Конференция 2014, история чисел, реферат.
творческая работа учащихся по математике (6 класс)

ВВЕДЕНИЕ

Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет...

Г.В. Лейбниц.

Все науки возникли из практики. Знания, которые лежат в основе разных наук, человек приобретал в борьбе с опасными для него явлениями природы, и конечная цель наук – создание условий, наиболее благоприятных для существования человека.

Числа – это выражение определенного количества чего-либо. В течение тысячелетий люди использовали пальцы рук и ног, но это было не очень удобно при обозначении большого количества. Возникла необходимость более удобного способа выражения количества. Таким способом является запись чисел при помощи специальных знаков – цифр.

Тема «История возникновения чисел» актуальна в современном мире, и очень важна для нашего развития, так как в настоящее время наше общество постоянно пользуется числами.

                                              ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЙ

В современном мире человек постоянно пользуется числами, даже не задумываясь об их происхождении. Без знания прошлого нельзя понять настоящее. Поэтому целью данной работы является исследование истории возникновения чисел, связанной с необходимостью выражения всех чисел знаками.

     Итак, работа состоит из нескольких этапов:

1.   Подбор и изучение научной литературы, чтобы с ее помощью узнать об истории возникновения чисел;
2. Установление связи между возникновением чисел и необходимостью выражения всех чисел знаками;
3. Рассмотрение знаков-чисел разных народов;
4.   Установление чисел- симВОЛОв

6     Анкетирование учащихся.

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ЧАСТЬ

1. Возникновение слова «математика»

Слово «математика» возникло в Древней Греции примерно в V веке до нашей эры. Происходит оно от слова «матема» - «учение», «знания, полученные через размышления» (3, стр. 10).

Древние греки знали четыре «матемы»:

1. учение о числах (арифметика);
2. теорию музыки (гармонию);
3. учение о фигурах и измерениях (геометрию);
4. астрономию и астрологию.

В древнегреческой науке существовало два направления. Представители первого из них, возглавляемые Пифагором, считали знания предназначенными только для посвященных. Никто не имел права делиться своими открытиями с посторонними. Представители второго направления, напротив, считали, что математика доступна всем, кто способен к продуктивным размышлениям. Они называли себя математиками. Победило второе направление.

2. Счет у первобытных людей

Считать люди научились еще в незапамятные времена. Сначала они различали просто один или много предметов. Прошли сотни лет, прежде чем появилось число 2. Счет парами оказался очень удобен, и не случайно у некоторых племен Австралии и Полинезии до последнего времени были только два числительных: один и два, а все числа больше двух получали название в виде сочетания этих двух числительных. Например, три - «один, два»; четыре - «два, два»; пять - «два, два, один». Позже появились особые названия для чисел. Сначала для небольших чисел, а потом для все больших и больших. Число - одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Пальцы всегда при нас, то и считать стали по пальцам. Таким образом, наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна являются пальцы рук и ног (3, стр. 13).

Запоминать большие числа было трудно, и поэтому кроме пальцев рук и ног «задействовались» другие «приспособления». Например, перуанцы использовали для этого разноцветные шнурки с завязанными на них узлами. Веревочные счеты с узелками были в ходу в России, а также во многих странах Европы. До сих пор иногда завязывают узелки на носовых платках на память.

Засечки на палочках применяли в торговых сделках. Палочки после окончания расчетов разламывали пополам, одну половинку брал кредитор, а другую - должник. Половинка играла роль «квитанции». В деревнях использовали счеты в виде зарубок на палках.

На более высокой стадии развития люди при счете стали применять разные предметы: использовали камешки, зерна, веревку с бирками. Это были первые счетные приборы, которые, в конце концов, привели к образованию разных систем счисления и к созданию современных быстродействующих электронных вычислительных машин.

Цифры у разных народов

Числа древнего Египта

Числа древнего Египта построены грамотно и логично. Рационализм и четкость отличают эти системы счисления от аналогичных попыток других народов. Цифры значением меньше десяти обозначались ׀. Например, цифра 6 выглядела как ׀׀׀׀׀׀. Число 10 обозначалось перевернутой подковой в иероглифической системе и особым символом – в иератической. Сколько десятков в числе, столько и «подков». Иератическая система письменности предполагала для каждого числа, на десяток выше предыдущего, отдельный символ. Начиная от 100, это была стилизованная клюшка, над которой с каждой новой сотней ставили крохотную пометку. В иероглифах все проще. Число 100 выглядело почти как арабская цифра 9, но египтяне назвали ее лотосом. Далее все аналогично: 200 – 2 «лотоса», 300 – 3 и т.д.

Древний Вавилон

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500 тыс., из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров -- клинописное письмо, счётная методика и т. П

Цифры древней Греции

Под плеядой легендарных античных математиков и философов сформировалось две системы счисления. Каждая из них приносила свои преимущества, но они не были открыты или доработаны в связи с политико-культурными переменами.

Аттическую систему можно было бы назвать десятичной, если бы в ней не была выделена цифра 5. Аттическая запись чисел использовала повторы коллективных символов, что напоминало месопотамский метод. Единицу обозначала черта, написанная нужное количество раз. Таким образом записывались числа до 4. Цифра 5 была под первой буквой слова «пента», 10 – под первой буквой слова «дека» («десять») и т.д

Числа древнего Рима

Легкоузнаваемые, четкие, строгие и ясные обозначения стали весьма удачным изобретением римлян. Пройдя сквозь века, символы остались практически неизменными еще и потому, что Рим пользовался влиянием на древней государственной арене. А также перенимал некоторые культурные особенности у завоеванных народов. Бросается в глаза алфавитное обозначение цифр – главная «изюминка» аттической системы. Цифра V (5) – прототип ладони с раскрытыми пятью пальцами. Стало быть, Х (10) – две ладони. Палочками указывали единицы, а для сотен и тысяч предназначены прописные буквы алфавита

Цифры древнего Китая

Система сложных, абстрактных иероглифов, в которую превратились невинные зарубки на гадальных костях, мало где применяется. Впрочем, иероглифы используются для формальных записей, а упрощенный набор символов применяется в повседневной жизни

Числа в древней Руси

Как ни странно, Русь повторила алфавитную систему счисления. Каждая цифра была названа соответствующей ее рангу буквой алфавита. Цифра 1 выглядела как «А», 2 – «Б», 3 – «В» и т.д. Десятки и сотни также были подписаны соответствующими буквами славянского алфавита. Чтобы не путать в тексте слова с цифрами, над числовыми записями рисовали титло – горизонтальную волнистую линию.

Древнеиндийские цифры

Сколько бы ни спорили ученые, сколько бы изменений ни претерпевала форма цифр, но возникновение арабских, «наших» цифр приписывают древней Индии. Возможно, арабы позаимствовали древнеиндийскую систему счисления, или изобрели ее сами. Причиной научных мытарств стал фундаментальный математический труд Аль-Хорезми «Об индийском счете». Книга стала своеобразной «рекламой» десятичной позиционной системы.

ЗНАЧЕНИЕ ЧИСЕЛ У БУРЯТ

Любая культура, независимо от этнических и суперэтнических границ, является синтезом определенных символических систем, охватывающих такие общеизвестные проявления человеческой жизнедеятельности, как язык, религия, искусство, наука и др. Эти системы своими специфическими средствами раскрывают как отдельные стороны существующих физической и социальной реальностей, так и устанавливают взаимоотношения между последними, а также и самими символическими составляющими.

Если обратиться к восточной культуре, в частности, центральноазиатской, ограничив ее этнические рамки монголами и бурятами, то и в этом усеченном варианте феномена легко заметить его сугубую приверженность к традиционной образности, условности, некой знаковости, кодовости, предопределенности, вытекающих из самого характера символического мышления и мировоззрения кочевых скотоводов азиатских степей. Сказанное полностью соответствует и числовой символике монгольских народов.

Буряты, например, верили в магическое значение чисел, в их классифицирующую. Организующую, целеобразующую роль в природе и обществе. В их представлениях числа отнюдь не были только эквивалентами величины единичности или множественности объектов окружающей действительности, а отражали, прежде всего, внутреннюю, глубинную суть элементов мироздания в его связях и целостности. Они поэтому выражали не только количественные, сколько качественные показатели всего того, что присуще природе, обществу и сознанию.

Так, числа первого десятка, кроме градации их на нечетный и четный ряды, делились на мужские и женские, благоприятные и неблагоприятные, чистые и нечистые, свои и чужие, коды цвета, форм, образов и т.д. Все четные номинации данного разряда считались женскими числами, наиболее продуктивной, постоянной, устойчивой субстанцией вещей, явлений и человеческого общества. В то же время по причине своей «женскости», связанной с левой половиной тела и левосторонней географической ориентировкой вообще, они представлялись воплощением неблагоприятных, даже чуждых людям начал, вместилищем нечистых, потусторонних сил. Это явное противоречие в интерпретации значения четных чисел у бурят является, по всей вероятности, результатом смены матриархата патриархатом, когда прежние представления о «хороших женских числах» насильственно сменились на противоположные. А мужские, то есть нечетночленные числа, наоборот, перешли в статус «хороших»: благоприятствующих, чистых, своих, хотя их ассиметричный, неустойчивый субстрат противоречил принятым условиям

Одинарные числовые обозначения в большинстве своем играли роль классифицирующих, организующих символов, однако, с разной степенью надежности и, главное, конструктивности. Число ОДИН ассоциировалось с единством, целостностью, постоянством мироздания, иными словами, с мировым порядком.  Оно одновременно выступало в качестве вертикальной вселенской оси – «мирового дерева», связующего своими частями – кроной, стволом и корнями – воедино небесную, земную и подземную сферу жизни.  Подтверждением сказанного может служить бурятское название Полярной звезды, самой яркой точки в центре ночного небосвода, -Алтан гадаhан – Золотой кол (свая, столб). Это в сущности олицетворение «мирового дерева», той же невидимой космической оси, пронизывающей все три яруса мироздания.

В бытовом аспекте функцию сакрального дерева и мировой оси выполняли вертикальные конструктивные детали юрт: жердяная подпорка круга дымового отверстия войлочной кибитки и северо-западная колонна многоугольного сруба. В религиозной практике бурят для этой цели использовались ветвистые свежесрубленные березки с развесистыми листьями. На тайлганах – летних родовых либо племенных жертвоприношениях – обязательным элементом ритуала было втыкание в землю девяти священных березок. Схожий по значению ритуал с девятью березками соблюдался и в свадебной обрядности. Перед входом в юрту молодоженов, по обе стороны дорожки, в виде аллеи «высаживалось» четыре пары деревцов, а девятая березка, самая сакральная из них, вносилась через дымовое отверстие жилища. Она комлом устанавливалась на очажной площадке, в вертикальном положении так, чтобы  ее макушка едва выступала над дымоходом. В ее смысле как олицетворении единения, счастья и плодовитости брачующихся, словом, мирового дерева вряд ли приходится сомневаться.

Ту же идею «золотого столба», «мирового дерева», объединяющего все три мира и упорядочивающего отношения между ними, несла на себе бурятская коновязь – сэргэ. Она представляла круглый резной столб высотой около двух метров, разделенный на три яруса.  Верхний ярус, заканчивающийся на вершине луковкой, предназначался для привязи лошадей верховных небожителей бурятского шаманского пантеона; второй – со сквозным квадратным отверстием посредине – для лошадей обычных земных людей, включая гостей всех рангов; третий, самый последний по вертикали – для лошадей незваных представителей подземного царства.

Сэргэ вместе с тем не было только абстрактным символом гармонии вселенского ансамбля, а являлось оно и вполне конкретным обозначением центра определенной семейно-родственной территории, известной у бурят как «отог» или «утэг», и реальным хозяйственным объектом, к нему привязывали коней, верблюдов и других животных. Кстати сказать, слова «отог», «утэг» в своей полной форме «отогэн», «утэгэн» означают в бурятском и монгольском языках «земля, мать – земля, женский детородный орган», «шаманка» (удаган, одегон) и в начертании «отюкен» в монгольско-тюркских языковых  параллелях – «родная земля, породная земля, исконная земля предков» и т.д.

Как видно из приведенных примеров, с числом ОДИН у бурят связано немало общих и частных понятий-символов, отражающих как глубокие философские абстракции, так и обычные жизненные реалии.

В отличие от предыдущей величиной номинации, в большей мере раскрывающей вертикальную иерархическую  структуру мира, числоДВА устанавливало линейные взаимоотношения элементов бытия в горизонтальной плоскости. Будучи женским началом, своей дуальной сущностью оно утверждало динамическое равновесие между парными природными противоположностями: правой-левой, передней-задней сторонами пространства, длиной-шириной плоскости, теплым-холодным периодами года,  днем-ночью суток, мужской-женской половинами общества, добром-злом, силой-слабостью, белым-черным и рядом других конкретных оппозиций. Причем, в последних положительные начала, то есть правая, передняя стороны пространственной ориентации, длина линейном меры плоскости, тепло температурного режима гола и т.д., как в приведенных выше парах, представлялись мужскими, светлыми, активными проявлениями жизни, отрицательная (левая, задняя стороны, ширина, холод и т.д.) – женскими, темными, пассивными. В  соответствии с этими представлениями у бурят и юрты на правую (мужскую) и левую (женскую) половины, сидение по кругу – справа мужчины, слева – женщины,  при этом мужчины с подогнутой под себя левой ногой, а женщины с подогнутой под себя правой ногой, осмысление правой руки как руки благодати (хэшэгтэй гар), которой преподносили чарку водки, угощение, подарок и вообще совершали любые значимые жесты.

Стоит заметить, что известная философская формула «единство и борьба противоположностей» является научным отражением народных понятий о целостности и движущей силе мирового развития.

Число ТРИ в общемонгольской культурной символике выражает идею гармонии во вселенной в ее достаточно зыбком состоянии. Графически это выглядит как отрезок прямой на горизонтальной плоскости (число два) с опущенной на его центр линией вертикальной плоскости (число один). Тогда получается двухмерная фигура в двух касающихся плоскостях. Но оно может быть представлено и в виде равностороннего треугольника на одной либо двух плоскостях. В таком случае каждая сторона треугольника соответствует числу один.

Приведенные числовые конструкции воспринимались как знаки земной и небесной тверди, соединяющие и поддерживающие два основных яруса мироздания.

Числовая триада пользовалась широкой популярностью у бурят и монголов. Например, сезоны года у них складывались из трех периодов – двух переходных (начало и конец) и типичного (середина). Каждый период равнялся 30 долям (дням), всего же периодов в году насчитывалось 12. Месяц лунно-солнечного календаря номадов также делился на три части, каждая по 10 дней. Светлое и темное половины суток имели четкое трехчастное распределение: утро, день, вечер и вечер, ночь, утро. Вообще любое явление и предметы материального мира, в их представлениях, состояли из трех частей – начала, середины и конца. Даже очажные камни (дули) юрты устраивались из трех глыб, не говоря уже о таких популярных спортивных состязаниях, как эрын гурбан наадан – три игрища мужей, - представлявших конные скачки, борьбу и стрельбу из лука.

Пиктографические фигуры в виде горизонтальной черты, на центр которой опущен вертикальный отрезок, и равнобедренного треугольника применялись в качестве тамг (знаков собственности) у бурят и монголов. Первая из них именовалась у бурят либо hорьбо тамга (трость), либо алха тамга (молоток), у монголов – самопрялка и молоток. Вторая у бурят – гурбалжан (треугольник), шуулжан (в значении «клин»), у монголов – навес.

Таким образом, все представленные символы числа три свидетельствуют о том, что они олицетворяют неразрывную связь земли (горизонтальная линия) с небом (вертикальная прямая), со всемогущим добродетельным божеством монголоязычных народов.

А вот с числом  ЧЕТЫРЕ ассоциируют чисто визуальные обобщения о незыблемости, устойчивом равновесии бытия, проявляемого в двух главнейших его плоскостных уровнях, земном и небесном.

Земля, как известно, представлялась бурятам прямоугольной плоскостью с равными по длине сторонами, то есть квадратом, либо подквадратной фигурой с вогнутыми линиями. Символами неба, его графическими знаками выступали различные крестообразные фигуры: квадратный (греческий) крест, косой (андреевский) крест, головчатые кресты (свастики) разных конфигураций. Эти геометрические изображения демонстрировали гармонию, взаимосогласие, порядок в устройстве земного и небесного миров.

В практической деятельности и в воззрениях бурят они находили весьма разнообразное применение. В географической и календарной практике – это четыре стороны света (дурбэн зуг) – юг, запад, север, восток и четыре края земли (дурбэн хизаар) – юго-восток, юго-запад, северо-запад, северо-восток; четыре времени года (жэлэй дурбэн саг) – весна, лето, осень и зима и четыре недели месяца (hарын долоон хоног). В материальном и социально-духовном плане – это четыре стены юрты, четыре стенки очага и четыре столба жилища с четырьмя перекладинами; четыре племени бурят, калмыков и сорок четыре (двойная четверка) хошуна монголов, сорок четыре восточных небожителей бурят и т.д. В юридических знаках (тавры, клейма) – это кресты, четырехугольники и их различные сочетания.

Не меньшими, а, пожалуй, еще большими функциями обладало в глазах бурят и монголов число ПЯТЬ. Его части обозначали пять природных стихий и материальных элементов, как земля (шорой), огонь (гал), железо (тумэр), вода (уhан) и дерево (модон), соответствующих пяти основным естественным цветам – желтому, красному, белому, черному и голубому. В то же время оно явилось простейшей геометрической конструкцией вселенной (квадратная плоскость с вертикалью в центре) и философской моделью монгольского этноцентризма (в центре квадрата монголы, а спереди, справа, сзади и слева – другие народы).

Этноцентризм Центральной Азии (а не только монголов) нашел законченное оформление в вербальной формуле «табан унгэ, дурбэн хари улус» (народы пяти цветов и четырех чужих государств). В первой части фразы в духе восточной средневековой геополитической доктрины признается существующий факт заселенности «земного квадрата» разными народами, согласно цветопространственной ориентации с определенного центра. По установленной традиции отсчет велся от этого центра «вперед» (на юг), затем «вправо» (на запад), последовательно «назад» (на север) и наконец, «влево» (на восток). Центр соответствовал желтому цвету, юг – красному, запад – белому, север – черному и восток – голубому. Поскольку желтый отогэн по праву принадлежал «центровому» народу, в данном случае – монголам, то красный сектор обитаемого квадрата оказывался территорией южных народов, белый сектор – западных этносов, черный – северных племен и голубой – восточных этнических групп. Все вместе они составляли пятицветовую геоэтническую палитру, в которой было бы бессмысленно искать идентификацию с каким-либо конкретным народом или даже семьей народов.

Подобная попытка обречена, прежде всего, по той причине, что в указанных цветовых секторах одновременно сосуществовало множество этнических сообществ, имевших тенденции к изменению как качественного и количественного состава, так и самой территории расселения. Во-вторых, за исторически обозримое время у монгольских народов трижды переосмысливалось понимание направлений стран света, напрямую зависящее от способа ориентировки: восточная ориентировка была сменена на юго-восточную, а та, в свою очередь, на южную.

Вторая часть фразы «дурбэн хари улус» утверждает наличие в четырех земных секторах иных, чем у монголов, государств или государств – улусов, то есть народов – уделов, народов – владений, как понимал слово «улус» Б.Я. Владимирцов. Таким образом, государства четырех сторон горизонта и плюс коренной монгольский улус в центральном круге образуют сакральную числовую величину пять. Но это – не пять государств, а государства в пяти секторах квадратной модели земной плоскости.

В быту и обрядах бурят указанная номинация служит стержнем понятий: пять видов скота, пять видов пищи, пять частей туши барана, пять надрезов на ритуальной голове барана или лошади, пятьдесят пять западных небожителей (двойная пятерка) и т.д.

Но не вдаваясь в дальнейшие подробности. Сразу же перейдем к числу СЕМЬ, оставляя в стороне величину ШЕСТЬ, так как с ней не связано особо широких символических понятий, кроме шестиугольной геометрической фигуры, ассоциируемой с образом важнейшего монголо-бурятского светила – солнца.

В глобальном смысле число семь является выражением архитектоники вселенной: ее основания в виде квадрата в горизонтальной плоскости, центра – вертикальной прямой (золотой сваи, мирового дерева) и двух симметричных отрезков, соединяющих вершину вертикали с любыми противоположными углами «земного» квадрата. Эта модель мироустройства не считается устойчивой, поскольку ее завершающая деталь – «перекладина», перекинутая через центральный репер на два противостоящих угла, находится на единственной вертикальной плоскости. Она поэтому не является идеальной структурой мироздания.

В популярном преломлении с числом семь связаны у бурят представления об их первопредках и покровителях – Семи Старцах (по-бурятски, Долон убгэд), под которыми подразумевается созвездие Большой Медведицы. Семи днях недели, именуемых по названиям семи планет солнечной системы, семи стенах бурятской деревянной юрты для зимнего проживания, семи именных частях туши животного (передние и задние ноги, грудинка, крестец, позвоночный столб), семи ритуальных надрезах на голове барана и лошади, семи заездах, семью категориями лошадей с семилетними наездниками на народных праздниках и т.д.

С числом ВОСЕМЬ у бурят возникают представления об образах солнца, «краях» света, стенах деревянной юрты. Так солнце представлялось в виде восьми концентрических кругов или одного круга с восьмью ножками, отходящими от центра. Земное равновесие, гармония бытия мыслилась в виде квадрата с двумя перекрещивающимися осями и двумя диагоналями. Данная графическая фигура считалась наиболее жизнестойкой и продуктивной. Восемь углов юрты были равнозначны восьми «краям» (хизаар) света, они олицетворяли счастье, благополучие, согласие семьи и всего рода – племени бурят.

В шаманских призываниях предбайкальских бурят, например, часто обнаруживается словесная формула:

Посмотрел бы на отца – восьминогое солнце,

Посмотрел бы на отца – девятиногую луну,

в которой оба видимых небесных тела будто бы уравниваются в своих «правах».

Однако другая сакраментальная фраза из священных призываний: Эхэ эсэгэ хоер – наран hара хоер (Мать и отец – солнце и луна) – говорит о том, что названные небесные тела были самостоятельными субстанциями, имевшими свои отличительные черты. В первой цитате оба небесных тела хотя и называются отцами бурят, но имеют  разное количество ножек: солнце – восемь, луна – девять. Во второй фразе солнце названо матерью, а луна – отцом.

Отсюда легко сделать вывод о том, что солнце представлялось бурятам в образе женского существа, этакой вселенной праматери, обладающей четной (женской) числовой характеристикой (восемь). А Луна, напротив, имело мужские параметры (девять ног) и соответствовала отцовскому началу в природе и обществе.

Число ДЕВЯТЬ играет значительную роль в мировосприятии бурят и монголов. Во-первых, с ним уподоблялось состояние высшей гармонии космического бытия, равновесия и взаимного соответствия существующих миров в трех измерениях и трех плоскостях. Графический облик этого единства тот же квадрат с условным центром – вертикальной осью и над ним двумя пересекающимися диагоналями, соединяющими все углы прямоугольника.

В обыденной жизни священное значение числа девять воплощалось в девяти сыновьях луны, девяти родимых пятнах (мэнгэ), девяти посвящениях шаманов, девяти углублениях на ритуальной ложке для возлияния молока духам неба, земли и жилища, девяти приготовлениях к большому жертвоприношению, девяти раундах национальной борьбы, девяти «белых» подношениях и т.д. При этом не следует забывать и о девяносто девяти бурятских небожителях (двойная девятка), символизирующих высочайшую, совершеннейшую систему всекосмического единства.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Числа проявляются в человеческой истории не случайно и хаотично, а в соответствии со строгим законом периодичности, что соответствует оккультной теории циклов. Числовой символизм различным образом проявляется в мировых культурах. По-разному к понятию числа подходят Восток и Запад, где отношение к данному понятию непрерывно менялось. Для различных культур и духовно-религиозных традиций на уровне архетипических проявлений характерна глубинная приверженность к тем или иным числам, выражающаяся не только в частоте упоминаний об этих числах в различных духовных книгах, но и в их присутствии в архитектурных памятниках, произведениях искусства и даже построении литературных текстов.

Если проанализировать ,какими были первые цифры, можно увидеть обширную историю культуры отдельного народа. Составление обозначений для чисел потребовало более высокого интеллектуального уровня. Поэтому наши предки оставляли  тысячи зарубок на твердых материалах. Столько, сколько потребовалось.