Задания Всероссийской олимпиады школьников по математике школьный этап 11 класс
олимпиадные задания по математике (11 класс)

Всероссийская олимпиада школьников по математике (школьный этап)

11 класс

Задание 1

 Дорогу длиной 28 километров разделили на три неравные части. Расстояние между серединами крайних частей равно 16 км. Найдите длину средней части.

Ответ: 4 км.

Решение: Расстояние между серединами крайних частей складывается из половин крайних участков и целого среднего участка, т.е. удвоенное это число равно длине дороги плюс длина среднего участка. Т.е. длина среднего участка = 16*2-28=4.

Задание 2

На доске написано 5 целых чисел. Сложив их попарно, получили следующий набор из 10 чисел: −1, 4, 6, 9, 10, 11, 15, 16, 20, 22. Выясните, какие числа написаны на доске. В ответ напишите их произведение.

Ответ: −4914 (числа на доске: −3, 2, 7, 9, 13).

Решение: Сумма чисел полученного набора равна 112. Каждое число из исходных пяти в этой сумме повторяется 4 раза. Следовательно, сумма искомых чисел равна 112 : 4 = 28. Сумма двух наименьших равна −1, сумма двух наибольших равна 22. Следовательно, среднее число (третье по величине из пяти) равно 28−22−(−1) = 7. В наборе из условия задачи второе число равно сумме первого и третьего искомых чисел, откуда первое число равно 4−7 = −3, а второе равно 2. Аналогично получаем, что четвёртое число равно 9, а пятое равно 13. Итак, на доске написаны числа −3, 2, 7, 9, 13, а их произведение равно −4914.

Задание 3

Несколько мудрецов построилось в колонну. На всех были либо черные, либо белые колпаки. Оказалось, что среди любых 10 подряд идущих мудрецов поровну мудрецов с белыми и с черными колпаками, а среди любых 12 подряд идущих — не поровну. Какое наибольшее количество мудрецов могло быть?

Ответ: 15 мудрецов.

Решение: Докажем, что больше 15 мудрецов быть не может. Предположим противное, пусть мудрецов хотя бы 16. Последовательно занумеруем всех мудрецов. Рассмотрим девять подряд идущих мудрецов. Если к ним добавить одного из двух соседних мудрецов, то среди них будет одинаковое число мудрецов с белыми и чёрными колпаками, поэтому на любых мудрецах, между которыми находится 9 мудрецов, надеты колпаки одинакового цвета.

Без ограничения общности, на первом мудреце надет чёрный колпак. Тогда на одиннадцатом мудреце также чёрный колпак. Если на двенадцатом мудреце надет белый колпак, то среди первых двенадцати мудрецов будет поровну белых и чёрных колпаков. Поэтому на двенадцатом мудреце надет чёрный колпак, откуда и на втором мудреце надет чёрный колпак. Аналогично рассмотрев мудрецов со второго по одиннадцатого, получим что на мудрецах 3 и 13 надеты колпаки чёрного цвета. Рассмотрев мудрецов с третьего по двенадцатого, получим, что на мудрецах 4 и 14 надеты колпаки чёрного цвета. Аналогично на мудрецах 5 и 15, 6 и 16 надеты колпаки чёрного цвета. Но тогда среди первых десяти мудрецов на первых шести чёрные колпаки, поэтому чёрных колпаков будет больше. Противоречие.

15 мудрецов может быть: пусть на первых 5 и последних 5 мудрецах надеты чёрные колпаки, а на оставшихся 5 надеты белые колпаки. Несложно понять, что тогда условие задачи будет выполнено.

Задание 4

Решите числовой ребус: ТЭТА+БЭТА=ГАММА. (Разные буквы – разные
цифры.)

Ответ: 4940+5940=10880

Решение: Так как A+A заканчивается на А, то А=0. Т.к. Г – результат переноса в следующий разряд, то Г =1. Так как A+A заканчивается на А, то А=0. Значит переноса в разряд десятков нет, т.е. Т+Т заканчивается на М, и значит М – четно. Переноса в разряд сотен тоже нет, т.к. иначе нечетное число Э+Э+1 заканчивалось бы на четное М. Т.к. переноса нет, то 2ТБ<10. Возможные варианты 2, 3, 4. Если Т=2, то Э=7, откуда Б=7 – но 7 уже занята. Если Т=3, то М=6, Э=8, откуда Б=6, но 6=М. И последний вариант Т=4. Тогда М=8, Э=9. Откуда Б=5 – противоречия нет. Таким образом, возможен только один вариант: 4940+5940=10880

Задание 5

Две вершины, центр вписанной окружности и точка пересечения высот остроугольного треугольника лежат на одной окружности. Найдите угол при третьей вершине.

Ответ: 60°.

Решение:Рассмотрим  треугольник  AВС,  в  котором проведены  высоты AA1  и  BB1.  Пусть точка  H — точка пересечения высот, точка  I — центр вписанной окружности.

Сумма углов четырёхугольника A1HB1C равна 360°.

Получаем ∠AHB = ∠A1HB1 = 360° – 90° – 90° – ∠C = 180° – ∠C.

По теореме о  сумме  углов  треугольника  имеем  соотношения ∠A + ∠B + ∠С = 180° (для  треугольника  ABC)  и  ∠A/2 + ∠B /2 +∠AIB=180° (для треугольника ABI). Отсюда

Точки A,  B,  H  и  I  лежат  на  одной  окружности.  Так  как  треугольник  AВС остроугольный,  точки  H  и  I  лежат  по  одну  сторону  от  хорды  AB,  то  есть вписанные углы AIB и АНВ опираются на одну и ту же дугу. Значит, ∠AIB = ∠AHB, откуда 90°+∠C/2=180°-∠C, а значит ∠C = 60°.