Решение заданий ЕГЭ профильного уровня. Задача 14
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)

Слайд 1

Решение заданий ЕГЭ по математике профильного уровня (задание № 14)

Слайд 2

Обобщенный план варианта КИМ ЕГЭ 2019 года по МАТЕМАТИКЕ (профильный уровень) Уровни сложности заданий: Б – базовый; П – повышенный; В – высокий № Проверяемые требования (умения) Коды проверяемых требований к уровню подготовки (по кодификатору) Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору) Уровень сложности задания Максимальный балл за выполнение задания Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на базовом уровне, в минутах 14 Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами 4.2, 4.3, 5.2, 5.3 5.2–5.6 П 2 40

Слайд 3

Код контролируемого требования (умения) Требования (умения), проверяемые заданиями экзаменационной работы 4.2 Решать простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов ); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы 4.3 Определять координаты точки; проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами 5.2 Моделировать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные модели с использованием геометрических понятий и теорем, аппарата алгебры; решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин 5.3 Проводить доказательные рассуждения при решении задач , оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать логически некорректные рассуждения

Слайд 4

Код Элементы содержания, проверяемые заданиями экзаменационной работы 5.2 Прямые и плоскости в пространстве 5.2.1 Пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые; перпендикулярность прямых 5.2.2 Параллельность прямой и плоскости, признаки и свойства 5.2.3 Параллельность плоскостей, признаки и свойства 5.2.4 Перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства; перпендикуляр и наклонная; теорема о трёх перпендикулярах 5.2.5 Перпендикулярность плоскостей, признаки и свойства 5.2.6 Параллельное проектирование. Изображение пространственных фигур 5.3 Многогранники 5.3.1 Призма, её основания, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; прямая призма; правильная призма 5.3.2 Параллелепипед; куб; симметрии в кубе, в параллелепипеде 5.3.3 Пирамида, её основание, боковые рёбра, высота, боковая поверхность; треугольная пирамида; правильная пирамида 5.3.4 Сечения куба, призмы, пирамиды 5.3.5 Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр) 5.4 Тела и поверхности вращения 5.4.1 Цилиндр. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.4.2 Конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развёртка 5.4.3 Шар и сфера, их сечения 5.5 Измерение геометрических величин 5.5.1 Величина угла, градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности 5.5.2 Угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями 5.5.3 Длина отрезка, ломаной, окружности; периметр многоугольника 5.5.4 Расстояние от точки до прямой, от точки до плоскости; расстояние между параллельными и скрещивающимися прямыми; расстояние между параллельными плоскостями 5.5.5 Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора 5.5.6 Площадь поверхности конуса, цилиндра, сферы 5.5.7 Объём куба, прямоугольного параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса, шара 5.6 Координаты и векторы 5.6.1 Координаты на прямой, декартовы координаты на плоскости и в пространстве 5.6.2 Формула расстояния между двумя точками, уравнение сферы 5.6.3 Вектор, модуль вектора, равенство векторов, сложение векторов и умножение вектора на число 5.6.4 Коллинеарные векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам 5.6.5 Компланарные векторы. Разложение по трём некомпланарным векторам 5.6.6 Координаты вектора, скалярное произведение векторов, угол между векторами

Слайд 5

Содержание критерия Баллы Обоснованно получены верные ответы в пунктах а и б 2 Выполнен только один из пунктов – а или б 1 Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше 0 Максимальный балл 2 Критерии проверки и оценка решений задания 14

Слайд 6

Типичные ошибки при решении задания 14 Неверное понимание логики построения доказательства. Например, доказательство пункта а может начинаться так: « Предположим, что треугольник прямоугольный, тогда … » – в случае, когда нужно доказать, что треугольник прямоугольный; « Пусть прямые параллельны… » – в случае, когда нужно доказать параллельность прямых. Учащиеся неверно применяют признаки : перпендикулярности прямой и плоскости, параллельности плоскостей и т. д., демонстрируют непонимание взаимосвязи элементов геометрической конструкции . При выполнении пункта б учащиеся: – допускают ошибки в геометрических формулах; – не считают нужным доказывать неочевидные геометрические утверждения, используемые в решении; – допускают вычислительные ошибки. Учащиеся допускают ошибки при построении чертежа.

Слайд 8

Задача 14 (демонстрационный вариант 2019, 2018 г)

Слайд 9

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ 1 и ВС 1 . Задача № 1 1 А С В D А 1 С 1 В 1 1 3) из ∆ABD по теореме косинусов Продлим плоскость ВСС 1 , тогда ∠(AB 1 , ВС 1 ) = ∠(AB 1 , DВ 1 ) = ∠ AВ 1 D, т. к. C 1 В || B 1 D. Решение:

Слайд 10

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ 1 и ВС 1 . Задача № 1 (продолжение) 1 А С В D А 1 С 1 В 1 1 Решение: 4) cos ∠ AB 1 D = AB 1 2 + B 1 D 2 – AD 2 2·AB 1 · B 1 D cos ∠ AB 1 D = = 2 + 2 – 3 1 2· 2 4 Ответ: 0,25 .

Слайд 11

В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 найдите угол между прямой AC 1 и плоскостью ВС C 1 . Задача № 2 С В D А 1 С 1 В 1 D 1 А Решение: ВС 1 - проекция прямой АС 1 на плоскость(В C С 1 ), так как AB ⊥ (В C С 1 ) AB ⊥ ВС 1 ; ∠( AC 1 , ( В C С 1 ) ) = ∠( A С 1 ,С 1 В) = ∠ AC 1 B , т.е. ∆ АВC 1 – прямоугольный 3) tg ∠ AC 1 B = = = AB a 1 BC 1

Слайд 12

Основанием прямой треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 , является равнобедренный треугольник АВС , в котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ 1 , причем ВР : РВ 1 = 1 : 3. Найдите тангенс угла между плоскостями А 1 В 1 С 1 и АСР . 20 А С В А 1 С 1 В 1 24 Ответ: 0,5 . Задача № 3 Р Н 16 16 Решение: 1) Так как (АВС) ∥ (А 1 В 1 С 1 ), то ∠(( А 1 В 1 С 1 ) , (АСР)) = ∠( (АВС),(АСР)). 2) Т.к. ВН  АС (высота р / б ∆ ), то по теореме о трех перпендикулярах РН  АС. 3) Тогда ∠ РНВ – линейный угол двугранного ∠ РАСВ. Найдем его из прямоугольного ∆ РНВ. 4) РВ = ¼ ВВ 1 = ¼ · 24 = 6, 5) ВН 2 = АВ 2 – АН 2 (из ∆ A НВ) ВН 2 = 20 2 – 16 2 = 144, ВН = 12; 6) tg ∠ РНВ = PB / HB = 6 / 12 = 0,5. 32

Слайд 13

Решение: Так как ABCD – квадрат, то АВ ⊥ AD . Поэтому проекция AB на плоскость (SAD) будет ⊥ AD. Значит, искомый угол – двугранный угол при ребре основания AD. В правильной четырехугольной пирамиде S ABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой AB и плоскостью SAD . Задача № 4 С В D А S O M N 3) ∠ SMO – искомый угол, косинус которого найдем из прямоугольного ∆ SMO cos ∠ SMO = = = MO 0,5 1 SM

Слайд 14

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки С до прямой A 1 F 1 . Задача № 5 Решение: 1)Так как ABCDEF – правильный шестиугольник, то C A ⊥ AF . C A ⊥ A 1 А по определению правильной призмы. C A ⊥(А A 1 F 1 ) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, т.е. СА –перпендикуляр к плоскости, C A 1 - наклонная , A 1 А – проекция наклонной, A 1 А ⊥ A 1 F 1 ; A 1 F 1 – прямая в плоскости. 5 А С В D F E А 1 С 1 В 1 D 1 F 1 E 1 11 Тогда по теореме о трёх перпендикулярах CA 1 ⊥ A 1 F 1 , значит длина отрезка C A 1 равна искомому расстоянию .

Слайд 15

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , стороны основания которой равны 5, а боковые рёбра равны 11, найдите расстояние от точки С до прямой A 1 F 1 . Задача № 5 (продолжение) Решение: 2) Из ∆ АВС (АВ=ВС=5, ) по теореме косинусов найдём СА: , , C A = . 3) Из ∆ CAA 1, по теореме Пифагора найдём CA 1 : CA 1 2 = 75 + 121 = 196 . CA 1 = 14 Ответ: 14 . 5 А С В D F E А 1 С 1 В 1 D 1 F 1 E 1 11 Доказано, что C A 1 - искомое расстояние .

Слайд 16

Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС . Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ , АС и А D , если А D = , АВ = АС = 10, ВС = . D C B A N F М К Р Искомое расстояние AH равно половине расстояния от вершины А до плоскости BCD , т.к. (KMN) ∥ (BCD) и KF – средняя линия ∆ ADP . L Н Задача № 6 Решение: Построим плоскость КМ N. Т. к. КМ – средняя линия ∆А D В, КМ∥ D В, MN - средняя линия ∆АВ C , М N ∥ C В, то (KMN) ∥ (BCD) по признаку ∥ плоскостей. АР–медиана и высота р/б , KF –медиана и высота р/б DP ⊥ BC по теореме о трёх перпендикулярах. ∆АВ C ∆ KMN . KF ∥ DP .

Слайд 17

Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС . Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ , АС и А D , если А D = , АВ = АС = 10, ВС = . D C B A N F М К Р Решение: Доказано, что AH - искомое расстояние. Найдём АР из ∆АВР по теореме Пифагора ( АВ= 10, ВР = ): AP 2 = AB 2 – BP 2 = 100 – 20 = = 80 ; АР= Найдём D Р из ∆А D Р по теореме Пифагора: DP 2 = AD 2 + AP 2 = = 20 + 80 = 100 ; DP = 10 . Тогда AL =( · ) : 10=4 Итак, АН = ½ AL = 2 . L Н Ответ: 2. Задача № 6 (продолжение). 2) ∆ LDA и ∆ ADP подобны по двум углам, LA:AP=AD:DP , тогда AL=(AP*AD):DP.

Слайд 18

Задача № 7 В правильной шестиугольной призме АВCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все рёбра равны 1. а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, С 1 и F. б) Найдите расстояние от точки В до прямой C 1 F. Решение: а) 1) ВС 1 , BF, F Е 1 // С 1 B , Е 1 C 1 => Сечение – четырёхугольник BC 1 E 1 F с диагональю C 1 F. 4) Так как ∠ CBF=90°, то по теореме о трёх перпендикулярах, BF ⟘ BC 1 . Значит, сечение BC 1 E 1 F – прямоугольник. Диагональ прямоугольника C 1 F 2 =BF 2 +BC 1 2 ; C 1 F 2 =3+2=5.

Слайд 19

Задача № 7 (продолжение) Решение. б) Сечение – прямоугольник BC 1 E 1 F. ВК ⊥C 1 F, ВК – искомое расстояние от точки В до прямой C 1 F. Найдем ВК как высоту из ∆FBС 1 , Используя 2 формулы площади треугольника. В правильной шестиугольной призме АВCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 все рёбра равны 1. а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, С 1 и F. б) Найдите расстояние от точки В до прямой C 1 F.

Слайд 20

Задача №8 Основанием прямой четырехугольной призмы является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна . Точка K − середина ребра ВВ1. Через точки K и С1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1. а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником. б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α. Решение. а) Для построения сечения призмы плоскостью α, проведём КЕ|| BD 1 , E € B 1 D 1 . Плоскость α проходит через точки К, С 1 и Е. Так как К – середина ВВ 1 и КЕ|| BD 1 , то Е – середина диагонали А 1 С 1 квадрата А 1 В 1 С 1 D 1 . Значит, плоскость α пересекает грань А 1 В 1 С 1 D 1 по диагонали А 1 С 1 . Соединив точки К, С 1 и А 1 , получаем ∆А 1 КС 1 - сечение призмы плоскостью α. ∆А 1 КВ 1 = ∆С 1 КВ 1 по двум сторонам и углу между ними (А 1 В 1 =С 1 В 1 ), В 1 К – общая сторона, . Из равенства треугольников следует, что А 1 К=С 1 К, значит ∆А 1 КС 1 - равнобедренный.

Слайд 21

Задача №8 (продолжение) Основанием прямой четырехугольной призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является квадрат ABCD со стороной , высота призмы равна . Точка K − середина ребра ВВ 1 . Через точки K и С 1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD 1 . а) Докажите, что сечение призмы плоскостью α является равнобедренным треугольником. б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью α. Решение. б)

Слайд 24

Задача 14

Слайд 25

Задача 14 (продолжение)

Слайд 26

Задача 14 (продолжение)

Слайд 27

Задача 14

Слайд 28

Задача 14 (продолжение)