статья "А.Л. Тоом и его методика обучения математике"
статья по математике

А.Л. Тоом и его методика обучения математике

Насколько я помню, текстовые задачи всегда присутствовали в математическом образовании в России. Никто не подвергал сомнению их важность в обучении, и никто не считал их особенно сложными. Уже в начальной школе дети решают некоторые простые задачи. С годами задачи становятся все сложнее. В результате выпускники многих средних школ имеют достаточный опыт в решении задач, так что университеты могут идти дальше. Это всегда было справедливо и для нероссийских частей СССР и некоторых других стран. Естественно, что, когда я стал взрослым и сам начал преподавать, я использовал множество текстовых задач. Теперь, более чем когда-либо, я уверен, что умение решать простые текстовые задачи практически совпадает с основами математической грамотности. Помимо простых, есть много более сложных текстовых задач, так что вы можете многое добавить к опыту своих студентов, продвигая их от элементарных к более сложным задачам, то есть — к профессиональной математике. Простые текстовые задачи еще более полезны тем, кто никогда не станет профессиональным математиком.

С тех пор, как я прибыл в Америку, я каждый год преподавал на университетском уровне. Хотя сейчас я не преподаю на школьном уровне, я отлично знаю, как подготовлены мои студенты. Многие из моих теперешних студентов, похоже, имеют весьма мало опыта в решении задач в школе, так что мне приходится восполнять этот пробел. Более того, я обнаружил, что даже простые задачи считаются здесь сложными. Например, Милдред Джонсон, посвятившая очень полезную книгу (1) подробным объяснениям, как решать простейшие задачи, пишет в предисловии: «В алгебре нет области, вызывающей у учащихся больше затруднений, чем решение текстовых задач». Так что я решил объяснить, как я использую задачи, преподавая колледж-алгебру в университете Воплощенного слова. (Колледж-алгебра — это первый курс математики университетского уровня в нашем университете.)

Я прихожу в класс с солидным запасом мела и губок. Во время занятия я приглашаю к доске по четыре студента одновременно и диктую задачу всем четверым сразу. Задачи одинаковые, кроме одного параметра. Например, я говорю им:

Задача 1. У Мэри в копилке сто монет, несколько по десять центов, остальные по 25 центов. Всего у нее...

Пока студенты пишут это, я соображаю, что, если бы все монеты были по десять центов, у Мэри было бы десять долларов. Если некоторые десятицентовики заменить на монеты по 25, ее капитал увеличивается кратно 15 центам. Итак, я продолжаю, обращаясь к каждому из студентов по очереди:

...тринадцать, шестнадцать, девятнадцать, двадцать два доллара. Сколько у Мэри монет по десять центов и сколько по двадцать пять центов?»

Очень скоро студенты понимают, чего я хочу, и почти не тратят времени на то, чтобы записать это правильно.

Я говорю студентам, что когда они находятся у доски, они «учителя» и должны стараться писать разборчиво, чтобы другие их поняли. Если студент использует переменную, скажем, Х, я требую написать, что это Х значит. Для некоторых это трудно, и эта трудность полезна, поскольку заставляет их думать четче. Иногда я прошу объяснить решение вслух, адресуясь к аудитории. (В противном случае, они склонны шепотом обращаться ко мне или к доске.) Я также говорю им, что только во время контрольных общаться запрещено, во всех других случаях они могут и должны помогать друг другу. Например, если студент у доски в растерянности, товарищ идет ему на помощь, и этот опыт полезен им обоим. В силлабусе (100) я написал: «Важно понимать, что учеба — не соревнование. Успех другого студента — не ваш провал, и провал вашего товарища — не ваш успех».

Решение обычно занимает от пяти до десяти минут. Каждый из оставшихся на местах должен выбрать одну их четырех версий и работать над ней в то же время. Они делают это охотно, потому что знают, что я разрешу пользоваться записями во время контрольных. Я говорю им: «Если кто-то у доски делает ошибку, это ваша ошибка, потому что вы должны проверять друг друга. У меня нет времени проверять каждое вычисление. Даже если я вижу, что на доске написано неправильно, не скажу». (На самом деле я не оставляю ни одной ошибки неисправленной.) Время от времени в разных углах аудитории образуются группы студентов, обсуждающих задачу. Когда все четыре варианта решены, я спрашиваю: есть ли вопросы. Я также делаю комментарии, объясняя, что одна и та же задача может решаться разными способами, используя одну или две переменные или вовсе неалгебраически.

Таким путем я исправляю многие скверные привычки у студентов. Одна — это небрежная и неразборчивая манера записи. Складывая дроби или проделывая другие арифметические преобразования, некоторые студенты покрывают всю доску пересекающимися строчками и промежуточными результатами. Становится невозможно понять, что сделано, как сделано, правильно или нет и где ошибка. Другая плохая привычка - «немедленное стирание»: как только я говорю, что решение, записанное на доске, неверно — иногда даже если я говорю. что не понял, и спрашиваю, что это значит — все немедленно стирается, делая дальнейшую дискуссию невозможной.

Я напоминаю студентам, что они должны ответить на заданные вопросы и мы обсуждаем, что эти вопросы значат. Например, многие не могут сообразить, какое неизвестное имеется в виду, если их спрашивают: «Как далеко...?» или «Когда...?», или «Сколько времени понадобится...?» или «Как быстро...?». Мне приходится учить студентов тому, что при составлении уравнения они должны выбрать единицу измерения для каждой величины. Для денег — это доллары или центы и, что бы они ни выбрали, им придется привести все денежные данные к этой единице. Для времени это обычно часы или минуты, и все временные данные нужно унифицировать. Может быть, придется напомнить, что в часе 60, а не 100 минут. (Некоторые студенты, когда нужно превратить 1/3 часа в минуты, хватаются за калькулятор и получают в итоге 33,3 минуты.)

Мне приходится учить студентов организовывать данные. Прекрасный способ — помещать данные в таблицу. Позвольте показать, как это делается, на следующем примере.

Задача 2. Сколько чистой воды нужно добавить к 100 граммам 60% раствора кислоты, чтобы получить 20% раствор?

Большинство моих студентов не могут решить такую задачу, если я не дам им «шаблон» организации данных. Например, полезно разместить их в следующей таблице:

[Здесь по техническим причинам не воспроизведена таблица, имеющаяся в оригинале статьи. Она содержит четыре столбца, содержимое ячеек которой в каждой строке отделяется вертикальной чертой. — А.Ш.]

| Величины | Дано | Добавлено | Всего |
| Общая масса (г) | 100 | Х | 100 + Х |
| Процент кислоты | 60%=0,6 | 0%=0 | 20%=0,2 |
| Масса кислоты (г) | 0,6*(100)=60 | 0 | 0,2*(100 + Х) |

Поскольку количество кислоты не меняется в процессе, мы можем написать уравнение 60 = 0,2*(100 + Х), решив которое, получим ответ:
Х = 200 граммов.

Позвольте мне перечислить некоторые умственные операции, которые должны сделать студенты в ходе этого решения. (Все они нетривиальны, и в начале обучения студенты делают много ошибок.)

Написать подходящие и понятные названия строк и столбцов, такие, как:

• «дано», «добавить», «всего», «объем» и так далее;
• разместить данные в соответствующих клетках;
• сообразить, что когда две смеси сливаются вместе, общая масса равняется сумме масс ингредиентов;
• сообразить, что. когда две смеси, содержащие кислоту, сливаются вместе, общее количество кислоты равняется сумме количеств кислоты в ингредиентах;
• сообразить, что чистая вода содержит 0% кислоты;
• заметить, что последнюю клетку можно заполнить двумя разными способами,
• следовательно, эти выражения равны одно другому, вследствие чего возникает уравнение, которое можно решить, чтобы получить ответ.

Я также говорю студентам следующее:

• пишите аккуратно;
• пишите каждый знак разборчиво;
• пишите каждое уравнение полностью и разборчиво, чтобы легко было проверить;
• аккуратно чертите таблицы;
• пишите цифры «0», «6» и «8» так, чтобы они отличались друг от друга;
• пишите цифры «1» и «7» так, чтобы они отличались друг от друга;
• не пишите букву «l» как вертикальную черту, она должна отличаться от цифры 1;

и много других вещей, очевидных для тех, у кого были хорошие учителя в детстве.

И это все математика? Ответ, конечно, зависит от того, как мы определяем математику. Но в любом случае, всему этому необходимо учить, иначе математики не будет.

Понятно, что большинство студентов не могут придумать все это самостоятельно. Я должен им сказать, и в этом нет ничего предосудительного. Даже этот курс для многих студентов слишком сложен. Некоторые колледж-алгебру вообще не изучают. Некоторые из тех, кто учит, стараются свести решение задач к еще более простым правилам. И нет ничего удивительного в таких трудностях. Вспомните, что алгебра у нас не в генах: она у нас в культуре. Передача культуры требует объяснений. Если объяснений не дано, человек теряется: неверно разносит данные по клеткам, путается в отношениях между расстоянием, временем и скоростью и т.д. Это не глупость или неполноценность; это недостаток выучки.

Одна из трудностей, которую я подбрасываю самым сильным студентам, это «невозможные» задачи. Предположим, я вызываю четверых к доске и диктую:

Задача 3. В полдень Боб вышел пробежаться трусцой со скоростью 5 миль в час. Часом позже Анна отправилась по тому же маршруту на велосипеде и догнала его (адресуясь каждому студенту по очереди) в 4, 6, 8, 10 милях от дома. Какова была скорость Анны?

Все четверо берутся за решение сходным способом. После всех мучений трое получают приемлемый ответ, но у первого ответ отрицательный. Я прошу всех помочь. Мы проверяем вычисления и видим, что ошибки нет. Иногда кто-нибудь из студентов дает верное объяснение, иногда мне приходится заметить, что, когда Анна только выехала, а Боб был уже в пяти милях от дома. Так или иначе, я довожу до сознания студентов, что они должны уметь проверить результаты своих вычислений, противоречащие здравому смыслу, и при необходимости заявить, что «ответа нет».

Самым важным для меня как учителя математики является следующее:

Научить студентов лучше понимать и использовать родной язык, чтобы точно передавать информацию;
Развивать способность студентов представлять информацию с пользой для постановки и решения задач;
Учить студентов переводить один в другой различные способы представления: естественный язык, алгебру, таблицы, графы;
Улучшить их манеры (разборчивый почерк, результативное общение, включая умение объяснить и понять объяснение).

Чтобы этого добиться, студентам необходимо дать определенные и точные «правила игры». Должно быть ясно, что дано, что спрашивается и как отличить верный ответ от неверного. Задачи, подобные описанным выше, для этого очень хороши.

Это можно иллюстрировать следующим примером. Однажды студентка попросила моей помощи при решении задачи, подобной Задаче 2. Я ответил: «Составьте таблицу». «Это обязательно?» — спросила студентка раздраженно. «Нет, но поскольку вы говорите, что не знаете, что делать, составьте таблицу». Студентка нехотя снизошла до составления таблицы, словно делая одолжение старому педанту, и решила задачу. Я сказал: «Теперь кое-что о преподавании. Вы просили меня помочь. Я помог?» — «Да». — «Но я же ничего не сказал». — «Вы сказали, чтобы я строила таблицу». Решение задач помогает студентам организовать свои мысли.

В ходе такого преподавания я пришел к выводу, что - учить понимать и разумно использовать естественный язык — одна из наиболее насущных задач математического образования. В этом смысле всенародное математическое образование одновременно и гораздо меньше, и гораздо больше, чем обучение математике. Меньше, поскольку большинство студентов никогда не достигнут уровня профессиональных математиков. Больше, потому что математика — важная часть современной цивилизации, которая не заложена у нас в генах и требует выучки, чтобы передаваться следующему поколению.

Вы можете спросить: «Зачем нужно учить студентов их родному языку, если все они и так уже его знают?» Но есть разные уровни знания родного языка. Не требуется сколько-нибудь глубокого знания, чтобы обмениваться обычными приветствиями: «Привет! — Привет! — Как дела? — Отлично. — Ну, давай». Нужно гораздо больше, чтобы понять текст, описывающий какую-либо систему или формальное соотношение. Сестра Тереза Грабер, преподающая школьную алгебру (тем студентам колледжа, которые ее не знают), заметила: «Когда мои ученики не могут решить задачу, мы с ними обсуждаем, почему они этого не могут, и приходим к выводу, что они не умеют читать». Я возразил: «Но это же не в буквальном смысле». Она согласилась: «Нет, конечно. Я имею в виду недостаток понимания».

Я часто прошу студентов объяснять друг другу решения и считаю, что это исключительно ценный для них опыт. Когда студенты делают движения, изображающие такие «реальности», как движение автомобилей или течение в реке, они делают абстракции почти видимыми и осязаемыми. Я говорю «абстракции», потому что эти автомобили и течения не реальны и в этом их большое преимущество. Поскольку водители, насосы и другие «реальности», упоминаемые в задачах, очищены от незначащих деталей, они служат полуабстракциями, все же понятными для новичков. Это делает задачи отличным питомником для начального изучения математики и естественных наук. После обсуждений мои студенты пишут уравнения, в которых каждый знак основан на их зрительном и моторном опыте. Радость понимания, которую они ощущают — самая достойная награда за математическую работу. Именно эта награда соответствует целям и результатам обучения.

Методика обучения математике - заключение

Простые традиционные текстовые задачи необходимы для массового математического образования. Их главная функция — служить начальному развитию абстрактного мышления, а не прилагаться к практике в буквальном смысле. Многие выпускники школы не могут решить даже простые задачи, и университетам приходится наверстывать это. Возможно и желательно учить решать задачи гораздо раньше, уж во всяком случае не позднее, чем в старших классах.
Я полностью отвечаю за эту статью, хотя искренне благодарен тем, кто любезно отредактировал ее раннюю версию, особенно Мэдж Голдман и Ральфу А. Рейми.

Mildred Johnson (1992). How to solve word problems in algebra. A solved problem approach. Updated First Edition. McGraw-Hill.

Методика обучения математике - наши комментарии

1. На мой вопрос, что такое силлабус, Андрей Леонович прислал ответ, который показался мне слишком длинным для вставки в нужном месте, но он важен для понимания смысла сказанного. Поэтому этот ответ приводим здесь: «Английское слово «syllabus», употребляемое мною в статье, означает листок, приготовляемый учителем в начале курса и раздаваемый всем студентам. Он содержит необходимую информацию: название курса, имя преподавателя, дни и часы занятий, дни и часы консультаций — когда профессор сидит в своем кабинете и студенты могут приходить разговаривать с ним, краткое содержание курса, рекомендуемая литература и проценты, из которых складывается отметка — контрольные, финальный тест и т.д.»
2. В данной статье Андрей Леонович ставит задачу показать применение алгебраического способа решения задач, но на практике он показывает и другие способы решения, о чем говорится в другой его статье. Покажем арифметический способ решения задачи 2. В ней требуется уменьшить концентрацию раствора в 60:20 = 3 раза. Для этого достаточно увеличить общую массу раствора в 3 раза (при доливании воды масса кислоты не изменяется). Это означает, что воды надо долить 100*3 – 100 = 200 граммов.