Х – очередная выплата в тысячах рублей. Решение задачи можно оформить таблицей. Схема 1: Аннуитет. Известна информация о платежах. 31 декабря кредитного года Долг Тимофея на начало кредитного года Сумма платежа Долг Тимофея после внесенного платежа 2014 S 0 S 2015 S·k X Sk – X 2016 (Sk – X)·k X (Sk – X)·k – X 2017 ((Sk – X)·k – X)·k X ((Sk – X)·k – X)·k – X

Слайд 8

Подставим значение переменных S =7007 тысяч рублей, k =1,2. Получим: X=3326,4 тыс.руб =3326400 рублей. За три года Тимофей заплатит: 9979200 рублей. Проведем расчет варианта если бы Тимофей смог выплатить долг за 2 равных платежа. Пусть у рублей – платёж, который Тимофей переводит в банк, Схема 1: Аннуитет. Известна информация о платежах. ((Sk – X)·k – X)·k – X =0 , раскроем скобки: Sk 3_ X(k 2 + k + 1)=0 31 декабря кредитного года Долг Тимофея на начало кредитного года Сумма платежа Долг Тимофея после внесенного платежа 2014 7007000 0 7007000 2015 7007000+0,2*7007000=8408400 у 8408400 – у 2016 1,2(8408400 – у)=10090080 – 1,2у у 10090080 – 2,2у

Слайд 9

Схема 1: Аннуитет. Известна информация о платежах. 31 декабря кредитного года Долг Тимофея на начало кредитного года Сумма платежа Долг Тимофея после внесенного платежа 2014 7007000 0 7007000 2015 7007000+0,2*7007000=8408400 у 8408400 – у 2016 1,2(8408400 – у)=10090080 – 1,2у у 10090080 – 2,2у Так как весь долг Тимофей выплатил за 2 равных платежа, то 10090080 – 2,2у=0, т.е. у=4586400. За два года Тимофей заплатит: 2у=9172800 Найдем разность: 2у – 3х = 9979200 – 9172800=806400 Ответ: на 806400 рублей меньше Тимофей бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа

Слайд 10

31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5% ), затем Савелий переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа? Задача для самостоятельного решения Обратите внимание, что коэффициент k лучше записать в виде обыкновенной дроби, а не десятичной. Иначе при возведении в степень вы получите 9 знаков после запятой.

Слайд 11

Решение. Пусть S = 7378000 = 7378 ·10 3 рублей, p =1 2 ,5%= , X - сумма ежегодной выплаты для трех платежей, Y – сумма ежегодной выплаты для двух платежей. Составим схему для трех платежей: ((( S·k – X)·k – X)·k – X=0 Раскроем скобки: S·k 3 – X(k 2 + k + 1)=0 Выразим X из уравнения: X = . В этом случае Савелий выплатит банку 3X рублей. Составим схему для двух платежей: (( S·k – Y)· k – Y =0 Раскроем скобки: S·k 2 – Y (k + 1)= 0 Выразим Y из уравнения: Y = . В этом случае Савелий выплатит банку 2 Y рублей . Найдем разность 3X – 2Y= = . Подставим числовые значения, получим 506250 рублей. Ответ: 506250 рублей

Слайд 12

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысяч рублей? Решение. Расчеты будем вести в тысячах рублей. Пусть S – сумма, которую планируется взять в кредит, Z – общая сумма выплат, Z = 1604 (тыс. рублей). Х - ежемесячное уменьшение суммы долга, Х = 30 (тысяч рублей), p=3 % - процент, начисляемый банком ежемесячно. После первого начисления процентов сумма долга равна После каждого начисления процентов сумма долга увеличивается в раза . В нашей задаче k = 1,03.

Слайд 13

1. Выплаты кредита равными платежами (аннуитет). 2. Равномерное уменьшение суммы долга (схема с дифференцированными платежами) Х – очередная выплата Схема погашения кредита: Раскроем скобки: Применяем формулу суммы геометрической прогрессии. Получим: Схема погашения кредита для n платежных периодов. 1 выплата: 2 выплата: n- ная выплата: Для общей суммы всех выплат применяем формулу суммы арифметической прогрессии: где П - величина переплаты, Определим, к какому типу относится задача. Долг уменьшается равномерно (по условию, 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца). Значит, это задача второго типа.

Слайд 14

После первого начисления процентов сумма долга равна kS . Затем, после первой выплаты, сумма долга равна S – X, где Х = 30 (тысяч рублей). Значит, первая выплата равна kS – (S – X ), Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X ), и т.д. Последняя выплата: k ( S – 20 X). Найдем общую сумму выплат Z. Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – 20X) = k( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X ). Мы сгруппировали слагаемые, содержащие множитель k, и те, в которых нет k. Упростим выражения в скобках : k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) = Z. В задачах этого типа (когда сумма долга уменьшается равномерно) применяется формула для суммы арифметической прогрессии:

Слайд 15

В этой задаче мы тоже ее используем. k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) = Z. Получим : k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 Х = S (21k – 20) – 210 X (k-1) = Z. Осталось подставить числовые значения. S ( 21⋅ 1,03 – 20) – 210 ⋅ 30 ⋅ 0,03 = 1604. Отсюда S = 1100 тысяч рублей = 1 100 000 рублей.

Слайд 16

Следующая задача относится к тому же типу. Математическая модель та же самая. Только найти нужно другую величину – процент, начисляемый банком. К тому же количество месяцев, на которое взят кредит, неизвестно. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы: —1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; — cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n- го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей. S = 1000000 рублей = 1000 (тыс. рублей) – сумма кредита, Х = 40 (тыс. рублей) – ежемесячное уменьшение суммы долга, Z = 1378 (тыс. рублей) – общая сумма выплат, - коэффициент, показывающий, во сколько раз увеличилась сумма долга после начисления процентов.

Слайд 17

Первая выплата: kS – (S – X). Вторая выплата: k (S – X ) – ( S – 2X). И т.д. Последняя выплата: k ( S – n X). По условию, 15-го числа n- го месяца долг составит 200 тысяч рублей. Значит , S – nX = 200. Подставим числовые данные : 1000 – 40 n = 200; тогда n = 20, n + 1 = 21, то есть кредит был взят на 21 месяц. Общая сумма выплат Z : Z = kS – (S – X) + k (S – X ) – ( S – 2X) + … + k ( S – X) = = k ( S + S – X + S – 2X + … + S – 20 X) – ( S – X + S – 2X + … + S – 20X) = = k (21S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) – (20S – X (1 + 2 + 3+ … + 20)) = = k (21 S – 210X ) – 20 S + 210 Х = S (21k – 20) – 210 X (k-1 )= Z . Выразим k из формулы : Подставим данные из условия задачи Ответ: r = 3%.

Слайд 18

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей; — к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита. Задача для самостоятельного решения

Слайд 19

Решение. Для удобства ведем расчеты в тысячах рублей. S = 300 (тыс. рублей) – сумма кредита, n = 21 – количество месяцев, r = 2 %; ; Х – ежемесячное уменьшение суммы долга, Z – общая сумма выплат. Рисуем ту же схему, что и в предыдущей задаче. По условию, 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей. Значит, S – 20 X = 100. Подставив данные из условия, найдем, что Х = 10. Точно так же считаем сумму выплат (смотри задачи 1 и 2). Z = S (21k – 20) – 210 X (k-1). Подставляем данные из условия: Z = 300 (21 ⋅ 1,02 – 20) – 210 ⋅ 10 ⋅ 0,02 = 384 (тыс. рублей). Ответ: 384000 рублей.

Слайд 20

В презентации использованы материалы сайта https://ege-study.ru/teacher/anna-georgievna-malkova /