МБОУ «Карагачская средняя общеобразовательная школа»

Применение подобия к доказательству теорем и

решению задач

урок обобщения и коррекции знаний

по геометрии  в 8 классе

Учитель математики

Маркова Валентина Викторовна

2019 г

Тема урока:   Применение подобия к  доказательству теорем и решению задач.

Цели урока:

• повторить основные теоретические положения темы «Подобие треугольников и применение подобия к доказательству теорем и решению задач»;
• закрепить сформированные  умения и навыки решения задач на применение определения и признаков подобия треугольников, свойств биссектрисы и медиан треугольника, на нахождение пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике.

Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал.

Ход урока.

1. Организационный момент.

 Учитель.  Учитель зачитывает отрывок из романа Жюля Верна  «Таинственный остров».   

-…Остановившись шагах в двадцати от кромки моря и шагах в пятистах от гранитного пляжа, Сайрес Смит воткнул жердь в песок и старательно выпрямил её, добившись путём выверки отвесом, чтобы она стояла перпендикулярно к плоскости горизонта.

     Сделав это, Сайрес Смит  отошел и лёг на землю на таком расстоянии, чтобы в поле его зрения находился и верхний конец жерди и гребень гранитной стены. Это место он отметил на песке колышком и, повернувшись к Герберту, спросил:

-Ты знаком с геометрией?

- Немножко, мистер Сайрес, - ответил Герберт, боясь попасть впросак.

- Помнишь свойства подобных треугольников?

- Да, - ответил юноша,- у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны друг другу.

- Так вот, дитя моё, у меня тут два подобных треугольника, - один поменьше, в нём двумя сторонами будут: жердь, воткнутая перпендикулярно в песок, и прямая, равная расстоянию от нижнего конца жерди до колышка, а гипотенузой – мой луч зрения; у второго треугольника сторонами явятся: отвесная линия гранитной стены, высоту которой нам нужно измерить, расстояние от колышка до подошвы стены, а в качестве гипотенузы – мой луч зрения, то есть продолжение гипотенузы первого треугольника.

 - Понял, мистер Сайрес! Я всё понял!- воскликнул Герберт.

Учитель:

-Ребята, как вы думаете, о чем мы будем говорить на сегодняшнем уроке?

Учащиеся рассуждают, делают общий вывод:

- Об использовании  признаков подобия треугольников при решении практических задач.

 Учитель:

-Какая будет цель нашего урока?

Учащиеся:

- Рассмотреть использование  подобия треугольников при решении практических задач.

Учитель:

- Великий П. Чебышев утверждал: «Сближение  теории и практики даёт самые благотворные результаты, и не одна только практика выигрывает: сама наука развивается под влиянием её».

Учитель:                                                                                                                                                                                                                             

- Но прежде чем решать практические задачи, проверим, как вы усвоили теоретические знания по данной теме.

2. Повторение теоретического материала.

Беседа о понятиях равенства и подобия треугольников    (Презентация 1, слайд1)

  Ученик читает со слайда: «Подобие, наряду с равенством, является одним из важнейших геометрических отношений. Если равенство объектов мы понимаем как «одинаковость» и по форме, и по размеру, то подобие объектов означает  их «одинаковость» только по форме. Примером могут служить две фотографии, отпечатанные с одного негатива: на бумаге большего формата и на бумаге меньшего формата. Изображения одного и того же объекта будут различаться только по размеру».

(На слайде 1 учитель «кликает мышкой» на изображения; изображения масштабируются, иллюстрируя интуитивный смысл подобия)

        Прежде чем повторить определение подобных треугольников, вспомним определение пропорциональных отрезков  (Презентация 1, слайд 2)

(Учитель предлагает устно указать пары пропорциональных отрезков. Кликая мышкой на варианты, выбранные учениками, он проверяет правильность ответов. На экране верные ответы закрашиваются зеленым цветом, неправильные – красным.

Вопросы учителя  и предполагаемые ответы

1. Дайте определение подобных треугольников.

     (Два треугольника  называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.)

2. Задача 1. Найдите и выпишите в  тетрадь пары подобных треугольников (Презентация 1, слайд 3). Не забывайте указывать вершины подобных треугольников в соответствующем порядке.

(Для проверки ответов учащихся, преподаватель «кликает» на экране по соответствующим треугольникам, в случае правильного выбора треугольники закрашиваются одним и тем же цветом.)

3.  Задача 2  (Презентация 1, слайд 4).  Ответить на вопросы:

         3.1. Как называется отношение сходственных сторон подобных треугольников?

        3.2 . Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному. Найдите k.

        3.3.Если  k=1, что можно сказать о подобных треугольниках?

        3.4. Как относятся периметры подобных треугольников?

        3.5. Как относятся площади подобных треугольников?

4.  Задача 3. Перечислите признаки подобия треугольников (Презентация 1, слайд 5).

(учитель «кликает « на название признака – начинает проигрываться анимация)

         А) 1 признак подобия треугольников (Презентация 1, слайд 5).

(Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.)

         Б) 2 признак подобия треугольников (Презентация 1, слайд 5).

 ( Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны)

         В) 3 признак подобия (Презентация 1, слайд 5).

(Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие  треугольники подобны.)                

5. Дайте определение средней линии треугольника.

(Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух  сторон

треугольника.)

6. Сформулируйте теорему о средней линии треугольника.

(Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.)

7. Что называют медианой треугольника?

(Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.)

8. Каким свойством обладают медианы треугольника?

(Медианы треугольника пересекаются в одной точке и, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.)

9. Свойство биссектрисы треугольника.

(Биссектриса треугольника  делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.  

3.ВЗАИМОКОНТРОЛЬ. РАБОТА В ПАРАХ.

 1.  Доказать теорему о средней линии треугольника (один учащийся рассказывает другому.)

2.  Доказать свойство медиан треугольника  (один обучающийся рассказывает другому)

3.  Данила  -   Тесты по геометрии, тема  III, вариант  II;    А1, А4, А5, А6,А8,В3.

  Ответы: а, г, б, в, в, 5

4. ЗАДАЧИ НА ГОТОВЫХ ЧЕРТЕЖАХ.

Задача 4.  Выпишите подобные треугольники и укажите признак подобия .

(Презентация 1, слайды 6,7,8,9,10).

(Для проверки учитель «кликает»  на картинку на экране.  При наведении на название треугольника соответствующий треугольник закрашивается цветным маркером – для более легкого восприятия слабыми учениками)

Задача 5. Напомните правила обозначения отрезков в прямоугольном треугольнике .

 (Презентация 1, слайд 8).

(После ответа ученика учитель «кликает» на соответствующий отрезок, появляется обозначение.)

Напомните  утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.

• В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.
• Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Презентация 2. Задачи по готовым чертежам. 1-6

Ответы:

№4.     3:12 =2:х, АС=8, АВ= 6

№5       7:11 = 5:х, х=55/7

№6      16:12 = ВD:8, ВD= 9

5.Самостоятельная работа.

Тест на установление истинности и ложности высказываний

 (Задания  отпечатаны на листе, раздать каждому)

 (Отвечать «да» или «нет» )

1. (1балл) Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны.

2.(1 балл) Два равносторонних треугольника всегда подобны.

3.(1 балл) Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

      4.(1 балл) Стороны одного треугольника имеют длины 3 см, 4 см, 6 см,

          стороны другого 9 см, 14 см, 18 см. Подобны ли эти треугольники?

5.(1балл) Периметры подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

6.(2 балла) Если два угла одного треугольника равны 60° и 50°, а два угла другого треугольника равны 50° и 80°, то такие треугольники подобны.

7.(2 балла) Два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому углу.

8.(2 балла) Два равнобедренных треугольника подобны, если их боковые стороны пропорциональны.

9.(3 балла) Если отрезки гипотенузы, на которые она делится высотой, проведенной из вершины прямого угла, равны 2 см и 8 см, то эта высота равна 4 см.

10. (3балла) Если медиана треугольника равна  9 см, то расстояние от вершины треугольника до точки пересечения медиан равно 6 см.

Форма проверки – самопроверка.

КЛЮЧ К ТЕСТУ.  1. Да. 2. Да. 3. Да.  4. Нет. 5.Нет. 6. Нет. 7. Да. 8. Нет. 9. Да. 10. Нет.

15 -17 баллов -  «5»

11- 14 баллов – «4»

5-10 баллов – «3»

Менее 5 баллов –«2»

Домашнее задание.  

1уч-ся   - инд.задание. Тесты, вариант 1, Часть 3

Рогожин Влад - инд.задание. Тесты, вариант 2, Часть 3

Остальные: РТ № 64, №68.

+ творческое задание поискать из интернета  о том, как Фалес вычислил высоту египетских пирамид, используя подобие.

6. Подведение итогов. Рефлексия.

Учитель:

- В начале урока каждый из вас ставил перед собой цель. Подумайте, а достигли ли вы ее? Если нет, то почему?

- Что вы узнали нового на уроке?

Обсуждение.

Учитель:

-Ребята, на доске нарисован  треугольник. На столе лежат подобные и не подобные ему треугольники. Если вам понятна эта тема, то к  треугольнику, нарисованному на доске,  прикрепите подобные ему треугольники, если непонятна- то прикрепите неподобные.

Вывод по уроку.

.