Проект

Тестирование по математике в системе школьного образования

Выполнил: Рябова Галина Александровна

Учитель математики МБОУ СОШ №2 г. Шатуры

2016 г.

Содержание

Введение        

1. Использование тестов для оценки качества знаний учащихся по математике        

2. Использование тестов в технологии блочного обучения математике        

Заключение        

Приложение        

Введение

На современном этапе развития общество предъявляет определённые требования к системе математических знаний, которые международная общественность считает необходимыми для формирования так называемого «человеческого капитала». Элементами общей человеческой культуры являются определённый объём математических знаний, владение характерными для математики методами, знакомство с ее специфическим языком. Помимо этого, все большую актуальность приобретает проблема оценки качества обучения математике.

Одним из важнейших направлений модернизации системы образования является совершенствование контроля и управления качеством образования. Цель государственного контроля качества заключается в обеспечении стабильного соответствия качества образования потребностям человека, общества и государства. Фундаментальной составляющей школьного образования является математическая подготовка учащихся. Актуальность исследования обусловлена, с одной стороны, новыми государственными требованиями, к математической подготовке школьников, сформулированными в стандарте образования, а с другой, сложившейся системой оценивания учебных достижений в каждом образовательном учреждении.

Изменения в сфере образования, произошедшие за последнее время (введение ЕГЭ и др.), привели к противоречию между наличием разработанной теории и методике использования тестов в оценке качества знаний и их эффективным применением в практике преподавания математике. 

1. Использование тестов для оценки качества знаний учащихся по математике

 Оценка качества знаний учащихся

Министерством образования Российской Федерации в 1998 году утвержден «Обязательный минимум содержания основного общего образования по математике», на основе которого разработаны «Примерная программа по математике для основной школы» и «Требования к математической подготовке выпускников». Основным назначением этих документов в условиях вариативности и многообразия учебных планов, учебников, школьных и авторских программ является сохранение общего ядра математического образования и обеспечение базы для развития системы дифференцированной школы.

Представленное в программе содержание образования фиксирует минимальный объем материала, который должен быть реализован в любом общеобразовательном учреждении независимо от его типа и направления.

Требования к уровню математической подготовки школьников, являющиеся непосредственно разделом программы, определяют необходимый уровень знаний, умений и навыков, которыми должен овладеть в процессе обучения каждый выпускник основной школы.

Анализ результатов исследования позволил сделать следующие выводы.

1. Математическая подготовка 15-летних учащихся в основном позволяет им выполнять задания международного теста. В российской основной школе изучаются математические факты и математические методы, необходимые для решения большинства задач, включенных в международные тесты. Некоторые необходимые сведения о пространственных фигурах, возрастных диаграммах населения и графиках кусочных функций учащиеся получают в Х-ХI классах.

2. Невысокие результаты российских учащихся в международных тестированиях объясняются несколькими причинами.

Почти все задачи были предложены в нестандартной для российских ребят формулировке, она значительно отличалась от формулировки учебных заданий, типичных для большинства действующих учебников. Некоторые задачи требовали либо приближенных методов решения, использование которых не практикуется в российской школе, либо выполнения только простейших вычислений, что зачастую смущало российских 15-летних школьников, которые привыкли к использованию более сложных математических методов.

3. В проведенном исследовании можно выделить относительно небольшой перечень знаний и умений, которые на международном уровне посчитали необходимыми для современного математически грамотного человека. К ним, например, относятся: пространственные представления; умение читать и интерпретировать количественную информацию, представленную в различной форме; работа с формулами; знаковые и числовые последовательности; нахождение периметра и площадей нестандартных фигур; выполнение действий с процентами и др. К сожалению, формированию этих практически ориентированных знаний и умений в российской школе не уделяется должного внимания.

Проанализировав вышесказанное, можно сделать следующие выводы: одной из причин низкого уровня, показываемого российскими школьниками, является недостаточно развитая система контроля качества обучения математике, односторонность и отдаленность от реальной действительности контролирующих заданий.

Для оценки качества нам необходимо знать, что подразумевает под собой само качество обучения. Для этого мы выделяем два основных аспекта: качество учебного процесса и качество подготовки выпускников.

        Учебный процесс - это сложное динамическое образование, имеющее огромное количество связей и зависимостей между компонентами: содержанием и образовательной программой, содержанием учебного предмета и учебным планом, расписанием, деятельностью учителей и учащихся, и др.

Проанализировать качество учебного процесса – это значит соотнести действительное с желаемым; установить удовлетворенность учащихся, родителей, отдельных учителей, администрации и в целом всего педагогического коллектива, внешних экспертов некоторыми составными элементами или всем учебным процессом.

Качество учебного процесса - явление настолько многогранное и сложное, что проанализировать и оценить все его стороны, связи не представляется возможным.

Поэтому при анализе компонентов учебного процесса и показателей его качества рекомендуется опираться на принцип главного звена: выбирать оценочные показатели с точки зрения их важности для данного образовательное учреждение (ОУ) в данный период его развития. При этом необходимо так же учитывать имеющуюся возможность измерить эти показатели. Главное звено характеризуется тем, что в цепи всех других задач оно должно решаться первым, ибо без его решения никакие другие задачи качественно выполнены быть не могут.

 При этом могут быть использованы следующие оценки: “удовлетворяет требованиям”, “удовлетворяет требованиям в основном”, “не удовлетворяет требованиям”.

 Использование тестов для оценки качества знаний учащихся по математике

Методологически слабая обеспеченность в области тестирования привела к тому, что в педагогическом сообществе в настоящее время нет единого понимания терминологии. Под тестом понимается:

– проба, испытание, исследование (Советский энциклопедический словарь);

– инструмент, который состоит из задания на деятельность данного уровня, позволяющего выявить факт усвоения (В. П. Беспалько);

– стандартизированный метод диагностики уровня и структуры подготовленности (В. С. Аванесов);

– система специально составленных заданий, решение которых имеет однозначно правильные ответы (Е. А. Михайлычев);

– метод педагогической диагностики (К. Ингекамп).

Примем следующее определение теста.

Тест – это инструмент, состоящий из системы стандартизированных заданий, стандартизированной процедуры проведения и заранее спроектированной технологии обработки и анализа результатов.

Отметим, что все основные функции контроля: обучающая, развивающая, мотивационная, диагностическая и прогностическая - реализуются через его нетрадиционную форму – тесты.

Самое существенное требование, отличающее тест от экзамена и от остальных методов контроля, - это обязательная проверка его качества. Существуют соответствующие научнообоснованные критерии, которые позволяют оценить качество теста: объективность, надежность, валидность, трудность, эффективность.

Обобщая исследования учёных, из существующего многообразия типологизаций тестов выделим в первую очередь те, которые могут быть соотнесены с видами контроля: предупредительным, текущим, итоговым. Это, соответственно, установочный, формирующий, итоговый тесты. Установочный тест выявляет исходный уровень подготовки школьников, он содержит как легкие, так и трудные задания. Замерив базовый уровень учащегося, учитель может наблюдать за развитием каждого ребенка, вносить элементы индивидуализации в учебный процесс. Формирующий тест определяет прогресс достигнутого в обучении. К данному типу тестов мы относим базовые и диагностические. Первые включают репродуктивные задания и проводятся на уровне формирований понятий. Вторые содержат задания от репродуктивных до творческих и выявляют уровень усвоения темы или раздела программы. Итоговый тест, который чаще называют тестом школьных достижений, должен отвечать всем требованиям стандартизированного научно обоснованного теста.

Одним из направлений модернизации образования является введение единого государственного экзамена (ЕГЭ). Хотя в среде педагогической общественности нет единой точки зрения, но все большее число педагогов и руководителей различных уровней признают, что ЕГЭ более надежный инструмент для оценки образовательных достижений школьников. Так как экзамен по математике является обязательным для всех выпускников, то результаты ЕГЭ можно рассматривать как информационную основу для организации многоуровневого мониторинга.  

Математическая модель тестового контроля знаний определяет уровень обученности учащихся в зависимости от трудности заданий.

Рассмотрим, как с помощью тестов можно судить об уровне знаний учащихся. Проверка выполнения требований к математической подготовке учащихся включается в существующую систему государственного и учительского контроля, оказывая при этом значительное влияние на его идеологию и содержание.

Система государственного контроля за выполнением требований к уровню подготовки выпускников должна включать специальную проверку достижения каждым учащимся уровня обязательной математической подготовки как безусловного минимума знаний и умений, который дает право на получение положительной оценки и документа об образовании. Такая проверка, в зависимости от целей, которые ставят перед собой проверяющие, может дополняться проверкой на повышенных уровнях. При этом учащемуся предоставляется право выбора уровня контроля. По своему желанию он может ограничиться проверкой только на обязательном уровне, достаточном для получения положительной отметки. Возможны различные способы сочетания этих двух этапов контроля. Они могут быть представлены в одной работе или же в разных специально ориентированных работах. В первом случае работа включает задания, позволяющие проверить подготовку учащихся на различных уровнях (обязательном и повышенных), во втором — эти две проверки могут быть разведены во времени.

Выделение в контроле двух принципиальных этапов (проверка достижения уровня обязательной подготовки и проверка на повышенных уровнях) имеет целый ряд позитивных следствий. С одной стороны, это дает возможность получать объективную информацию о состоянии знаний и умений учащихся и на этой основе мотивированно управлять учебным процессом. С другой стороны, это обеспечивает возможность ученикам с разным уровнем подготовки продемонстрировать свои достижения. И, наконец, это дает реальную основу для переориентации традиционной системы оценки, при которой подготовка ученика сравнивалась с некоторым максимальным уровнем усвоения учебного материала, оцениваемым максимальным баллом «5». В зависимости от ошибок и недочетов, допущенных учеником, его отметка при таком подходе снижалась. В этих условиях отметка «3» нечетко отделяла знание от незнания, свидетельствуя о низком уровне подготовки, но не поддаваясь четкой содержательной интерпретации.

Альтернативным рассмотренному подходу является оценивание подготовки учащихся «методом сложения»: от достигнутого обязательного уровня к более высоким, что оказывается возможным благодаря включению в контроль этапа проверки уровня обязательной подготовки.

Достижение уровня обязательной подготовки свидетельствует о выполнении предъявляемых программой требований на том минимальном уровне, который является необходимым и одновременно достаточным для положительной аттестации. В зависимости от целей и способов проверки достижение этого уровня может оцениваться по-разному. В том случае, когда цель — выявить достижение учащимися этого уровня, естественно использовать дихотомическую шкалу оценки типа: «достиг — не достиг». Если же цель проверки — аттестация учащихся, что предполагает дифференциацию их по уровням подготовки, то выполнение учащимся заданий обязательного уровня (при условии, что ученик в своей работе не справился с более сложными заданиями) может быть оценено отметкой «3». В этом случае отметка «3» приобретает новый содержательный смысл — свидетельствует об усвоении учащимся минимума математических знаний и умений, отвечающих программным требованиям и достаточных для продолжения обучения. Соответственно меняется содержание отметок «4» и «5», характеризующих достижение более высоких уровней обученности.

Признание нового содержательного смысла отметок позволит использовать их в качестве объективных показателей выполнения учащимся программных требований, глубины овладения учебным материалом, его познавательных интересов.

2. Использование тестов в технологии блочного обучения математике

Ориентация школы на подготовку кадров, привязанных к определенной профессии, — путь малоперспективный. Любая массовая профессия, полученная выпускником школы, не может гарантировать ему рабочее место в течение всей жизни. Определенному их числу потребуется овладеть специальностями, которые пока не существуют, использовать технологии, которые еще не созданы, решать задачи, о которых пока ничего нельзя сказать. Таким образом, перед современной школой должна быть поставлена задача достаточно прагматичная, но не узкоутилитарная: наилучшим образом подготовить выпускников к периоду активной трудовой деятельности, который ожидает их в будущем. В рамках решения этой задачи учащиеся должны овладеть программами, насыщенными академическими знаниями. Базовые знания, умения и навыки связаны с основательной элементарной математической подготовкой.

В условиях современной школы успех дидактического процесса становится возможным и реальным, если обучение дифференцировано, а не нацелено, с одной стороны, на не осуществимую пока индивидуализацию, а с другой — на работу с пресловутым «средним учеником».

Методологическая основа блочной системы обучения. В связи с вариативностью содержания и структуры социально-педагогические системы, к которым относим и блочную организацию обучения математике, являются развивающимися. Изменения, происходящие в них вследствие управления, носят упорядоченный характер и обеспечиваются внутренними органами и механизмами управления. По этой причине социально-педагогические системы являются управляемыми. Управление рассматривается при блочной организации обучения математике как целенаправленная деятельность субъектов различного уровня, обеспечивающая оптимальное функционирование и развитие управляемой системы (субъекта, объекта), перевод ее на новый, качественно более высокий уровень по фактическому достижению цели с помощью необходимых оптимальных педагогических условий, способов, средств и воздействий.

Управления учебно-воспитательным процессом включает следующие функции: педагогический анализ; постановку целей; планирование, подготовку и принятие управленческого решения; организацию; внутришкольный контроль; регулирование и коррекцию.

Применительно к внутришкольному управлению блочной организацией обучения, педагогический анализ, направлен на изучение состояния, тенденций развития объективную диагностическую оценку результатов собственной управленческой деятельности, фактических результатов учебно-воспитательного процесса и выработку предложений по поддержанию системы в заданном планом состоянии, переводу ее на более высокий качественный уровень.

Целеопределение будет выступать как процесс блочного проектирования управления по формированию и развитию личности воспитуемого и обучаемого на основе социального заказа. Содержание управления, обучения, воспитания и развития составит информационную основу.

Планирование и прогнозирование при блочном обучении заключается в определении зон ближайшего и перспективного развития ученика, учителя, коллектива, школы в целом в определенных условиях окружающей среды на основе педагогического анализа.

Организация исполнения связана с реализацией учебно-воспитательных планов, программ и собственных педагогических решений через коммуникации в управлении обучением и воспитанием всех участников педагогического процесса. Внутришкольный контроль при блочной организации учебного процесса предполагает: сбор информации, анализ и оценку (самооценку) собственной управленческой деятельности, фактических результатов обучения, воспитания и развития учащихся на диагностической основе.

Регулирование и коррекция при блочной организации обучения означают поддержание всей системы школы на заданном уровне, перевод ее в новое качественное состояние и устранение отклонений в педагогическом процессе и деятельности его участников [13].

Блочная технология обучения, как и любая технология обучения, занимается проблемами обучения и воспитания, которые в свою очередь относятся к числу тех, разработка которых требует системного и синергетического подхода.

Системный подход как методологическая ориентация в практике управления сложными, в том числе педагогическими, системами предъявляет следующие требования к блочной организации обучения: адекватность по разнообразию и быстродействию управляющей части системы; управление как способ решения проблем; формирование целей как основы управления; полнота управленческого цикла; предвидение в управлении на основе сетевого и программно-целевого планирования; коммуникативность управления; временная корректность циклов; управленческая культура и этика [21].

В соответствии с государственно-общественным социальным заказом оформляются педагогические и дидактические задачи школы, включающие в себя учащихся, цели, задачи и содержание процессов. Адекватно педагогическим и дидактическим задачам конструируется блочная педагогическая технология из процессов, их средств и организационных форм [21].

Эффективность и результативность учебной деятельности при блочной организации процесса зависят от путей изучения материала и связаны со стадиями развития интеллекта. Переход от более низкого уровня проблемность (когда учитель сам ставит проблему и дает основные вехи для ее решения) к более высокому основывается на постепенном сокращении сообщаемой учащимся информации и предоставлении им все большей самостоятельности.

Блочная система организации, учебно-воспитательного процесса, имеет некоторые отличия принципиального характера от традиционной системы. Содержание обучения представляется в законченных, самостоятельных блоках, одновременно являющихся банком информации и методическим руководством по его применению. В основе такого обучения лежат субъект-субъектные отношения между учителем и учеником. Обеспечивается самостоятельное, осознанное достижение определенного уровня в учении. Наблюдается высокая степень адаптивности элементов к условиям педагогического процесса.

Проектируя развивающее образовательное пространство (предмет, профильный класс, школу и т.д.), необходимо организовать среду, которая обеспечила бы ученику, во-первых, понимание законов функционирования и развития систем различных видов и, во-вторых, обучение деятельности по законам, закономерностям и правилам. Осуществить это можно посредством алгоритмических предписаний и алгоритмов учебной деятельности и обучающих программ.

Известно, что любая система мира представлена в виде системы закодированной информации. Чтобы информация о каком-либо процессе стала доступной человеку, необходимо ее расшифровать с помощью специальных правил, или алгоритмов. Таким образом можно познать закономерности функционирования систем. Для организации обмена информацией при обучении подобным средством становится блок, или структурно-функциональный узел. Блок включает в себя все параметры изучаемых систем: структуру, функции, свойства, способы жизнедеятельности. Это создает возможность в определенной последовательности проводить стыковку информации.

Первым проводится вводный урок, который включает в себя: актуализацию знаний, постановку целей изучаемой темы, мотивацию, поясняются организационные моменты. Предполагается, что учащиеся будут, имеют представление об изучаемом материале.

В начале темы излагается теоретический блок: теория излагается в виде школьных уроков-лекций. Такие уроки будут готовить ученика и к учебе в вузе, где лекция занимает значительное место среди различных форм обучения студентов. Эффективность использования лекционного способа изложения учебного материала в школе доказана многими учителями (Хазанкин, Шаталов).

Опыт высшей школы показывает, что усвоение взаимосвязанного материала более успешно при его изложении крупными порциями (блоками), позволяющими установить различные отношения нового понятия с известными. При этом автоматически происходит выделение основного и второстепенного в изучаемом материале. Резко возрастающий объем материала, подлежащий усвоению, компенсируется увеличением времени на решение задач по данному материалу. При таком подходе несколько удлиняется период освоения новых понятий и фактов, но освоение их - вполне сознательное, разностороннее и активное.

Необходимо учитывать возрастные особенности учащихся и значительно более неоднородный состав учащихся в школе по сравнению с вузом, т.к. многие учащиеся имеют склонность к гуманитарным наукам и изучение математики им даётся не так легко, следовательно, на школьном уроке-лекции необходимо давать более подробные комментарии. С учетом разной способности учеников к усвоению новой информации лекция учителя должна сопровождаться необходимым повторением узловых моментов рассуждения, для того чтобы ученики запоминали основные моменты и видели их значимость. Лекция в школе должна быть более короткой и чередоваться в отдельных случаях с другими формами учебной работы, потому что психологические исследования показывают, что в ученики при длительной однообразной работе быстро утомляются и не могут удерживать внимание. Объяснение учителя должно сопровождаться контрольными вопросами к классу, но в минимально необходимом объеме, не нарушающем логику рассуждений, это делается, для того чтобы ученики четко представляли изучаемый материал и одновременно поддерживает внимание и диагностирует уровень понимания данного материала. Контроль над усвоением знаний должен быть более частым и разнообразным по форме, опираться на индивидуальные и коллективные формы работы учащихся. Лекции в блочной системе обучения имеют свою особенность: в начале лекции проводиться диагностирующий тест, который помимо основной диагностирующей функции помогает актуализировать знания учащихся.

Например, при изучении темы «интеграл» содержание лекций будет таким: первообразная и неопределенный интеграл, вычисление первообразной по определению – на первом уроке лекции и определенный интегралё вычисление площадей с помощью определенного интеграла, формула Ньютона-Лейбница – на втором. В начале второго урока-лекции проводиться диагностирующий тест.

До блока практических занятий проводится урок-зачет, на котором проверяются и закрепляются теоретические знания учеников. Основная цель урока-зачета заключается в том, чтобы выяснить, соответствуют ли знания и умения каждого школьника по изученной теме уровню обязательных результатов для продолжения занятий. Обычно учителя перед проведением таких уроков заранее сообщают круг теоретических вопросов, выносимых на зачет, что позволяет ученикам ответственно подготовиться к уроку.

На практике используются различные формы зачета: учащиеся отчитываются о проделанной работе перед учителем; ученики контролируют друг друга (взаимозачет); зачет группы учащихся принимает консультант, назначенный учителем из числа специально подготовленных учеников. Сдающие зачет учащиеся выполняют задания на отдельных листках, которые консультантом сдаются учителю. Ясно, что при подборе консультантов следует учитывать не только уровень их математической подготовки, но и личностные качества (ответственность, тактичность, принципиальность, справедливость). Учителя используют и разные виды зачета; устный зачет без предварительной подготовки к ответу. Ответы учащихся могут быть даны как в письменной, так и в устной форме. Желательно урок-зачет проводить после решения ключевых задач, это помогает ученикам осознать, как и для чего применяется теоретический материал и понять его сущность.

Следующий этап: уроки-практикумы, структуру заданий, предлагаемых учащимся.

Затем проводится уровневая контрольная работа (см. приложение) следующим образом: учащимся предлагаются задания и объявляются критерии оценки на «3» необходимо выполнить 1,2 задания, на «4» – 3, 4 задания и на «5» – 3, 4, 5.

После проведения уровневой контрольной работы проводиться урок обобщения, на котором рассматривается положение и значение изученной темы в математике и других науках, применение её на практике и научных исследованиях.

Заключение

В настоящем исследовании решается проблема повышения качества математических знаний и умений учащихся 10 –11 классов путём  объективного и непрерывного диагностирования знаний учащихся, позволяющего проводить своевременную корректировку. При таком подходе тесты являются основным средством контроля.

В результате анализа психолого-педагогической и методико-математической литературы сформулированы теоретические основы:  уточнить определение теста, определить сущность тестового контроля качества математической подготовки школьников, изучить возможности применения тестов при оценке качества знаний учащихся.  

Разработана методика использования математических тестов для контроля знаний учащихся: выявлены её содержательная и организационная структуры, предложена технология конструирования математических тестов.

Библиографический список

1. Аванесов, В.С. Композиция тестовых заданий [Текст] / В.С. Аванесов –М.: Адепт, 1998.- 217 с.
2. Алимов, Ш.А. Алгебра и начала анализа [Текст] / Ш.А. Алимов, Ю.М. Калягин, Ю.В. Сидоров и др.  – М.: Просвещение, 1993. –254с
3. Башмаков, М.И. Алгебра и начала анализа [Текст] / М.И. Башмаков –М.: Просвещение, 1992. –351с.
4. Дорофеев, Г.В. Оценка качества подготовки выпускников основной школы по математике [Текст] / Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, Г.М. Кузнецова и др. – М.: Дрофа, 2000.
5. Зандер, В.К. О блочном изучении математики [Текст]/ В.К. Зандер // математика в школе. – 1991 №4 – с 38 - 42.
6. Колмогоров, А.Н. Алгебра и начала анализа [Текст] /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. – М.: Просвещение, 1991.–320 с.

Приложение

Тест знаний учащихся по теме: Первообразная и неопределённый интеграл

Будет ли F(x) первообразной для функции f(x) на указанном промежутке:  ,

 , (-; +).

а) да      б) нет     в) зависит от ситуации

1. Сопоставьте функцию и её первообразную:

1) -                4) -

2) -                5) -

3) -                6) -

2. Процесс отыскания функции по заданной производной называется:

а) дифференцированием;

б) интегрированием;

в) отысканием экстремума.

3. Верно ли рассуждение? Если да, то укажите правило, которым вы пользуетесь. Если нет, то укажите, в чём ошибка.

Найдём первообразную функции y=2xcosx. Первообразная для 2x – x2, для cosx – sinx. Значит первообразной для функции y=2xcosx будет служить функция y=x2sinx.

а) Да, используем правило___________________________________________

б) Нет, т.к._______________________________________________________________

4. Найдите первообразную для функции y=(4 – 5x)7

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5.  7(4-5x)6;
6. -5∙7(4 -5x)6;

5. Продолжите фразу: первообразная суммы равна

а) сумме первообразных;

б) первообразной первой функции, умноженной на вторую функцию, плюс первообразная второй функции, в) умноженная на первую.

г) у этой фразы нет продолжения.

6. Заполните пропуски.

Если функция у=f(x) имеет на промежутке Х первообразную y=F(x), то___________________________________________________________________________________________________ называют неопределённым интегралом от функции y=f(x) и обозначают_______________

Тест знаний учащихся по теме определённый интеграл 

1. Определенным интегралом от функции y =f(x) по отрезку [a;b] называют:

1.  , где   и
2.  число равное F(b) - F(a)
3. F(x)+C
4. 

2. Запишите формулу Ньютона-Лейбница______________________
3. Геометрический смысл определённого интеграла состоит в следующем:

1.  перемещение точки;
2.  угол наклона касательной;
3.  ограничивает криволинейную трапецию;
4.  площадь криволинейной трапеции

4. Верно ли записано утверждение: для любой функции f(x) на отрезке [a,b] справедливо равенство:

1. да;
2. нет;
3. не знаю.

5. Допишите свойства определённого интеграла

1. 
2. 
3. Если а< c< b, то

6. Площадь фигуры, ограниченной линиями x = a и  x = b, и графиками функции у =f(x), y =g(x), непрерывных на отрезке [b, a] и таких, что для всех x из этого отрезка выполняется неравенство f(x)≤g(x), вычисляется по формуле:

5. нет правильного ответа

 Контрольный тест Вариант 1

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) ;    б) ;    в) ;    г) ;  

д) ;   е) .    

2. Вычислите  интегралы:

а) ;      б) ;      в) ;     г) .

3. Вычислите  площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y=1– x3, y=0, x=0;

б) y=sinx, y=0, x=π/6, x=π/3.

 Контрольный тест Вариант 2

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) ;    б) ;    в) ;    г) ;  

д) ;    е) .    

 2. Вычислите  интегралы:

а) ;  б) ; в) ; г) ;  

3. Вычислите  площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y= x4, y=1;

б) y=2sinx, y=0, x=π/6, x=π/3.

Задачи

1. Найдите неопределённый интеграл:

а) . Решение: заметим, что подынтегральная функция не является функцией из таблицы в явном виде, поэтому её необходимо преобразовать: , интеграл от полученной функции легко вычисляется: . Ответ: +С.  

б) . Решение: аналогично примеру под буквой а) упрощаем подынтегральную функцию и вычисляем интеграл: .

Ответ: .

2. Для функции f(х)=2cosx найти первообразную, график которой проходит через точку М(–0,5π;1). Решение: Найдём множество первообразных функции f(x), F(x)=2sinx+C, известно что график первообразной проходит через точку M, значит F(-0,5π)=1, но F(x)=2sinx+C, следовательно , откуда С= –1.  Ответ: F(x)=2sinx –1.

3. Вычислите  интеграл:

; Решение: упрощаем подынтегральную функцию и вычисляем определённый интеграл: . Ответ: .

4. Вычислите  площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y= (x+2)2, y=0, x=0. Решение: площадь искомой фигуры является площадью соответствующей криволинейной трапеции, которую можно вычислить с помощью определённого интеграла, нижний предел интегрирования равен –2 т.к. в точке

(–2;0) график функции пересекает прямую у=0, верхний предел интегрирования равен 0, т.к. фигура ограничена прямой х=0. .

Ответ: .