Формирование основных понятий на уроках математики, как разновидность логических познавательных УУД
статья по математике

Тема «Формирование основных понятий на уроках математики, как разновидность логических познавательных УУД»

Формирование у учащихся понятий является одним из направлений достижения образовательных результатов согласно Федеральным Государственным Образовательным Стандартам (ФГОС) второго поколения. Но существует ряд проблем формирования понятий. Вопрос о понятиях, объектах и их определениях очень сложный по содержанию и может рассматриваться с различных точек зрения: логической, содержательной (предметной), познавательной (гносеологической) и др. и в силу этого даже в разных методических пособиях даются разные его аспекты.

Процесс формирования некоторого понятия - постепенный процесс, в котором можно усмотреть несколько последовательных стадий. Проиллюстрирую этот процесс на примере - формировании у детей понятия о числе 3.

1) На первой ступени познания дети знакомятся с различными конкретными множествами, например множество конфет или карандашей. Они не только видят каждое из этих множеств, но и могут осязать (потрогать) те предметы, из которых эти множества состоят. На этой стадии процесса познания они могут обращать внимание (усматривать) самые разнообразные конкретные свойства, как самих предметов, так и множеств, для которых эти предметы являются элементами.

Слайд 2 Обобщение

2) Уберем объекты, составляющие каждое множество, и предложим детям забыть о том, каковы были эти объекты. Было ли нечто общее, характеризующее каждое из этих множеств? В сознании детей должно было запечатлеться число предметов в каждом множестве, то, что всюду было по «три». Если это так, то в сознании детей создалась новая форма представление о числе «три».

3) До сих пор дети имели дело с множествами предметов, в каждом из которых было по 3 предмета. На основе мысленного эксперимента на следующей ступени познания дети должны усмотреть, что свойство, выраженное в слове «три». Тем самым выделена существенная общая особенность таких множеств - «иметь три элемента». Теперь можно сказать, что в сознании детей сформировано понятие о числе 3.

Понятно, что приведенная иллюстративная схема является лишь грубым приближением к реальному процессу мышления. Вместе с тем даже из этого простейшего иллюстративного примера видно, что понятия образуются путем с помощью приема обобщения (приложение 3).

Известно несколько видов обобщения. Один из них строится на основе выделения общих признаков объектов, отбрасывании тех, которыми они отличаются. Так, например, рассматривая такие понятия, как «треугольник АВС», «треугольник» и «многоугольник», нетрудно установить, что основное различие между ними состоит именно в степени обобщенности: понятие «треугольник» шире, чем понятие «треугольник АВС», а понятие «многоугольник» шире, чем «треугольник». Возрастание обобщенности понятий происходит по мере того, как отбрасываются те свойства-признаки, которые отличают одни объекты от других. Так, в понятии «многоугольник» выделены лишь общие признаки, присущие всем многоугольникам, те же, которые отличают один вид многоугольника от другого, отброшены. В научном познании такого рода понятия, называемые абстрактными, имеют существенное значение, позволяя классифицировать объекты, сравнивать их между собой, отождествлять или различать и т.д.

Слайд 3 Сравнение

Обобщение объектов и явлений посредством понятия увеличивает познавательную ценность мышления, во-первых, потому, что более общие понятия дают возможность мысленно обозреть и изучить более обширное множество объектов, а во-вторых, потому, что, отбрасывая индивидуальные признаки объекта, мы тем самым выявляем общие, более устойчивые признаки, которые ранее в рамках более узких понятий оставались нераскрытыми.

Другой способ обобщения позволяет образовывать так называемые конкретные понятия. Особенность его состоит в том, что обобщение здесь происходит не только путем выделения общих свойств объектов, но и путем сохранения в понятии его особенных и единичных признаков, т.е. сравнение конкретного объекта с другими, используя приём сравнения. (приложение 2)

Так, например, в математическом понятии «производная» обычно выступает необходимость наряду с выделением общих свойств, присущих всем видам производной, указать и специфические свойства этого понятия: производная непрерывной функции, производная тригонометрической функции и т.п.

Слайд 4 Понятие

Таким образом, в отличие от восприятия и представления, понятие фиксирует в нашем сознании только существенные для этого случая признаки и свойства (являющиеся признаками этого понятия).

Итак, понятие - это форма мышления, в которой отражены существенные (отличительные) свойства объектов изучения.

Понятие считается правильным, если оно верно отражает реально существующие объекты. Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию и по объему.

Слайд 5 Содержание понятия

Содержание понятия - это множество всех существенных признаков данного понятия. Объем понятия - множество объектов, к которым применимо данное понятие.

Так, для понятия «параллелограмм» содержание будет представлено такими, например, свойствами: 1) противоположные стороны параллельны и равны; 2) противоположные углы равны, 3) диагонали в точке пересечения делятся пополам и т.д.

Объем понятия «параллелограмм» представлен множеством таких четырехугольников, как: 1) собственно параллелограммы; 2) ромбы; 3) прямоугольники; 4) квадраты.

Слайд 6 Объём понятия

Приведенный пример показывает, что содержание понятия - это множество признаков понятия, из которых каждый необходим, а все вместе достаточны для установления понятия.

Содержание понятия жестко определяет его объем, и, наоборот, объем понятия вполне определяет его содержание. Таким образом, изменение в содержании понятия влечет за собой изменение в его объеме, и наоборот. Между содержанием и объемом понятия существует в некотором смысле обратная зависимость. Так, например, если увеличить содержание понятия параллелограмм (диагонали взаимно перпендикулярны), то сразу уменьшится его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребовать параллельности только двух противоположных сторон), увеличится его объем (к названным четырехугольникам добавится трапеция).

Процесс выяснения объема понятия называется классификацией понятия. Таким образом, под классификацией понимается разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов в существенных признаках.

Процесс формирования понятий состоит из мотивации введения понятия, выделения его существенных свойств, усвоения определения, применения понятия, понимания связи изучаемого понятия с ранее изученными понятиями.

Слайд 7 Способы

Формирование понятия осуществляется в несколько этапов:

1. мотивация (подчеркивается важность изучения понятия, активизируется целенаправленная деятельность школьников, возбуждается интерес к изучению понятия с помощью привлечения средств нематематического содержания, выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории);

2. выявление существенных свойств понятия (выполнение упражнений, где выделяются существенные свойства изучаемого понятия);

3. формулировка определения понятия (выполнение действий на распознавание объектов, принадлежащих понятию, конструирование объектов, относящихся к объёму понятия).

Выделяются два пути формирования понятий индуктивный и дедуктивный.

Понятие должно быть правильно определено разными способами:

1. Через ближайший род и видовое отличие. Например: квадрат - прямоугольник с равными сторонами; ромб - параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны.

2. Генетически (способом, указывающим на происхождение понятия). Например, окружность - множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости.

3. Индуктивно. Например, рекуррентное равенство an = an-1 + d определяет арифметическую прогрессию.

4. Через абстракцию. Например, натуральное число - характеристика класса эквивалентных конечных множеств.

При овладении понятиями у учащихся нередко возникают различные затруднения и ошибки.

Начну с рассмотрения ошибок, которые могут появиться при определении понятий, и укажу некоторые причины их возникновения.

Слайд 8 Определение понятий

Прежде всего, следует четко показать учащимся различие, связанное с использованием тех или иных понятий в определении некоторого нового понятия. Понятие, соответствующее определяемому объекту, называется определяемым; понятие, с помощью которого раскрывается содержание определяемого объекта, называется определяющим. Так, например, в определении «Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком», понятие «отрезок» - определяемое понятие, а понятие «часть прямой» - одно из определяющих понятий. Если это различие не осознается учащимися, то определение понятий часто дается ими неправильно.

Итак, в процессе введения и изучения в школе математических понятий полезно:

1) не вводить новых понятий формально; детально конкретизировать новые абстрактные понятия; по возможности применять конкретно-индуктивный метод;

2) вводить понятия наиболее естественным для учащихся путем; по возможности, следует чаще привлекать учащихся к самостоятельному изучению и определению рассматриваемого понятия;

3) мотивировать вводимые понятия, термины, определения; не допускать у учащихся представления о произвольности введения новых понятий;

4) в процессе изучения новых понятий полезно выявить связи нового понятия с уже известными понятиями; указывать на аналогию в характеристике новых понятий и понятий известных;

5)на каждом уроке полезно повторять определения известных учащимся важнейших математических понятий, связанных с понятиями, рассматриваемыми на данном уроке, требуя в то же время не столько запоминания определений понятий наизусть, сколько правильной передачи сущности определения данного понятия;

6) при овладении учащимися теми или иными математическими понятиями строго следить за речью учащихся, требовать четкости, краткости и строгости в формулировках определений. Следует иметь в виду, что «профилактика» ошибок эффективнее их исправления.

Литература:

• Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. - М.: МГУ, 1981. - 214 с.
• Гнеденко Б.В. Математика в современном мире. - М.: Просвещение, 1990. - 128 с.

Приложение 1.

Структура саморегуляции при освоении геометрических понятий

Приложение 2. Алгоритм использования приёма: «Сравнение»

Сравнение – приём, состоящий в установлении признаков сходства и различия между объектами.

1. Используя наблюдение и анализ, выделить свойства объектов изучения или их частей;

2. Установить общие и существенные свойства (признаки);

3. Установить различные и несущественные свойства объектов;

4. Сформулировать основание для сравнения (заданное или выделенное среди существенных признаков);

5. Сопоставить объекты или их части по данному основанию;

6. Сформулировать вывод.

Приложение 3. Алгоритм использования приёма: «Обобщение».

Мысленный переход от отдельного к общему называют обобщением.

1. На основе анализа и сравнения сформулировать общие и существенные свойства объектов.

2. Объединить объекты с общими существенными в одно множество.

3. Дать название полученному множеству (термин, символ).

4. Сформулировать суждение – характеристическое свойство полученного множества объектов.