Как заинтересовать математикой.
занимательные факты по математике (5, 6, 7 класс)

Как заинтересовать математикой.

Сделать учебную работу насколько возможно интересной для ребенка и не превратить этой работы в забаву - это одна из труднейших и важнейших задач дидактики, - писал К. Д. Ушинский. Эта проблема волнует учителя и сегодня.

Интерес - один из инструментов, побуждающих учащегося к более глубокому познанию предмета, развивающий их способности. Формирование познавательных интересов учащегося в обучении может происходить по двум основным каналам, с одной стороны само содержание учебных предметов содержит в себе эту возможность, а с другой - путем определенной организации познавательной деятельности учащегося.

Интерес школьника к учению - это один из самых мощных факторов обучения. Практика показывает, что те учащиеся, которые не проявляют интереса к математике, аргументируют свои неуспехи тем, что на уроках математики скучно, неинтересно. Обучение должно вызывать удовольствие. Математику надо рассматривать не как систему истин, которые надо заучивать, а как систему рассуждений, требующую творческого мышления.

Умение заинтересовать математикой - дело непростое, и в этом смысле личного мастерства учителя или автора учебника нельзя недооценивать. Многое зависит от того, как поставить даже очевидный вопрос, и от того, как вовлечь всех учащихся в обсуждение сложившейся ситуации.
    Для воспитания и развития интереса к предмету, учитель располагает в основном двумя возможностями: работой на уроке и внеклассной работой. Главной из них является, конечно же, работа на уроке. На уроке присутствуют все ученики класса, а кружок, факультативов, внеклассное мероприятие, как правило, посещают лишь немногие.
   Остановлюсь на некоторых формах работы, которые помогают систематически воспитывать интерес учащихся к математике.
 На уроках следует использовать экскурсы в историю развития математики. Это могут быть короткие рассказы самого учителя, а может быть защита рефератов учащегося по данным вопросам. Например, об астрономической школе Мохаммеда Улугбека (1396 - 1449) - внука Тимура, правителя Самарканда; о математических задачах, которые приходилось в то время решать астрономам. Сильное впечатление производит на ребят тот факт, что Улугбеку приходилось все алгебраические выкладки выполнять словесно. Насколько алгебраическая символика упрощает запись и решение задач можно почувствовать, записав простейшую формулу. Например, квадрат суммы двух чисел, так, как это сделал бы Улугбек. Буквенные обозначения были введены позднее французским математиком Франсуа Виетом (1540 - 1603). Следует рассказать об Омаре Хайяме, математике Леонарде Эйлере, который придал изящество тригонометрическим записям, введя символы.
     Сведения из истории математики  повышают интерес ребят к ее изучению и нет оснований отказываться от этого мощного фактора повышения эффективности уроков. Ребята узнают пути формирования основных математических идей и методов. Математика предстает перед ними не застывшей и сформировавшейся, а в творческом процессе созидания, в динамике. История науки позволяет ребятам увидеть ее движущие силы, наблюдать взаимосвязь и взаимообусловленность научного познания и практической деятельности человечества.  Значение этого для формирования научного мышления школьников вряд ли можно переоценить.

Созданию положительных эмоций у школьников способствуют творческие задания на уроках. Ребенок, обучаясь, должен иметь возможность творить, фантазировать на доступном ему уровне и в известном мире понятий.

На первых уроках геометрии семиклассники знакомятся с различными простейшими фигурами, их отношениями, появляется новая терминология, которая нелегко усваивается ими. В связи с этим в устные упражнения каждого урока геометрии целесообразно включать задания, в которых требуется описать рисунок, заранее начерченный на доске. В описание рисунка по очереди вовлекаются все учащиеся класса. От урока к уроку рисунки усложняются.

 Математическая речь учащихся получает свое развитие за счет классных упражнений. Вот тут они и получают первую творческую домашнюю работу по геометрии.
         Предлагается ученикам самим придумать рисунок, а затем его описать. Обращаю внимание на то, что хорошим советчиком при выполнении задания является учебник геометрии. Таким образом, уже с первых уроков геометрии формируется умение работать с учебником.
     Одним из труднейших методов доказательства, с которым ученики встречаются при изучении геометрии, является доказательство методом от противного.
   Ученикам предлагается творческое задание: проиллюстрировать применение доказательства методом от противного на примерах из жизни, художественной литературы, из различных школьных учебников.
 Разные примеры приводят ребята в своих сочинениях.  Некоторые приводили примеры из общеизвестного детектива про  Шерлока Холмса.
   Сочинение сказок, действующими лицами которых становятся математические объекты, - один из способов развития творческого воображения учащихся. Давая задание придумать сказку, необходимо объяснить, что ее «ценность» будет состоять в умелом включении в сюжет сказки свойств чисел, геометрических фигур.
  При изучении курса геометрии VII класса учащиеся узнают много интересных признаков и свойств равнобедренного треугольника: одни из них отражены в теоретическом материале различных тем, другие в задачах.  Хотелось, чтобы эти сведения ребята включили в свою долговременную память. Поэтому была предложена творческая домашняя работа следующего содержания написать сочинение о равнобедренном треугольнике в форме сказки, или басни, или детектива.
   Работы учеников отличались разнообразием форм, выдумкой, фантазией, богатым воображением.
   Придумывание математических сказок предполагает не только умение фантазировать на математические темы, но и владение грамотной русской речью. Поэтому наряду с такими крупными формами работы полезно занимать учеников и небольшой по объему, но весьма интересной деятельностью: придумывать уравнения, неравенства по определенному отличительному признаку.  Например, в 6 классе ученики придумывают уравнения, в левой части которых записано выражение, а в правой нуль.
    При решении уравнений они повторяют свойство: произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла.
   Анализируя различные  группы уравнений, они замечают, что есть группы уравнений, в которых, множитель, содержащий неизвестное, является многочленом и для получения ответа следует решить уравнение вида: х + а = 0 (возможно, и такое: кх + b = 0).

    Вот тут полезно предложить учащимся такое задание: придумайте уравнение такой же структуры (в одной части равенства 0, а в другой - произведение двух множителей, один из которых (х + 7,1)), для решения которого не понадобилось бы решать уравнение х + 7,1 = 0.
Вскоре  получен ответ:    0 • (х + 7,1) = 0. Понятно, что х + 7,1 может быть любым числом, поэтому и  х- любое число.
   В результате организованной таким образом работы над решением уравнения этого типа (произведение множителей равно нулю) можно надеяться, что уравнение (17,2-х)(10,2-)=0    ученики начнут решать с проверки: «А не равен ли нулю постоянный множитель?»
Домашнее задание: придумать три уравнения, в которых «работает» правило: произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла».
Такие упражнения развивают конструктивное мышление учащихся.
     Немаловажная роль в раскрытии притягательных сторон математики отводится дидактическим играм. Дидактические игры - современный и признанный метод обучения и воспитания, обладающий образовательной, развивающей и воспитывающей функциями, которые действуют в органическом единстве.
     Долгое время возможности использования дидактической игры в учебном процессе недооценивались. А в процессе игры у детей вырабатывается привычка сосредотачиваться, мыслить самостоятельно, развивается внимание, стремление к знаниям. Увлекшись, дети не замечают, что учатся: познают, запоминают новое, ориентируются в необычных ситуациях, пополняют запас представлений, понятий, развивают фантазию. Даже самые пассивные из детей включаются в игру с огромным желанием, прилагая все усилия, чтобы не подвести товарищей по игре.
    Так, на уроках можно использовать такие формы работы, как математическая викторина, эстафета и т.д. Которые могут выполнять роль устной работы, теоретической разминки, а также служить формой опроса.
   Нельзя надеяться, что такой опрос даст точную картину знаний. Но в данном случае эта цель и не ставится. Главное в таком опросе - повторить теоретический материал, закрепить его, подготовиться к изучению нового. Опрос по теории можно проводить и в других формах.
    Развитию познавательного интереса к предмету способствуют игровые моменты на уроках. Игровые моменты целесообразно использовать при закреплении учебных навыков, когда учащимся приходится выполнять  
ряд однотипных упражнений.

     Приведу примеры игровых моментов.
    Стрела. По 2 - 3 данным требуется выполнить значительное количество однотипных заданий, придерживаясь данного алгоритма.

Пример. В 7 классе при изучении темы «Умножение одночленов» ученикам дается задание: Найти произведение одночленов, записанных в двух соседних клетках, записать его в третью клетку. Затем найти произведение последних двух одночленов и записать результат в следующую клетку и т. д. Какой одночлен будет в восьмой клетке?

Особый интерес для учащегося представляют задания, в которых требуется найти ошибку. Такие задания эффективны с методической точки зрения: вырабатывается критичность мышления, развивается самоконтроль учащегося.

Кроме того, использование подобных заданий на уроке приучает ребят к внимательности, позволяет предупредить появление типичных ошибок.

Пример 1. (задание предлагалось учащемуся сразу же после рассмотрения вопроса о произведении нескольких множителей).

На доске записано 5 чисел: - 1; - 2; - 3; -4; -5. Учитель спрашивает: произведение этих чисел больше 50 или меньше?

Ошиблись почти все, причем все очень старались не ошибиться, это производит на ребят сильнейшее впечатление. Уж теперь - то они будут помнить о знаках и не попадут впросак!

Пример 2. Некоторая линейная функция задана таблицей:

Задайте ее формулой, если известно, что одно из значений функции записано неверно.

Как известно, играют не только дети, играют и взрослые. Существуют так называемые деловые игры, в процессе которых на основе игрового замысла моделируется реальная обстановка, в которой выполняются конкретные действия, выбирается оптимальный вариант решения задачи и имитируется его реализация в практической жизни.

Деловая игра приобретает все большую популярность в современном учебном процессе. Это обусловлено тем, что несмотря на огромный объем информации и множество умений и навыков, которыми овладевают учащиеся, они совершенно не умеют применять их в реальной жизни. То же самое можно сказать и о специалистах, окончивших вузы, и зачастую не способных использовать свои профессиональные знания. Деловая игра позволяет преодолеть этот недостаток, так как с ее помощью выполняются конкретные действия, выбирается оптимальный вариант решения задач и имитируется его реализация в практической жизни.

В школьном образовании «деловую игру» применяют в следующих целях:

1. Учащиеся смогли осознать значимость общего образования, необходимого не только будущим специалистам, но и, прежде всего, любой всесторонне развитой, социально активной личности, живущей полноценной жизнью, не испытывающей дискомфорта в общении, деятельности.
2. Привить каждому ученику вкус к самостоятельной, активной, творческой деятельности.
3. Сформировать навыки и потребности в самоуправлении, самооценке, самосовершенствовании.
4. Создать реальные условия для индивидуального и дифференцированного подхода в обучении, т.е. подготовить почву для наилучшего удовлетворения и развития интересов, способностей каждого школьника.

Иначе говоря, назначение деловой игры в школе - сделать учебный процесс одновременно и значимым и привлекательным.

В учебном процессе могут быть использованы:

• игры - ситуации;
• игры - сюжеты, моделирующие реальные объекты и соответствующую деятельность;

• игры - процессы, в которых моделируются отношения, способы деятельности и принятия решений.

Приведем примеры таких игр.

• игры - ситуации

Представь, что ты прораб на стройке. Привезли и выгрузили большое количество труб. Нужно быстро определить, чтобы закрыть наряд шоферу, сколько их (труб). Как ты это сделаешь? Какое рационализаторское предложение внесешь по транспортировке и выгрузке труб?

Ученик ставится в жизненную ситуацию, в которой ему самому необходимо увидеть математическую задачу, вычленить, что дано, что требуется найти. В данном случае нужно выбрать такую форму контейнера, или захвата для выгрузки, чтобы подсчет труб осуществлялся по простым формулам. Один из способов - использовать естественное расположение труб штабелем так, что в каждом верхнем ряду количество оказывается на единицу меньше, чем в предыдущем нижнем, т. е. числа труб в последовательных рядах образуют арифметическую прогрессию, и общее количество легко подсчитывается по формуле суммы арифметической прогрессии с разностью, равной 1.

• игры - сюжеты

Дидактические игры в V - VII классах часто бывают связаны с определенными сюжетами. Сюжеты эти весьма просты, рассчитаны на детское воображение. Иногда сюжеты подсказываются названием игры: «Борьба за цифру», «Таблицу знаю» и др. В ряде игр сюжет связан с путешествиями: «Полет в космос» и др. Сюжеты героического поиска, романтики путешествий в этих играх питают воображение младших школьников.

Во многих играх взят принцип соревнования между группами ребят. Соревнования усиливают эмоциональный характер игр. При этом следует иметь в виду, что лучше, когда соревнование проводится не на личное первенство, а на первенство пионерского звена, команды учащихся, сидящих в одном ряду парт, чтобы дети не только сами стремились хорошо выполнить задание, но и побуждали к этому своих товарищей, помогали им. Мотив соревнования может быть выражен по - разному, в частности в названии игр: «Кто скорее, кто вернее», «Хоккей», «Телефон» и др.

Целесообразность использования дидактических игр на различных этапах урока различна. Так, например, при усвоении новых знаний возможности дидактических игр значительно уступают более традиционным формам обучения. Поэтому игровые формы занятий чаще применяют при проверке результатов обучения, выработке навыков, формирование умений.

• игры - процессы (состязания, турниры, эстафеты)

Использование кроссвордов также способствует формированию познавательного интереса к математике. Более того ученики сами начинают составлять кроссворды.

Кроссворды могут быть использованы на уроке с целью повторения теоретического материала, а  также и числовые кроссворды, которые имеют следующие цели:

1. ) развивают навыки учеников в заданиях на вычислениях, при решении уравнений, процентных задач и также текстовых задач, не имеющих много вопросов;
2. ) развивают интерес к учебе: учащемуся интереснее решать кроссворды, чем обыкновенные задачи на вычисления;
3. ) выполняют самоконтрольную функцию;
4. ) помогают подготовиться к работе на компьютере, так как все результаты должны быть записаны в заранее указанном виде;
5. ) помогают учителю по полученным ответам быстро проверить работы учеников.

Изучая тему «Координатная плоскость» в 6 классе ученики строили точки по их координатам и последовательно соединяя их получали фигуры животных, птиц. Дома самостоятельно придумывали и строили свои фигуры.

В 8 классе можно использовать аналогичные задания, в которых используются графики квадратичной функции, линейной функции, заданных на отрезках. Задания предназначены для работы дома. Графики квадратичных функций строятся схематично. Для этого определяются координаты вершины, направление ветвей, вычисляются значения функции на концах отрезка или в ближайших целых точках. 

1. Зонтик

1. y = -x2 + 12,x[- 12; 12];
2. у = - х2 + 6, х[- 4; 4];
3. у = -(x + 8)2 + 6, x[-12; - 4];
4. у=- (х-8)2 + 6, х[4; 12];
5. y = 2(x + 3)2- 9, х[-4;-0,3];
6. у = l,5(x + 3)2 - 10, x [- 4; 0,2].

2. Очки

1. у = - (x+5)2 + 2, x [-9; -1];

2. у= -(x-5)2 + 2, x[1; 9];

3. у =  (x + 5)2 - 3, x e [- 9; -1];
4. у = (x - 5)2 - 3, x [ 1; 9];
5. у= - (x + 7)2 + 5, x [- 9; -6];
6. у = - (x - 7)2 + 5, x [6; 9];
7. у = - 0,5x2 + 1,5, x x [- 1; 1].

Изучение теории- один из наиболее трудных с методической точки зрения вопросов преподавания математики. Дело в том, что обычная методика объяснения нового теоретического материала имеет существенные недостатки, связанные прежде всего с пассивностью обучаемых, деятельность которых часто сводится к слушанию учителя и переписыванию с доски. При этом учащиеся могут переписывать с доски, ничего не понимая, отвлекаться или заниматься посторонними делами. Учитель же занят объяснением и в процессе этого может следить только за дисциплиной, а не за качеством усвоения материала.

Устранению этих недостатков, повышению активности учащихся при изучении теории способствует методика, при которой учитель направляет деятельность учащихся постановкой соответствующих заданий для самостоятельной работы, проводит контроль за этой деятельностью и дает необходимые консультации. Рассмотрим ее на примере изучения теорем Пифагора и Виета.

Терема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обычно объяснения учителя сводится к пересказу доказательства из учебника геометрии.

Предлагаю провести доказательство этой теоремы на основе следующих вопросов и заданий для самостоятельной работы учащихся.

• Начертите в тетрадях прямоугольный треугольник. Обозначьте катеты этого треугольника а, b и гипотенузу с.
• Постройте квадрат, сторона которого равна а + Ь.

• На сторонах квадрата отметьте по одной точке, делящий эти стороны на отрезки а и b так, чтобы к каждой вершине квадрата примыкали отрезки а и Ь.
• Соедините отрезками точки, расположенные на соседних сторонах квадрата. Посмотрите, на какие фигуры при этом разобьется исходный квадрат. Покажите, что полученные треугольники равны исходному прямоугольному треугольнику. Укажите признак равенства треугольников.
• Чему равны стороны полученного внутреннего четырехугольника? Чему равны углы этого четырехугольника? Какой из этого вывод о внутреннем четырехугольнике можно сделать?
• Рассмотрим теперь вопрос о том, как связаны между собой площади полученных треугольников и квадратов. Обозначьте: S - площадь исходного квадрата, SA площадь исходного треугольника, S* - площадь внутреннего квадрата. Учитывая, что исходный квадрат составлен из четырех равных треугольников и внутреннего квадрата, установите связь между их площадями и выразите S через SA и S*.
• Зная стороны прямоугольного треугольника и квадратов, напишите формулы для их площадей.
• Подставьте полученные формулы в равенство для площадей. Какое равенство при этом получается? Раскрывая квадрат и приводя подобные члены, окончательно получаем равенство с2 = а2 + Ь2.

В процессе работы над доказательством теоремы Пифагора учитель может не делать на доске никаких записей, а использовать это время для индивидуальной работы с учащимися, проверяя правильность выполнения заданий и проводя консультации.

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Деятельность учителя направлена на активизацию деятельности учащихся при проведении доказательства этой теоремы.

После формирования теоремы учитель предлагает учащимся рассмотреть приведенное квадратное уравнение х2 + рх + q = 0 и написать в тетрадях формулы для его корней х1 и х2. Далее учитель не сам находит сумму и произведение корней, а предлагает сделать это ученикам, что вполне им по силам.

Рассмотрим также доказательство теоремы, обратной к теореме Виета.

Теорема. Если числа х1 и х2 таковы, что их сумма равна - р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + рх + q = 0.

Ученикам предлагается следующие задания.

• Запишите в тетрадях равенства, выражающие сумму и произведение чисел х1  и х2 через - р и q из условия теоремы.
• Используя равенство для суммы, выразите х2.

Подставьте полученное выражение в равенство для произведения.

• Посмотрите, какое равенство при этом получается.
• Полученное равенство означает, что х1  является корнем уравнения  х2 + рх + q = 0.
• Аналогичным образом покажите, что х2 является корнем этого уравнения.

Рассмотренные теоремы выбраны в качестве примеров. Много других теорем может быть рассмотрено на уроках таким образом. Такие занятия показывают, что в результате выполнения подобных заданий у учащихся возникает чувство уверенности в собственных силах, появляется интерес к самостоятельной теоретической работе.

Воспитание интереса к математике способствует знакомство учащегося с практическим применением изученного материала.

В VI - VIII классах ребята пишут рефераты на темы: «Математика вокруг нас», «Математика в профессии моих родителей» (в реферате должна быть задача с производственным содержанием , составленная учеником, и ее решение.)

Такая работа способствует развитию творческих способностей учащихся.

Практические и лабораторные работы занимают важное место в системе подготовки учащихся к практической реальной деятельности. При этой форме работы учащиеся сами включены в активный познавательный процесс. Они выделяют учебную проблему, собирают необходимую информацию, планируют варианты решения поставленной проблемы, делают выводы, анализируя свою деятельность,  тем самым формируя учебный и жизненный опыт. Выполнение этих работ оказывает положительное влияние на развитие инициативы и находчивости, навыков выполнения вычислений, измерений, построений, чтения графиков, на формирование творческого стиля мышления. Но главная ценность такого вида работ, что ученик получает знания как продукт своей деятельности с изучаемым материалом.

В процессе обучения в школе применяются познавательные, тренировочные практические и лабораторные работы, измерительные работы на местности.

Цель познавательных работ — поставить учеников в условия «открытия» ими новых математических факторов. Замеченная в результате выполнения работы закономерность дает ученикам возможность выдвинуть гипотезу, которая либо подтверждается либо опровергается доказательством.

Например, доказательству теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника целесообразно предварить выполнение такой лабораторной работы: каждому ученику выдается модель выпуклого многоугольника (одной части учащихся модели четырехугольника, другой части - модели пятиугольника), предлагается измерить каждый его угол и вычислить сумму углов. (Все одноименные многоугольники различны и по линейным размерам, и по величине углов.) В результате выполнения работы оказывается, что сумма углов каждого четырехугольника приблизительно равна 360°, а любого пятиугольника - 540°. Доказательство теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника подтверждает обоснованность такого предположения.

Цель тренировочных работ - выработать у учеников умение применять теоретические знания по математике к решению конкретных задач. Выполнение таких работ связано с изменением линейных размеров, площадей плоских фигур, объемов и площадей поверхностей пространственных тел.

Например, после доказательства теоремы об объеме пирамиды и решения отдельных задач по теме учащимся полезно предложить найти объемы моделей, имеющих форму пирамиды. Ученики выполняют необходимые измерения и, используя изученную теорию, вычисляют объем данной пирамиды.

Целесообразно предлагать учащимся находить линейные размеры, площади поверхностей и объемы реальных деталей и узлов машин и их макетов, чертежей.

Измерительные работы на местности связаны с измерением реальных расстояний, в том числе между недоступными предметами, высот, площадей земельных участков.

Ценность измерительных работ на местности велика как для математического образования школьников, так и для приобретения ими практических умений и навыков. Выполнение таких работ способствует подготовке к математическому моделированию практических задач.

Практические работы рассмотренных трех видов выполняются на уроках математики и непосредственно не связаны с практикой. Однако их выполнение способствует формированию тех умений и навыков, стиля мышления, которые необходимы в повседневной практической деятельности.

Внеклассная работа является неотъемлемой частью учебно - воспитательной работы в школе. Она способствует углублению знаний учащихся, развитию их дарований, логического мышления, расширяет кругозор.

Внеклассная работа по математике имеет большое воспитательное значение. Ее цель не только в том, чтобы осветить какой - либо узкий вопрос, но и в том, чтобы заинтересовать учащихся предметом, вовлечь их в серьезную самостоятельную работу.

Этому способствует проведение разного рода «викторин», «математических боев», КВНов, часов занимательной математики и т. д.

В заключение хочу отметить, что воспитание вдумчивого, творчески мыслящего, заинтересованного в своем труде человека - одна из основных задач, стоящих перед школой.

Одна из причин плохой успеваемости по математике - отсутствие интереса к предмету. Вызвать этот интерес, увлечь учеников можно используя различные формы работы, в том числе рассмотренные выше.

А если детям становится интересно, если удается изгнать с уроков равнодушие и скуку, то и уровень успеваемости становится выше.

Если дети, которые раньше зевали на уроке, теперь  интересуются историей математики, пишут рефераты, готовятся к внеклассным мероприятиям по математике, то можно сказать - сделан первый шаг к глубинным знаниям. Знаниям, которые помогут ребятам при решении заданий ЕГЭ и ГИА.  Действительно, на уроках отрабатывались в ненавязчивой форме вычислительные навыки ребят (ОГЭ модуль «Алгебра» № 1, 2, 3, приемы и методы решения уравнений (№ 4), работа с графиками  (№ 5), выполнение заданий по темам «Арифметическая и геометрическая прогрессия», «Решение неравенств», применение формул сокращенного умножения. Также ученики в игровой форме, в форме эстафет, соревнований постигали науку геометрию, что немаловажно при решении заданий ОГЭ, а именно модуля «Геометрия». Деловые игры стимулировали логическое мышление обучающихся, применение математических знаний на практике, что впоследствии пригодится им при решении заданий блока «Реальная математика».

Мне хотелось показать не только красоту самого предмета математики, но и привести результаты воздействия данных форм работы на детей. Как показали мои личные наблюдения, у детей развивается интуиция, логическое мышление, формируются определенные черты характера: правильное отношение к труду и его результатам, инициативность, стремление трудиться правильно. Если это стремление становится чертой характера, то оно начинает влиять и на специальные способности детей - художественные, математические. Ребята становятся полноправными участниками педагогического процесса.

Итак, заинтересованность предметом, является эффективным средством, влияющим на установление хорошего контакта с детьми, создает хороший психологический климат урока.

Игра - спутник человеческой жизни от колыбели до глубокой старости. «Игра - путь детей к познанию мира, в котором они живут и который призваны понять», - писал А. М. Горький. В играх развиваются и укрепляются чувства товарищества, солидарности, честности, правдивости и другие качества, необходимые для коллективной работы и воспитания сознательной дисциплины. Игра является хорошей союзницей не только в воспитаний детей, но и в обучении их, поэтому нам, учителям математики, необходимо периодически пользоваться играми или вводить элементы игры и на уроках, и во внеурочное время. Познание же математики через игры прививает к ней любовь, переходящую иногда в дальнейшем в потребность заниматься этой наукой серьезно.

Литература

1. Л. С. Атанасян «Геометрия 7 - 9», Москва, «Просвещение», 2005
2. Ш. А. Алимов «Алгебра 7», М., «Просвещение», 2005
3. Ш. А. Алимов «Алгебра 8», М., «Просвещение», 2005
4. А.Я.Цукарь  Рисуем графиками функций // Математика в школе. – 1999. – №4. – с. 80-81
5. Приложение к газете «Первое сентября» - Газета «Математика», 1999, статьи А.Я. Цукарь.
6. М. Ю. Шуба «Занимательные задания в обучении математике», (Москва, Просвещение, 1994). 
7. В. Г. Коваленко «Дидактические игры на уроках математики» Кн. для учителя — М: Просвещение, 1996.

Приложения

Урок «Теорема Пифагора»

Цель урока: Познакомить учащихся с теоремой Пифагора, ее историей. Учить применять теорему при решении задач. Развивать любознательность, интерес к математике.

1. Устно. Повторение пройденного материала (используется интерактивная доска).

1. Какой треугольник изображен на рисунке 1? (Прямоугольный.)

2. Назовите катеты и гипотенузу. (МК и КР - катеты, МР - гипотенуза.)
3. Выразите cosM, cosP.
4.  Какой треугольник на рис. 2? Чем он интересен?
5. (Равнобедренный, прямоугольный. Углы при основании по 45°. Его можно достроить до квадрата со стороной, равной катету.)
6. Какой треугольник на рис. 3?

(Прямоугольный. О- центр окружности.)

II. Беседа — рассказ учителя

  Сегодня вы познакомитесь с одной из немногих теорем геометрии, которую помнят все учащиеся. Но сначала я расскажу вам о математике, именем которого названа эта теорема.

  В Древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580 г. до н.э.). О жизни этого ученого известно немного, зато с его именем связано ряд легенд. Рассказывает, что он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. В кружок принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Так, на юге Италии, которая была тогда греческой колонией, возникла так называемая пифагорейская школа. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Имя было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. В школе существовал декрет, по которому авторство всех математических работ приписывалось Пифагору. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд, что установить о Пифагоре правду невозможного.

• Ребята, знаете ли вы что - нибудь связанное с именем Пифагора?

(Некоторые ученики могут сформулировать саму теорему или

известную фразу: «Пифагоровы штаны во все стороны равны», или рассказать о головоломке - игре «Пифагор».)

• Обо всем этом мы и поговорим.

Запишем тему урока: «Теорема Пифагора».

В современных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

Давайте начертим прямоугольный треугольник (рис. 4) и запишем эту формулировку в обозначениях:

АВС,   C = 90°, АВ2 = АС2 + ВС2

с2 = а2 + Ь2.

Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так:

   «Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах»

   «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

Теорема Пифагора имеет богатую историю. Оказывается, она задолго до Пифагора была известна египтянам, вавилонянам, китайцам и индийцам. За восемь веков до нашей эры эта теорема была хорошо известна индийцам под названием «правила веревки» и использовалась ими для построения алтарей, которые по священному предписанию должны иметь строгую геометрическую форму, ориентированную относительно четырех сторон горизонта.

Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время имеется свыше ста различных доказательств теоремы Пифагора. Возможно, что одно из них принадлежит Пифагору или его ученику.

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников.

(На интерактивной доске демонстрируется изображение прямоугольного треугольника и построенных на его сторонах квадратов - рис. 5.) Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника, а на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Нужно перевернуть изображение и показать ребятам.

     - Смотрите, а вот и «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Такие стишки придумывали учащиеся; рисовали шаржи к теореме Пифагора. Вот, например, такие, как на рис. 7.

III. Доказательство теоремы Пифагора

                       Рис.8 (а)

                                                                                        Дано: АВС , C = 90°.

 Доказать: АВ2 = АС2 + СВ2

Доказательство:

1. Обозначим АС = Ь, СВ = а, АВ = с.

        Докажем, что c2 = а2 + в2

2. Достроим АВС до квадрата со

        сторонами а + b (см. рис. 8(6)).

3. Skb. = (а + в)2.

Skb = 4 SABC + Skb. со стороной с (т. к. он состоит из 4 равных прямоугольных треугольников, S =аb , и квадрата со стороной с.)
4) Skb. = 4 • а b  + с2 = 2аb + с2

            (а + b)2 = 2аb + с2.

   а2 + 2ab + b2 = 2ab + c2                    a2 + b2 = c2

5) Имеем, c2 = a2 + b2
AB2 = AC2 + CB2.

Что и требовалось доказать.

IV. Закрепление материала

Задание выполняется устно:

Составьте по рисункам, используя теорему Пифагора, если это возможно, верное равенство.

Дополнительный вопрос:

• Вычислите, чему равна гипотенуза? (Ответ: 5.)

Обратите внимание на эти три числа 3, 4, 5. Треугольник с такими сторонами иногда называют египетским.

Рис. 10. О - центр окружности.

(Ответ: d2 = 62 + 82.  Равенство можно составить, поскольку треугольник вписан в окружность и одна из его сторон является диаметром этой окружности. Следовательно, треугольник прямоугольный, поэтому можно использовать теорему Пифагора.)

(Ответ: в данном случае (рис. 11) использовать теорему Пифагора нельзя, так как неизвестно, о каком виде треугольника идет речь, а значит, утверждать, что треугольник прямоугольный, нельзя.)

Рис. 12. 

Рис. 12. а = 1, b = 2, с = 3.      (Ответ: такого треугольника не существует.)

- Итак, ребята, сделаем вывод, ответив на вопрос: на что надо обратить внимание при применении теоремы Пифагора?

(Ответ: чтобы использовать теорему Пифагора, надо убедиться, что треугольник прямоугольный.)

V. Решим две старинные задачи, в которых будет «работать» теорема Пифагора.

Задача первая. Она взята из первого учебника математики на Руси.  Называется этот учебник «Арифметика».
Кто из вас, ребята, знает автора первого учебника?

(Ответ: Леонтий Филиппович Магницкий.)

• Однако настоящая его фамилия Телятин, а Магницким он стал по приказу Петра I, который был восхищен его занятиями, притягивавшими к себе всех любознательных подобно магниту.

Читаю задачу так, как она была записана в те времена:

Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обретете лествицу     долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико

Рис. 13        стоп сея лествицы нижний конец от стены

отстояти имать (рис. 13).

 (На доске один из учеников выполняет чертеж (рис. 14), объясняет и кратко записывает решение. Остальные работают в тетрадях.)

Дано: АВС , C = 90°.

АС =117 стоп, АВ = 125 стоп. Найти: СВ.

Решение.

1. Пусть СВ - х стоп. Тогда, используя теорему Пифагора (треугольник прямоугольный), имеем равенство:

1252 = 1172 + х2,

тогда

х2 = 1252- 1172;

х2 = (125 - 117)(125 + 117), х2 = 8 • 242,
х2 = 4 • 4 • 121, х = 2 * 2 * 11, х = 44.

Ответ: 44 стопы.

Задача вторая. Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот одна из задач индийского математика XII в. Бхаскары:

«На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?»

(Задача иллюстрируется рисунком 15. Требуется узнать высоту тополя. Как и

Решение.

1)  АВ= АС+СD

2) По теореме Пифагора СD2 = AC2 + АD2, СD2 = 9+16=25, СD =5.

3) АВ= 3+5=8 (футов).

Ответ:8 футов.

VI. Задание на дом: §3 п.54, 55 № 483(б), 484(а), 486(б).