Теория вероятности.
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)
В данном пособии представлены задания, которые вызывают у учащихся больше всего затруднений при подготовке к ЕГЭ по математике (профильный уровень) по теме "Теория вероятности"
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 teoriya_veroyatnosti.docx | 1004.35 КБ |
Предварительный просмотр:
Теория вероятности (подготовка к ЕГЭ)
(в данном пособии представлены задания, которые вызывают у учащихся больше всего затруднений)
1. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. |
Решение:
1-ый способ
Пусть в первом хозяйстве агрофирма закупает x яиц, в том числе, 0,4x яиц высшей категории, а во втором хозяйстве — y яиц, в том числе 0,2y яиц высшей категории. Тем самым, всего агроформа закупает (x+y) яиц, в том числе (0,4x+0,2y) яиц высшей категории. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц, тогда:
Следовательно, у первого хозяйства закупают в три раза больше яиц, чем у второго. Поэтому вероятность того, что купленное яйцо окажется из первого хозяйства равна:
Ответ: 0,75
2-ой способ
Пусть х — искомая вероятность того, что куплено яйцо, произведенное в первом хозяйстве. Тогда (1-х) — вероятность того, что куплено яйцо, произведенное во втором хозяйстве. По формуле полной вероятности имеем:
Ответ: 0,75
2. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35% этих стекол, вторая – 65%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 5%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. |
Решение:
1-ый способ
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,35 · 0,03 = 0,0105.
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,65 · 0,05 = 0,0325.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0105 + 0,0325 = 0,043.
Ответ: 0,043
2-ой способ
Если обозначить всё количество стёкол для автомобильных фар за х, то первая фабрика выпускает 0,35х стёкол, а вторая – 0,65х. Количество выпуска бракованных стёкол первой фабрикой равно 0,03∙0,35х, второй – 0,05∙0,65х. Следовательно, количество всех бракованных стёкол равно 0,03∙0,35х + 0,05∙0,65х = 0,043х. По определению, вероятность .
3. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. |
Решение:
1-ый способ
Вероятность того, что кофе останется в первом автомате, равна Р(А)=1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате, равна Р(В)=1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна P(А+В)=1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность х = 0,52.
Ответ: 0,52
2-ой способ
Рассмотрим события
А = кофе закончится в первом автомате,
В = кофе закончится во втором автомате.
Тогда
A·B = кофе закончится в обоих автоматах,
A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.
По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.
События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.
Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.
Ответ: 0,52
4. В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе. |
Решение:
В классе 21 учащийся. 3 равные группы — это группы по 7 человек. Пусть Вадим находится в одной из трех групп. Тогда для Олега в группе Вадима остается 6 мест из 20 возможных. Вероятность того, что Вадим Олег окажутся в одной группе, найдем по схеме вычисления классической вероятности, то есть как отношение числа «благоприятных» вариантов (их шесть) к общему числу вариантов (их количество равно двадцати). Таким образом, вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе:
6:20 = 0,3.
Ответ: 0,3
5. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. |
Решение:
Вероятность того, что Джон схватит пристрелянный револьвер .
Вероятность того, что Джон схватит непристрелянный револьвер .
Вероятность того, что Джон промахнется схватив пристрелянный револьвер 1-0,8=0,2.
Вероятность того, что Джон промахнется схватив непристрелянный револьвер 1-0,2=0,8.
Вероятность того, что Джон промахнется
Ответ: 0,68.
6. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 9. Результат округлите до тысячных. |
Решение:
Найдем общее количество исходов:
1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | ||
1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 6 | 1 | ||
1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 1 | 6 | 2 | ||
1 | 1 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 6 | 3 | ||
1 | 1 | 4 | 1 | 2 | 4 | 1 | 6 | 4 | ||
1 | 1 | 5 | 1 | 2 | 5 | 1 | 6 | 5 | ||
1 | 1 | 6 | 1 | 2 | 6 | … | 1 | 6 | 6 |
Итого с единицей 6*6=36 вариантов. Так ка на кости 6 чисел и с каждой 36 вариантов, то всего 6*36=216 исходов.
Количество исходов, при которых в результате сумма выпавших очков равняется 9, равно 25:
1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | ||
1 | 2 | 6 | 2 | 1 | 6 | 3 | 1 | 5 | ||
1 | 3 | 5 | 2 | 2 | 5 | 3 | 2 | 4 | ||
1 | 4 | 4 | 2 | 3 | 4 | 3 | 3 | 3 | ||
1 | 5 | 3 | 2 | 4 | 3 | 3 | 4 | 2 | ||
1 | 6 | 2 | 2 | 5 | 2 | 3 | 5 | 1 | ||
2 | 6 | 1 |
1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | 1-й бросок | 2-й бросок | 3-й бросок | ||
4 | 1 | 4 | 5 | 1 | 3 | 6 | 1 | 2 | ||
4 | 2 | 3 | 5 | 2 | 2 | 6 | 2 | 1 | ||
4 | 3 | 2 | 5 | 3 | 1 | |||||
4 | 4 | 1 | ||||||||
Следовательно, вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна
Ответ: 0,116
7. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,05. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,04. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля. |
Решение:
Вероятность того, что батарейка неисправна, равна 0,05.
Вероятность того, что батарейка исправна, равна 1–0,05=0,95.
Вероятность того, что забракована неисправная батарейка, равна 0,96.
Вероятность того, что забракована исправная батарейка, равна 0,04.
Возможны 2 варианта:
1. батарейка будет исправна и она будет забракована : P1 = 0,95·0,04 = 0,038.
2. батарейка будет неисправной и она будет забракована P2 = 0,05·0,96 = 0,048
Так как может произойти только одно событие, находим сумма вероятностей:
Общая вероятность P = P1+P2 = 0,038+0,048 = 0,086
Ответ: 0,086
8. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. |
Решение:
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,5 · 0,3 = 0,15.
Ответ: 0,15
9. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу |
Решение:
На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5)4 = 0,0625.
10. Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. |
Решение:
Пусть A = «чайник прослужит больше года, но меньше двух лет», В = «чайник прослужит больше двух лет», С = «чайник прослужит ровно два года», тогда A + B + С = «чайник прослужит больше года».
События A, В и С несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность события С, состоящего в том, что чайник выйдет из строя ровно через два года — строго в тот же день, час и секунду — равна нулю. Тогда:
P(A + B+ С) = P(A) + P(B)+ P(С)= P(A) + P(B),
откуда, используя данные из условия, получаем
0,93 = P(A) + 0,87.
Тем самым, для искомой вероятности имеем:
P(A) = 0,93 − 0,87 = 0,06.
Ответ: 0,06
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок профильного курса «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики» Вероятность: мера случайности
Урок профильного курса «Элементы комбинаторики, теории вероятностей, статистики» Вероятность: мера случайности Цели урока: Вывод и отработка классического определения вероятности. Построение...
Самостоятельные работы по теории вероятностей 8 класс к учебнику Ю.Н. Тюрина и др. "Теория вероятностей и статистика"
В помощь учителю, преподающему теорию вероятностей и статистику по учебнику Ю.Н. Тюрина, А.А. Макарова и др., я составила варианы самостоятельных работ в 8 классе. Номера заданий тематически и по...
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ внеурочных занятий по теории вероятностей и статистики «Вероятность и статистика в нашей жизни»
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ внеурочных занятий по теории вероятностей и статистики «Вероятность и статистика в нашей жизни» 1 час в неделю, 34 часа в год...
Предмет теории вероятности. Вероятность случайного события.
О некоторых событиях мы твердо можем сказать, что они произойдут. В наступлении других событий мы не так уверены.Например, в самый жаркий солнечный день мы твердо уверены, что лето кончится, наступит ...
Исследовская работа "Теория вероятности. Формулы полной вероятности и Байеса."
Теория вероятности - математическая наука, которая изучает математические модели случайных явлений, вычисляет вероятности наступления определенных событий.Следует помнить то, что мы живем в мире, где ...
Презентация "Основные понятия теории вероятностей. Формула нахождения вероятности события."
Урок включает в себя объяснение нового материала, в ходе которого вводятся основные понятия теории вероятностей, большое количество примеров, на которые заготовлено решение с помощью алгоритма, а зате...