Необычные геометрические фигуры

Содержание

Введение        3

1. Необычные треугольники        4

2. Необычный квадрат        7

3. Необычные кривые        9

4. Необычные предметы        10

Заключение        12

Список использованной литературы        13

Введение

Геометрия – точная математическая наука, которая занимается изучением пространственных и других подобных отношений и форм.  Считается, что данная наука была открыта египтянами для измерений и составления расчетов в рамках Земли.

Изначально, эта наука была исключительно интуитивной, но в связи с тем, вероятно, что интуиция - это невидимая, а оттого всегда спорная величина, решено было как-то структурировать данную систему исчислений.

Известно, что в геометрии расчеты ведутся в трёх измерениях - длина, высота, ширина. Но также на данный момент, человечество оперирует не менее чем четырьмя понятиями о пространственных величинах.

Но ее часто называют «сухой», поскольку она не способна описать форму многих природных объектов, ведь облака – это не сферы, горы – не конусы, а молнии распространяются не по прямым линиям. Многие объекты в природе отличаются сложностью форм в сравнении со стандартной геометрией.

В мире существует ряд удивительных фигур, которые обычно не изучаются на школьных уроках геометрии, но именно они окружают человека в реальном мире: в природе и архитектуре, головоломках, компьютерных играх и т. д.

Гипотеза проекта: в мире существуют необычные геометрические фигуры, которые невозможно объяснить с точки зрения традиционной геометрии.

Цель проекта: изучить необычные геометрические фигуры.

Задачи проекта:

- рассмотреть необычные треугольники, квадрат, кривые и необычные предметы.

1. Необычные треугольники

Оказывается, в нашем мире существуют треугольники, которые совсем не похожи на те треугольники, которые м все знаем с детства. Первый из них – треугольник Рёло. Треугольник Рёло представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Его можно построить с помощью одного циркуля, не прибегая к линейке (рис. 1). Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выберется произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей. Треугольник Рёло является плоскойгеометрической фигурой[3].

Рисунок 1 – Треугольник Рёло

По мнению историков, название это «непростой» простой фигуре дал немецкий механик Франц Рёло, живший с 1829 по 1905 годы. Многие историки сходятся в том, что именно он стал первооткрывателем свойств этой геометрической фигуры.

Франц Рёло первым дал доскональные определения понятиям «кинетическая пара», «кинетическая цепь». Он впервые показал возможность связи между основами механики и конструирования. То есть, связал теорию и практические проблемы конструирования. Это позволило создавать механизмы в совокупности их функциональных возможностей с внешней привлекательностью/эстетичностью. Иные исследователи первооткрывателем этой фигуры признают Леонарда Эйлера, который уже тогда продемонстрировал возможность его создания ее из трех окружностей. А третьи «увидели» треугольник Рёло в рукописях гениального Леонардо Да Винчи. Манускрипты этого естествоиспытателя, с изображением этой «простой» фигуры, хранятся в Мадридском кодексе и в Институте Франции. Но кто бы ни был первооткрывателем, этот «не простой» треугольник получил широкое распространение в современном мире[3].

Существует еще один удивительный треугольник - геометрическая фигура, используемая для составления других фигур – полиамонд (рис.2). Он представляет собой многоугольник, сформированный из нескольких равносторонних треугольников равного размера.

Рисунок 2 - Полиамонд

Название придумал математик Т. О’Бейрн на основании одного из названий ромба в английском языке – диамонд, который можно составить из 2-х равносторонних треугольников. По аналогии, фигуру из 3-х равносторонних треугольников О’Бейрн назвал триамондом, из 4-х – тетриамондом и т. д[3].

Главным вопросом их существования остается вопрос о возможном количестве полиамондов, которые можно составить из определенного количества треугольников. Применение полиамондов в реальной жизни также аналогично использованию полимино. Это могут быть разного рода головоломки и логические задачи.

Трибар, созданный отцом и сыном Лайонелом и Роджером Пенроузами, который представляет собой изображение равностороннего треугольника, но имеет странные закономерности (рис.3). Стороны, образующие верхнюю часть треугольника кажутся перпендикулярными, но правая и левая грани в нижней части также кажутся перпендикулярными. Если рассматривать каждую часть этого треугольника по отдельности, еще можно признать их существование, но в действительности такая фигура существовать не может, поскольку при ее создании были неправильно соединены правильные элементы[3].

Рисунок 3 –Трибар

Тройной деформированный трибар - более глубокая разработка треугольника Пенроуза (рис.4).

Рисунок 4 – Деформированный трибар

На примере первого трибара можно было увидеть лишь одно невозможное соединение, а в этой фигуре – несколько. Вы на каждом шагу начинаете по-новому смотреть на нее – так получается с любым невозможным объектом. Предмет кажется довольно убедительным, но если вы попробуете построить что-то подобное в реальности, то у вас ничего не выйдет. Вот в чем суть всех невозможных объектов[4]!

2. Необычный квадрат

Тессеракт — четырёхмерный гиперкуб — аналог куба в четырёхмерном пространстве (рис.5). Согласно Оксфордскому словарю, слово tesseract было придумано и начало использоваться в 1888 Чарльзом ГовардомХинтоном в его книге «Новая эра мысли». Позже некоторые люди назвали ту же самую фигуру тетракубом — четырёхмерным кубом[2].

Рисунок 5 – Тессеракт

Полимино – это плоские геометрические фигуры, которые образуются за счет соединения нескольких квадратов равных размеров по их сторонам (рис.6).

Рисунок 6 - Полимино

Названия полимино зависят от количества квадратов, из которых они сформированы[2]:

- мономино – 1;

- домино – 2;

- тримино – 3;

- тетрамино – 4 и т. д.

При этом для каждой разновидности существует разное количество типов фигур: у домино 1 тип, у тримино – 3 типа, у гексамино (из 6 квадратов) – 35 типов. Число различный вариаций зависит от количества используемых квадратов, но при этом еще никому из ученых не удалось найти удивительную формулу, которая будет выражать эту зависимость. Из деталей полимино можно выкладывать как геометрические фигуры, так и изображения людей, животных, предметов. Несмотря на то, что это будут схематичные силуэты, основные признаки и формы предметов делают их вполне узнаваемыми[2].

Полимино использовались в занимательной математике по крайней мере с 1907 года, а известны были ещё в древности. Многие результаты с фигурами, содержащими от 1 до 6 квадратов, были впервые опубликованы в журнале «FairyChessReview» в период с 1937 по 1957 г., под названием «Проблемы рассечения». Кроме того, полимино широко используются в различных головоломках и логических задачах.

3. Необычные кривые

Лента Мебиуса - одна из самых необыкновенных трехмерных фигур в геометрии, которую легко сделать в домашних условиях (рис.7). Для этого достаточно взять бумажную полоску, ширина которой в 5-6 раз меньше ее длины, и, перекрутив один из концов на 180°, склеить их между собой.

Рисунок 7 – Лента Мебиуса

Если все сделано правильно, то можно проверить самостоятельно ее удивительные свойства[5]:

- Наличие только одной стороны (без разделения на внутреннюю и внешнюю). Это легко проверить, если попробовать закрасить карандашом одну из ее сторон. Независимо от того, в каком месте и направлении будет начато закрашивание, в результате вся лента будет закрашена одним цветом.

- Непрерывность: если вести ручкой линию вдоль всей поверхности, ее конец соединится с начальной точкой без пересечения границ поверхности.

- Двухмерность (связность): при разрезании ленты Мебиуса вдоль она остается цельной, просто получаются новые фигуры (к примеру, при разрезании надвое получится одно кольцо большего размера).

- Отсутствие ориентированности. Путешествие по такой ленте Мебиуса всегда будет бесконечным, оно приведет к начальной точке пути, только в зеркальном отображении.

Лента Мебиуса широко используется в промышленности и науке (в ленточных конвейерах, матричных принтерах, механизмах для заточки и пр.). Кроме этого существует научная гипотеза, по которой сама Вселенная также представляет собой ленту Мебиуса невероятных размеров.

4. Необычные предметы

Бесконечная лестница, авторство которой также принадлежит отцу и сыну Пенроузам, поэтому ее часто называют по их имени – «лестницей Пенроуза», а также «Вечной лестницей» (рис.8).

Рисунок 8 – Вечная лестница

На первый взгляд, она выглядит как обычная, ведущая вверх или вниз лестница, но при этом человек, шагающий по ней будет непрерывно подниматься (против часовой стрелки) или опускаться (по часовой стрелке). Если визуально путешествовать по такой лестнице, то по окончании «путешествия» взгляд останавливается в точке начала пути. Если бы такая лестница существовала в действительности, по ней пришлось бы подниматься и спускаться бесконечное число раз, что можно сравнить с бесконечным сизифовым трудом[6].

Невозможный трезубец – удивительный объект, глядя на который невозможно определить, где начинается средний зубец (рис.9). Он также основан на принципе неправильных соединений, которые могут существовать только в двухмерном, но не трехмерном пространстве. Рассматривая части трезубца по отдельности, с одной стороны видны 3 круглых зуба, с другой стороны – 2 прямоугольных.

Рисунок 9 – Невозможный трезубец

Таким образом, части фигуры вступают в своеобразный конфликт: во-первых, происходит смена переднего и заднего плана, во-вторых круглые зубцы в нижней части трансформируются в плоские в верхней.

Главное свойство этой сложной геометрической фигуры – самоподобие, то есть она состоит из нескольких частей, каждая из которых подобна целому объекту. Это фрактал (рис.10). Именно это свойство отличает фракталы от объектов классической (или, как говорят, евклидовой) геометрии [6].

Рисунок 10 – Фрактал

При этом сам термин «фрактал» не является математическим и не имеет однозначного определения, поэтому может применяться к объектам, которые являются самоподобными или приближенно самоподобными. Его придумал в 1975 г. Бенуа Мандельброт, позаимствовав латинское слово «fractus» (ломанный, дробленный).

Фрактальные формы как нельзя лучше подходят для описания реального мира и часто встречаются среди природных объектов: снежинок, листьев растений, системы кровеносных сосудов человека и животных. А еще очень широко используется фрактальная графика.

Заключение

Великий русский ученый Михаил Васильевич Ломоносов говорил: «Математику уже только потому учить надо, что она в порядок ум приводит». Доказано, что математика развивает уровень общего развития, скорость мышления и сообразительность человека.

Для того чтобы процесс познания этой поистине великой науки проходил более увлекательно, и подготовлена эта работа.

Освещение информации о геометрических фигурах, изучение которых не входит в разделы,изучаемые в рамках школьной программы, позволяет слушателям приобрести новые знания и иными глазами посмотреть на знакомые предметы.

Список использованной литературы

1. Букашин А.В. Геометрические формы. - М.: Стрекоза. - 2012.

2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. — Пер. с англ. Ю.А. Данилова. — М.: Мир, 2011. — 511 с.

3. Геометрия. Площадь и объем геометрических фигур (миниатюрное издание). - М.: АСТ, Астрель, Планета знаний. - 2013.

4. Удивительные фигур - https://im-possible.info/.

5. Удивительные фигур в геометрии - https://qwizz.ru/.

6. Шалаева Г.П. – Геометрические фигуры. – М. АСТ. – 2010.